六个常用分布的数学期望和方差
概率论与数理统计各章重点知识点汇总--最新版
第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 . (3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .,}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P •=====,}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1 ),Y~ χ2 (n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
六个常用分布的数学期望和方差
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
自考本科《概率论与数理统计》2012年10月真题 讲解 答案.
2012年10月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对《全国2012年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题》进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。
三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。
一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。
二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大。
内容比较常规：① 概率分数偏高，共74分；统计分数只占26分，与今年7月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况稍有不同；② 除《回归分析》仅占2分外，对课本中其他各章内容都有涉及；③几乎每道题都可以在课本上找到出处。
如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，包括计算量比较大额题目。
2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18分，一维随机变量（包括数字特征）约22分，二维随机变量（包括数字特征）约30分，大数定律4分，统计量及其分布6分，参数估计6分，假设检验12分，回归分析2分。
考点分布的柱状图如下三、试题详解选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.已知事件A，B，A∪B的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P（A）=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.5[答疑编号918150101]【答案】B【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以＝0.5－0.3＝0.2，故选择B.[快解] 用Venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
常见分布函数的期望和方差
常见分布函数的期望和方差
六种常见分布的期望和方差：
1、0-1分布
已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中0 < p < 1，则成X 服从参数为p的0-1分布。
其中期望为E（X）= p，方差D（X）= p（1-p）。
2、二项分布
n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。
其中期望E（X）= np，方差D（X）= np（1-p）。
3、泊松分布
其概率函数为P{X=k}=λ^k/(k!e^λ) k=0，1，2…...k代表的是变量的值。
其中期望和方差均为λ。
4、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布。
其中期望E（X）= （a+b）/ 2 ，方差D（X）= （b-a）^2 / 12。
5、正态分布
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。
其中期望是u，方差是σ的平方。
6、指数分布
若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为X~E（λ）。
其中期望是E(X)=1/λ，方差是D(X)=1/λ。
数学分布（泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布）生存分析贝叶斯概率公式全概率公式（新）
数学分布（泊松分布、⼆项分布、正态分布、均匀分布、指数分布）⽣存分析贝叶斯概率公式全概率公式（新）数学期望：随机变量最基本的数学特征之⼀。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
⼜称期望或均值。
它是简单算术平均的⼀种推⼴。
例如某城市有10万个家庭，没有孩⼦的家庭有1000个，有⼀个孩⼦的家庭有9万个，有两个孩⼦的家庭有6000个，有3个孩⼦的家庭有3000个，则此城市中任⼀个家庭中孩⼦的数⽬是⼀个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市⼀个家庭平均有⼩孩1.11个，⽤数学式⼦表⽰为：E(X)=1.11。
也就是说，我们⽤数学的⽅法分析了这个概率性的问题，对于每⼀个家庭，最有可能它家的孩⼦为1.11个。
可以简单的理解为求⼀个概率性事件的平均状况。
各种数学分布的⽅差是：1、⼀个完全符合分布的样本2、这个样本的⽅差概率密度的概念是：某种事物发⽣的概率占总概率(1)的⽐例,越⼤就说明密度越⼤。
⽐如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最⼤，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的⼈最多。
下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表⽰概率密度)：离散型分布：⼆项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布抽样分布抽样分布只与⾃由度，即样本含量（抽样样本含量）有关⼆项分布（binomial distribution）：例⼦抛硬币1、重复试验（n个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验）2、3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了⼀个分布，即⼆项分布泊松分布（possion distribution）：1、⼀个单位内（时间、⾯积、空间）某稀有事件2、此事件发⽣K次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了⼀个分布，即泊松分布⼆项分布与泊松分布的关系：⼆项分布在事件发⽣概率很⼩，重复次数n很⼤的情况下，其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution)：分为连续型均匀分布和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、n种可能的结果2、每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布：1、可能的结果是连续的2、每个可能的概率相等()连续型均匀分布概率密度函数如下图：指数分布（exponential distribution）：⽤来表⽰独⽴随机事件发⽣的时间间隔，⽐如旅客进机场的时间间隔、中⽂维基百科新条⽬出现的时间间隔等等。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导一维随机变量期望与方差二维随机变量期望与方差协方差1.一维随机变量期望与方差：公式：离散型：E（X）=∑i=1->nXiPiY=g（x）E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi连续型：E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dxY=g（x）E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx方差：D（x）=E（x2）-E2（x）标准差：根号下的方差常用分布的数学期望和方差：0~1分布期望p 方差p（1-p）二项分布B（n，p）期望np，方差np（1-p）泊松分布π（λ）期望λ方差λ几何分布期望1/p ,方差（1-p）/p2正态分布期望μ，方差σ2均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）2/12指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ2卡方分布，x2（n）期望n 方差2n期望E（x）的性质：E（c）=cE（ax+c）=aE（x）+cE（x+-Y）=E（X）+-E（Y）X和Y相互独立：E（XY）=E（X）E（Y）方差D（X）的性质：D（c）=0D（aX+b）=a2D（x）D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）X和Y相互独立：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）2.二维随机变量的期望与方差：3.协方差：Cov（X，Y）：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）协方差：Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）相关系数：ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差ρxY=0为X与Y不相关记住：独立一定不相关，不相关不一定独立。
协方差的性质：Cov（X，Y）=Cov（Y，X）Cov（X，C）=0CoV（X，X）=D（X）Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）。
分布列的期望和方差
)＝p2p1＝
2 9
，P(ξ＝－2n)＝p2p2＝
4 9
，E(ξ)＝
5m10n 9
.当
m＞2n
时，选择
甲方；当 m＜2n 时，选择乙方；当 m＝2n 时，选择两方都一样．
题型二 离散型随机变量的方差
【例 2】 (2010·江苏苏北三市模拟)在一次电视节目的抢答
中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正
若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2 的分布列为：
ξ2 500 －300 0
P
3 5
1
1
3 15
E(ξ2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)． 又 D(ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000， D(ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝ 140 000. 所以 E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
等于 5 点，则算甲方赢，乙方给甲 m 元，否则算乙方赢，甲方给 乙方 n 元；②如果第一轮掷骰子甲赢，则游戏结束，否则进行第 二轮掷骰子的游戏，无论谁赢游戏结束．
(1)如果 m＝2，n＝1，甲方和乙方哪方赢钱的期望更大？ (2)你若希望赢钱，该选择哪一方？
解析：甲方赢的概率
p1＝
1 3
，乙方赢的概率
• • [例2] (09·广东)已知离散型随机变量X的
分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，， 则a＝______，b＝______.
• 分析：依据离散型随机变量的性质和期望、 方差的计算公式列方程组求解．
大学概率论某些常用分布的数学期望与方差 (1)
vk ( X ) E( X k ).
若 X为离散随机变量， 则 vk ( X ) xik p(xi ).
i
若 X为连续随机变量，
则 vk ( X )
xk f (x)dx.
特别，一阶原点矩就是数学期望：v1( X ) E( X ).
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i
若 X 为连续随机变量，则
k (X )
[x
E(X
)]k
f
(x)dx.
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§3.6 原点矩与中心矩
一阶中心矩恒等于零： 1( X ) 0. 二阶中心矩就是方差： 2 ( X ) D( X ).
概率论与数理统计教程（第四版）
由组合数的性质可知
n1
n1
C C k
n1k
M 1 N M
C C C , k
( n1)k
n1
M 1 ( N 1)(M 1) N 1
k 0
k 0
所以有
E(X
)
M
Cn1 N 1
CnN
nM N
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
均匀分布
设随机变量 X 在区间 a ,b 上服从均匀分布，则
E( X )
b x dx aba
a b. 2
均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值.
概率论笔记(四)概率分布的下期望和方差的公式总结
概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结一：期望引入：1.1离散型随机变量的期望注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。
1.2连续型随机变量的期望注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。
1.3期望的性质注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。
二：随机变量函数（复合随机）的数学期望1.理解注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。
三：方差引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和：定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。
3.1离散型随机变量的方差3.2连续性随机变量的方差3.3方差的性质注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下四：协方差4.1定义注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。
4.2离散型二维随机变量的协方差4.3连续型二维随机变量的协方差4.4二维随机变量的协方差性质注：了解即可…4.5协方差矩阵五：相关系数所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。
参考链接：。
八大分布期望和方差
八大分布期望和方差当讨论统计学里的发现时，最基本也是最重要的就是八大分布，这一系列重要分布包括正态分布、指数分布、对数正态分布、伽马分布、贝塔分布、卡方分布、正交分布以及负指数分布。
它们的作用是描述统计数据的变化，因此在数学概念、统计推断、机器学习和真实应用中非常重要。
其中，期望是一类随机变量的期望中心，它是描述一组变量期望值的一维度量。
一个分布的期望通常可以定义为特定条件下事件发生的概率乘以该事件的可能取值数目的加和，也就是均值。
另一方面，方差是一种二维描述，它表示分布中变量值距离各自的期望大小的一种度量。
方差定义为分布中变量值与其期望之差的平方值的期望和。
方差可以帮助我们识别变量间的相关性，也可以有助于正确估计参数。
介绍了期望和方差的定义，接下来介绍八大分布的期望和方差。
1.正态分布：正态分布的期望是变量的均值，而方差则是一个常数的平方。
2.指数分布：指数分布的期望是变量的平均值，方差是变量的平均值的平方。
3.对数正态分布：对数正态分布的期望是变量的自由参数个数，方差是变量的自由参数个数的平方。
4.伽马分布：伽马分布的期望是变量的期望值，方差是变量的期望值的平方。
5.贝塔分布：贝塔分布的期望是变量的平均值，方差是变量的平均值的平方。
6.卡方分布：卡方分布的期望是变量的特征参数的平方，方差是变量的特征参数的二次方。
7.正交分布：正交分布的期望是变量的均值，方差则是一个常数的平方。
8.负指数分布：负指数分布的期望是变量的均值，方差是变量均值的平方。
以上就是八大分布期望和方差的大致情况了。
从上述讨论可以看出，期望与方差是遵循某种特定公式的，而这两个概念也是人们在分布情况的基本分析上的重要指标。
期望和方差的定量分析对正确估计概率和识别变量间的相关性非常重要，并且在实际应用中也发挥了重要作用。
概率论与数理统计重点笔记
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果.随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 11121 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0)3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==n i i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()k k i i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2).(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1).二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()k n k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx e x f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--x t dt e x 2221)(π , Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法：(1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f k y X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y 其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .(4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i j ij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x y y ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度.2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f . (3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 (4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) .(X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 },{j i j i p y Y x X P ==P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称P{Y=y j |X=x i } 为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X离散型随机变量 连续型随机变量 分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛) 方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2 =E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p),}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,…随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如： 样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…) 二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) . 2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1 ) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1 ),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=n Y X ~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时,n S X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体 相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③) 22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iL θ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效.(3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间 μ σ2已知 n X σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知n S X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体(1)均值差μ 1-μ 2 其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ 22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③. (2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为 ))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα 注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
常见分布的数学期望和方差
分布
k!
数
k 0,1,2,
pq
npq
学 期
均匀 分布
f (x)
1 b
a
,
a
x
b
0 , else
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
ab 2 1
(b a)2 12 1
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ，
(
x) 2 2
2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等
常见分布的数学期望与方差
If X
P ( ), then
D(X )
二、常见的连续型随机变量的数学期望与方差
1.均匀分布的方差
分布密度
1 f (x) b a 0 a x b 其 它
E(X )
3 b a 2
1 2
(a b)
2
方差
E(X
2
)
b a
x
2
b a
2
dx
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
2
1
2
常见分布及其期望和方差列表
分布名称 数学期望E（X） 方差D（X）
p np
0-1分布
二项分布 泊松分布
pq
npq
a b 2
(b a ) 12
2
均匀分布
正态分布 指数分布
1
2
1
2
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
《数学期望与方差》课件
对于二项分布，可以直接使用公式计算期望 值。
方差的计算技巧
定义法
根据方差的定义，利用概率和数学公 式进行计算。
性质法
利用方差的非负性、方差的加法性质 和方差的常数性质简化计算。
随机变量函数的方差
通过随机变量函数的概率分布计算方 差。
二项分布方差
对于二项分布，可以直接使用公式计 算方差值。
Excel计算
在Excel中，可以使用"DEVSQ"函数来计算方差，该函数会自动处理数据点的数 量和每个数据点与均值之差的平方。
方差的应用
数据分析
方差可以用来分析数据的分散程度，从而了解数据的稳定 性、可靠性等方面的情况。
质量控制
在生产过程中，方差可以用来衡量产品质量的一致性和稳 定性，通过控制生产过程中各种因素的影响，降低产品质 量的波动。
风险评估
在金融和投资领域，方差被用来评估投资组合的风险，通 过计算投资组合收益率的方差和标准差等指标，投资者可 以了解投资组合的风险情况。
社会科学研究
在社会学、心理学、经济学等社会科学研究中，方差可以 用来分析调查数据的分散程度，从而了解群体内部的差异 和分布情况。
数学期望与方差的
03
关系
数学期望与方差的联系
方差的期望值性质
Var(E(X|Y))=E(Var(X|Y))。
方差的非负性质
Var(X)≥0，当且仅当X是常数 时等号成立。
期望与方差的性质和定理在实际问题中的应用
在金融领域，期望和方差用于评估投资 组合的风险和预期收益。通过计算期望 收益和方差，投资者可以了解投资组合
的预期表现和风险水平。
在统计学中，期望和方差用于描述数据 的集中趋势和离散程度。例如，在计算 平均数和标准差时，期望和方差是重要
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即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
a2
ab b2
a2
2ab b2
3
4
(b a)2
三.泊松分布
随机变量 X ~ ，(其) 分布律为：
λk e λ
P{X k}
,
k!
k 0,1,2, ,
E(X )
ke
k
e
k 1
k0 k!
k1 (k 1)!
e e
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ] E[X ( X 1)] E( X )
k(k 1) k e
附： 几种重要随机变量的数学期望和方差
一.二点分布 二.二项分布 三.泊松分布
四.均匀分布 五.正态分布 六.指数分布
一.二点分布
若随机变量X服从二点分布，其分布律为：
X
0
1
Pk
1-p
p
E( X ) p D( X ) p(1 p) E(X 2 ) p
二.二项分布
随机变量X~B(n,p),其分布律为：
E( X ) μ, D( X ) σ 2
例1.已知 X ~ (3) , Y 求2X 1 , E(Y ) ,D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , E( X ) 3 , D( X ) 3 则
E(Y ) E(2X 1) 2E( X ) 1 5
D(Y ) D(2X 1) 4D( X ) 12
2e
k2
k0
k!
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
即： 若随机变量X~π(λ),则
E( X ) λ , D( X ) λ
四.均匀分布
设随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，其概率
密度为
1
f
(
x
)
b
a
a xb ,
0 其它
即 若随机变量X服从参数为λ的指数分布，则
E( X ) θ，D( X ) θ 2
六.正态分布
随机变量 X ~ N ( ，,其2概) 率密度为：
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ,
2
x
E(X )
xf ( x)dx
x
1
2
( x )2
e 2 2 dx （令
t
x ）
1
1
12 2
( y1)2
e 18
,
0
1 x 5, y 其它
E(3X 4Y 2) 3E( X ) 4E(Y ) 2 3
D(3X 4Y 2) 9D( X ) (4)2 D(Y ) 156
解： X在区间(1，5)上服从均匀分布, Y ~ N(1,9) ,
1
f
X
(
x)
4
1 x5 ,
E(X) 1 5 3
2
0 其它
fY ( y)
3
1
2
( y1)2
e 18
,
D( X )
(5 1)2 12
4 3
y ,
E(Y ) 1 , D(Y ) 9
由X和Y相互独立得：
f (x, y) f X (x) fY ( y)
t2
( t )e 2 d t
t2
e 2 dt
2
2
D( X ) E{[ X E( X )]2 }
(
x
)2
2
t2tBiblioteka 2e2dt
（令
t x ）
2
1
( x )2
e 2 2 dx
2
2
2
t2
( t )de
2
2
t2
te 2
2
t 2
e 2 dt
2
2
即
2 2
若随机变量X~N（μ,σ2 ）, 则
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk ,
k 1,2, , n
由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发
生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设
1 X k 0
A在第k次发生 , k 1,2, , n
A在第k次不发生
则Xk服从二点分布，其分布律为： X 0
1
E( X k ) p , D( X k ) p(1 p) Pk 1-p p
0
0
x
e
θ
0
E( X 2 )
x
2
f
(
x)dx
x2
1
x
e θ dx
0
θ
（
x
2）de
x θ
0
x
（ 2θx）de θ 0
（
x
2）e
x
x
2xe dx
0
0
（
2x）e
x
2
x
e dx
0
0
2
2
e
x
2θ 2， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
0
θ2