高数各章综合测试题与复习资料

第十一章 无穷级数测试题

一、单项选择题 1、若幂级数

1

(1)n

n

n a x ∞

=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.

2、下列级数条件收敛的是( ).

(A) 1(1);210

n n n

n ∞

=-+∑

(B) 1

n n -∞

= (C)

1

1

1

(1)

();2

n

n n ∞

-=-∑

(D) 1

1

(1)n n ∞

-=-∑ 3、若数项级数

1

n

n a

∞

=∑收敛于S ，则级数

()121

n

n n n a

a a ∞

++=++=∑( )

(A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a

为正常数，则级数

21sin n na n ∞

=⎡⎢⎣

∑( ).

(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2

(),01f x x x =<≤，而1

()sin π,n

n S x b

n x x ∞

==-∞<<+∞∑，

其中10

2

()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰L ，则1

()2

S -等于( ) (A) 1;2- (B) 1

;4

- (C) 1;4 (D) 12.

二、填空题 1、 设

14n n u ∞==∑，则1

11

()22n n

n u ∞

=-=∑( ) 2、 设

()

1

1

1n n n a x ∞

+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数

()

1

1n

n

n na x ∞

=+∑的收敛区间为( )

3、 设3

2,10

(),01x f x x x -<⎧=⎨

<⎩

≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2

()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为

()01

cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 则3b =( )

5、级数()1(1)221!

n n n

n ∞

=-+∑的和为( )

三、计算与应用题 1、求级数

()1

13;3n

n

n x n ∞

=-⋅∑的收敛域 2、求

()211

12

n

n n ∞

=-⋅∑的和 3、将函数()

2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)

0n f

+

4、求20

12!n

n

n n x n ∞

=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x

n n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e

(1)n f n

=

，求函数项级数()1

n n f x ∞

=∑的和函数.

6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当

1α> 时，级数1n

n x α

∞

=∑收敛. 四、证明题

设π

40

tan d n n a x x =

⎰

（1） 求

()211

n n n a a n

∞

+=+∑ （2） 试证：对任意常数0λ>，级数

1

n

n a n λ∞

=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n

∞

+=+=∑.

因为2

11n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111n

n n a n n

λλ∞∞

+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A ；

2、D ；

3、B ；

4、C ；

5、B. 二、

1、1；

2、()4,2-；

3、32；

4、2π3

；5、cos1sin1-. 三、

1、答案：[)0,6.

2、答案：

53

ln 284

- 提示：原式为级数()

211n n x n ∞

=-∑的和函数在1

2x =点的值.

而()

22221121211n n n

n n n x x x n n n ∞

∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可. 3、答案：110

(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞

+=--⎡⎫

=∈-⎪⎢+⎣⎭∑

()1

(1)

(1)20!1

n n n f

n n ++--=⋅

+. 提示: ()

()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++

4、答案：222

011e 1,2!42x

n n

n n x x x x n ∞

=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭

∑ 提示：()2011112!1!2!2n

n

n n n n n n n x x x n n n ∞

∞∞===+⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

∑∑∑，

而()1011e ,e 1!!

x

n x

n n n x x x n n ∞

∞

====-∑∑

5、答案：

()()[)1

e ln 1,

1,1x

n n f x x x ∞

==--∈-∑

提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e x

n x f x n

=

()1

11e e x x

n n n n x x f x n n ∞

∞

∞=====∑

∑∑，记1()n x S x n

∞

==∑，则可得()ln(1)S x x =--

6、提示:设()1n

n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.

而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,

00110n x x n n -<=<,故当1α> 时，级数1

n n x α

∞

=∑收敛.