船舶结构力学-第二章单跨梁的弯曲理论共105页PPT资料

§2-2 梁的支座和边界条件
1.梁的支座及相应的边界条件
（1）自由支持在刚性支座上 活动铰支座
边界条件为:
固定铰支座
图2.6
v0
v 0
（2）刚性固定在刚性支座上，刚固端
图2.7
边界条件为:
v0
v 0
（3）弹性支座
P
v
EI
y
图2.8
x v
所谓弹性支座，在受到作用载荷P后将产生一个正比 于力P的挠度v，存在如下关系
这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数。
讨论：（1）集中力作用下的梁。
p
x
b
x
l
y
将梁分成两段： 0xb为第一段， bxl 为第二段，并把集中力 看p作是作用在第二段的初始点。
于是对于第一段，梁的挠曲线可写为：
vv00x2 E 1M I0x 26 E 1N I 0x 3
第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集中力， 这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，且为正。所 以梁的挠度在第一段过渡到第二段时仅增加一项与P有
v0v,AE vI
讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为0时各 代表哪种边界条件？
（4）弹性固定端
所谓弹性固定端。在受梁端力矩M作用后产
生一个正比于力矩M的转角，即存在如下关
系：
AM,或KM
式中A是弹性固定端的柔性系数；K 是弹性固定端的
刚性系数，显然A与K 互为倒数。
q
M
NdN
x
yN 图2.2
MdM
梁本身处于平衡状态，所以取出的微段也应处 于平衡状态。根据微段的平衡条件得到：
Y 0
M 0
dN q dx dM N
（2－1） （2－2）
dx
wk.baidu.com
对于梁的纯弯曲，有下式：
1M
（2－3）
EI
1
d 2v dx2
v （2－4）
利用式（2－1）～（2－4），就可得到梁的弯 曲微分方程式：
剪力图与弯矩图之间的关系
梁上 无外力 均布力作用
情况
(q向下)
集中力作用
处(FP向下)
集中力 偶M作 铰处 用处
斜 剪力图 水平线 直
线
为 零 处
有突
变(突 变值=
FP)
变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有
弯矩图 为斜 线下 极
直线 凸
值
有尖
角(向 下）
有 有突变 极 （突变 为零 值 值=M）
§2-1 梁的弯曲微分方程式及其通解
关的项： Px3 6EI
此处 x为自第二段开始算起的坐标
xxb
再在
Px3 6EI
加符号 ，表示此项在 b
时才起作用，于是得到梁的挠曲线为:
x b
v v 00 x 2 E 1M 0 I x 2 6 E 1N 0 I x 3bp (6 x E b )3I
（2-9）
同理：（2）在集中弯距作用下的梁。
m
x
b
x
l
y
图2.3
v v 00 x 2 E 1M 0 I x 2 6 E 1N 0 I x 3bm (2 （x E 2 -1b 0）)2 I
同理：（3）在任意分布载荷作用下的梁。
q(x)
x
b
x
l
y
图2.4
v v0 0 x 2 E 1M0 I x2 6 E 1N0 I x3 b x bq ( 6 x E ) I 3 d
EI v M EI v N EIv IV q
（2－5） （2－6） （2－7）
式（2－7）就是等截面直梁的弯曲微分方程式。
2.梁的弯曲微分方程式的通解，初参数法
式（2－7）是简单的常微分方程，逐次积分可 得到：
x
（a）
EIv qdx C1 N
0
xx
EIv qdxdx C1x C2 M
1.梁的弯曲微分方程式
梁的弯曲理论的基本内容在材料力学中已经阐
明，本节在此基础上作一些补充，以满足船舶结
构计算的需要。
现考虑一单跨直梁
q(x)
规定梁向下挠度为正， 顺时针方向转角为正
x
o
v
x dx
y
图2.1
从梁中取出微段 dx ，将其放大后如下图所示。 在图示坐标系下，规定左截面上的弯距逆时针方 向为正，右截面上的弯距顺时针方向为正；左截 面上剪力向下为正，右截面上剪力向上为正。载 荷向下为正。
（b）
00
v
1 EI
x 0
x 0
x 0
qdxdxdx
1 2EI
C1x2
1 EI
C2 x
C3
（c）
v
1 EI
x 0
x 0
x 0
x
qdxdxdxdx
0
1 6EI
C1x3
1 2EI
C2 x2
1 EI
C3x C4
（d）
式中 C1,C2,C3,C4是积分常数，式（d）就是微分 方程式（2－7）的通解
vv00x21 EM I0x26E 1 N I0x3E 10 xI0 x0 x0 xqdxdx（ed） xd
(1)等号右边的四项表示由初参数引起的挠度，最后 一项表示由分布载荷引起的挠度。(2)如果没有分布载荷 项，上式变为：
vv00x2 E 1M I0x 26 E 1N I 0x 3（2-8）
v AP,v P K
式中A是弹性支座的柔性系数；K是弹性支座的刚性系 数。A与K互为倒数。
梁两端所受到的支座反力（剪力）R都是向上的， 根据上一节剪力符号的规定，梁右端的剪力为正，左端 剪力为负。由剪力与挠度的关系式，代入上式得到：
EvIN
梁左端v截 面 AEvI 梁右端v截 A面 EvI
由此，得到自由支持在弹性支座上梁端的边界条 件为:
我们把梁的弯矩 M、剪力 N、横截面转角 及挠
度 v称为梁的弯曲要素。梁左端的弯曲要素称为初始弯
曲要素，或简称为初参数。当 x0 时，由式(a)、(b)、 (c)、 (d)可得出：
C 1 N 0 ,C 2 M 0 ,C 3 0 ,C 4 v 0 ,
可见，积分常数 C1,C2,C3,C4就是梁的初参数。 于是通解式（d）可用梁的初参数表示为：
几何特性：受外荷作用而发生弯曲的杆件叫 作梁，仅在梁的两端有支座的梁叫单跨梁。 悬臂梁是单跨梁的一种特殊情形。
船体骨架是复杂的空间杆件系统，组成骨架 的每一根杆件都可看作梁。以后在分析杆件 系统时，总是根据一定的法则把他们拆开为 一根一根杆件进行分析。每一根杆件都是单 跨梁。
学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章 是后面学习的基础，十分重要，要熟练掌握 ！
（2-11）
综上所述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方方程为：
m
P
q(x)
x
a
x
b
c l
y
图2.5
vv00x2E 1 IM0x2a
1 2E
mxa2
I
（2-12）
（2-61E 12）IN 式0为x3等截b6面E 1直I梁p的x挠b曲3线c通cx用q方6(程xE式I。)3以d上寻
求梁挠曲线通用方程式的方法称为初参数法。