(完整版)高中各种函数图像及其性质(精编版)
高中各种函数图像画法与函数性质
高中常见函数归纳一次函数二次函数单调区间,2ba⎛⎫-∞-⎪⎝⎭递减,2ba⎛⎫-+∞⎪⎝⎭递增,2ba⎛⎫-∞-⎪⎝⎭递增,2ba⎛⎫-+∞⎪⎝⎭递减反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线指数函数概念：一般地，函数x ay=（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
指数函数的图像与性质规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较对数函数1.对数函数的概念我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a ＞0，a≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log21x,y=log101x的草图图象a＞1 a＜1(1)x＞0比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；对号函数函数xbax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，当a b x =时，函数xbax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值a b 2，函数xbax y +=（a>0,b>0）在区间（0，a b ）上是减函数，在区间（a b ，+∞）上是增函数。
史上最全高中常用函数性质及图像ygd
二次函数一、二次函数的基本形式① 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠② 顶点式：()2y a x h k =-+（a 0≠）③ 两根式：()()()()120f x a x x x x a =--≠(只有与x 轴有交点的情况下才可有些式)()()20f x ax bx c a =++≠或()2y a x h k =-+（a 0≠）0a > 0a <图像定义域 (),-∞+∞对称轴 2bx a=-或x=h 顶点坐标极值24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或（h ，k ）ab ac 442-或k 值域24,4ac b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 当240b ac ∆=->时，二次函数的图像和x 轴有两个交点()11,0M x ，()22,0M x ，2b x a=-2b x a=-线段212124b ac M M x x a a∆-=-==． 当240b ac ∆=-=时，二次函数的图像和x 轴有两个重合的交点,02b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭． 特别地，当且仅当0b =时，二次函数()()20f x ax bx c a =++≠为偶函数．Y 轴，02=-ab二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．），（2ab2a b -方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．利用这个可以将一般式转换成顶点式，不用再推导了四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a （0a ≠），a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，当a 的绝对值趋近于0时，二次函数趋向于一次函数（开口越来越大），当a 的绝对值等于0时，二次变为一次，开口变为无限大，a 的越大（小），开口就越（小）大．越靠近（远离）y 轴二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．六、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．纵坐标相同就可以确定对称轴的横坐标。
高中阶段12种常见函数的图像及其性质.doc
(・8 ,0)50,+ 00)
(0,4-co)
必过点
(0上)
(0,c)
(k,l)
(乂-1)
(0,1)
周期性
不是周期函数
不是周期函数
不是周期函数
不是周期函数
单调性
在R上单增
(・OO,—3)为减2a
(—,+°°)为增
2a
(-00,0)为减
(0, + OO)为减
d〉1为增，
0<a<1为减
最值
在R不存在授大最小值
图像关于原点对-
称；
图像关于
□线y=x对称；
关于
直线y =-兀对称。
既不成屮心对称也不 成轴对称。
渐近线
无
无
直线兀=0或者 直线y=0.
直线y=0.
函数名
对数函数
幕函数
双钩函啓
含绝对值函数
解析式
y=log,(a>Olla工1)
Y=xa
y = 4x如
U>0)
y—cixh—\ci>\j）
X
中学研究方便通常 只了解方〉0的情况
正弦型函数
解析式
y=sin x
y-cosx
y=tan x
{x^k7T + — ,kG z}
2
y=Asin(69x+(p)(4〉0g〉0)
图像
y
3/r
y
i
! y|
1
:1
1
1丿
J；
/
0
-X
0
兀＜1?兀
2
o -i
Ay兀
lx
1
1
1
高中数学常用函数图像及性质
性质：恒过定点（0,1）；当 x = 0 时，y = 1 ；当a 1时，y 单调递增，当X ，（-：：,0）时，y （0,1）；当（0,：：） 时，* （1「）当0：：：a "时，y 单调递减，当x ・（-：：,0）时，y ・（1,：：）;当x ・（0「：） 时，y （1,0）.2.对数函数 y=logx （a 0且a = 1）对数运算法则： log a MN = log a M log a N log a M nlog a M (n R)log a N 二鯉N (换底公式)log b aMlog a log a M - log a NNalog a N 二N (对数恒等式)图像1.指数函数 图像：y 二 a x (a 0 且 a = 1)性质：恒过定点（1,0）;当 x =1 时，y =0 ； 当 a 1 时，y 单调递增，当 X ，（0,1）时，y （-：：,0）;当 x- （1, ：：）时,y （0, ：：）•当 0 ：：： a ：：： 1 时，y 单调递减，当 x • （0,1）时，y （0/:：）;当 x • （1,=） 时，* （」：,0）.指数函数和对数函数的关系：互为反函数3.初等函数⑴： y = x 2图像y =x 2 ：开口向上,x （-：：,0）时，y （0/::），函数单调递减；（0/::）， 时，y （0「：），函数单调递增，且是偶函数。
y = ~x 2:开口 向下，x （- ：： ,0）时，y ■ （-：：,0），函数单调递增；x （0/ ::）， a X (0 ：： a :: 1)a x(a ■ 0)时，厂（」：,0），函数单调递减。
性质：图像都是关于y轴对称⑵：y = x3图像性质：R,r R，函数是增函数，也是奇函数⑶：y = x 4图像性质：x R 且x = 0 , y R 且y=0 ;函数在x • （- ：：,0）内禾口x • （0, •：：）都是单调递减，且函数是奇函数。
高中各种函数图像和性质(精编版)
高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取任意实数b，0）两点的一条直线，我们称它为一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-k直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
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1.指数函数0(>=a a y x 且)1≠a图像：性质：恒过定点（0,1）；当0=x 时，1=y ；当1>a 时，y 单调递增，当)0,(−∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y .当10<<a 时，y 单调递减，当)0,(−∞∈x 时，),1(+∞∈y ；当),0(+∞∈x 时，)0,1(∈y .2.对数函数0(log >=a x y a 且)1≠a对数运算法则：N M MN a a a log log log += N M NMa a alog log log −= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式）aNN b b a log log log =（换底公式） 图像x)1>(=a y x性质：恒过定点（1,0）；当1=x 时，0=y ；当1>a 时，y 单调递增，当)1,0(∈x 时，)0,(−∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y .当10<<a 时，y 单调递减，当)1,0(∈x 时，),0(+∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，)0,(−∞∈y .指数函数和对数函数的关系：互为反函数3.初等函数⑴：2x y ±= 图像2x y = ：开口向上，)0,(−∞∈x 时，),0(+∞∈y ，函数单调递减；),0(+∞∈x ，时，),0(+∞∈y ，函数单调递增，且是偶函数。
2x y −= ：开口向下，)0,(−∞∈x 时，)0,(−∞∈y ，函数单调递增；),0(+∞∈x ，时，)0,(−∞∈y ，函数单调递减。
)0(>a x )10(<<a x性质：图像都是关于y 轴对称 ⑵：3x y = 图像性质：R y R x ∈∈,，函数是增函数，也是奇函数 ⑶：1−=x y 图像x性质：R x ∈且0≠x ，R y ∈且0≠y ；函数在)0,(−∞∈x 内和),0(+∞∈x 内都是单调递减，且函数是奇函数。
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一次 函数 k ，b 符号
图象
k kx bk 0
k 0
b0
b0
b0
b0
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
k 0
b0
b0
y
y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
b>0
b<0
b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
y
O
x
非奇非偶函数
y
O
x
y
O数
k<0
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
二次函数
f x ax2 bx ca 0
a0
a0
图像
定义域 对称轴 顶点坐标 值域
单调区间
x b 2a
x b 2a
,
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
4ac b2 4a
,
,
4ac 4a
b2
,
b 2a
递减
,
b 2a
递增
b 2a
,
递增
b 2a
,
递减
反比例函数
指数函数
对数函数
a＞1 图
象
a＜1
(1)x＞0
性 (2)当 x=1 时，y=0
质 (3)当 x＞1 时，y＞0
(3)当 x＞1 时，y＜0
(完整版)高中数学常见函数图像
高中数学常见函数图像1.2.对数函数：3.幂函数：定义形如αxy=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.图像性质过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．4.函数sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =； 当22xk ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴。
高中数学-函数图像详解
高中数学-函数图像详解基本初等函数的图像1. 一次函数性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减2. 二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac 决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3. 反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图< span>不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6. 幂函数y=x^a性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
< span>7. 对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
函数图形的变换注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！例如：画出函数y=ln|2-x|的图像通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？下面我们一起来看一看。
通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。
（完整版）高中各种函数图像及其性质（精编版）
（完整版）⾼中各种函数图像及其性质（精编版）⾼中各种函数图像及其性质⼀次函数（⼀）函数1、确定函数定义域的⽅法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有⼆次根式时，被开放⽅数⼤于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式⼦时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（⼆）⼀次函数1、⼀次函数的定义⼀般地，形如y kx b（k，b是常数，且k 0 ）的函数，叫做⼀次函数，其中x 是⾃变量。
当b 0时，⼀次函数y kx，⼜叫做正⽐例函数。
⑴⼀次函数的解析式的形式是y kx b，要判断⼀个函数是否是⼀次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当 b 0，k 0时，y kx仍是⼀次函数．⑶当 b 0，k 0时，它不是⼀次函数．⑷正⽐例函数是⼀次函数的特例，⼀次函数包括正⽐例函数．2、正⽐例函数及性质⼀般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正⽐例函数，其中k叫做⽐例系数.注：正⽐例函数⼀般形式y=kx （k 不为零）① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时，直线y=kx 经过三、⼀象限，从左向右上升，即随x 的增⼤y 也增⼤；当k<0 时，?直线y=kx经过⼆、四象限，从左向右下降，即随x增⼤y反⽽减⼩．（1）解析式：y=kx （k 是常数，k≠ 0）（2）必过点：（0，0）、（1，k）（3）⾛向：k>0时，图像经过⼀、三象限；k<0时，?图像经过⼆、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增⼤⽽增⼤；k<0，y 随x 增⼤⽽减⼩（5）倾斜度：|k| 越⼤，越接近y 轴；|k| 越⼩，越接近x 轴3、⼀次函数及性质⼀般地，形如y=kx ＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y叫做x的⼀次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正⽐例函数是⼀种特殊的⼀次函数.注：⼀次函数⼀般形式 y=kx+b （k 不为零）① k 不为零②x 指数为 1 ③ b 取任意实数⼀次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b ）和（- b ， 0）两点的⼀条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）1）解析式： y=kx+b （k 、 b 是常数， k 0）2）必过点：（0，b ）和（ - b ，0） k3）⾛向： k>0 ，图象经过第⼀、三象限； k<0，图象经过第⼆、四象限b>0，图象经过第⼀、⼆象限；b<0，图象经过第三、四象限k 0 直线经过第⼀、⼆、三象限k 0 直线经过第⼀、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第⼀、⼆、四象限k 0 直线经过第⼆、三、四象限b 0b 04）增减性： k>0 ， y 随 x 的增⼤⽽增⼤； k<0，y 随 x 增⼤⽽减⼩ . 5）倾斜度： |k| 越⼤，图象越接近于 y 轴； |k| 越⼩，图象越接近于 x 轴 .6）图像的平移：当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、⼀次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法根据⼏何知识：经过两点能画出⼀条直线，并且只能画出⼀条直线，即两点确定⼀条直线，所以画⼀次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. ⼀般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正⽐例函数与⼀次函数之间的关系⼀次函数y=kx ＋b的图象是⼀条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度⽽得到（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）6、正⽐例函数和⼀次函数及性质正⽐例函数⼀次函数概念⼀般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正⽐例函数，其中k 叫做⽐例系数⼀般地，形如y=kx＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的⼀次函数. 当b=0 时，是y=kx ，所以说正⽐例函数是⼀种特殊的⼀次函⾃变量范围X 为全体实数图象⼀条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（- b，0）k⾛向k>0 时，直线经过⼀、三象限；k<0时，直线经过⼆、四象限k>0，b>0, 直线经过第⼀、⼆、三象限k>0，b<0直线经过第⼀、三、四象限k<0，b>0 直线经过第⼀、⼆、四象限k<0，b<0 直线经过第⼆、三、四象限增减性k>0 ，y 随x 的增⼤⽽增⼤；（从左向右上升）k<0 ，y 随x 的增⼤⽽减⼩。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
a>1时，在定义域内单调递增；0<a<1时，在定义域内单 调递减。
06
值域为(0, +∞)。
对数函数图像及性质
对数函数定义：形如y=log_a(x)(a>0且a≠1)的函数称 为对数函数。
对数函数性质
对数函数图像：当a>1时，图像在x轴上方，且随着x的 增大，y值无限增大；当0<a<1时，图像在x轴上方， 且随着x的增大，y值无限减小。
正弦函数、余弦函数图像及性质
图像特点
正弦函数$y = sin x$和余弦函数$y = cos x$的图像都是周期性的波浪形曲线，振幅为1，周期为$2pi$。正弦函 数图像关于原点对称，余弦函数图像关于$y$轴对称。
性质
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有周期性、奇偶性和有界性等性质。其中，正弦函数是奇函数，余弦函数 是偶函数。
变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
运算规则
复合函数的运算遵循“由内到外”的原则，即先求出内层函数的值，再代入外层函数中 计算。
复合函数图像变换规律
平移变换
若f(x)的图像向左（右）平移a个单位得到g(x)的图像，则g(x)=f(x+a)（a>0向左，a<0向 右）。
奇偶性
设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x) ，则这个函数叫做偶函数。
函数周期性
周期函数的定义
对于函数y = f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值时，f（x + T） = f（x）都成立，那 么就把函数y = f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这 个函数的周期。
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高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b（k，b是常数，且k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当b 0时，一次函数y kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当 b 0，k 0时，y kx仍是一次函数．⑶当 b 0，k 0时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx （k 不为零）① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0 时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．（1）解析式：y=kx （k 是常数，k≠ 0）（2）必过点：（0，0）、（1，k）（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小（5）倾斜度：|k| 越大，越接近y 轴；|k| 越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b （k 不为零） ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实 数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b ）和（- b ， 0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移； 当 b<0 时，向下平移）1）解析式： y=kx+b （k 、 b 是常数， k 0）2） 必过点：（0，b ）和（ - b ，0） k3） 走向： k>0 ，图象经过第一、三象限； k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限k 0 直线经过第一、二、三象限k 0 直线经过第一、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第一、二、四象限k 0 直线经过第二、三、四象限b 0b 04）增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随 x 增大而减小 . 5）倾斜度： |k| 越大，图象越接近于 y 轴； |k| 越小，图象越接近于 x 轴 .6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、一次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（- b，0）k走向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k>0，b>0, 直线经过第一、二、三象限k>0，b<0 直线经过第一、三、四象限k<0，b>0 直线经过第一、二、四象限k<0，b<0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0 ，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0 ，y 随x 的增大而减小。
（从左向右下降）倾斜度|k| 越大，越接近y 轴；|k| 越小，越接近x 轴图像的平移b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b 个单位；b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.6、直线y k1x b1（k1 0 ）与y k2x b2（k2 0 ）的位置关系（1）两直线平行k1 k2且b1 b22）两直线相交k1 k23）两直线重合k1 k2且b1 b24）两直线垂直k1k217、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b 为常数，a≠ 0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0 时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0 或ax+b<0（a，b 为常数，a≠ 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0 时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 a y= xb b c的图象相同.（2）二元一次方程组a1x b1y c1的解可以看作是两个一次函数a1 y= x c1和a2 x b2 y c2b1b1a2 c2y= 2x 2的图象交点b2 b2二次函数、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如 y ax 2 bx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调： 和一元二次方程类似， 二次项系数 a 0，而b ，c 可 以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 y ax 2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．单调区间二、二次函数的基本形式① 一般式： f x ax 2② 顶点式： f x a x③ 零点式： f x a xf x ax 2 bx c a图像定义域 对称轴 顶点坐标值域bx c a 0 2m n a 0x 1 x x 2 a 0a 02a 4a4ac b 2 4a4ac b 2 4ab2a递减 2b a递增2a递增b 2a递减x2ab2 4ac 0时，二次函数的图像和x轴有两个交点M1 x1, 0 ，M 2 x2 ,0 ，线段M 1M 2 x1 x2b2 4ac 0时，二次函数的图像和x 轴有两个重合的交点M2b a,0．特别地，当且仅当b 0 时，二次函数ax2 bx c a 0为偶函数．1. 二次函数基本形式：y ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax2 c 的性质：3. y a x h 的性质：a0 向下 h ，0X=hx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．24. y a x h k 的性 质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质a0向上h ，kX=hx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ． a0向下 h ，kX=hx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一 ：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；⑵ 保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“ 左加右减，上加下减 ”．方法二⑴ y ax 2 bx c 沿 y 轴平移 : 向上(下)平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成22y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx c m )y=ax 2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位⑵ y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为顶点式 y a （x h ）2 k ，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、 与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） . 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x b，顶点坐标为 2ay a(x m)2b(x m) c (或 y a(x m)2b(x m) c )四、二次函数 y22a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h k 与 yax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即ax2a4ac b 24a ，其中 hb 4ac b 2 ，k 2a 4a五、二次函数 y ax 2bx c 图象的画法b ，4ac b 2 2a 4a当 x b 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 2a2b a 时， y 随x 的增大而增大； 当x 2b a时， y 有最小值 24ac b4a2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b，顶点坐标为 2ab ，4ac b 2 2a 4ax b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2a2b a 时， y 随x 的增大而减小；当 x 2b a 时，y 有最大值 24ac b4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y2 ax bx c （ a ，b ，c 为常数， a 0）；2.顶点式： y a(x h ）2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3. 两根式： ya(x x 1）（x x 2）（a 0， x 1 ， x 2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a 二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越 大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越 大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．b在 y 轴左边则 ab 0，在 y 轴的右侧 2a则 ab 0 ，概括的说就是“左同右异”y 轴交点的纵坐标为正； y 轴交点的纵坐标为 0 ； y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．当b 0时，b0 ，即抛物线的对称轴在 2ay 轴左侧；当b 0时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 时， b0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， b0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b 0时， b2a0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b 0 时， b 2a0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 0 的前提下，⑵ab 的符号的判定：对称轴 xy 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛总之，只要a，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称y ax2bx c 关于x 轴对称后，得到的解析式是ax2bx c；2k；xh2. 关于y 轴对称y ax2bx c 关于y轴对称后，得到的解析式是ax2bx c ；3.4. 关于原点对称y ax2bx关于顶点对称2y ax bxh2k 关于y 轴对称后，得到的解析式是c关于原点对称后，得到的解析式是k 关于原点对称后，得到的解析式是即：抛物线绕顶点旋转180°）c关于顶点对称后，得到的解析式是k 关于顶点对称后，得到的解析式是axax22axbxxhbxxhk；c；k；b2；2a；k．5. 关于点m ，n 对称22y a x h k 关于点m ，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0 是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2 ），其中的x1，x2 是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2x1b2 4ac . a.②当0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当 a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2. 抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中 a ，b ，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或 已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看，22元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的解就是二次函数 f x ax 2 bx c a 0的图像上，与 x 轴的交点的横坐标．2元二次不等式 ax 2 bx c 0 a 0 的解集就是二次函数fxax 2 bx c a0 的图像上， 位于 x 轴下方的点和与 x 轴的交点的横坐标的集合．fxfxfx元二次不等式 ax 2 ax 2 bx c a元二次不等式 ax 2 ax 2 bx c a元二次不等式 ax 2 ax 2 bx c abx c 0 a0 的解集就是二次函数0 的图像上，位于 bx c 0 ax 轴上方的点的横坐标的集合；0 的解集就是二次函数0 的图像上，位于 bx c 0 ax 轴下方的点的横坐标的集合；0 的解集就是二次函数0 的图像上， 位于 x 轴上方的点和与 x 轴的交点的横坐标的集合；反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。