描点法
函数图像画法
考点名称：函数图象∙定义：点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。
∙函数图像的画法：（1）描点法：一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图（一）平移变化：Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．（二）对称变换：Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．函数图像的判断：这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。
常用结论：（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a 成轴对称图形；（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。
【教案】描点定位法教学中需要注意哪些细节？
【教案】描点定位法教学中需要注意哪些细节？章节一：描点定位法的基本概念介绍描点定位法的定义和作用解释描点定位法在教学中的应用强调描点定位法的重要性教学步骤：1. 引入描点定位法的概念，让学生了解其基本含义2. 解释描点定位法在教学中的重要性3. 举例说明描点定位法的应用场景4. 引导学生思考为什么需要使用描点定位法章节二：描点定位法的具体操作步骤详细介绍描点定位法的操作步骤强调每个步骤的重要性和注意事项教学步骤：1. 讲解描点定位法的具体操作步骤2. 强调每一步骤的重要性和可能出现的注意事项3. 通过实例演示描点定位法的操作过程4. 让学生进行实践操作，加深理解章节三：描点定位法在不同学科中的应用介绍描点定位法在不同学科中的应用案例强调学科间的联系和应用场景教学步骤：1. 讲解描点定位法在不同学科中的应用案例2. 引导学生思考学科间的联系和应用场景3. 举例说明描点定位法在不同学科中的具体操作4. 让学生进行实践操作，加深理解章节四：描点定位法的优缺点分析分析描点定位法的优点和缺点强调如何发挥描点定位法的优势，避免其局限性教学步骤：1. 分析描点定位法的优点和缺点2. 强调如何发挥描点定位法的优势，避免其局限性3. 引导学生思考如何根据实际情况选择合适的定位方法4. 让学生进行实践操作，加深理解章节五：描点定位法教学中的互动与反馈强调在教学中进行互动与反馈的重要性介绍有效的互动与反馈方法教学步骤：1. 讲解互动与反馈在描点定位法教学中的重要性2. 介绍有效的互动与反馈方法3. 通过实例演示互动与反馈的具体操作4. 引导学生进行互动与反馈，提高教学效果章节六：描点定位法教学的实践案例分析分享具体的描点定位法教学实践案例分析案例中的成功经验和存在的问题教学步骤：1. 分享描点定位法教学的成功案例2. 引导学生分析案例中的成功经验和存在的问题3. 讨论如何改进教学方法，提高教学效果4. 让学生结合案例进行思考，提出自己的见解章节七：描点定位法教学的评估与反思介绍描点定位法教学的评估方法和反思过程强调持续改进和提高教学质量的重要性教学步骤：1. 介绍描点定位法教学的评估方法和反思过程2. 强调持续改进和提高教学质量的重要性3. 引导学生进行教学评估和反思4. 让学生结合实际情况提出改进教学的建议章节八：描点定位法教学的资源与工具介绍描点定位法教学所需的资源和工具强调合理利用资源和工具的重要性教学步骤：1. 介绍描点定位法教学所需的资源和工具2. 强调合理利用资源和工具的重要性3. 演示如何使用这些资源和工具进行教学4. 让学生尝试使用资源和工具，进行实践操作章节九：描点定位法教学在多元智能理论中的应用介绍多元智能理论的基本概念分析描点定位法教学在多元智能理论中的应用教学步骤：1. 介绍多元智能理论的基本概念2. 分析描点定位法教学在多元智能理论中的应用3. 引导学生思考如何利用描点定位法教学发展学生的多元智能4. 让学生结合自己的实际情况，提出发展多元智能的建议展望描点定位法教学的未来发展趋势教学步骤：2. 强调在实际教学中灵活运用描点定位法的重要性3. 展望描点定位法教学的未来发展趋势4. 引导学生思考如何在未来的教学中更好地应用描点定位法重点和难点解析章节一：理解描点定位法的定义和作用是教学中的重点，因为这是后续教学的基础。
函数图像的作法-含答案
【知识要点】一、函数图像的作法一般有三种：描点法、图像变换法和性质分析法.二、描点法作函数的图像的一般步骤是：列表→描点→连线 ，描点法一般是在知道函数的图像和性质的情况下使用，其使用对象一般是我们熟悉的初等函数，如2()23 1.f x x x =-+三、图像的变换法就是利用图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等作出函数的图像，其解题对象一般是复合函数，如12()log ||f x x =.1、平移变换（左加右减，上加下减）①把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ②把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像； ③把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ④把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像. 2、伸缩变换①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的ω倍得1()y f x ω= (1w >) ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的ω倍得1()y f x ω= (0ω<<1)③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= ( ω>1) ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1) 3、对称变换①函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称； 函数()y f x =和函数1()y fx -=的图像关于直线x y =对称；简单地记为：x 轴对称y 要变，y 轴对称x 要变，原点对称都要变,y=x 对称交换变.②对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称 轴是2ba x +=. ③()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =- ；()y f x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x f a x b ++-=或()(2)2f x f a x b +-=； ()y f x =与()y g x =的图像关于直线x a =对称⇔ ()(2)f x g a x =-或 ()()f a x g a x +=-； ()y f x =与()y g x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=或 ()(2)2f x g a x b +-=.4、翻折变换①把函数()y f x =图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；②保留y 轴右边的图像，擦去y 轴左边的图像，再把右边的图像对称翻折到y 轴左边，得到函数()y f x =的图像.四、性质分析法一般指通过对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性的综合研究，再画出函数的图像.性质分析法一般是对那些较复杂的函数使用，如223ln 4y x x =--.学科#网五、作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像. 【方法讲评】【例1】用五点法作出函数3sin(2)6y x =+在一个周期的图像.【解析】列表得【点评】对于我们常见的初等函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.【反馈检测1】已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩(1)在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；,(2)写出()f x 的单调递增区间．【例2】 作出下列函数的图象 (1)1||1y x =-； (2)|2|(1)y x x =-+； (3)2|log 1|y x =-； (4)1|2|x y -=【解析】(1)先作函数1y x =的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数11y x =-的图象(如图(a)所示)．再擦掉y 轴左边图像，保留y 轴右边图像，并把y 轴右边图像对称翻折到y 轴左边, 得1||1y x =-的图象(如图(b)所示)．(2)函数式可化为2219()(2)2419()(2)24x x y x x ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩其图象如图所示．【点评】（1）要熟练地画出函数的图像，必须熟练掌握函数的图像变换的知识（见前面的基础知识），能灵活地利用平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换画出函数的图像.（2）作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像.【反馈检测2】关于x 的方程2|43|x x a x -+-=恰有三个不相等的实数根，求实数a 的值.【例3】已知函数2()8f x x x =-+,()6ln g x x m =+，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.∵当0x +→时，()x φ→-∞，当x +∞→时，()x φ→+∞ 函数()()()x g x f x φ=-= 286ln x x x m -++的草图如下图所示，∴要使()0x φ=有三个不同的正实数根，函数的草图必须如图1所示，所以必须且只须⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7156ln3m <<-.【点评】对于较复杂的函数，一般先求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等，再根据前面函数的性质画出函数的图像.【反馈检测3 】 设函数)(x f =2ln x ax b x ++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2． （1）求a b 、的值；（2）证明：()22f x x ≤-．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第08讲：函数图像作法参考答案【反馈检测1答案】（1）见详细解析；（2）[1,0].[2,5]-． 【反馈检测1详细解析】（1）函数的图像如下图所示：(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[1,0].[2,5]-． 【反馈检测2答案】34a =-【反馈检测3答案】（1）1,3a b =-=；（2）证明见解析.。
§99 函数图象总述及描点法作图
y=cosx的图象
y=tanx的图象
世上本无路 走的人多了 便有了路 三角运算公式关联图
半角
作用和差 化积升幂来自积化 和差降幂 万能 平方 关系 倒数 关系 商数 关系
一角二名三结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
倍角
同角
基本 关系
辅助角
异角
加法 公式
诱导
三角式的定义
2
（两弦式） （余弦式） （正弦式）
1 - 2sin □ 2 tan□ tan 2□ 2 1 - tan □
2
2.作用：
变角变名变结构
三倍角公式
sin 3□ 3 sin □ - 4sin □
3
cos 3□ 4 cos □ - 3cos□
3
cos 2□ cos □ - sin □
2
（降幂公式）
注1.余弦倍角1变6 同+异-三个2 注2.降幂公式两端同时开方，即得半角公式
辅助角公式
1. a sin □ bcos□ a 2 b 2 sin( □ ) b （其中 tan ，Φ 与点(a,b)同象限） a 注1.使用前提是同角 少式多角成和谐 注2.a，b的确定方法： ① asin□与bcos□之间是“+”连接 ② a,b分别是sin□与cos□的系数 (a,b) 注3.辅助角φ 的确定方法： φ 方法甚多凭爱好 数形结合两限制 O 点定终边辅助角 正余系数为坐标 2. a sin □ bcos□ a 2 b 2 cos(□ ) 注.与正相反是余弦 纵横相反+变-
y=secx的图象
y=cscx的图象
练习1.画出函数y =sinx,y =cosx及y =tanx的草图 先画图象后画轴 头为负比尾加T
描点法画函数图像(二)
数学
【自学探究】 例 1：一辆汽车的油箱中现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y （单位： L） 随行驶里程 x （单位： km） 的增加而减小， 平均耗油量为 0.1 L / km。 （1） 写出表示 y 与 x 的函数关系式，这样的式子叫做函数解析式。 （2） 指出自变量 x 的取值范围； （3） 汽车行驶 200km 时，邮箱中还有多少汽油？ 解：①列表 x … … y … … ②描点：③连线
【练习】 拖拉机开始工作时，邮箱中有油 30L，每小时耗油 5L。 （1） 写出邮箱中的余油量 Q（L）与工作时间 t（h）之间的函数关系式； （2） 求出自变量 t 的取值范围； （3） 画出函数图象； （4） 根据图像回答拖拉机工作 2 小时后，邮箱余油是多少？若余油 10L，拖 拉机工作了几小时？
鸡西市第十九中学初三数学组
鸡西市第十九中学学案
班级 姓名
学科 时间 学习 目标 重点 难点
课题 描点法作函数图像(二) 课型 新课 八年级上 2013 年 月 日 人教版 1.了解函数的三种表示方法，初步领会他们之间的区别与联系 2.会准确地画出函数图象. 了解函数的三种表示方法，初步领会他们之间的区别与联系 会准确地画出函数图象.
x 1 ，则自变量 x 的取值范围是 x3
.
. ） D.(1,1) ） D. y 3 x 3 .
5.下列各点在函数 y 3x 1 的图象上的是（ A.(0,1) B.(2,5)
C.(-3,7)
6.下列函数中与 y x 表示相同的函数关系式的是（ A. y x B. y
x2 x
C. y
x
2
7.把等式 3x y 1 写成 y 是 x 的函数的形式：
【教案】描点定位法教学中需要注意哪些细节？
一、教案概述【教案】描点定位法教学中需要注意哪些细节？二、教学目标1. 让学生了解描点定位法的概念及其在教学中的应用。
2. 培养学生运用描点定位法进行教学的能力。
3. 提高学生对描点定位法教学中细节的重视。
三、教学内容1. 描点定位法的定义与作用2. 描点定位法的基本步骤3. 描点定位法在教学中的应用案例4. 教学中需要注意的细节四、教学过程1. 引入：通过一个简单的教学案例，让学生初步了解描点定位法。
2. 讲解：详细讲解描点定位法的定义、作用及基本步骤。
3. 示范：以一个实际的教学案例为例，展示如何运用描点定位法。
4. 练习：让学生分组练习，运用描点定位法进行教学设计。
5. 讨论：引导学生关注描点定位法教学中的细节，分享彼此的经验和心得。
6. 总结：强调教学中需要注意的细节，并提出改进措施。
五、教学评价1. 学生能准确描述描点定位法的概念及其作用。
2. 学生能熟练运用描点定位法进行教学设计。
3. 学生能关注描点定位法教学中的细节，并提出改进措施。
六、教学资源1. 教学PPT2. 教学案例3. 讨论素材七、教学建议1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际操作中掌握描点定位法。
2. 鼓励学生积极参与讨论，提高他们对教学细节的重视。
3. 教师应熟练掌握描点定位法，以便在教学中进行有效指导。
八、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
九、课后作业2. 布置一个课后作业，让学生运用描点定位法进行教学设计。
十、课程进度安排1. 第1-2课时：讲解描点定位法的定义、作用及基本步骤。
2. 第3-4课时：示范如何运用描点定位法进行教学。
3. 第5-6课时：学生分组练习，运用描点定位法进行教学设计。
4. 第7-8课时：讨论教学中需要注意的细节，分享经验与心得。
5. 第9-10课时：总结教学细节，提出改进措施。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的教学案例，让学生了解描点定位法在实际教学中的应用。
科学史中的描点作图法
科学史中的描点作图法作者：宋维叶来源：《中学生数理化·高一版》2016年第03期编者的话：在学习的过程中，你一定会遇到许多问题，也需要解决这些问题，而在解决问题的过程中，如果能深入一些、细致一些，就会有新的发现，把你的发现写出来就是一篇论文。
希望同学们在学习过程中要善于发现和总结，同时也希望同学们把论文寄给我们。
不管是物理学、化学还是生物科学，现代实验科学的研究都离不开数据，研究一个变量随其他变量变化的规律是现代科学的重要目标和方法。
在18世纪之前，科学家研究变量之间的关系时主要利用数据表的方法，也就是利用一张二维的数据表格列出当自变量取一系列不连续的数值时对应的因变量的数值，通过观察和计算这些数值可以得出因变量随自变量变化的规律。
18世纪之后，科学家们逐渐采用描点作图法来形象地发现、研究和展示实验中变量之间的关系。
虽然科学家们现在已经发明了完善的利用数学运算得出因变量随自变量变化的函数关系的现代数理统计方法，但是因为描点作图法更有利于发现数据变化的趋势，有利于判断具体的一组数据对这一趋势的偏离（即偶然误差过大的数据），因而在实验的数据处理中描点作图法仍然得到广泛运用。
翻开高中物理教科书我们会发现，大多数的实验都需要或者可以利用描点作图法进行数据处理。
比如描绘小电珠的伏安特性曲线的实验就是利用电流表测出流过小电珠的电流，用电压表测出小电珠两端的电压，测出多组值。
然后在坐标纸上以上为横轴，以下为纵轴，建立坐标系，再在坐标系中描出各组数据所对应的点。
最后将描出的点用平滑的曲线连接起来，就得到了小电珠的伏安特性曲线。
其他可以使用描点作图法的实验还有探究弹力和弹簧伸长量的关系、研究匀变速直线运动、验证牛顿运动定律、探究动能定理、验证机械能守恒定律、测定金属的电阻率、测定电源的电动势和内阻以及传感器的简单应用等。
使用描点作图法需要注意的是，在进行描点时要尽量使图线平滑，而且尽量使各个点落到描出的这条平滑的图线上。
立体图形推理描点法图解-国家公务员考试网(学宝教育)
国家公务员考试行测图形推理模块有一类立体图形推理题--正四面体立体图形推理，通常用描点法秒杀这类立体图形推理更为快速简便。
下面针对此类行测图形推理答题技巧进行图示方式的讲解。
【立体图形推理真题】左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由它折叠而成？请把它找出来。
【错误解析】未见过正四面体的立体图形推理题，无从下手，没有解题思路。
凭感觉B项好像正确，实际上错误。
对于空间立体图形题，直接放弃，想象不出。
【错解门诊】出现上述这种情况，是因为对此类型题目没有思路，随便蒙了一个。
其实这类题目，只要掌握一种简单的方法，就可以秒杀。
【正确解析】A。
我们可以将各选项图形可见的两个面展开在一个平面中，与左边给定图形进行对比，快速推出答案。
经展开对比可知，B项右侧面上的线段应与公共边相交，排除。
C项右侧面内应该是小三角形，排除。
D项左侧面内应该是小三角形，排除。
A项正确。
【指点迷津】立体图形推理题主要考查考生的空间想象力，对于空间想象能力差的考生来讲，这无疑是痛苦的。
下面讲解一下秒杀正四面体立体图形推理的方法，即描点法与公共边法相结合的方法。
描点法就是根据已知点确定由这个点出发的线条的情况，从而确定“纸盒”的形式。
通过描点，可以直观发现立体图形展开图中相邻面的公共点与公共边。
公共边法即在正四面体的立体图形视图中，两个面之间存在一条公共边。
只需要判断这条公共边与展开图形中的边是否对应，即可判断该立体图形的正误。
在运用公共边法之前，我们首先需要运用描点法，对正四面体进行简单描点处理。
描点技巧：（1）只使用A～D四个字母，且同一个小三角形中三个字母不同；（2）若一条线上有三个点，相邻两点字母不同，首尾两点字母相同。
题干图形描点如下：从图中可以轻松看出，A项跟题干完全一致。
B项，右侧面上的线段应与公共边相交，而非平行。
C项，首先确定公共边应为AC或者CA，以左侧面为参照，应为CA，但是这时无法确定左侧的最左边的点，因此错误。
一次函数的图象(描点)
一次函数的表示方法
01
02
03
点斜式
通过已知的点$(x_1, y_1)$和斜率$k$，可以表 示为$y-y_1=k(x-x_1)$。
两点式
通过已知的两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，可 以表示为$frac{y-y_1}{xx_1}=frac{y_2-y_1}{x_2x_1}$。
一般式
一次函数的标准形式为 $y=kx+b$，其中$k$和 $b$是常数，且$k neq 0$。
02 一次函数的图象
一次函数图象的形状
线性形状
一次函数的图像是一条直线，这是因为一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k 和b为常数，k不为0。
斜率与截距
一次函数的图像有确定的斜率和截距，斜率是k，截距是b。斜率决定了图像的 倾斜程度，截距决定了图像与y轴的交点位置。
实际问题举例
一次函数图象在经济学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在经济学中， 消费和收入之间的关系可以用一次函数来表示，通过分析这种关系可以了解消费者的消
费习惯和预测未来的消费趋势。
应用价值
一次函数图象能够直观地表示两个变量之间的线性关系，帮助人们更好地理解和分析实 际问题。
对未来研究的展望
一次函数图象可以用来描述物体在恒力作用下的匀速直线运 动，如速度与时间的关系。
弹簧问题
弹簧的伸长量与作用力之间的关系也可以用一次函数来表示 ，通过图象可以直观地分析弹簧的弹力与形变量之间的关系 。
一次函数图象在数学问题中的应用
线性规划
一次函数图象可以用来表示线性规划 问题中的约束条件和目标函数，通过 图象可以直观地分析最优解。
一次函数的图象(描点)
函数描点法作图
1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换()11101a a a ay f x ><<−−−−−−−−−−−−−→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①＝y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 【知识拓展】1．函数对称的重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．。
第27招 三角函数图象的作法
【知识要点】一、三角函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===正弦函数余弦函数正切函数的图像二、sin()y A wx h φ=++（或cos()y A wx h φ=++）图象的作法有两种：（1）描点法（五点法），先列表，令0x ωϕ+=,2π, π, 32π,2π，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到sin()y A wx h φ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数sin()y A wx h φ=++的图像.（2）图像变换法：一般先把函数sin y x =的图像通过左右平移得到函数sin()y x φ=+的图像，再把函数sin()y x φ=+的图像通过横坐标的伸缩变换得到函数sin()y wx φ=+，再把函数sin()y wx φ=+通过纵坐标的伸缩变换得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像，最后把函数sin()y A x ωϕ=+的图像通过上下平移得到函数sin()y A wx h φ=++的图像.三、三角函数图像的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 伸缩变换：①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w 1倍得()y f x ω=(01)ω<< ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()y f x ω=(1)ω>③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ϖ倍得()y f x ω=(1)ω> ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ϖ倍得()y f x ω=(01)ω<<四、用“五点法”作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式.五、三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.但是三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.这样容易理解，计算也简单.六、三角函数图像的作法常用的有两种：五点法和图像变换法. 【方法讲评】【例1】用五点法作出函数3sin(2)6y x π=+在一个周期的图像.【点评】（1）对于我们常见的初等函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.（2）利用五点法作sin()y A wx h φ=++的图像，列表时，第一行不是x 的值，是wx φ+的值，描点时，是以,)x y （为点的坐标描点，这一点要注意.【反馈检测1】设函数()cos 2f x x x x =+． （1）在给出的直角坐标系中画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象；（2）根据画出的图象写出函数()y f x =在[0,]π上的单调区间和最值．【例2】已知函数22()sin cos 2cos f x x x x x =++,x R ∈.（I ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2y x =（x R ∈)的图象经过怎样的变换得到？（II ）方法一： 先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.方法二：先把sin 2y x =图象上所有点向上平移32个单位长度得到函数3sin 22y x =+的图像，再把函数3sin 22y x =+的图像向左平移12π个单位长度得到3sin(2)62y x π=++的图象.【点评】（1）三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.（2）三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.如：由函数sin y x =得到函数12sin()123y x π=++的图像，一般先把函数sin y x =的图像向左平移3π个单位得到函数sin()3y x π=+的图像，再把函数sin()3y x π=+的图像的横坐标伸长到原来的2倍得到函数1sin()23y x π=+的图像.也可以这样，先把函数sin y x =的图像的横坐标伸长到原来的2倍得到函数1sin()2y x =的图像，再把函数1sin()2y x =的图像向左平移23π个单位得到函数1sin()23y x π=+.显然后面的一种不容易理解，并且要计算，不像第一种容易理解，且不需要计算，所以对于三角函数一般先左右，再进行其它变换.【例3】 怎样将函数3sin(2)3y x π=-的图像变换得到函数3sin 2y x =的图像？【解析】方法一：（逆向思维）一般情况下，我们是把一个简单的函数通过图像变换得到复杂函数的图像，但是此题是把复杂的函数通过图像变换得到简单的函数的图像，所以我们可以先考虑由函数3sin 2y x =的图像得到函数3sin(2)3y x π=-的图像，因为3sin(2)3sin 2(36y x x ππ=-=-），所以 要把函数3sin 2y x =的图像向右平移6π个单位.所以将函数3sin(2)3y x π=-的图像向左平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图像.【点评】（1）进行函数图像变换，首先要确定好起点函数和终点函数，弄清变换的方向.（2）向左（右）进行平移多少，关键是看x 发生了什么变化，所以要把终点函数的结构变成和起点函数的结构变得对称，才能知道x 发生了什么样的变化.【反馈检测2】已知函数()sin()cos()(0,0)f x x x πωφωφφω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第27讲：三角函数图像的作法参考答案【反馈检测1答案】（1）见解析；（2）函数的单调增区间为5[0,],[,]88πππ，单调减区间为5[,]88ππ.最大值为1，最小值为-1.列表得描点得图像(2)函数的单调增区间为5[0,],[,]88πππ，单调减区间为5[,]88ππ.最大值为1，最小值为-1.【反馈检测2答案】（1；（2）()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．学科.网（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到π46x f ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象．因此()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．。
用描点法画反比例函数的图象
1、反比例函数的定义2、用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．3、反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．4、反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．5、比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变6、反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7、用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．8、反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点8、根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．9、利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．10、应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．11、数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法。
第8讲 函数图像的作法
第8讲 函数图像的做法【知识要点】一、函数图像的作法一般有三种：描点法、图像变换法和性质分析法.二、描点法作函数的图像的一般步骤是：列表→描点→连线 ，描点法一般是在知道函数的图像和性质的情况下使用，其使用对象一般是我们熟悉的初等函数，如2()23 1.f x x x =-+三、图像的变换法就是利用图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等作出函数的图像，其解题对象一般是复合函数，如12()log ||f x x =.1、平移变换（左加右减，上加下减）① 把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像；② 把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像；③ 把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像；④ 把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像.2、伸缩变换① 把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的ω倍得1()y f x ω= (1w >)② 把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的ω倍得1()y f x ω=(0ω<<1)③ 把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= ( ω>1)④ 把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1)3、对称变换① 函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称；函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称；函数()y f x =和函数1()y f x -=的图像关于直线x y =对称；② 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=. ③()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =- ；()y f x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x f a x b ++-=或()(2)2f x f a x b +-=；()y f x =与()y g x =的图像关于直线x a =对称⇔ ()(2)f x g a x =-或 ()()f a x g a x +=-；()y f x =与()y g x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=或()(2)2f x g a x b +-=.4、翻折变换① 把函数()y f x =图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；② 保留y 轴右边的图像，擦去y 轴左边的图像，再把右边的图像对称翻折到y 轴左边，得到函数()y f x =的图像.四、性质分析法一般指通过对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性的综合研究，再画出函数的图像.性质分析法一般是对那些较复杂的函数使用，如223ln 4y x x =--.五、作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后作函数的图像.【方法讲评】【例1】用五点法作出函数3sin(2)6y x π=+在一个周期的图像.【反馈检测1】已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩【例2】 作出下列函数的图象(1)1||1y x =-； (2)|2|(1)y x x =-+； (3)2|log 1|y x =-； (4)1|2|x y -=【反馈检测2】关于x 的方程2|43|x x a x -+-=恰有三个不相等的实数根，求实数a 的值.【例3】已知函数2()8f x x x =-+,()6ln g x x m =+，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.【反馈检测3 】设函数)(x f =2ln x ax b x ++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2．（1）求a b 、的值；（2）证明：()22f x x ≤-．。
微观经济学描点法
微观经济学描点法
描点法是函数作图的一种最基本方式。
1、明确函数表达式。
2、列表，取自变量与因变量的对应值。
3、描点，根据列表值对应至坐标系内。
4、连线，用平滑的曲线将点连起来。
数学上最原始的作图法就是根据描点法来绘制图形。
在西方微观经济学中也是如此。
首先应用数学上的极限法即无限趋近的方法来进行分析。
当可变投入即劳动的增量越来越少时，HI或EF就越来越接近TP曲线上S 点的导数，也即等干该点切线的斜率。
因此，我们可以通过计算总产量曲线上任一点切线的斜率来测定该点的可变投入的边际产量。
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点 P 的运动路线？ 圆外一点到圆的最近距离 描点
作用1：就是创造了几何直观，实现了从特殊到 一般的化归猜想； 作用2：为演绎推理的证明做好了较好的铺垫；
谢谢！ 有不当之处，请老师们批评指正！
X
X
描点——猜想
五、描点法在中考的应用
2014年山东淄博第24题
如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角 坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有 无数 个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的 坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
B
F
C
学生分析难点： （1）如何建立得出的几个条件和可能的这三 个思路（数学模型）的联系呢？ （2）动点P的运动路线究竟是什么图形？
探索中…………
尝试取几个特殊位置，描几个特殊的点
A
D E
P
B
F
C
A
P
D E
B
F
C
A
D E
P
B
F
C
观察点P的分布特征，猜想点P的运动路线 时什么图形？
A
O
D E p
B
F
C
A
O 1
1
D E
p H
2
B
F
C
三、方法归纳：描点的作用？
几何直观 ？ 数学问题 数学模型 演绎推理 解决问题
点 P 的运动路线？ 圆外一点到圆的最近距离 描点
作用1：就是创造了几何直观，实现了从特殊到 一般的化归猜想； 作用2：为演绎推理的证明做好了较好的铺垫；
四、描点法的课本来源
y y y y=x2 y=x X y= 1 x
A D p E
B
F
C
通过审题，学生能够想到的有以下几点： 1、这是动点问题中的求最小值类型； 2、能够观察图形猜想并证明⊿ADE≌⊿DFC; 3、能证明DF⊥AE,即∠APD=90°； 通过进一步分析能够考虑的求解思路（数学模型）有： 1、两点之间线段最短； 2、函数求最值； 3、转化变量；
A
D p E
由描点引发的猜想
马尚一中
崔斌
一、提出问题：
？
数学问题 数学模型
演绎推理 解决问题
二、典型例题：
如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是边长CD和 BC上的动点，DE=CF.线段AE和DF相交于点P，如果正 方形的边长为2，求点C到点P最近的距离。
A
D p E
B
F
CHale Waihona Puke 例题：如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是边长CD和BC 上的动点，并且DE=CF.线段AE和DF相交于点P，如果正方形的边 长为2，求点C到点P最短的距离。
p
A
B
D
C
2014年周村一模：第16题 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－ 3，1）， 点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形 ABC．当点C（x，y）在第一象限内时，y与x的函数 关系是 ( )
y y y
A
1
A
1
A
1
- 3
X
- 3
X - 3
X
六、解决问题——描点法——猜想——方向