土力学-第四章地基的沉降计算3

z k p0
II. 荷载不是瞬时施加。 因此，不同的附加应力条件下，其固结度的公式也不同。
那么，怎么求解其他应力条件下的固结度呢？
叠加原理
U F U a Fa U b Fb
任意随深度而变的应力图形可以分解为若干个图形，则 总应力图形的固结度乘上其总应力面积，等于各分力应 力图形的固结度乘上各应力面积之和。
1 U (t ) 1 2 Hp

udz
0
并代入u的表达式
U (t ) 1 2
1 exp( M 2Tv ) U (Tv ) （U与Tv为一一对应关系） 2 m0 M
近似式
U (Tv ) 1
8

exp( 2
2
4
Tv ) (U (t ) 30%)
U(t)是Tv的单值 函数，Tv可反映 固结的程度
（2）有效应力逐渐增大，最终与总应力相等。 （3）变形随固结过程逐渐增大，最终达到稳定。
11
2、Terzaghi一维渗透固结数学模型
基本假定： 1. 土层是均质且完全饱和
2. 3. 4. 5. 6. 土颗粒与水不可压缩 水的渗出和土层压缩只沿竖向发生 渗流符合达西定律且渗透系数k保持不变 压缩系数av是常数 荷载均布,瞬时施加，总应力不随时间变化
de av du
dV
故孔隙体积变化与孔隙水压的关系为
1 ∂e dz 1 e ∂t
av u u dV dz mv dz 1 e t t
16
（3）由dQ=dV 建立固结方程
k 2u dQ dz 2 w z
由此得到固结方程
u dV mv dz t
∂ 2u ∂ u Cv 2 ∂z ∂t
06-12 11.5 10.5 13.7 12.5 11.1 13.8 12.4 11.0 13.6 13.3 9.5 15.0 12.5
6
二、太沙基一维渗透固结理论
渗透固结理论是针对土这种多孔多相松散介质,建立起 来的反映土体变形过程的基本理论。土力学的创始人 Terzaghi教授于20世纪20年代提出饱和土的一维渗透 固结理论。 物理模型 － 太沙基一维渗透固结模型
• 其一般解的形式为：
u( z, t ) (C1 cos Az C2 sin Az)e
A2Cvt
• 只要给出定解条件，求解渗透固结方程，可得出u(z,t)
19
1 Mz 2 u 2 p sin( ) exp( M TV ) M (2m 1) 2 H m0 M
m 0,1,2,3
1 ∂e dz 1 e ∂t
土粒高度，保持不变
15
• 建立孔隙比e与孔隙水压u的关系
de av d
de av d
由于在均匀满布荷载产生的附加应力（总应力）沿深度不变，即
( z, t ) ( z, t ) u( z, t ) p
由此得到
d du
p
砂
u

u
H
t
t 0
饱 和 粘 土
t 0
H
p
砂
z
粘土层顶面、底面处排水距离为0，故孔隙水压始终为0；中心位 置排水距离最大，故孔隙水压最大，有效应力最小。
21
• 单面排水时
p
砂
u

u
饱 和 粘 土
H
t
t 0
t 0
基 岩
p
z
粘土层底面处排水距离最大，故故孔隙水压最大，有效应力最小。
17
3、Terzaghi一维渗透固结方程的求解
（1）初始条件和边界条件
• 初始条件
砂
p
u ( z , t ) t 0 p
• 边界条件
饱 和 粘 土
H
双面排水时
H
u ( z, t ) z 0 0
u ( z, t ) z 2 H 0
单面排水时
H 为粘土厚度的一半
砂
u ( z, t ) z 0 0
•2. 满布荷载双面排水时，平均固结度的计算公式
2H
最终的沉降
s
ds
0
2H 0
2H


0
pmv dz 2mv pH
2H
2H
时刻t 的沉降 s (t ) 由此得到
ds mv dz ( p u )mv dz 0
0
2H
2H
2mv pH mv
udz
0
22
三、固结度的计算
（1）固结度 percent consolidation,degree of consolidation 饱和粘土固结完成的程度。可按：I. 土层中一点孔隙水压消散 或II. 整个土层固结变形完成的程度来衡量。
• 一点处的固结度 （按孔隙水压消散或有效应力转化程度）
p u u U ( z , t ) 1 p p
测 点 及 沉 降 值（m） 7 8 10 11 12 15 16 17 平均
00-12 10.6 9.7 12.8 11.7 10.6 13.0 11.6 10.3 12.7 12.5 9.0 14.1 11.7
01-12 10.8 9.9 13.0 11.9 10.7 13.2 11.8 10.5 12.9 12.7 9.1 14.3 11.9
t 0 0u p 0 p
二、太沙基一维渗透固结理论
• 固结过程中的孔隙水压、有效应力、沉降
应 力 或 沉 降 总应力p 有效应力
effective stress
位 移 孔隙水压u pore water pressure 时间
随着固结过程的进行：
（1）孔隙水压（超静水压）逐渐消散，最终至0。
I. 固结度U为U′在粘土层厚度内的平均值。
II. H↑→ Tv ↓→ U↓。H 相当于最大排水距离。
25
固结度Ut与时间因数Tv的关系图
26
• 排水固结法
通过减小排水距离，加快黏土层的固结速度。
堆载
袋 装 砂 井
砂 井
排水塑料板
芯 板 滤膜
27
3. 实际工程中地基固结度的计算 I. 附加应力沿深度不是均匀分布。 地基土中应力的分布是随深度变化的，不是均匀满布荷载。
数学模型 － 渗透固结微分方程
方程求解 － 理论解答
7
太沙基一维渗透固结模型的假设背景
实践背景：大面积均布荷载
饱和 压缩层 不透水 岩层 p
侧限状态的简化模型
p

σz=p
K0p
p K0p
不变形 的钢筒
处于侧限状态，渗流和土体的变形只沿竖向发生
一维渗透固结
8
1、Terzaghi一维渗透固结物理模型
p
o
M
H
z
u
Uz,t=0～1：表征一点超静孔压的消散程度
z
p
23
三、固结度的计算
1. 一层土土层平均固结度 土层某一时刻的沉降（压缩量）与最终沉降（压缩量）之比。
S (t ) U (t ) S
由最终沉降（压缩量）及固结度可预测任意时刻的沉降（压缩量）。
S (t ) U (t ) S
28
(1)双面排水时平均固结度的计算
基本情况A
透水 应力分布 透水
无论哪种情况，均按情况A计算 Cv Tv 2 t 压缩土层深度H取1/2值 H
UA 1 8
2H

2
exp(
2
4
Tv )
29
（2）单面排水时的固结度计算 压缩应力分布不同时
情况A
r a b
情况1 情况2 情况2
3
•实例
麻省理工（MIT ）校园10号建筑物及其沉降曲线 该建筑在1915年建成后的10年中，一直以较大的速率沉降，并引起相当 大的惊慌。Terzaghi于1925年首次到美国后，通过检查和分析，正确地预测出 其沉降速率将逐渐减小。
4
日本关西国际机场
• 1986年：开工 • 1990年：人工岛完成 • 1994年：机场运营 • 面积：546万m2
30
U1 2U A U B
也可根据Tv值查表4－14
四、有关沉降－时间的工程问题
1.
2. 3.
求某一时刻t的固结度与沉降量
求达到某一固结度所需要的时间 根据前一阶段测定的沉降－时间曲
土体的固结 物理模型
p
p
侧限条件 土骨架 孔隙水 排水顶面 渗透性大小
钢筒 弹簧 水体 带孔活塞 活塞小孔大小
9
1、Terzaghi一维渗透固结物理模型
• 固结模型和固结过程
p
孔隙水 孔 隙 土骨架
p
p
u
t 0 u p 0
u


t
u0 p
10
时间 超静水压 有效应力
4370m×1250m
• 填筑量：180×106m3 • 平均厚度：33m • 地基：15-21m厚粘土
世界第二大人工岛
5
问题：沉降大，且不均匀
设计预测沉降： 5.7－7.5 m 完工实际沉降： 8.1 m，5cm/月 (1990年) 预测主固结完成： 20年后 比设计超填： 3.0 m
日期 1 2 3 5
• 时间因数 time factor

TV
cV t H2
为无量纲数，称为时间因数，反映超静 孔压消散的程度也即固结的程度。
• H （最大渗透距离）的确定 （1）双面排水时，取粘土层厚度的一半。 （2）单面排水时，取粘效应力的分布及变化
• 双面排水时
u p
情况B
r
应力分布
=1
σa σb
=
=0
<1
>1
透水 不透水
工程背景
H小， p面积大
自重应力
附加应力 底面接近零
自重应力 附加应力
和情况1类似 底面不接近零
计算公式 32 2 8 2 U A 1 2 exp( Tv ) U B 1 3 exp( Tv ) 4 4
r 1 U2 U A (U A U B ) r 1
固结系数coefficient of consolidation
k (1 e0 ) k Cv av w mv
(m2/年，cm2/年)
w
Cv 反映了土的固结性质：孔压消散的快慢→固结速度； Cv 与渗透系数k成正比，与压缩系数av成反比；
（cm2/s；m2/year，粘性土一般在 10-4 cm2/s 量级）
平均固结度U(t)与沉降量S(t)之间的关系 t时刻：
a z ,t dz S (t ) 有效应力分布面积 z ,t dz 1 e1 U (t ) a z 总应力分布面积 S z dz H 1 e1
Ut=0～1：表征一层土超静孔压的消散程度
24
u / z z H 0
H 为粘土的厚度
18
（2）固结方程的解——饱和粘土层中孔隙水压力的分 布形式及随时间的变化过程
u 2u 渗透固结微分方程： Cv 2 t z
• 反映了超静水压的消散速度与孔压沿竖向的分布有关 • 是线性齐次抛物型微分方程式，与热传导扩散方程形式
上完全相同，一般可用分离变量方法求解。
固结问题的计算过程 确定土层中孔隙水 压u在不同时刻的分 布形式 有效应力 沉降随时间的变 化（固结度）
12
• 计算图示
p
砂
dh 1 u dz w z
饱 和 粘 土
H
z
1
H
dz
砂
z
13
• 固结方程的建立
目 标：建立以孔隙水压u为未知量的求解方程。 方 法：在饱和黏土的渗透固结中，土始终处于饱和状态，因此土中 孔隙体积变化始终等于水体积变化，由此可建立其求解方程。
第四章 土的变形性质 及地基沉降计算
1
饱和粘土的渗透固结理论
一、饱和粘土的渗透固结特性 二、太沙基一维渗透固结理论 三、固结度的计算 四、与沉降－时间有关的工程问题 五、固结系数的测定
2
一、饱和粘土的渗透固结特性
饱和粘土： 土粒在静水或缓慢流水环境中沉积，并经化学作 用形成的粘性土或粉土，通常称为软土。 特 点： 孔隙比大(e>1)，含水量高(w>wL)。 Mexico City clay：e =7～12，w =150～600%。 工程特性： 压缩性高，强度低，渗透性差。 饱和黏土的渗透性差，导致其地基沉降时间往往持续很长。
dh 1 u i dz w z
由Darcy定律，可得到孔隙水体积变化与孔隙水压的关系
k ∂u v ki w ∂z
k ∂ 2u dQ dz 2 w ∂z
e dz 1 e 1 dz 1 e
（2）单元体孔隙体积的变化dV
1
dz
dV e dz ( dz ) ( e) t 1 e t 1 e
（1）单元体内水量的变化dQ
问题：为什么可以取单位面积，而不需取为dxdy?
dQ (v
∂u ∂u du (u dz ) u dz ∂z ∂z
dh du
∂v ∂v dz ) 1 v 1 dz ∂z ∂z
一维固结问题 1
v
dz
∂v v dz ∂z
14
w

1 u dz w z