第2章 2.3节点电位法
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第二章 电路的基本分析方法
2.3 节 点 电 位 法
2.3.1 节点电位
v1
v2
v3
电路中， 电路中，任选一节点作 参考点(用 表示) 参考点 用 ⊥ 表示 ，其余 各点到参考点之间的电压 称为各节点的电位。 称为各节点的电位。 节点电压的参考方向从 节点指向参考点。 节点指向参考点。
第二章 电路的基本分析方法
第二章 电路的基本分析方法
解：
10 1 1 1 1 1 1 + + v1 − + v 2 = 3 + + 4 5 20 2 4 2 4
1 4 10 1 1 1 1 1 − + v1 + + + + v 2 = − 10 4 2 4 2 4 10 20
电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流， 电路中任何两点间的电压 ， 任何一支路上的电流 ， 都可应用已知的节点电位求出。 都可应用已知的节点电位求出。如：
i1 = G1 (v1 − v 2 ) i 4 = G4 v 3
p5 = G5 (v1 − v 3 ) 2
第二章 电路的基本分析方法
2.3.2 节点电位法
i s 22 = 3 A,
节点 7v1 − 3v 2 − 4v 3 = −11 电位 − 3v 1 + 6v 2 − 2v 3 = 3 方程 − 4v1 − 2v 2 + 11v 3 = 25 组：
第二章 电路的基本分析方法
1.只含有一个元件的支路节点方程的列写 只含有一个元件的支路节点方程的列写
v 2 = 5V , v 3 = −1V
由欧姆定律，求得 由欧姆定律，
v1 − v 3 2 − ( −1) i= = = 3A 1 1 u23 = v 2 − v 3 = 5 − ( −1) = 6V
∴u = 6V
第二章 电路的基本分析方法
(2) 以节点 3 作参考点，设节点 4 的电位为 v4, 对电路列写 作参考点， 的方程组为
1Ω
1
1Ω
2 ＋ 3V － 4
1Ω
3
1Ω
电流源串联的1Ω电阻不会影响其它支路电流 解：因与2 A电流源串联的 电阻不会影响其它支路电流， 因与 电流源串联的 电阻不会影响其它支路电流， 为参考点， 故在列写节点方程时不予考虑， 选择4为参考点 故在列写节点方程时不予考虑， 选择4为参考点， 则
v2=３Ｖ ３
第二章 电路的基本分析方法
写出节点电位方程： 例1：写出节点电位方程 iS7
1 R4 2 R3 R2 R1 0
iS1
R5
iS8
R6
1 1 1 1 1 1 ( + + + ) v1 − ( + ) v2 = is1 + is 7 R1 R2 R3 R4 R3 R4 1 1 1 1 1 1 − ( + ) v1 + ( + + + ) v 2 = is 8 − is 7 R3 R4 R3 R4 R5 R6
化简： 化简：
3 11 v1 − v 2 = 4 2 9 21 −3 v1 + v 2 = − 4 10 10
注意:列写方程时电阻要换算为电导。 注意 列写方程时电阻要换算为电导。 列写方程时电阻要换算为电导
第二章 电路的基本分析方法
2) 含有电流源与电阻串联的节点电位方程。 含有电流源与电阻串联的节点电位方程。 解:本电路 2、 43节点间有一理 本电路 、 节点间有一理 想电流源与电阻的串联： 想电流源与电阻的串联：
第二章 电路的基本分析方法
节点电位法解题步骤： 节点电位法解题步骤：
第一步：选参考点，设节点电位。 第一步：选参考点，设节点电位。 第二步：观察各节点的自电导、 第二步：观察各节点的自电导、互电导和等效电流源 数值，列写电位方程。（看图写式） 数值，列写电位方程。（看图写式） 。（看图写式 第三步：解方程组，求出各节点电位。 第三步：解方程组，求出各节点电位。 第四步：由各节点电位，求出题目中所求量。 第四步：由各节点电位，求出题目中所求量。
第二章 电路的基本分析方法
1.不含电压源、受控源电路节点方程的列写 不含电压源、 不含电压源
求电导G 中的电流及3个电流源分别产生的功率 个电流源分别产生的功率。 例1 求电导 1、G2、G3 中的电流及 个电流源分别产生的功率。 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。 解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
个电流： 由欧姆定律电导形式可得 3 个电流：
i2 = G2 u31 = 4 × (v 3 − v1 ) = 4 × ( 3 − 1) = 8 A i3 = G3 v 3 = 5 × 3 = 15 A
电流源i 产生的功率; 电流源 s1、is2、is3产生的功率
ps1 = − i s1v1 = −8 × 1 = −8W ps 2 = − i s 2 (v1 − v 2 ) = −3 × ( −1) = 3W ps 3 = i s 3 v 3 = 25 × 3 = 75W
建立节点方程组 建立节点方程组 节点1： 节点 ： 节点3： 节点 ： 联立求解， 联立求解， 得
2v1―v2=2 ―v2+2v3=―２ ２ v1=2.5 Ｖ， v３=0.5 Ｖ
第二章 电路的基本分析方法
3).含受控源电路节点电位方程的列写 3).含受控源电路节点电位方程的列写 例1：列出 ：
G1 (v1 − v 2 ) + G5 (v1 − v 3 ) − i s1 + i s 2 = 0
G2 v 2 + G3 (v 2 − v 3 ) − G1 (v1 − v 2 ) − i s 2 = 0 G 4 v 3 − G 3 ( v 2 − v 3 ) − G5 ( v1 − v 3 ) = 0
G11 = 3 + 4 = 7 S ,
G21 = −3 S ,
G12 = −3 S ,
G13 = −4 S
G23 = −2 S
i s 33 = 25 A
G22 = 1 + 2 + 3 = 6 S ,
G31 = −4 S ,
G32 = −2 S ,
G33 = 5 + 2 + 4 = 11S
i s11 = −3 − 8 = −11 A,
求电导G 中的电流及3个电流源分别产生的功率 个电流源分别产生的功率。 例1 求电导 1、G2、G3 中的电流及 个电流源分别产生的功率。 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。 解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
解得： 解得： v1＝1V,
v2 ＝2V,
v3 ＝3V。 。
i1 = G1 u21 = 3 × (v 2 − v1 ) = 3 × ( 2 − 1) = 3 A
第二章 电路的基本分析方法
(G1 + G5 )v1 − G1v 2 − G5 v 3 = i s1 − i s 2
− G1v1 + (G1 + G2 + G3 )v 2 − G3 v 3 = i s 2
− G5 v1 − G3 v 2 + (G3 + G4 + G5 )v 3 = 0
总结： 总结 ：节点法 分析具有 3 个 独立节点电路 的方程通式 流入节点 的电流源 为正， 为正，流 出为负。 出为负。
第二章 电路的基本分析方法
2.含有两个元件的节点电压方程的列写 2.含有两个元件的节点电压方程的列写
1) 含有电压源与电阻串联的节点电位方程。 含有电压源与电阻串联的节点电位方程。 如图所示电路中，列写各节点的电位方程。 例1 如图所示电路中，列写各节点的电位方程。
注意： 电压源与电阻串联变换为电流源与电阻并联。 注意：将电压源与电阻串联变换为电流源与电阻并联。 变换为电流源与电阻并联
G11v1 + G12v2 + G13v3 = i s11 G21v1 + G22v2 + G23v3 = is 22 G31v1 + G32v2 + G33v3 = is 33
n 个节点方 程的通式为
G11v1 + G12v2 + ... + G1nvn = i s11 G21v1 + G22v2 + ... + G2nvn = i s 22 ...... Gn1v1 + Gn 2v2 + ... + Gnnvn = i snn
1 1 1 电压源支 + v1 − v2 = i x 路的电流 2 1 2 1 1 1 1 − v1 + + v2 − v4 = 4 2 2 2 2 1 1 1 − v2 + + v4 = −i x 2 2 1
v1 − v4 = 2
(辅助方程 辅助方程) 辅助方程
1 1 1 + v 2 − × 2 = 4 2 2 2 1 1 1 + v 3 − × 2 = −4 1 1 1
3) 含有电阻与电阻串联的节点电位方程。 含有电阻与电阻串联的节点电位方程。
第二章 电路的基本分析方法
2A I 1Ω
例 3 列出图示电路的节点电位方程 并求解。 并求解。
图示电路的 节点电位方 程。 解：
第二章 电路的基本分析方法
i1 = G1 (v1 − v2 ) i2 = G2 v2 i3 = G3 (v2 − v3 ) i4 = G4 v3 i5 = G5 (v1 − v3 )
第二章 电路的基本分析方法
节点 1 节点 2 节点 3
i1 + i5 − i s1 + i s 2 = 0 i2 + i3 − i1 − i s 2 = 0 i4 − i 3 − i5 = 0
1 1 1 + v 2 − × 2 = 4 2 2 2 1 1 1 + v 3 − × 2 = −4 1 1 1
v2 = 5V, v3 = −1V
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第二章 电路的基本分析方法
对图所示电路， 例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节 若原电路没有指定参考点， 点之一作参考点， 如选4作为参考点 这时节点1的电位 作为参考点， 点之一作参考点 ， 如选 作为参考点 ， 这时节点 的电位 v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为 2、v3, 、 的电位分别为v ，可少列一个方程。 由电路可写方程组： 由电路可写方程组：
第二章 电路的基本分析方法
对图所示电路， 例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节 若原电路没有指定参考点， 点之一作参考点， 如选4作为参考点 这时节点1的电位 作为参考点， 点之一作参考点 ， 如选 作为参考点 ， 这时节点 的电位 v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为 2、v3, 、 的电位分别为v ，可少列一个方程。 由电路可写方程组： 由电路可写方程组：
整理： 整理： (G1
+ G5 )v1 − G1v 2 − G5 v 3 = i s1 − i s 2 − G1v1 + (G1 + G2 + G3 )v 2 − G3 v 3 = i s 2 − G5 v1 − G3 v 2 + (G3 + G4 + G5 )v 3 = 0
自电导全为正， 自电导全为正， 互电导全为负。 互电导全为负。
节点电位法： 节点电位法： 以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路 各节点电位为未知量， 为未知量 VAR 用未知节点电位表示，依KCL 列节点电流方程， 用未知节点电位表示， 列节点电流方程， 解出各节点电位v1、v2……，再求得其它 、I、 P等。 ，再求得其它U 等
适用：支路、网孔多而节点少的电路。 适用：支路、网孔多而节点少的电路。
v1 = 3V, v2 = 6V, v4 = 1V i = 3A, u = 6V
第二章 电路的基本分析方法
注意: 注意
解此类问题时,如果参考点的位置在电压源所连接 解此类问题时 如果参考点的位置在电压源所连接 的两个节点之一，则用法（ ），如果不在， ），如果不在 的两个节点之一，则用法（1），如果不在，则用 ），切记方程中不要漏掉电压源支路的电流 法（2），切记方程中不要漏掉电压源支路的电流。 ），切记方程中不要漏掉电压源支路的电流。
2.3 节 点 电 位 法
2.3.1 节点电位
v1
v2
v3
电路中， 电路中，任选一节点作 参考点(用 表示) 参考点 用 ⊥ 表示 ，其余 各点到参考点之间的电压 称为各节点的电位。 称为各节点的电位。 节点电压的参考方向从 节点指向参考点。 节点指向参考点。
第二章 电路的基本分析方法
第二章 电路的基本分析方法
解：
10 1 1 1 1 1 1 + + v1 − + v 2 = 3 + + 4 5 20 2 4 2 4
1 4 10 1 1 1 1 1 − + v1 + + + + v 2 = − 10 4 2 4 2 4 10 20
电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流， 电路中任何两点间的电压 ， 任何一支路上的电流 ， 都可应用已知的节点电位求出。 都可应用已知的节点电位求出。如：
i1 = G1 (v1 − v 2 ) i 4 = G4 v 3
p5 = G5 (v1 − v 3 ) 2
第二章 电路的基本分析方法
2.3.2 节点电位法
i s 22 = 3 A,
节点 7v1 − 3v 2 − 4v 3 = −11 电位 − 3v 1 + 6v 2 − 2v 3 = 3 方程 − 4v1 − 2v 2 + 11v 3 = 25 组：
第二章 电路的基本分析方法
1.只含有一个元件的支路节点方程的列写 只含有一个元件的支路节点方程的列写
v 2 = 5V , v 3 = −1V
由欧姆定律，求得 由欧姆定律，
v1 − v 3 2 − ( −1) i= = = 3A 1 1 u23 = v 2 − v 3 = 5 − ( −1) = 6V
∴u = 6V
第二章 电路的基本分析方法
(2) 以节点 3 作参考点，设节点 4 的电位为 v4, 对电路列写 作参考点， 的方程组为
1Ω
1
1Ω
2 ＋ 3V － 4
1Ω
3
1Ω
电流源串联的1Ω电阻不会影响其它支路电流 解：因与2 A电流源串联的 电阻不会影响其它支路电流， 因与 电流源串联的 电阻不会影响其它支路电流， 为参考点， 故在列写节点方程时不予考虑， 选择4为参考点 故在列写节点方程时不予考虑， 选择4为参考点， 则
v2=３Ｖ ３
第二章 电路的基本分析方法
写出节点电位方程： 例1：写出节点电位方程 iS7
1 R4 2 R3 R2 R1 0
iS1
R5
iS8
R6
1 1 1 1 1 1 ( + + + ) v1 − ( + ) v2 = is1 + is 7 R1 R2 R3 R4 R3 R4 1 1 1 1 1 1 − ( + ) v1 + ( + + + ) v 2 = is 8 − is 7 R3 R4 R3 R4 R5 R6
化简： 化简：
3 11 v1 − v 2 = 4 2 9 21 −3 v1 + v 2 = − 4 10 10
注意:列写方程时电阻要换算为电导。 注意 列写方程时电阻要换算为电导。 列写方程时电阻要换算为电导
第二章 电路的基本分析方法
2) 含有电流源与电阻串联的节点电位方程。 含有电流源与电阻串联的节点电位方程。 解:本电路 2、 43节点间有一理 本电路 、 节点间有一理 想电流源与电阻的串联： 想电流源与电阻的串联：
第二章 电路的基本分析方法
节点电位法解题步骤： 节点电位法解题步骤：
第一步：选参考点，设节点电位。 第一步：选参考点，设节点电位。 第二步：观察各节点的自电导、 第二步：观察各节点的自电导、互电导和等效电流源 数值，列写电位方程。（看图写式） 数值，列写电位方程。（看图写式） 。（看图写式 第三步：解方程组，求出各节点电位。 第三步：解方程组，求出各节点电位。 第四步：由各节点电位，求出题目中所求量。 第四步：由各节点电位，求出题目中所求量。
第二章 电路的基本分析方法
1.不含电压源、受控源电路节点方程的列写 不含电压源、 不含电压源
求电导G 中的电流及3个电流源分别产生的功率 个电流源分别产生的功率。 例1 求电导 1、G2、G3 中的电流及 个电流源分别产生的功率。 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。 解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
个电流： 由欧姆定律电导形式可得 3 个电流：
i2 = G2 u31 = 4 × (v 3 − v1 ) = 4 × ( 3 − 1) = 8 A i3 = G3 v 3 = 5 × 3 = 15 A
电流源i 产生的功率; 电流源 s1、is2、is3产生的功率
ps1 = − i s1v1 = −8 × 1 = −8W ps 2 = − i s 2 (v1 − v 2 ) = −3 × ( −1) = 3W ps 3 = i s 3 v 3 = 25 × 3 = 75W
建立节点方程组 建立节点方程组 节点1： 节点 ： 节点3： 节点 ： 联立求解， 联立求解， 得
2v1―v2=2 ―v2+2v3=―２ ２ v1=2.5 Ｖ， v３=0.5 Ｖ
第二章 电路的基本分析方法
3).含受控源电路节点电位方程的列写 3).含受控源电路节点电位方程的列写 例1：列出 ：
G1 (v1 − v 2 ) + G5 (v1 − v 3 ) − i s1 + i s 2 = 0
G2 v 2 + G3 (v 2 − v 3 ) − G1 (v1 − v 2 ) − i s 2 = 0 G 4 v 3 − G 3 ( v 2 − v 3 ) − G5 ( v1 − v 3 ) = 0
G11 = 3 + 4 = 7 S ,
G21 = −3 S ,
G12 = −3 S ,
G13 = −4 S
G23 = −2 S
i s 33 = 25 A
G22 = 1 + 2 + 3 = 6 S ,
G31 = −4 S ,
G32 = −2 S ,
G33 = 5 + 2 + 4 = 11S
i s11 = −3 − 8 = −11 A,
求电导G 中的电流及3个电流源分别产生的功率 个电流源分别产生的功率。 例1 求电导 1、G2、G3 中的电流及 个电流源分别产生的功率。 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。 解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
解得： 解得： v1＝1V,
v2 ＝2V,
v3 ＝3V。 。
i1 = G1 u21 = 3 × (v 2 − v1 ) = 3 × ( 2 − 1) = 3 A
第二章 电路的基本分析方法
(G1 + G5 )v1 − G1v 2 − G5 v 3 = i s1 − i s 2
− G1v1 + (G1 + G2 + G3 )v 2 − G3 v 3 = i s 2
− G5 v1 − G3 v 2 + (G3 + G4 + G5 )v 3 = 0
总结： 总结 ：节点法 分析具有 3 个 独立节点电路 的方程通式 流入节点 的电流源 为正， 为正，流 出为负。 出为负。
第二章 电路的基本分析方法
2.含有两个元件的节点电压方程的列写 2.含有两个元件的节点电压方程的列写
1) 含有电压源与电阻串联的节点电位方程。 含有电压源与电阻串联的节点电位方程。 如图所示电路中，列写各节点的电位方程。 例1 如图所示电路中，列写各节点的电位方程。
注意： 电压源与电阻串联变换为电流源与电阻并联。 注意：将电压源与电阻串联变换为电流源与电阻并联。 变换为电流源与电阻并联
G11v1 + G12v2 + G13v3 = i s11 G21v1 + G22v2 + G23v3 = is 22 G31v1 + G32v2 + G33v3 = is 33
n 个节点方 程的通式为
G11v1 + G12v2 + ... + G1nvn = i s11 G21v1 + G22v2 + ... + G2nvn = i s 22 ...... Gn1v1 + Gn 2v2 + ... + Gnnvn = i snn
1 1 1 电压源支 + v1 − v2 = i x 路的电流 2 1 2 1 1 1 1 − v1 + + v2 − v4 = 4 2 2 2 2 1 1 1 − v2 + + v4 = −i x 2 2 1
v1 − v4 = 2
(辅助方程 辅助方程) 辅助方程
1 1 1 + v 2 − × 2 = 4 2 2 2 1 1 1 + v 3 − × 2 = −4 1 1 1
3) 含有电阻与电阻串联的节点电位方程。 含有电阻与电阻串联的节点电位方程。
第二章 电路的基本分析方法
2A I 1Ω
例 3 列出图示电路的节点电位方程 并求解。 并求解。
图示电路的 节点电位方 程。 解：
第二章 电路的基本分析方法
i1 = G1 (v1 − v2 ) i2 = G2 v2 i3 = G3 (v2 − v3 ) i4 = G4 v3 i5 = G5 (v1 − v3 )
第二章 电路的基本分析方法
节点 1 节点 2 节点 3
i1 + i5 − i s1 + i s 2 = 0 i2 + i3 − i1 − i s 2 = 0 i4 − i 3 − i5 = 0
1 1 1 + v 2 − × 2 = 4 2 2 2 1 1 1 + v 3 − × 2 = −4 1 1 1
v2 = 5V, v3 = −1V
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第二章 电路的基本分析方法
对图所示电路， 例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节 若原电路没有指定参考点， 点之一作参考点， 如选4作为参考点 这时节点1的电位 作为参考点， 点之一作参考点 ， 如选 作为参考点 ， 这时节点 的电位 v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为 2、v3, 、 的电位分别为v ，可少列一个方程。 由电路可写方程组： 由电路可写方程组：
第二章 电路的基本分析方法
对图所示电路， 例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节 若原电路没有指定参考点， 点之一作参考点， 如选4作为参考点 这时节点1的电位 作为参考点， 点之一作参考点 ， 如选 作为参考点 ， 这时节点 的电位 v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为 2、v3, 、 的电位分别为v ，可少列一个方程。 由电路可写方程组： 由电路可写方程组：
整理： 整理： (G1
+ G5 )v1 − G1v 2 − G5 v 3 = i s1 − i s 2 − G1v1 + (G1 + G2 + G3 )v 2 − G3 v 3 = i s 2 − G5 v1 − G3 v 2 + (G3 + G4 + G5 )v 3 = 0
自电导全为正， 自电导全为正， 互电导全为负。 互电导全为负。
节点电位法： 节点电位法： 以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路 各节点电位为未知量， 为未知量 VAR 用未知节点电位表示，依KCL 列节点电流方程， 用未知节点电位表示， 列节点电流方程， 解出各节点电位v1、v2……，再求得其它 、I、 P等。 ，再求得其它U 等
适用：支路、网孔多而节点少的电路。 适用：支路、网孔多而节点少的电路。
v1 = 3V, v2 = 6V, v4 = 1V i = 3A, u = 6V
第二章 电路的基本分析方法
注意: 注意
解此类问题时,如果参考点的位置在电压源所连接 解此类问题时 如果参考点的位置在电压源所连接 的两个节点之一，则用法（ ），如果不在， ），如果不在 的两个节点之一，则用法（1），如果不在，则用 ），切记方程中不要漏掉电压源支路的电流 法（2），切记方程中不要漏掉电压源支路的电流。 ），切记方程中不要漏掉电压源支路的电流。