函数的和差积商的导数教案
高二数学苏教版2019选择性必修第一册教案：函数的和、差、积、商的导数
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的应用．教学难点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导．教学过程：一、情景设置1．常见函数的导数公式：2．求下列函数的导数：23x y ＝； x y 2＝； x y 2log ＝．3．由定义求导数的基本步骤．二、学生活动1．探究1：求x x y ＋＝2的导数．2．探究2：已知)()(x g x f ''，，怎样求[]')()(x g x f ＋呢？三、数学建构1．函数的和差积商的导数求导法则：)()(])()([x g x f x g x f '±''±＝；)(])([x f C x Cf ''＝（C 为常数）；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''＋＝；)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''－＝（g (x )≠0）．说明：有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数．四、数学运用例1 求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(2＋＝； （2）2623)(23＋－－＝x x x x g ． 解：（1）x x x x x x x f cos 2)(sin )()sin ()(22＋＝＋＝＋＝''''．（2）633)2623()(223－－＝＋－－＝x x x x x x g ''． 例2 求下列函数的导数：（1）x x x h sin )(＝； （2）x e x x f 2)(＝；（3）tt t S 1)(2＋＝； （4）x x f tan )(＝． 解：（1）x x x x x x x x x x h cos sin )(sin sin )sin ()(＋＝＋＝＝''''．（2）x x x x x e x xe e x e x e x x f 22222)()()()(＋＝＋＝＝''''．（3）222222222112)1()1()1()(tt t t t t t t t t t t t S －＝－－＝＋－＋＝＋＝''''． （4）xx x x x x x x x f 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin (n ta )('''''－＝＝＝ xx x x x x x x x 22222cos 1cos sin cos cos )sin (sin cos cos ＝＋＝－－＝． 五、小结函数的和差积商的导数求导法则：)()(])()([x g x f x g x f '±''±＝；)(])([x f C x Cf ''＝（C 为常数）；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''＋＝；)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''－＝（g (x )≠0）．。
高中数学教案选修2-2《1.2.2 函数的和、差、积、商的导数》
教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）常见函数的导数公式：（默写）（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝；2log y x ＝． （3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．2．探究活动．例1 求2y x x ＝＋的导数．思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例2 求下列函数的导数：（1）2()sinf x x x＝＋；（2）323()622g x x x x＝－－＋．例3 求下列函数的导数：（1）()sinh x x x＝；（2）()2lnf x x x＝；练习课本P22练习1～5题．点评正确运用函数的四则运算的求导法则．四、拓展探究问题1 求下列函数的导数：（1）11xyx－＝＋；（2）44sin cos44x xy＝＋；（3）11yx x＝－＋－；（4）sin lny x x x⋅⋅＝．（1）[()()]()()f xg x f x g x'''±＝±；（2）[()]()Cf x Cf x''＝（C为常数）；（3）[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x'''＝＋；（4）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g xg x g x'''－＝（()0g x≠）．点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '．问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4f ＝ ． 五、回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．六、课外作业1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．。
函数的和差积商的导数教案
函数的和差积商的导数教案一、教学目标：1. 理解函数的和、差、积、商的导数概念。
2. 掌握求解函数的和、差、积、商的导数的方法。
3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数的和差积商的导数定义及性质。
2. 求解函数的和、差、积、商的导数的公式。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：函数的和、差、积、商的导数概念及求解方法。
2. 难点：求解复杂函数的和、差、积、商的导数。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数的和差积商的导数的概念、性质及求解方法。
2. 利用例题，演示求解过程，引导学生掌握求解方法。
3. 开展小组讨论，让学生合作解决问题。
4. 布置练习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：回顾导数的基本概念，引导学生思考导数在实际问题中的应用。
2. 新课讲解：（1）介绍函数的和、差、积、商的导数定义及性质。
（2）讲解求解函数的和、差、积、商的导数的公式。
（3）通过例题，演示求解过程，引导学生掌握求解方法。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 小组讨论：组织学生开展小组讨论，共同解决问题。
5. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，布置课后作业，引导学生思考导数在实际问题中的应用。
六、课后作业：1. 复习本节课所学内容，巩固函数的和、差、积、商的导数概念及求解方法。
2. 完成课后练习题，提高求解能力。
3. 思考导数在实际问题中的应用，尝试解决相关问题。
六、教学评价：1. 评价学生对函数的和、差、积、商的导数概念的理解程度。
2. 评价学生掌握求解函数的和、差、积、商的导数的方法。
3. 评价学生在实际问题中运用导数的能力。
七、教学反思：1. 反思教学内容是否全面，是否涵盖了函数的和、差、积、商的导数的所有重要知识点。
2. 反思教学方法是否合适，是否能够帮助学生理解和掌握知识。
3. 反思教学过程是否生动有趣，是否能够激发学生的学习兴趣。
八、教学策略：1. 针对不同学生的学习情况，采取个性化的教学策略，帮助学生理解和掌握知识。
函数的和差积商的导数教案
函数的和差积商的导数教案一、教学目标1. 理解函数的和、差、积、商的导数概念。
2. 掌握求解函数的和、差、积、商的导数的方法。
3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的和导数：两个函数的和导数等于各自导数的和。
2. 函数的差导数：两个函数的差导数等于各自导数的差。
3. 函数的积导数：两个函数的积导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数加上第一个函数的导数乘以第二个函数。
4. 函数的商导数：两个函数的商导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，除以第二个函数的平方。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的和、差、积、商的导数的概念及求解方法。
2. 教学难点：函数的积、商导数的求解。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的和、差、积、商的导数概念。
2. 采用例题解析法，讲解求解函数的和、差、积、商的导数的方法。
3. 采用练习法，让学生巩固所学知识。
五、教学安排1. 课时：2课时2. 教学过程：第一课时：1. 导入新课，讲解函数的和、差、积、商的导数概念。
2. 讲解求解函数的和、差、积、商的导数的方法。
3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
第二课时：1. 讲解例题，运用导数解决实际问题。
2. 学生自主练习，教师辅导。
3. 总结本节课所学内容，布置家庭作业。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解导数在实际问题中的应用。
2. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习巩固：布置课后习题，让学生通过练习加深对知识点的理解和掌握。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后习题，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，全面评估学生对本单元知识的掌握情况。
八、教学资源1. 教材：选用合适的数学教材，为学生提供权威的学习资料。
高中数学教案选修2-2《1.2.2 函数的和、差、积、商的导数》
教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）常见函数的导数公式：（默写）（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝．（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．2．探究活动．例1 求2y x x ＝＋的导数．思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例2 求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x ＝＋； （2）323()622g x x x x ＝－－＋． 例3 求下列函数的导数：（1）()sin h x x x ＝； （2）()2ln f x x x ＝；练习 课本P22练习1～5题．点评 正确运用函数的四则运算的求导法则．四、拓展探究问题1 求下列函数的导数：（1）11x y x －＝＋； （2）44sin cos 44x x y ＝＋； （3）y ； （4）sin ln y x x x ⋅⋅＝． 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '． 问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4f ＝ ． 五、回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．六、课外作业1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．。
函数的和差积商的导数教案
函数的和差积商的导数教案一、教学目标1. 理解函数的和、差、积、商的导数概念。
2. 掌握求解函数的和、差、积、商的导数的方法。
3. 能够应用函数的和、差、积、商的导数解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的和差积商的导数定义及公式。
2. 求解函数的和、差、积、商的导数的方法。
3. 函数的和差积商的导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：函数的和、差、积、商的导数概念及求解方法。
2. 难点：函数的和、差、积、商的导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的和差积商的导数的概念、公式及求解方法。
2. 利用例题，演示求解过程，让学生理解和掌握求解方法。
3. 运用练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
4. 结合实际问题，让学生学会运用函数的和差积商的导数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：回顾导数的基本概念和求解方法，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解函数的和、差、积、商的导数概念及公式，演示求解方法。
3. 例题：分析并解答典型例题，让学生理解和掌握求解方法。
4. 练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题。
5. 拓展：结合实际问题，让学生运用函数的和差积商的导数解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点，解答学生的疑问。
7. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对函数的和、差、积、商的导数概念的理解程度，以及他们对求解方法的掌握情况。
2. 练习题解答：评估学生运用所学知识解决实际问题的能力，以及对函数的和、差、积、商的导数的应用。
3. 课后作业：通过学生完成的课后作业，检验他们对课堂所学内容的掌握情况。
七、教学反思在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，根据学生的反馈调整教学进度和方法。
针对学生的薄弱环节，进行有针对性的讲解和辅导，帮助学生克服困难，提高解题能力。
教师还应注重培养学生的逻辑思维能力和创新意识，激发他们对数学学科的兴趣。
高三数学教案 函数的和差积商的导数2
函数的和、差、积、商的导数（2）目的要求1． 掌握两个函数的商的求导法则.2． 能正确运用已学过的导数四则运算法则，求某些简单函数的导数.3． 能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题.教学过程一、 复习引入（1） 求函数y=x 2+sinx 的导数.（2） 求函数y=x 2sinx 的导数.（3） 问题：如何求函数y=xx sin 2的导数？ 二、 新授1． 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方.⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ’=2''v uv v u - （v ≠0） 回顾导数定义：f(x)0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()( 证明：设y=f(x)=)()(x v x u ，v(x)≠0. 则 ∆y =)()(x x v x x u ∆+∆+－)()(x v x u ＝)()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ∆+∆+-∆+ =[][]()()()()()()()()u x x u x v x u x v x x v x v x x v x +∆--+∆-+∆⋅ ∴xy ∆∆=()()()()()()()()u x x u x v x x v x v x u x x x v x x v x +∆-+∆-⋅-⋅∆∆+∆⋅. 因为v(x)在点x 处可导，所以v(x)在点x 处连续.于是当0→∆x 时，v(x+x ∆)→v(x).从而0lim →∆x x y ∆∆=[]2)()(')()()('x v x v x u x v x u -.即y’=⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ’=2''v uv v u -. 说明：若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为0）必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f(x)=sinx+x 1、g(x)=cosx －x1,则f(x)、g(x)在x=0处均不可导，但它们的和f(x)+g(x)=sinx+cosx 在x=0处可导.三、 范例例1 判断下列求导是否正确，加以改正。
最新高三教案-函数的和、差、积、商的导数(2) 精品
课 题： 3．3函数的和、差、积、商的导数(2)教学目的：1.理解商的导数法则，并能进行运用.2.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点：商的导数法则.教学难点：两个函数的商的求导法则的推导． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim 7. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=8.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=二、讲解新课：法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭证明：令)()()(x v x u x f y ==， -∆+∆+=∆])()([x x v x x u y )()(x v x u )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ∆+∆+-∆+=)()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ∆+-∆+--∆+=，∴ )()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆因为v (x )在点x 处可导，所以v (x )在点x 处连续．于是当0→∆x 时，v (x +x ∆)→v (x )．∴ )()](lim [)lim ()lim(lim 0000x v x x v x v u v x u x y x x x x ∆+∆∆-∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆2''v uv v u -= 即 )0('''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v uv v u v u y ． 说明：⑴'''v u v u ≠⎪⎭⎫⎝⎛，2'''vuv v u v u +≠⎪⎭⎫ ⎝⎛； ⑵若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )=sin x +x 1、g (x )=cos x －x1，则f (x )、g (x )在x =0处均不可导，但它们的和f (x )+g (x )=sin x +cos x 在x =0处可导三、讲解范例：例1求y =xx sin 2的导数.分析: 这题可以直接利用商的导数法则.解：y ′=(x x sin 2)′=x xx x x x x x x x 22222sin cos sin 2)(sin )(sin sin )(-='-' 例2求y =332++x x 在点x =3处的导数.分析: 这题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则.解：y ′=(332++x x )′2222)3()3)(3()3()3(+'++-+'+=x x x x x 222222)3(36)3()3(23++--=++-+=x x x x x x x ∴y ′|x =3=614424)33(3363222=-=++⨯--例3 求y =x1·cos x 的导数. 分析: 这道题可以看作两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求. 解法一：y ′=(x 1·cos x )′=(x 1)′cos x +x1 (cos x )′ x x x x x x x x x xxx x x x x x 2sin 2cos sin 12cos sin 1cos 21sin 1cos )(32321+-=--=--=-'=--解法二：y ′=(x 1·cos x )′=(xx cos )′ x xx x x x x x x x 21221cos sin )()(cos )(cos -⋅⋅-⋅-='-'= x x x x x xx xx x xxxx x 2sin 2cos 2cos sin 2cos 21sin +-=+-=+-= 例4求y =cot x 的导数. 解：y ′=(cot x )′=(x x sin cos )′2)(sin )(sin cos sin )(cos x x x x x '-'= x x x x x x x 222csc sin 1sin cos cos sin sin -=-=⋅-⋅-=例5 求y =xx-+31的导数.解：y ′=(x x -+31)′=2222)3()3)(1()3()1(x x x x x -'-+--'+222222)3(32)3()2)(1(3x x x x x x x -++=--+--= 例6求y =xx sin 12-的导数.解：y ′=(x x sin 12-)′222)(sin ))(sin 1(sin )1(x x x x x '--'-= x xx x x 22sin cos )1(sin 2---= 例7求y =xx x cos 423-的导数.解：y ′=(x x x cos 423-)′222323)cos ()cos )(4(cos )4(x x x x x x x x '--'-= xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x 233424524242322cos cos )8(sin )4(cos sin sin 4cos 8cos cos )sin cos 2)(4(cos 3+--=-+--=---⋅-=四、课堂练习： 1．填空：(1)2222)1()()1)( ()1(+-+='+x x x x x ；(2)x x x x x 222sin 4) )(1(sin ) ()sin 21(+-='+ 解：(1)∵22222)1()1()1()1(+'+-+'='+x x x x x x x 222)1()2()1)(1(+-+=x x x x(2)2222)sin 2()sin 2)(1(sin 2)1()sin 21(x x x x x x x '+-'+='+ xx x x x x x x x x 2222sin 4)cos 2)(1(sin )4(sin 4)cos 2)(1(sin 22+-=+-⋅= 2.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =tan x (4)y =x cos 11-解：(1)y ′=(x a x a +-)′2)())(()()(x a x a x a x a x a +'+--+'-= 22)(2)()()(x a ax a x a x a +-=+--+-=(2)y ′=(232x x +)′2222)3()3)(2()3()2(x x x x x '+-'+= 342423491239)6)(2(3xx x x x x x x x +-=--=+-= (3)y ′=(tan x )′=(x x cos sin )′2)(cos )(cos sin cos )(sin x x x x x '-'= x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+= (4)y ′=(x cos 11-)′2)cos 1()cos 1(1)cos 1(1x x x -'-⋅--'= ＝22)cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(0x xx x x --=--- 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.222sin )cos 1(2)cos 1(xxx x x x x ++='+ 解：不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.3342222222cos 2sin )cos 1(2sin )2)(cos 1(sin )())(cos 1()cos 1()cos 1(x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x ++-=++-=+-⋅-='+-'+='+ 注意：两个函数的乘积的导数的符号是加号，两个函数的商的导数分母是原分母的平方，分子上的符号是减号五、小结 ：这节课主要学习了商的导数法则(vu )′=2v v u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
函数的和差积商的导数教案
函数的和差积商的导数教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和求导法则。
2. 掌握函数的和差积商的导数求法。
3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的基本概念和求导法则。
2. 函数的和差积商的导数求法。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念和求导法则，函数的和差积商的导数求法。
2. 难点：函数的和差积商的导数求法。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的基本概念和求导法则，函数的和差积商的导数求法。
2. 采用案例分析法，分析导数在实际问题中的应用。
3. 引导学生通过自主学习、合作学习，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习导数的基本概念和求导法则，引出函数的和差积商的导数求法。
2. 新课：讲解函数的和差积商的导数求法，结合实际例子进行分析。
3. 练习：让学生独立完成一些相关练习题，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生思考导数在实际问题中的应用，分享一些实例。
6. 作业：布置一些有关函数的和差积商的导数的练习题，巩固所学知识。
六、教学案例1. 案例一：求函数f(x) = x^2 + 2x + 1 的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h= lim(h->0) [(x+h)^2 + 2(x+h) + 1 (x^2 + 2x + 1)] / h= lim(h->0) [x^2 + 2hx + h^2 + 2x + 2h + 1 x^2 2x 1] / h= lim(h->0) [2h + 2] / h= 2 + 2= 4f(x) = x^2 + 2x + 1 的导数为4。
2. 案例二：求函数f(x) = (x^2 3x + 2) / (x 1) 的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h= lim(h->0) [((x+h)^2 3(x+h) + 2) / (x + h 1) ((x^2 3x + 2) / (x 1))] / h= lim(h->0) [(x^2 + 2hx + h^2 3x 3h + 2) / (x + h 1) (x^2 3x + 2) / (x 1)] / h= lim(h->0) [(2h + 2) / (x + h 1)] / h= 2 / (x 1)f(x) = (x^2 3x + 2) / (x 1) 的导数为2 / (x 1)。
苏教版选修2《函数的和、差、积、商的导数》说课稿
苏教版选修2《函数的和、差、积、商的导数》说课稿一、教材分析本章是数学选修课程中的一部分，教学内容主要围绕函数的和、差、积、商的导数展开。
通过深入探究导数的概念和性质，可以帮助学生更好地理解函数的变化规律，同时也为后续研究微积分打下坚实的基础。
在教材的设计上，本章主要分为以下几个部分：1.函数的导数概念引入2.函数和的导数3.函数差的导数4.函数积的导数5.函数商的导数6.总结与拓展通过逐步引入不同类型函数的导数计算方法，学生可以渐进地理解函数变化率与导数的关系，并在实际问题中熟练运用所学知识。
二、教学目标1. 知识与能力目标•掌握函数和、差、积、商的导数的计算方法•理解导数的意义和性质•能够灵活运用导数进行函数变化率的计算2. 过程与方法目标•培养学生的逻辑思维和分析问题的能力•提高学生的数学抽象能力和创造性思维•培养学生的合作与沟通能力3. 情感态度与价值观目标•培养学生对数学的兴趣和热爱•培养学生的严谨性和求知欲•培养学生的动手实践精神和解决问题的能力三、教学重点与难点1. 教学重点•函数和、差、积、商的导数的计算方法•导数的概念和性质的理解2. 教学难点•函数和、差、积、商的导数的运算法则的掌握•导数与函数变化率的联系的理解四、教学过程1. 导入与概念解释在导入部分，我将通过一些日常生活中的例子引入导数的概念。
例如，我可以提问学生：当我们驾驶汽车行驶时，我们如何确定汽车的速度是如何变化的？为什么有时我们需要变换车速，有时则需要保持恒速前行？通过引出这些问题，我将帮助学生关注函数的变化规律，从而引出导数的定义和意义。
在解释导数时，我会强调导数是用于描述函数变化率的工具，并与实际问题进行结合，让学生更好地理解导数的概念。
2. 函数和的导数接下来，我将介绍函数和的导数计算方法。
首先，我会解释什么是函数和的导数，然后通过一些简单的数学表达式示例，引导学生理解和的导数的概念。
为了帮助学生更好地掌握和的导数的计算方法，我将设计一些具体的例题，并引导学生逐步分解和的导数运算步骤，明确每一步所使用的运算法则，并鼓励学生在小组内互相讨论和解答问题。
高中数学《函数的和、差、积、商的导数》教案2 苏教版选修1-1
函数的和、差、积、商的导数(2)教学目的：1. 理解两个函数的积的导数法则、和(或差)的导数法则，学会用法则求复 杂形式的函数的导数2.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：灵活应用函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的综合应用．授课类型：习题课教学过程：一、复习引入：函数的差、积、商的求导法则：（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=±（2） []()'()'cf x cf x =（3） []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+（4） '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：例1. 求下列函数的导数 （1）42356y x x x =--+ （2）y =x x sin 2（3）(1)(2)(3)y x x x =+++ （4）1sin 1cos x y x-=+（5）423335x x y x +-= （6）sin (cos 1)y x x =+例2： 在曲线31y x x =+-上求一点P ，是过点P 点的切线与直线47y x =- 平行。
变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=三：课堂练习1．函数2cos x y x=的导数为 。
高中数学 课 题3.2.2函数的和、差、积、商的导数 导学案
课 题： 3.2.2函数的和、差、积、商的导数 第 7 课时一、学习目标：准确记住函数和、差、积、商的导数公式并能熟练应用。
二、课前预习1、基本公式：[]='±)()(x g x f _______________[]=')(x Cf ______________[]=')()(x g x f ______________________='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ___________________________2、求下列函数的导数1）x x y cos 2+=（2）22x y =（3）32+=x x y （4）x x y cos ⋅= 三、课堂探究 法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即[]='±)()(x g x f法则2: []=')(x Cf例1 求下列函数的导数 x x x f sin )()1(2+= 2623)()2(23+--=x x x x g 法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即[]=')()(x g x f例2 求下列函数的导数x x x f ln 2)()1(⋅= )2(用两种方法求函数)23)(32()(2-+=x x x f 的导数法则 4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f 例3 求下列函数的导数tt t s 1)()1(2+= （2）x y tan =四、巩固训练1．函数3223y x x x =-+-的导数是 。
2．若函数()y f x =的导数2'()34f x x x =+，则()f x = （写一个满足的即可）。
3．sin 'y x x y =的导数= 。
2024年同步备课高中数学5.2.2函数的和差积商的导数课件苏教版选择性必修第一册
情境问题
一、情景设置
1．常见函数的导数公式：
2．求下列函数的导数：
y＝3x2；
y＝2x；
3．由定义求导数的基本步骤．
y＝log 2x．
学生活动
二、学生活动 1．探究1：求 y＝x2＋x 的导数．
2．探究2：已知 f (x)，g(x)，怎样求 f (x)＋g(x) 呢？
（g(x)≠0）．
数学应用
例1 求下列函数的导数：
（1） f (x)＝x2＋sin x ； （2） g(x)＝x3－ 3 x2－6x＋2 ；
2 解 （1） f (x)＝(x2＋sin x)＝(x2 )＋(sin x)＝2x＋cos x ．
（2）g(x)＝(x3－ 3 x2－6x＋2)＝3x2－3x－6 ． 2
数学应用
例2 求下列函数的导数：
（1）h(x)＝x sin x ；
（3）S(t)＝t 2＋1 ； t
（2）f (x)＝x2ex ； （4）f (x)＝tan x ．
解 （1）h(x)＝(x sin x)＝xsin x＋x(sin x)＝sin x＋x cosx ．
（2）f (x)＝(x2ex )＝(x2 )ex＋x2 (ex )＝2xex＋x2ex ．
数学建构
函数的和差积商的导数求导法则：
[ f (x) g(x)]＝f (x) g(x)；
[Cf (x)]＝Cf (x)（C为常数）；
[ f (x)g(x)]＝f (x)g(x)＋f (x)g(x)；
[
f (x)]＝ g(x)
f
(x)g(x)－f (x)g(x)
g 2 (x)
（g(x)≠0）．
说明： 有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式 求出较为复杂的函数的导数．
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一、复习提问
1．求导数的三个步骤是什么？
(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)
(1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；
2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．
(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)
解：设y=f(x)＝x＋x2，
=Δu±Δv，
即y'=(u±v)'=u'±v'．
追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？
说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即
例1求函数y＝x3＋sinx的导数．
解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．
设问(继续引入新课)：既然有
(u±v)'＝u'±v'，
(8)y=(1＋2x)(1－cosx)；
就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即
例2求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9．
3．商的导数．
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即
因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是
当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而
即
解：
例4求证当n是负整数时，公式
(xn)'=nxn-1
仍然成立．
证明：设n=－m(m为正整数)
说明：
当n＝0时，(xn)'＝nxn-1也成立，所以对于一切整数n，公式(xn)'＝nxn-1成立．
四、小结
1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：
＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，
因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而
即y'=(uv)'=u'v＋uv'．
若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：
(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．
(1)(u±v)'=u'±v'；
(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；
其中u和v是x的可导函数．
2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．
3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况
那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答．)
则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)
＝Δx(1＋2x＋Δx)，
二、引入新课
让学生观察复习提问2的结果：
y′=1＋2x．
从这个结果可以得到以下两点启示：
1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；
2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？
五、布置作业
1．阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文x3＋x－25；
(2)y=ax4－bx2＋c；
(3)y＝sinx－x＋1；
(4)y=x2＋2cosx；
(5)y=(3x2＋1)(2－x)；
(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；
(7)y＝sinx(1－x2)；
函数的和差积商的导数教案
教学目的
1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；
2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．
教学重点和难点
本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．
那么是否也有
呢？
就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：
①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数v(x)=x2的乘积，即
y=x·x2．
按(1)求导有：
y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．
显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．
结论是肯定的．
三、讲解新课
1．和(差)的导数．
法则1两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即
其中u和v都是x的可导函数．
证明：(可让学生自己完成．)
设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，
则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]
=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]
那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．
2．积的导数．
法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即
其中u和v都是x的可导函数．
证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，
则
Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)