新人教B版学高中数学选修推理与证明演绎推理讲义

学

习目标核心素养

１．理解演绎推理的含义．（重点）

２．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．（重点、易混点）通过演绎推理的学习、提升学生的逻辑推理、数学运算素养.

一、演绎推理

１．定义

根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．２．特征

当前提为真时，结论必然为真．

二、三段论

１．三段论推理

（１）三段论推理是演绎推理的一般模式．

（２）三段论的构成：

１大前提：提供一般性原理；

２小前提：指出一个特殊的对象；

３结论：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．

（３）“三段论”的常用格式

大前提：M是P；

小前提：S是M；

结论：S是P.

２．演绎推理的常见模式

（１）三段论推理

（２）传递性关系推理

用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则aRc”，

其中“R”表示具有传递性的关系．

（３）完全归纳推理

把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．

１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）“三段论”就是演绎推理．（）

（２）演绎推理的结论是一定正确的．（）

（３）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．（）

[答案] （１）×（２）×（３）×

２．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x２＋１）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x２＋１）是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．

[解析] f（x）＝sin（x２＋１）不是正弦函数，故小前提错误．

[答案] 小前提

３．下列几种推理过程是演绎推理的是______（填序号）．

１两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；２金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；３由圆的性质推测球的性质；４科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．

[解析] １是演绎推理；２是归纳推理；３４是类比推理．

[答案] １

把演绎推理写成三段论的形式

（１）一切奇数都不能被２整除，7５不能被２整除，所以7５是奇数；

（２）三角形的内角和为１80°，Rt△ABC的内角和为１80°；

（３）通项公式为a n＝３n＋２（n≥２）的数列{a n}为等差数列．

[解] （１）一切奇数都不能被２整除．（大前提）

7５不能被２整除．（小前提）

7５是奇数．（结论）

（２）三角形的内角和为１80°.（大前提）

Rt△ABC是三角形．（小前提）

Rt△ABC的内角和为１80°.（结论）

（３）数列{a n}中，如果当n≥２时，a n—a n—１为常数，则{a n}为等差数列．（大前提）

通项公式a n＝３n＋２，n≥２时，

a n—a n—１＝３n＋２—[３（n—１）＋２]＝３（常数）．（小前提）

通项公式为a n＝３n＋２（n≥２）的数列{a n}为等差数列．（结论）

把演绎推理写成“三段论”的一般方法

１．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．２．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

１．将下列演绎推理写成三段论的形式．

（１）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

（２）等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.

[解] （１）平行四边形的对角线互相平分，大前提

菱形是平行四边形，小前提

菱形的对角线互相平分．结论

（２）等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提

∠A＝∠B.结论

演绎推理的综合应用

DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．

[思路探究] 用三段论的模式依次证明：（１）DF∥A E，（２）四边形A E DF为平行四边形，（３）DE＝AF.

[解] （１）同位角相等，两直线平行，（大前提）

∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，（小前提）

所以DF∥A E.（结论）

（２）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE∥BA且DF∥E A，（小前提）

所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）

（３）平行四边形的对边相等，（大前提）

DE和AF为平行四边形的对边，（小前提）

所以DE＝AF.（结论）

１．用“三段论”证明命题的步骤

（１）理清证明命题的一般思路；

（２）找出每一个结论得出的原因；

（３）把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．

２．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．

２．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．

[证明] 已知在梯形ABCD中（如图所示），AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.

证明：１等腰三角形的两底角相等，

大前提

△DAC是等腰三角形，DC＝DA，

小前提

∠１＝∠２．结论

２两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提

∠１和∠３是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提

∠１＝∠３．结论

３等于同一个量的两个量相等，

大前提

∠２，∠３都等于∠１，小前提

∠２和∠３相等．结论

即CA平分∠BCD.

４同理BD平分∠CBA.

利用完全归纳推理证明问题

１．演绎推理的结论一定正确吗？

提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．

２．利用完全归纳推理证明方程ax２＋２x—a＝0有实根，a的值应分哪几种情况？

提示：分a＝0和a≠0两种情况．

【例３】试证明函数f（x）＝ln（x＋错误!）的定义域为R，并判断其奇偶性．

[思路探究] 只须对x>0，x＝0，x<0分别说明对数的真数均大于0即可．

[解] 当x>0时，x＋错误!>0显然成立；

当x＝0时，x＋错误!＝１>0成立；

当x<0时，错误!>错误!＝|x|＝—x，

所以x＋错误!>x＋（—x）＝0．

因此对x∈R，都有x＋错误!>0，即函数的定义域为R.

又因为f（—x）＝ln（—x＋错误!）

＝ln（错误!—x）

＝ln错误!

＝ln错误!＝—ln（错误!＋x）＝—f（x）．

故f（x）是奇函数．

１．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．

２．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．

３．求证：n∈N，当１≤n≤４时，f（n）＝（２n＋7）·３n＋9能被３6整除．

[证明] 当n＝１时，f（１）＝（２＋7）·３＋9＝３6，能被３6整除；

当n＝２时，f（２）＝（２×２＋7）·３２＋9＝１08＝３6×３，能被３6整除；

当n＝３时，f（３）＝（２×３＋7）·３３＋9＝３60＝３6×１0，能被３6整除；

当n＝４时，f（４）＝（２×４＋7）·３４＋9＝１２２４＝３6×３４，能被３6整除．

综上，当１≤n≤４时，f（n）＝（２n＋7）·３n＋9能被３6整除.

１．下面几种推理过程是演绎推理的是（）

Ａ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝πＢ．某校高三（１）班有５５人，（２）班有５４人，（３）班有５２人，由此得出高三所有班级的人数都超过５0人

Ｃ．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质

Ｄ．在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!错误!（n≥２），通过计算a２，a３，a４猜想出a n的通项公式[解析] A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．

[答案] A

Ａ．大前提错误Ｂ．小前提错误

Ｃ．推理形式错误Ｄ．是正确的

[解析] 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a ２＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．

[答案] A

３．函数y＝２x＋５的图象是一条直线，用三段论表示为：

大前提：___________________________________________；

小前提：___________________________________________；

结论：_____________________________________________.

[答案] 一次函数的图象是一条直线

函数y＝２x＋５是一次函数

函数y＝２x＋５的图象是一条直线

４．如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.

又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.

上述推理的两个步骤中分别省略了________、________.

[答案] 大前提大前提

５．用三段论的形式写出下列演绎推理．

（１）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；

（２）y＝x２（x∈R）是偶函数．

[解] （１）因为矩形的对角线相等，大前提

而正方形是矩形，小前提

所以正方形的对角线相等．结论

（２）因为x∈R，函数f（x）有f（—x）＝f（x），则f（x）是偶函数，大前提

而y＝x２满足x∈R，f（—x）＝f（x），小前提∴y＝x２（x∈R）是偶函数．