第12章 时间序列回归中的序列相关和异方差

第十二章 时间序列回归中的序列相关 和异方差性
本章讨论多元回归模型中误差项的序列相关 问题，这主要出现在时间序列回归中。上章 指出，当模型是动态完备时，其误差项不存 在序列相关，因此检验序列相关可以用来侦 查动态误设。静态模型和有限分布滞后模型， 即使模型设定正确，也会出现误差项的序列 相关。本章首先讨论在存在序列相关下OLS 的性质，如何检验序列相关，然后介绍相应 的补救措施，最后分析时间序列中的异方差 形式。
由此可见，在序列相关下通常的方差估计量 ˆ 都是 var 的有偏估计。通常的t-统计量， F-统计量和LM-统计量不再可靠。 拟合优度：总体的拟合优度定义为：
1
2 2 R2 1 u /y
12.1 含序列相关误差时OLS性质
在使用平稳且弱相关的时间序列时，误差和 因变量的方差均不随时间而变化，通常计 算的拟合优度指标仍是总体参数的一致估 计量。但如果因变量是I（1）过程，其方差 随时间变化，此时的拟合优度没有什么意 义了。 出现滞后因变量时的序列相关： 几乎所有的计量经济学教材都有如下说法： “在出现滞后因变量和序列相关的误差时， OLS是不一致的”。如何理解？

ut ut 1 et , t 1, 2,
12.3 回归元严格外生时序列相关的修正
误差项的方差为 对原方程进行准差分变换quasi-difference
yt yt 1 1 0 1 xt1 xt 1,1 k xtk xt 1,k ut ut 1 , t 2,3, t 1 0 1 x t1 k x tk et , t 2,3, y t 1, 1
12.2 序列相关的检验
经典假定条件下德宾-沃森检验： n 2 ˆ ˆ u u t t 1
DW
t 2 2 ˆ u t t 1 n
ˆ 与上一部分检验的关系： DW 2 1 DW检验依赖于全部CLM假定，且其分布取决于自 变量的值（还取决于样本容量、回归元的个数和 回归是否包含截距）。DW值需与两个临界值比 较： d , d 当 DW dL ，拒绝原假设，当 DW dU ，不拒绝原 假设，当 dL DW dU，无明确结论。
12.5 在OLS后的序列相关-稳健推断
如果我们坚信解释变量是严格外生的，可使 用FGLS。如果对某些解释变量的严格外生 性表示怀疑，FGLS也一致性都不满足，这 时OLS估计后的SC-稳健标准误最为有用， 特别是存在滞后因变量的模型。
12.6 时间序列回归中的异方差
异方差也可能出现在时间序列模型中，只是 受到的关注不多，因为序列相关问题往往 更亟待解决。 在没有序列相关的情形下，时间序列模型中 的异方差可采用第八章的方法来处理。如 异方差稳健统计量、异方差检验及加权最 小二乘法（WLS）。 ARCH模型：是一种动态形式的异方差，一 阶形式为 E ut2 ut 1 , ut 2 , E ut2 ut 1 0 1ut21
12.6 时间序列回归中的异方差
尽管OLS在ARCH下仍有理想性质，人们比 较关心ARCH形式的异方差，原因有二，一 是对ARCH形式的认识可使我们获得比OLS 估计更有效的估计方法，二是方差经常被 用来度量波动，而波动在资产定价是非常 关键的，ARCH模型在实证金融研究中越来 越重要。 当回归模型中同时存在异方差和序列相关时， 有多种选择。如在准差分的FGLS中使用异 方差-稳健标准误。
12.1 含序列相关误差时OLS性质 ˆ SST OLS估计量为： xu
1 1 1 x n
序列相关下方差为：
ˆ / SST 2 / SST var 1 x
2 2
t 1
t
t

2 x
j xt xt j t 1 j 1
n 1 n t
内生性产生了。
12.1 含序列相关误差时OLS性质
可将此模型变形为：
yt 0 1 yt 1 yt 1 0 1 yt 2 et 0 1 1 yt 1 1 yt 2 et
实际上是一个二阶自回归模型AR（2）。这 说明动态模型误差项的自相关，标志着没 有完备地设定动态回归函数。
12.2 序列相关的检验
对时间序列的多元回归模型如何检验误差项 是否序列相关： yt 0 1xt1 k xtk ut 回归元为严外生时对AR（1）序列相关的t 检验：（1）作 yt xt1 , xtk 的OLS回归， ˆt , t 1 u , 2,, n 得到OLS的残差 （2）作 ut ut 1 的回归，得到系数估计及 ˆ , t 其t统计量： ˆ （3）使用通常的方法，用 t ˆ 来检验 H0 : 0 此检验方法也可用于其它类型的序列相关
12.4 差分和序列相关
当时间序列是一阶单整I（1），即存在单位 根时，OLS估计与推断可能有误导性。因 为如果误差项服从随机游走过程，方程就 没有意义，这时需要对方程进行差分变换， 然后进行OLS估计才有意义。当误差项不 服从随机游走，只有自相关系数为正且比 较大，一阶差分也是很好的主意：它可以 消除大部分的序列相关。
12.3 回归元严格外生时序列相关的修正
当检测出序列相关存在时，如果我们的目标 是估计一个完备动态模型，则需要重新设 定动态模型。如果只是获得参数的好的估 计，可以找到比OLS更有效的估计方法 GLS，但这需要回归元是严格外生的。 AR（1）模型求最佳线性无偏估计量： 假定高斯-马尔可夫假定TS.1-TS.4均成立， 放宽假定TS.5为误差项服从AR（1）模型
L U
12.2 序列相关的检验
DW检验与t检验相比有缺陷，因为可能得到很宽 的不确定区域。 回归元不是严格外生时AR（1）序列相关经验： yt xt1 , xtk （1）将 的 OLS回归，得到 ˆt , t 1, 2,, n OLS的残差 u （2）将 ut xt1 ,, xtk , ut 1 的回归，得到 系数估计及其t统计量： ˆ , t ˆ （3）用t ˆ 来检验 H 0 : 0 AR（q）序列相关检验：
2 1/2
2 var ut e / 1 2

y1 1
2 1/2

0 1
2 1/2

1 x11 1
2 1/2

k x1k 1
2 1/2

u1
对变换后的方程采用OLS估计，由此得出的 估计量为BLUE，因为变换后的方程是序列 无关和同方差，这是GLS的一种形式。
12.3 回归元严格外生时序列相关的修正
当OLS与FGLS的估计值有实际差别时，更困 难的问题出现了：我们很难判断这种差别 是否统计显著？（Hausman检验是可利用 的一种工具） OLS和FGLS的一致性和渐近正态性严重依赖 于时间序列的弱相关性，当用在某些单位 根过程时会有一些奇怪的结果出现。 更高阶序列相关的修正：原理是一样的， 方法稍复杂，幸运的是许多计量软件能够 很容易估计存在AR（q）的模型。
可能是序列相关的。 在如下情况，OLS估计是不一致的：
yt 0 1 yt 1 ut , ut ut 1 et , 1 由于 cov yt 1, ut cov( yt 1, ut 1 et ) cov yt 1 , ut 1 0
12.5 在OLS后的序列相关-稳健推断
Newey和West（1987）提出了OLS估计的序列相关 -稳健（SC-稳健）标准误方法。具体的技术细节 不讨论，Eviews软件可自动计算出SC-稳健的标 准误。 从经验看，在序列相关存在时，SC-稳健的标准误 一般比通常的OLS标准误要大，因为大多数情况 下误差项是正序列相关。 SC-稳健标准误的使用要落后于异方差稳健标准误 的使用的原因：（1）大型截面数据比大型时间序 列数据更为普遍，当样本很小时SC-稳健标准误 的表现可能比较糟糕。（2）SC-稳健标准误的计 算上有些不是自动完成的。（3）使用SC-稳健标 准误往往会使系数不显著，或至少不如通常的 OLS标准误那么显著。
12.3 回归元严格外生时序列相关的修正
AR（1）模型的可行GLS估计： yt xt1 , xt 2 ,, xtk （1）作 的OLS回归，求出OLS ut t 1 , 2,, n 残差 ˆ （2）作 ut ut 1 的回归，求出 ˆ 对方程进行准差分变换，然后OLS （3）用 估计。常见的标准误、t统计量和F-统计量 均是渐近正确的。
12.1 含序列相关误差时OLS性质
无偏性和一致性：在序列相关下，第十章 OLS的无偏性仍成立，第十一章OLS的一 致性也成立。 效率与推断：在出现序列相关时，OLS不 再是BLUE，通常的OLS标准误和检验统计 量也不再生效。以简单回归为例说明：
yt 0 1 xt ut ; ut ut 1 et , 1, t 1, 2,, n
12.1 含序列相关误差时OLS性质
作为一般论断，不一定正确。如： yt 0 1 yt 1 ut , E ut yt 1 0 满足同期外生，OLS估计是一致的。而 cov ut , ut 1 cov(ut , yt 1 0 1 yt 2 ) 1 cov(ut , yt 2 )
12.3 回归元严格外生时序列相关的修正
根据自相关系数的估计和处理第一次观测的方法的 不同，AR（1）模型的FGLS估计有许多名称， Cochrane-Orcutt(CO) estimation省略了第一次观 测，而Prais-Winsten estimation按照上面的方法 使用了第一次观测。实践中两种方法可以使用迭 代模式。 OLS与FGLS的比较：在序列相关存在下，OLS与 FGLS均是一致估计，但总认为FGLS比OLS更优 越是不正确的。OLS的一致性只需要同期外生， 而FGLS的一致性需要严格外生。如果严格外生不 满足的话，FGLS可能给出误导性的结果。