对偶理论与影子价格
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运筹学教学中对影子价格和对偶问题最优解关系的讨论
运筹学教学中对影子价格和对偶问题最优解关系的讨论用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。
用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。
影子价格与对偶价格：
当求目标函数的最大值时，增加的数量就是改进的数量，所以影子价格就等于对偶价格；
当求目标函数的最小值时，改进的数量应该是减少的数量，所以影子价格即为负的对偶价格。
1 矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
8 16 12
b
单纯形法的矩阵描述
1 0 2 x 1 1 0 8 4 0 0 x 0 0 x 3 16 5 x 0 1 4 x 2 0 1 4 12
解: 把原问题化为标准型
m axz 2 x 1 3 x 2 8 x1 2 x 2 x 3 4 x 1 x4 16 s .t. 4 x2 x 5 12 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
单纯形法的矩阵描述
用单纯形法求解如下:
1 0 2 B3 4 0 0 0 1 4
线性规划问题的对偶问题
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
B 1 1 / 4 0 0 2 0.5 1 0.5 1 / 8 0
第一讲 对偶理论和影子价格
四川农业大学数学系王莉莉
14
线性规划问题的参数变化灵敏度分析
灵敏度分析中研究C、b等参数在保持最优解或最优 基不变时的允许变化范围或改变到某一值时对问题 最优解的影响，若C按( C+λC* )或b按( b+ λ b* )连 续变化，而目标函数Z(λ )是参数λ的线性函数时， 将下面的问题称为参数线性规划。
四川农业大学数学系王莉莉
9
对偶问题解的经济含义：
对偶问题解中变量 yi* 的经济含义是在其他条件 不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起 的目标函数最优值的变化。所以， yi* 描述了原 始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处 于最优的配置时），第 i 种“资源”的某种“价 值”，故称其为第 i 种“资源”的影子价格。
25
四川农业大学数学系王莉莉 16
并进一步讨论以下3个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项 投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付 给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
对偶理论与灵敏度分析
线性规划的对偶理论
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是 深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同 时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它 成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分 析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为 什么会产生这样一种问题呢？
四川农业大学数学系王莉莉
四川农业大学数学系王莉莉
22
最优基不变条件 下目标函数系数 的允许变化范 围：x1的系数为 Ranges in which the basis is unchanged: （72-8， 72+24）= Objective Coefficient Ranges （64，96） Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Row 2 3 4 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 50.00000 10.00000 6.666667 480.0000 53.33333 80.00000 100.0000 INFINITY 40.00000
2.3对偶解的经济解释
木工的影子价格 y 3 = 10 即增加1小时的木工，总收入增加 元 小时的木工， ，即增加 小时的木工 总收入增加10元 餐桌的影子价格 y 4 = 0 ，即增加1个餐桌的需求，总收入不增加 个餐桌的需求， 即增加 个餐桌的需求
投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？ 投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？
（j = 1,2, L , n)
资源
B1
B2 L Bn
资源 限制
A1 A2 M Am
单位 利润
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L L L L am1 am2 L amn
b1 b2 M bm
x1 , x 2 L , x n ≥ 0
c1 c2 L cn
种资源增加一个单位， 决策依据： 比较第 种资源增加一个单位 决策依据： 比较第i种资源增加一个单位，其余资源不增加 时利润的增加值
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余， 因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。 650 若把最优方案带入钢材 约束：有 5 x1 * +2 x 2 * = < 170 7 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 只能造成积压，不会给工厂增加效益。
⇒ y1 * = 0
*影子价格的大小客观地反映了资源 影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度 在系统内部的稀缺程度
(2)若有某个αi X* ≠ bi ,则必有yi * = 0
(3)若 某 xj * ≠ 0,必 则 *Pj = cj 有 个 有 Y (4)若 某 Y *Pj ≠ cj ,则 有 j * = 0 有 个 必 x
(1)若有某个yi * ≠ 0,则必有αi X* = bi
资源的合理利用问题：
投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？ 投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？
（j = 1,2, L , n)
资源
B1
B2 L Bn
资源 限制
A1 A2 M Am
单位 利润
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L L L L am1 am2 L amn
b1 b2 M bm
x1 , x 2 L , x n ≥ 0
c1 c2 L cn
种资源增加一个单位， 决策依据： 比较第 种资源增加一个单位 决策依据： 比较第i种资源增加一个单位，其余资源不增加 时利润的增加值
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余， 因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。 650 若把最优方案带入钢材 约束：有 5 x1 * +2 x 2 * = < 170 7 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 只能造成积压，不会给工厂增加效益。
⇒ y1 * = 0
*影子价格的大小客观地反映了资源 影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度 在系统内部的稀缺程度
(2)若有某个αi X* ≠ bi ,则必有yi * = 0
(3)若 某 xj * ≠ 0,必 则 *Pj = cj 有 个 有 Y (4)若 某 Y *Pj ≠ cj ,则 有 j * = 0 有 个 必 x
(1)若有某个yi * ≠ 0,则必有αi X* = bi
资源的合理利用问题：
运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件
3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
16
价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
34
2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
22
例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
运筹学课件第三节影子价格
运筹学教程
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
对偶理论与影子价格
9
管
理
运
筹
学
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： 1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的 不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等 于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。 2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量 3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换 4.两个规划模型中的变量皆非负
21
管
理
运
筹
学
弱对偶定理的推论： 1.（P）任一可行解的目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下界；（D）任一可行解的目标函数值是 其原问题目标函数值的上界。 2. 若（P）可行，那么（P）无有限最优解的充分 必要条件是（D）无可行解。 3. 若（D）可行，那么（D）无有限最优解的充分 必要条件是（P）无可行解。 4. 若（P）、（D）可行，那么（P）、（D）都有 最优解。
第六节 对偶理论与影子价格
对偶问题的提出 对偶问题的形式 对偶问题的基本性质 影子价格
1
管
理
运
筹
学
对偶问题的提出
2
管
理
运
筹
学
例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。 设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数 目标函数 min f 65 y1 40 y2 75 y3 max z 1500 x1 2500 x2 目标函数 3 y1 2 y2 1500 3 x1 2 x2 65 （不少于甲产品的利润） 2 x x 40 约束条件 1 2 约束条件 2 y1 y2 3 y3 2500 3 x2 75 （不少于乙产品的利润） x 0, x 0 1 2 y1 0, y2 0, y3 0
对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用
影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
线性规划对偶理论(含影子价格)_21136
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对 称
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
x2 0,
x2
2
0
无界
关于无界性有如下结论： minW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可 行解
对偶问题 无可行解 无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1
y1
y2 0, y2
1 0
无可 行解
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
〔1〕目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
〔2〕一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
〔3〕一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
〔4〕原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
〔4〕强对偶性〔最优解的目标函数之间的关系〕 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
2.5对偶问题的经济解释-影子价格
（LP）问题 max z = CX s.t. AX≤b X≥0
n m
（DP）问题 min w = Yb s.t. YA ≥ C Y≥0 (1)
z* c j x* bi yi* w* j
j 1 i 1
bi 代表：第i种资源的拥有量； 对偶变量yi*的意义代表：在资源最优利用条件下， 对单位第i 种资源的估价。 影子价格 这种估价不是资源的市场价格， (shadow price) 而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价。
y2
ym
ym1
ym 2
ym+j =(y1 a1j +y2 a2j+…+ym amj)-cj =YT aj –cj 差额成本=机会成本-利润
3 互补松弛定理的经济学意义
ˆ ˆ 当 aijxj bi时，y i 0;
j 1
n
ˆ 当 y i 0时， aijxj bi ˆ
z*=15
(2.8,3.2)
z*=15.2
(3.5，3) z*=16
各约束条件的资源量 ③ 增加一个单位，有 (3,3) x3 =0 2x1+2x213 y1=1 y2=0 x4 =4 4x117 y3=0.2=1/5 x5 =0 5x216
②
②
x1 ① ①
2x1+2x213 4x117 5x216
经济学研究如何管理 自己的稀缺资源
j 1
n
这表明生产过程中如果某种资源未得到充分利用时， 该种资源的影子价格为零；
又当资源的影子价格不为零时，bi 表明该种资源 在生产中已耗费完毕。
4 单纯型表中检验数的经济学意义
从影子价格的含义上考察单纯形表 的检验数的经济意义。m 1 j c j CBB Pj c j yi aij （4）
影子价格问题
两种原料在两个工厂的影子价格
工厂F1 A的影子价格（y1* ） B的影子价格（y2* ） 3/7 13/7 工厂F2 7/2 1/2 可见
A在F1 的影子价格小于在F2 的影子价格 B在F1 的影子价格大于在F2 的影子价格
∆b1 的变化范围 （L1 ） （L2 ） 15 ∆ b1 20 8 ∆ b1 8
VARIABLE VALUE X1 4.000000 LP问题的解 X2 2.000000 ROW 2) 3) 4)
剩余变量和松 弛变量的取值
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 4.000000 2
DUAL PRICES 1.500000 影子价格 （对 0.125000 0.000000 偶问题的解）
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 31.42857 VALUE 1.428571 2.142857 REDUCED COST 0.000000 0.000000 影子价格 （对 偶问题的解）
LP问题的解（对 应变量的取值） 剩余变量和松弛 变量的取值
VARIABLE X1 X2
x2 x1
z
（L2 ）
Max z = 6x1 +8x2 St. x1 +2x2 12 （原料A） 5x1 +2x2 20 （原料B） x1 ，x2 0
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 52.00000 REDUCED COST 0.000000 0.000000
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 14.000000 2.000000 X2 8.000000 4.000000 5.600000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 12.000000 8.000000 8.000000 3 20.000000 40.000000 8.000000
运筹学课件 第三节 影子价格
由强对偶定理知
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此 Z*
-1
= Y*b=b1y1+b1y2+…bmym
Z* bi
= CBB-1= Y*
或
Z* bi
= （ Y*b） = yi* bi
运筹学教程
线性规划的对偶理论 对偶问题解的经济含义： 由上面分析——对偶问题解中变量 yi* 的 经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的 变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达 到最优时（各种“资源”都处于最优的配置 时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称 其为第 i 种“资源”的影子价格。 下面图解阐述影子价格的直观含义：
运筹学教程
所有检验数≤0意味着
CN CBB
1
N 0Y AC
T
，
说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。 换言之，当原问题的基B既是原可行基又是 对偶可行基时，B成为最优基。 补充定理 B是线性规划的最优基的充要条 件是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
运筹学教程
单纯形法的求解过程就是： 在保持原问题可行的前提下（b列保持≥0）， 通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。 2、 对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原问题可行（b列≥0，从非可行解变 成可行解）。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x 2 3 x 3 x1 x 2 x 3 5 st . x1 x 2 4 x 3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
对偶单纯形影子价格课件
投资决策案例
总结词
投资决策问题涉及到如何分配资金进行各种投资，以 实现最大的预期回报。
详细描述
在投资决策案例中，通常有多项投资选择，每项投资都 有不同的预期回报和风险。通过使用对偶单纯形法，可 以找到最优的投资组合，使得预期回报最大而风险最小 。具体来说，这涉及到构建一个线性规划模型，其中决 策变量表示每个投资项目的资金分配比例，目标函数表 示预期回报的最大化，约束条件表示资金总量和风险限 制。然后，通过求解这个线性规划模型，可以得到最优 的投资组合方案。
迭代法
对于非线性规划问题，可 以通过迭代法逐步逼近最 优解，并计算每个迭代步 的影子价格。
约束法
对于某些特殊形式的规划 问题，可以通过约束法直 接计算影子价格。
影子价格的经济含义
影子价格反映了资源的稀缺程度 和重要性，可以用于资源分配和
投资决策。
在经济分析中，影子价格可以作 为资源的边际贡献，用于评估不
02 影子价格的概念
影子价格的定义
01
影子价格也称为边际价格或条件 价值，是指资源在最优配置条件 下，每增加或减少一个单位所引 起的价值变化。
02
在线性规划问题中，影子价格通 常表示为对偶问题的最优解，反 映了资源在最优解下的稀缺程度 和重要性。
影子价格的计算方法
01
02
03
对偶单纯形法
通过求解对偶问题的最优 解，可以得到原问题的影 子价格。
资源分配问题
总结词
影子价格在资源分配问题中，可以用于评估不同资源在不同用途下的潜在价值，为决策者提供科学的资源配置依 据。
详细描述
在资源有限的情况下，如何将资源合理分配到各个项目中，以实现整体效益最大化是资源分配问题的核心。通过 对偶单纯形法，可以求解出每个资源的影子价格，即该资源在约束条件下的边际贡献，从而帮助决策者了解资源 的相对紧缺程度和潜在收益，实现资源的有效配置。
运筹学第2章 对偶理论
写出对偶问题
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
对偶问题的经济解释-影子价格
是未知数。
由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，
资源的影子价格也随之改变。
企业
市场价格
影子价格
市场
2．资源的影子价格是一种机会成本
.在纯市场经济条件下, 设第i 种资源的单位市场价格为mi ， 当yi > mi 时，企业愿意购进这种资源， 单位资源的纯利为yi－mi ，则有利可图； 如果yi < mi ，则企业有偿转让这种资源， 可获单位 资源的纯利mi－yi ， 否则，企业无利可图，甚至亏损。 随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化， 一直到影子价格与市场价格保持同等水平时， 才处于平衡状态。
x1 , x2 , x3 0
( A资 源 限 制) (B资 源 限 制) (C资 源 限 制)
已解得最优单纯形表如下 ：
CB
XB b
x1
x2 x3 x4 x5 x6
2
x2 100 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0
5
x3 230 3/2 0 1
0 1/2 0
0
x6 20 2
00
-2
11
Z
Z′*= y1*b1+ y2*b2+…+yi*（ bi+1 ）+…+ym*bm ∴ △Z*= Z′*－ Z* = yi*
也可以写成： Z*
bi
yi * (i 1,2m)
边际价格
即yi*表示Z*对 bi的变化率。
影子价格的定义：
是对偶问题的最优解Y*=(y1*,y2*,…，ym*), 是一个向量，
三 LP和DP中其它概念的经济学意义
1 对偶约束的经济解释---产品的机会成本（opportunity cost ） 增加单位资源可以增加的总利润
影子价格理论及确定方法
= 1 16 <=
24 16
Machine 1 time(hours) Decision variables Objective function Constrains: product A x product b y 2 24
Machine 2 time(hours) 1 16 Total profit 64 Slack 0 0
* * i 1
m
12
原问题与对偶问题的关系
互为对偶 最优解的存在性相同。 目标函数值相等。 解互为影子价格。
对偶问题的求法
原问题（对偶问题） 目标函数 max 约束条件≤ 约束条件≥ 对偶变量≤0 对偶变量≥0 约束条件= 自由变量 对偶问题（原问题） 目标函数 min 对偶变量≥0 对偶变量≤0 约束条件≤ 约束条件≥ 自由变量 约束条件=
5．从影子价格的含义上考察单纯形表的 检验数的经济意义。
j c j C B P c j yi a
B
1
m
j
ij
m
c j —第j种产品的产值
y i a ij
i 1
（4）
—生产第j中产品所消耗各项资源的
影子价格的总和。（即隐含成本）
i 1
可见，产品产值>隐含成本 可生产该产品； 否则，不安排生产。——检验数的经济意义
影子价格的经济意义
2．影子价格是一种边际价格。 z * * 在式中， b i y i 。 y i* 说明 的值相当于在资源得到最优利用 的生产条件下， b i 每增加一个单位时目标 函数 z 的增量。
3
几何解释：引例图解法分析。
6 x1 2 x2 24
（3，3） 6 x1 2 x2 25 （7/2，3/2），z=8.5 （15/4，5/4）,z=8.75
24 16
Machine 1 time(hours) Decision variables Objective function Constrains: product A x product b y 2 24
Machine 2 time(hours) 1 16 Total profit 64 Slack 0 0
* * i 1
m
12
原问题与对偶问题的关系
互为对偶 最优解的存在性相同。 目标函数值相等。 解互为影子价格。
对偶问题的求法
原问题（对偶问题） 目标函数 max 约束条件≤ 约束条件≥ 对偶变量≤0 对偶变量≥0 约束条件= 自由变量 对偶问题（原问题） 目标函数 min 对偶变量≥0 对偶变量≤0 约束条件≤ 约束条件≥ 自由变量 约束条件=
5．从影子价格的含义上考察单纯形表的 检验数的经济意义。
j c j C B P c j yi a
B
1
m
j
ij
m
c j —第j种产品的产值
y i a ij
i 1
（4）
—生产第j中产品所消耗各项资源的
影子价格的总和。（即隐含成本）
i 1
可见，产品产值>隐含成本 可生产该产品； 否则，不安排生产。——检验数的经济意义
影子价格的经济意义
2．影子价格是一种边际价格。 z * * 在式中， b i y i 。 y i* 说明 的值相当于在资源得到最优利用 的生产条件下， b i 每增加一个单位时目标 函数 z 的增量。
3
几何解释：引例图解法分析。
6 x1 2 x2 24
（3，3） 6 x1 2 x2 25 （7/2，3/2），z=8.5 （15/4，5/4）,z=8.75
运筹学讲义影子价格
-1 4/3 -1/3 2 -1/3 1/3 -1 -5/3 -1/3
4 B19b1331
13319b1334b1b1/33
9/4≤b1 ≤9
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
cj
233
0
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
x5
CB
b
0 x4
2
111
1
0
0 x5
9
147
0
1
2 x1 -1/3 1 0 -1 4/3 -1/3
格 举
y1 y2 2
s
.t
.
y1 y1
4 7
y2 y2
3 3
材料的影子价格为1/3。
如果目前市场上材料的价 格低于1/3，则企业可以 购进材料来扩大生产，反
例
y 1 0 , y 2 0 之可以卖掉部分材料。
如果有客户以高于5/3
的价格购买工时，则可以
出售一些工时，反之则反
和市场价格的比较
市场价格
影子价格
影 商品的价值的货币 资源最优利用时的边际
子 表现
价值
价 随着市场的供求情 随着经济结构的变化而
格
况和有关方针，政 变化，同一资源在不同 策的变化而变化。 的经济结构中影子价格
的
不同。
特 它的制定含定价者 它的形成完全由经济结
点 的主观因素
构的客观条件确定。
它的制定是个比较 它的计算是比较容易的。
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
cj
C21 3 3
0
XB
xj x1 x2 x3
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y 1 0 , y 2 0 , y 3 0
解： 可以建立如下的线性规划模型：
目标函数 m axz 1 5 0 0 x 1 2 5 0 0 x2
约束条件
3 x1 2 x2 6 5
2 3
x x
1 2
x2 75
40
x 1 0 , x 2 0
化为标准型，利用单纯形法进行求解。 最优解X=(5, 25, 0, 5, 0)， 最优值（利润）为70000。
m axz 1 5 0 0 x 1 2 5 0 0 x2
3 x1 2 x2 6 5
2 3
x1 x2
x2 75
40
x 1 0 , x 2 0
m inf 6 5 y 1 4 0 y 2 7 5 y 3
3 y1 2 y2 1500
2
y1
y2
3 y3
2500
y1
0,
y2
0,
y3
（DP） s.t.
minzYTb ATY CT
Y 0
“Min——≥”
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系：
1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的不等 式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等于”的不等 式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。
2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量
第六节 对偶理论与影子价格
▪ 对偶问题的提出 ▪ 对偶问题的形式 ▪ 对偶问题的基本性质 ▪ 影子价格
对偶问题的提出
▪ 例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
目标函数 m inf 6 5 y 1 4 0 y 2 7 5 y 3
3 y1 2 y2 1500
约束条件
3 x1 2 x2 6 5
2 3
x x
1 2
x2 75
40
x 1 0 , x 2 0
约束条件
（ 2
不 y1
少
于 y2
甲产品 3 y3
的利润 2500
）
（ 不 少 于 乙 产 品 的 利 润 ）
x
3
1
x
1
x 2
x 2 x 3
6 x 3 6 x 3 x 3 4
1
x1
x 2
x 3
x 3
4
x 1 , x 2 , x 3 , x 3 0
写出对偶问题：
m i n f 2 y 1 y 2 4 y 3 4 y 3
2 y 1 3 y 2 y 3 y 3 1
解： 设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。可以建立以下线性规划模型：
m inf 6 5 y 1 4 0 y 2 7 5 y 3
3 2
y1 y1
2 y2 1500 y2 3 y3 2500
y1
0,
y2
0,
y3
0
化为标准型，利用单纯形法进行求解。 最优解Y=(500, 0, 500, 0, 0) 最优值（收费）为70000。
现在从另一个角度来讨论该问题： 如果工厂考虑不安排生产，而准 备把所有设备出租（或用于外协加 工），工厂收取租金（或加工费）。 试问：设备 A、B、C 每工时各如何 收费（租金或加工费）才最有竞争力？
工厂为了获得最大利润，在为设
产品甲 产品乙 设备能力 备定价时，应保证生产某产品的设备
设备A
3
2
65
3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换
4.两个规划模型中的变量皆非负
Max z x1 Min f
y1
a11
y2
a21
…
…
ym
am1
x2 … xn
a12 … a1n a22 … a2n ……… am2 … amn
xi ≥0
≤ b1 ≤ b2 ≤… ≤ bm
≥ ≥ ≥ ≥
yi ≥0
工时所收取的费用不低于生产该产品
设备B
2
1
40
的利润；同时，为了提高竞争力，应
设备C
0
3
75
该使定价尽可能低。
利润
1500 2500
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、
B、C 的收费。
设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数
目标函数 m axz 1 5 0 0 x 1 2 5 0 0 x2
c1
c2 … cn
一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称 形式的对偶规划。
对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关 系进行处理并给出其对偶规划：
1. 将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对 于其中的等式约束按下面的方法处理；
2. 若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶 规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制；
0
原问题 对偶问题
可以看到，这两个问题关系密切，用同样的原始数据：
目标函数 约束条件 系数矩阵 资源常数 目标系数
原问题
Max
≤ A b
c 2个变量 3个约束 解 检验数
对偶问题
Min
≥ AT c
b 2个约束 3个变量 检验数 解
线性规划有一个有趣的特性，就是对于任何一个 求极大的线性规划问题都存在一个与其匹配的求极小 的线性规划问题，并且这一对线性规划问题的解之间 还存在着密切的关系。线性规划的这个特性称为对偶 性。
对这两个线性规划问题，一般称前者为原问题， 后者是前者的对偶问题
对偶问题的形式
如果线性规划问题的变量均具有非负约束，其约束 条件当目标函数求极大值时均取“≤”，当目标函数求极小 值时均取“≥”，则称具有对称形式。
对称形式下原问题和对偶问题的形式：
（LP） maxzCX AX b
s.t.
X 0 “Max——≤”
3. 若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对 偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。
也可以直接给出其对偶规划。
例2：写出下面线性规划的对偶规划模
m ax z x1 4 x2 3 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
s
.t
.
3
x1
x2
6
x3
1ห้องสมุดไป่ตู้
x1
x2
x3
4
x1
0,
x2
0,
x
没
3
有
非
负
限
制
解：先化为对称形式（Max—≤）
“≥”的约束两端同乘以“–1”
“=”的约束等价转换为“≤”和“≥”的两个约束，再
变换 变量≤0，用变量替换，如 x2 = -x2 变量无非负限制，用变量替换，如 x3 x3 x3
m a x z x 1 4 x 2 3 x 3 3 x 3
2 x 1 3 x 2 5 x 3 5 x 3 2