计数排列与组合

计数排列与组合

一.排列 1.相邻问题——捆绑法

5名男生、2名女生站成一排，求以下情况下不同站法

（1）2名女生相邻 （2）男生相邻

（3）男生站一起，女生站一起

6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的种数为（ ）

A.66A B 333A . C.3333A A D.3344A A

7人站成一排,其中甲、乙相邻且丙丁相邻,共有不同的排数为________.

由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数中,含数学2,52,5且相邻的四位数的个数

是_________.232332

,:C A A 一取二排

2.不相邻问题——插空法

5名男生、2名女生站成一排，求以下情况下不同站法

（1）甲、乙不相邻 （2）女生不相邻

8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）

A.2988A A B 2988C A . C.2788A A D.2788C A

有数学书3本，语文书2本，物理书1本，若将其并排摆放在书架的同一层上，则同类书都不相邻的放法数为_______.120

在5,4,3,2,1的任一排列中,使相邻两数都互质的排列方式共有________种.

某班班会准备从含甲、乙的8名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时的顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ）

A.960

B.1040

C.1140

D.1320

(分析:分两类:①甲、乙中只有1人参加发言.此类无特殊要求故134264960C C A =

②甲、乙2人都参加发言.此类有”不相邻”要求故222623180C A A =)

[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120 C．72 D．24

[解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，先放3张椅子,再在4个空位中选3个放人3

4

A＝24.

[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()

A．72 B．120 C．144 D．168

[解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A33种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有C12A22A22种．所以由计数原理可得节目的排法共有A33(2A33＋C12A22A22)＝120(种)．

3.相邻与不相邻的综合

A,B,C,D,E五种不同商品在货架上排成一列,其中A,B两种商品必须排在一起,而C,D两种商品不能排在一起,则不同的排法有( )

A.12

B.20

C.24

D.48

用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,则这样的八位数共有________个.

（14.北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C

不相邻,则不同的摆法有______种.321

32336

A A C

有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本．将这些书排成一排放在书架上，那么数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起，并且数学书与外文书不相邻的排法共有________种．A33A24A33A22

4.元素或位置有要求限制——优先考虑

七人排成一列，求下列条件下的站法

（1）甲不站最左端（2）甲不站两端

五个工程队承建某项工程的五个子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有________种.

(14.四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )

A.192种

B.216种

C.240种

D.288种

甲、乙、丙三位志愿者在周一至周五的五天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排1人，并且甲排在另两位前面，则不同的安法共有（）A.20 B.30 C.40 D.60

5.限制条件与相邻、不相邻的综合

记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人照相,要求排成一列且2位老人相邻,但不排两端,则不同的排法有( )

A.1440

B.960

C.720

D.480

某校召开文艺晚会，其中5个舞蹈，4个唱歌，唱歌节目不排两头，并且任两个

唱歌不连排，有_______种不同排法.

有6名男生和4名女生自左至右排成一列,其中女同学不相邻但最右端必须是女同学的排法有( )种

A.4466A A B 663614A A A . C.6633A A D.3666A A

将3本互不相同的数学书与4本互不相同的英语书放在书架同一层排成一排,则仅有2本数学书相邻且这2本数学书不放两端的放法的种数为__________

(分析:此题含三个要求:①有2本数学书要相邻②剩下1本数学又不能与前2本数学书相邻③相邻的数学书不排在两端.故采用”捆绑””插空””优先原则” 一般先插空再捆绑,特

殊要求分类讨论.4212143324

()A C C A C

(09.四川)2位男生和3位女生共5名同学站成一排,若男生甲不排两端,3位女生中有且仅有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )

A.24

B.36

C.48

D.72

6.对立问题

从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )

A.108

B.186

C.216

D.270

在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复的四位数中,不能被5整除的共有_______个.

二.组合

1.一次”任取”

一个口袋内有大小相同的7个白球和1个黑球,从口袋内取出3个小球共有_____种不同取法.

在10件产品中,有3件次品,从中任取5件,

(1)恰有2件次品的抽法有多少种? (2)至多有2件次品的抽法有多少种?

(3)至少有2件次品的抽法有多少种?

2.”限制”下取元——分类讨论

甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出4人中恰好有1名女同学的不同选法共有( )

A.150

B.180

C.300

D.345

从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有

男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答) C 110C 26＋C 210C

某校要派6名老师中的4位去参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣的方法数共有（ ）