精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt

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高等数学ppt课件:定积分的几何应用

高等数学ppt课件:定积分的几何应用

到的旋转体体积为
证 对于任意 x [a, b] , 用过点 x 且与 x 轴 垂直的平面截该旋转体, 则截面是一个半 径为 f ( x) 的圆盘(见图) ,
因此, A( x) πf 2 ( x) ,故旋转体的体积
V π f 2 ( x)dx
a
b
39-13
推论 6.2.3
将由 y 轴,直线 y c, y d (c d ) 及连续曲线 x ( y )
x [a, a] 且垂直于 x 轴的平面截楔形体的
截面为一直角三角形,其面积为 1 2 1 2 2 2 2 A( x) a x a x tan (a x 2 ) tan 2 2
故由定理 6.2.3,所求体积为
a x 3 a 2a 3 1 2 2 2 tan V A( x)dx tan (a x )dx tan (a x ) 0 a a 3 3 2 a
A


1 2 dA r ( )d . 2
39-7
例 6.2.4 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平 面图形的面积,其中常数 a 0 .
y o
4
a x
4
解 由对称性,求出第 I 象限内的面积,然后乘以 4 即可.
而双纽线 r 2 a 2 cos 2 在原点处有两条切线,其中位于 π 第 I 象限内部分的切线方程为 (如图).因此,在第 I 4 π [0, ] ,由定理 6.2.2 可得 象限内, 4
1 2 A r ( )d . 成曲边扇形的面积为 2 证 运用微元法来证明 .选取θ为积分变量,则
[ , ] ,在 [ , ] 上任取小区间 [ , d ] ,

1.7.1定积分在几何中的应用PPT课件

1.7.1定积分在几何中的应用PPT课件

y sin x
S1 S2
S S1 S2
O
S1
4 cos x dx
0
4 sin x dx
0
S2
2
sin
x
dx
2
cos
x
dx
4
4
x
42
有其他 方法吗?
S1=S2
练习
练习 1:计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形
的面积.
解: 两曲线的交点
y2 2x
(2,2), (8,4).
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
1 xdx 1 x2dx
0
1
S 0 (
0
x - x2 )dx
21 3 x2
x3 1
21
1.
3
0
3 0
3
3
3
归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤:
(1)画草图,求出曲线的交点坐标 (2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积 (3)确定被积函数及积分区间 (4)计算定积分,求出面积
)dx
2
b 2
h (
4h 3b2
x
3
)
b
2 0
2 bh 3
1.微积分基本定理---------牛顿-莱布尼茨公式
b
f (x)dx
a
b a
F
'
(
x)dx
F
(
x)
|ba
F
(b)
F
(a)
2.定积分的几何意义:
定积分 b f ( x)dx 的几何意义: a 它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图象及两条直线

高等数学(第三版)课件:定积分的应用

高等数学(第三版)课件:定积分的应用

线 y f ( x,) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地,根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.(右图所示)
• 解: 取 为积分变量,

面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)

所围成的平面图形的面积(下图所示)
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai)之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值(各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值(曲边梯形面积).
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x),直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时,则曲

高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt

高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt

解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a

( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)

( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)

A.b[f(x)-g(x)]dx a
C.b|f(x)-g(x)|dx a
B.b[g(x)-f(x)]dx a
D.b[fx-gx]dx
a
解析:因为 f(x),g(x)两条曲线上下位置关系不确定,故选 C.
答案:C
2.曲线 y=x2 与直线 x+y=2 围成的图形面积为( )
A.5
9 B.2
C.4 解析:如图,解方程组y=x2,
t 0,12
1 2
12,1
S′ -
0

S
极小值
所以当t=12时,S最小,且Smin=14.
怎样解答与曲边图形有关的综合问题? 解决与曲边图形有关的综合问题,关键是要正确分析题意,先分清是求曲边 图形面积,还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确作出图形,确定积 分区间和被积函数,然后根据条件,建立等量关系或方程进行求解.
x
∴S=
2 x2dx+
x0 x0
[x2-(2x0x-x02)]dx
0
2
=112x30.
∴112x30=112,x0=1. ∴切点为(1,1),切线方程为 y=2x-1.
因对图形特征认识不清致误
[典例] 求由抛物线 y2=8x(y>0)与直线 x+y-6=0 及 y=0 所围成图形的面积 S.
[解析] 由题意,作出简图(如图)并解方程组y2=8xy>0 x+y-6=0 得 x=2, 所以 y2=8x(y>0)与直线 x+y-6=0 的交点坐标为(2,4).
0
0
8x)dx. (2)应用定积分求平面图形的面积时,正确分析图形特征,将复杂的面积问题分为
几部分来求解,若更换积分变量应相应的将被积函数及积分界限均改变.
[随堂训练] 1.若 y=f(x)与 y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线 x

定积分的几何应用课件

定积分的几何应用课件

电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中,电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势,即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法,通过将积分 区间划分为若干个小的矩形,然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进,它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势,将 积分区间分成若干个小的子区间,然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高,但计算量也相对较大。
THANKS
感谢您的观看
3
曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下,可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积,如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积,首先需要找到图形的边界曲
线表达式,然后确定上下限,最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形,每个 矩形的宽度为小区间的宽度,高度为函数在相应小区间的平 均值。然后,将这些矩形的面积加起来,得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法,通过将积分区间划分为若干个小的梯形,然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h,其中r是底面半径,h是高。

高等数学(第二版)上册课件:定积分的几何应用

高等数学(第二版)上册课件:定积分的几何应用
定积分的几何应用
预备知识:定积分定义的四个步骤,即分割、近似、
求和、取极限;直角坐标与极坐标下常见曲线的图形,
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1,阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成,其中 f (x) g(x) (a x b) ,我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量,它的 .
变化区间为 a,b ,我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ,底为 dx 的窄矩形的面积,从而得到面积微元:
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形,尤其是旋转曲线所包围的图形,
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析,
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分,得所求曲边扇形的面积公式为:
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析:先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析,易得面积元素

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设

存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K,则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点,则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,


故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?

高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用

高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用

S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图,并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次,确定被积函数 和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图,在图中找出所求面积的区域,图形结合,直观
解题;其次,为了确定出被积函数和积分的上、下限,我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究

定积分在几何中的应用 课件

定积分在几何中的应用  课件
S(t) ↘

4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= ‫׬‬0
1
x- - 3 x
3
dx + ‫׬‬1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c

解析:由定积分的几何意义知 S= ‫( ׬‬x)dx − ‫׬‬a

定积分在几何中的应用_ppt课件

定积分在几何中的应用_ppt课件

S 0 ( y 4)dy 0
dy 2
40
3
10
思考:计算由曲线 y2 2x 直线y=x-4以及x轴围成图形的面 积.
解法1:
采用分割的方法
y2 2x
S2 S1 S1
B
A y=x-4
2
8
S 2S1 S2 2 0
2xdx ( 2x x 4)dx 2280 源自 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
成的图形的面积。
y
解:如图:由x2-1=0得到抛物线
与x轴的交点坐标是(-1,0),(1,0).所
求面积如图阴影所示:
所以:
S
2 ( x2 1)dx 1 ( x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
14
练习2. 求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所

x=-3 y=5

x=2 y=0

(-3,5)
(2,0)
所以直线 y=-x+2 与抛物线 y=x2-4
的交点为(-3,5)和(2,0), 设所求图形面积为S,根据图形可得
S=ʃ 2-3(-x+2)dx-ʃ -2 3(x2-4)dx ==(2225x--(12-x2)23|52-3)-=(11326x53.-4x)|2-3
S s1 s2
a
f (x)dx
g( x)dx
a
b
a [ f (x) g(x)]dx
b
b
(3) S a f ( y)dy a g( y)dy
b
a [ f ( y) g( y)]dy
4
例题讲解

7.1 定积分在几何中的应用 课件 《高等数学》(高教版)

7.1  定积分在几何中的应用 课件 《高等数学》(高教版)

称为定积分的元素法(或微元法).
7.1.2 平面图形的面积 7.1.2.1 直角坐标系下平面图形的面积 1. 由连续曲线 y f (x)( f (x) 0) ,直线 x a, x b 及 x 轴围成的曲边梯形的面积为
b
A a f (x)dx
其中被积表达式就是面积元素,即 dA f (x)dx .它表示高为 f (x) ,底为 dx 的矩形的面积(如图 7-2).
一般地,能用定积分求解的总量U (如面积、路程等)应满足下列条件: (1)所求总量U 与自变量 x 的变化区间[a,b] 有关;
(2)所求总量U 在区间[a,b] 上具有可加性.即若把区间[a,b] 分割成 n 个小区间,
n
则所求总量U 等于各个小区间上的相应部分量 Ui 之和,即U Ui . i 1
如果所求总量U 满足以上两个条件,就可以考虑用定积分来求解,具体步骤如下:
(1)选取积分变量 x ,确定其变化区间[a,b] ;
(2)任取小区间[x, x d x] [a,b] ,求出该小区间上的相应分量 U 的近似值 dU .
在求小区间上的相应分量 U 的近似值 dU 时,通常采用“以直代曲”、“以规则代替不规则”或“以均匀
0
0
图 7-10
7.1.3 旋转体的体积 7.1.3.1平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于平面 x a 及 x b (a b) 之间,用一组垂直于 x 轴的平面截此立体, 所得截面面积 A(x) 是关于 x 的已知连续函数,求此立体的体积(如图 7-12).

选取 x 作为积分变量,x [a,b] ,任取小区间[x, x dx] [a,b] ,当 dx 很小时,A(x) 在区间[x, x d x] 上可以近似地看作不变. 因此把[x, x d x] 上的立体薄片,近似地看作底 面面积为 A(x) ,高为 d x 的柱体,则体积元素为
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第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x

y

cos
x

( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2



4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢? 4
SS1 S2

2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
Nanjing College of Information and Technology
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
a
a
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
b
Aa f(x)dx
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
设函数 y = f(x) 在[a,b]上连续,
(1) 在区间[a,b]上任取小区间[x, x+dx],
相应地小区间上面积的近似值为: y
0

8
[
2x (x 4)]dx
2
S2 S1
24 –2
–4
2
2
2x d x8(2xx4 )d x
0
2
222 3x3 20 222 3x3 28 21 2x28 22 4
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例2 求由 y2=2x, y=x-4 所围成的图形的面积
两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
高等数学定积分在几何上的应 用ppt
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容:
一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
Nanjing College of Information and Technology
4
(sin x cos x)

4 (cos x sin x)
0

4
2 2
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
参数方程情形:
设曲边梯形的曲边参数方程为
x

y

x(t) y(t)
,
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积
公式经过定积分的换元法得到:
A
b
ydx
a
x1 (b)
y(t)dx(t)
x1(b)
y(t) x(t)d;t
x1 (a)
x1(a)
d
A xdy c
y1 (d )
x(t)dy(t)
y1 (c)

y1(d)
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
二.定积分求平面图形的面积
(一)直角坐标系下平面图形面积的计算
1.由曲线y=f(x) 和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形
y yf(x)
面积微元: dAf(x)dx 曲边梯形的面积
o a xxdxb x
b
A a f (x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
2.求由两条曲线 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直线 x=a, x=b 所围成平面
面积微元: d A [f(x )g (x )]d x
曲边梯形的面积
b
Aa[f(x)g(x)]dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元:
dA( xx2)dx
x y2
A
1
(
xx2)dx
0

2
3
x2
1 x3
1

1.
3 0 30 3
y x2
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
一.定积分的微元法
设曲边梯形由连续曲线 y
yf(x)(f(x)0)
及 x轴,以及两直线 xa,xb所围成 ,
解决步骤:
o a b 1 x 1

2
x i 1
x
i
i
xn1
x
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
曲边梯形的面积
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
3. 求由两条曲线x=(y),x=(y),( (y) (y)) 及直线
y=c,y=d所围成平面
面积微元:
d A [(y) (y)]d y
曲边梯形的面积:
Acd[(y)(y)]dy
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