弹性力学第七章平面问题的极坐标解
平面问题的极坐标解答ppt课件
轴对称应力问题
§4－5 轴对称应力和相应的位移
轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的 任何面均为对称面。
轴对称应力问题：
应力数值轴对称-- 仅为 ρ的函数， 应力方向轴对称-- τρφτφρ0.
相应的应力函数 Φ，Φ所ρ以
应力公式为：
σ
ρ
1 ρ
dΦ dρ
,
σ
φ
d2Φ d ρ2
,
0.
(a )
（1）相容方程
xyzz z
x
1
2
yx
12zx
12xy y 12zy
1122xyzz
z
l11 l12 l13
l21
l22
l
23
l31 l32 l33
对平面问题：ij yxx
xy
y
x
12yx
12xy
y
csoins
sin cos
T csions
sin cos
x 1 2yx
1 2yx y c sio ns cso in s 1 21 2 cso in sc sio n s
3、可以用前面得到的求一点应力状态的公 式推出。
N l2x m2y 2lmxy N lm(y x)(l2m2)xy.
4、也可以用应力坐标变换公式得到
y xx x y y c s io n c s s o i n s c s o in c s io ns c s o in c s io n s y xx x y y c s io n c s s o i n s
有: ΦΦρΦφ,
x ρx φx Φ yΦ ρ ρ yΦ φ φ y.
一阶导数
而
cos,
x
弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答
ϕ 改变，即与 ϕ 无关。由此可见，凡是轴
对称问题，总是使自变称的 物理量不能存在。
考擦应力函数 U 与 ϕ 无关的一种特殊情况，即轴对称， 此时极坐标形式的双调和方程变成常微分方程 ⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2U 1 ∂U 1 ∂ 2U ⎞ ⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ d2 1 d ⎞⎛ d 2U 1 dU ⎞ ⎜ ⎜ d ρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟⎜ ⎜ dρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
τ ρϕ = τ ϕρ
∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ 1 ∂ 2U 1 ∂U ⎜ ⎟ =− + 2 =− ⎜ ∂ρ ⎝ ρ ∂ϕ ⎟ ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ⎠
¾极坐标系中边界条件的处理： ①、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常 均为坐标面，即ρ 面（ρ 为常数）和 ϕ 面（ϕ 为常数），使 边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 ②、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直 接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定） 应力边界条件：
¾平面问题极坐标形式的几何方程
ερ =
∂u ρ
∂ρ u ρ 1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ 1 ∂u ρ ∂uϕ uϕ + − γ ρϕ = ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
平 面 应 变 问 题
⎧ 1 ⎪ε ρ = (σ ρ −ν 1σ ϕ ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε ϕ = (σ ϕ −ν 1σ ρ ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 +ν 1 ) γ τ ρϕ = ⎪ ρϕ E1 ⎩
¾平面问题极坐标形式的物理方程 平 面 应 力 问 题
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
弹性力学教材习题及解答
1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是A。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如图所示。
试写出球体的面力边界条件。
2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。
试根据材料力学应力解答推导挤压应力y的表达式。
3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。
A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
弹性力学 第七章平面问题的极坐标解答
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
弹性力学平面问题的极坐标解答课件
b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
弹性力学中平面问题的极坐标解答
表示，各应力分量的正负号的规定和 直角坐标中一样。径向及环向的体力
分量分别用 Kr 及 K 表示。如图4-1。
o
d r
r P r
x A
B K
Kr
r
r r
dr
y
dr d
r
r
Cr d
r r
dr
图4－1
考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：
向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须
有B=0。 于是:
A a2
2C
qa
A b2
2C
qb
这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，
得到拉密解答：
r
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1
1
a2
r2 a2
b2
qb
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1 1
a2
r2 a2
b2
qb
下面分别讨论内压力和外压 力单独作用的情况。
两者都属于轴对
o
r
E,
r
E,
r
称应力问题，采用半
逆解法。
设圆筒的应力表达式为：
图4-8
r
A r2
2C,
A r2
2C
设无限大弹性体的应力表达式为：
r
A r2
2C,
A r2
2C
由应力边界条件求待定常数 A 、C 、A 、C。
（1）在圆筒的内表面： ( r )ra q 由此得：
A a2
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
弹性力学 第七章 平面问题的极坐标解
第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
平面问题的极坐标解法
主
要
内
容
§ 4-1 § 4-2 § 4-3 § 4-4 § 4-5 § 4-6 § 4-7 § 4-8 § 4-9 §4-10 §4-11 §4-12
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力与相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 曲梁的纯弯曲 圆盘在匀速转动中的应力与位移 圆孔的孔边应力集中 楔形体的楔顶与楔面受力 半平面体在边界上受法向集中力 半平面体在边界上受法向分布力
方程（ － ）中包含三个未知量，而只有二个方程， 方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定 问题，需考虑变形协调条件才能求解。 问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
径向线段PA的相对伸长： 径向线段 的相对伸长： 的相对伸长
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。 只有径向变形，无环向变形。
（g） ）
∂uθ uθ + dθ ∂θ
uθ A P′′ α ∂uθ dr 2 A′′ uθ +
∂r
环向线段PB的相对伸长： 环向线段 的相对伸长： 的相对伸长
εθ 2 =
∂uθ P′′B′′ − PB BB′′ − PP′′ uθ + ∂θ dθ −uθ 1 ∂uθ = = = PB PB rdθ r ∂θ
τrθ
r
σθ
θ
σθ θ =0 = 0 τrθ θ =0 = 0
σθ θ =180 = 0 τrθ θ =180 = 0
a
θ
τrθ
σr
的半圆分析，由其平衡得： 取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：
第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答
1 ∂u r ∂uθ uθ + − ∂r r ∂θ r
1.3 变形协调方程
1 ∂ 2ε r 1 ∂ 2 1 ∂2 1 ∂ε r + (rε θ ) − 2 (rγ rθ ) − =0 r ∂r r 2 ∂θ 2 r ∂r 2 r ∂r∂θ
1.4 物理方程 平面应力问题：
εr =
1 1 2(1 + ν ) (σ r − νσ θ ) ， ε θ = (σ θ − νσ r ) ， γ rθ = τ rθ E E E E ν E→ 平面应变问题将上式中 ，ν → 即得。 1 −ν 1 −ν 2
θ
r P y
x
σ σθ ,τrθ=τθ r 应变：εr, εθ ,γrθ=γθ r
应力： r, 位移：u r
, uθ
直角坐标与极坐标之间关系:
y=rsinθ ∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ sin θ ∂ = + = cos − ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r r ∂θ
x=rcosθ,
∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ cosθ ∂ = + = sin θ − r ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r
2
则
d 2 1 d 1 d dφ 1 d d 1 d dφ ∇ φ =( 2 + ) (r ) = (r ) = 0 r r dr r dr dr r dr dr r dr dr dr
4
逐次积分（四次）可将轴对称问题的φ
(r)基本形式得到：
1 d2 1 dε r ⇒ (rε θ ) − =0 2 r dr r dr
⇒
d (rε θ ) = ε r ——变形协调方程 dr
由几何方程： rε θ
应用弹塑性力学课后习题答案
附录Ⅱ习题解答提示与参考答案第二章应力理论2-1 ζn=ζ1l2+ζ2m2,；式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。
2-2 p=111.5A；ζn=26A；ηn=108.5A2-3 提示：平面Ax+By+C z+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C)答案：2-4 略2-5 (a)ζ1=738.5；ζ2=600；ζ3=-338.5；ηmax=538.5；应力单位为MPa。
(b)ζ1=700；ζ2=600；ζ3=-600；ηmax=650；应力单位为MPa。
2-6 ζ1=3.732η0；ζ2=-0.268η0；α=15º。
2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。
(弹塑性力学解) 应力单位为MPa。
2-8 ζ1=107.3a；ζ2=44.1a；ζ3=-91.4a；ζ1主方向：(±0.314，0.900，0.305)；ζ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)；ζ3主方向：(0.048，±0.337，0.940)。
2-9；ζ2=0；ζ3=-ζ1。
2-10、2-11 略2-12 (1)略；(2)ζ8=ζm=5.333MPa；η8=8.654MPa。
2-13 p8=59.5；ζ8=25.0a；η8=54.1a。
2-14上式中S为静矩。
材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。
2-15，Q为梁横截面上的剪力。
提示：利用平衡微分方程求解。
2-16 ζ1=17.083×103Pa；ζ2=4.917×103Pa；ζ3=0,∂=40º16′。
2-17 略2-18 2。
2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。
2-20 。
2-21 在AA′上：ζx=-γy，ηxy=0；在AB上：ηxy=0，ζy=-γh；在BB′上：l1=cosα，l2=-sinα，l3=0；则应力分量满足关系式：2-22 。
弹性力学 平面问题极坐标解法
适解问题：主要边界是圆周曲 线的弹性力学平面问题比较适 用于极坐标解法
圆环问题 曲梁（扇形）问题 楔形体问题 开圆孔问题
注意：不同坐标系下的解答， 仅是表答形式不同。由于弹性 力学问题是唯一的，问题的解 答的物理本质也是相同的。
极坐标系
极坐标系是曲线坐标系
坐标r（径向坐标、极径）：坐标 原点到空间点的距离，坐标正向 有原点指向空间点
完全光滑（法向不脱离、切向无摩擦， 可滑动）
法向力学平衡 Tr Tr 0 法向位移连续 ur ur 切向自由 T T 0
不完全光滑（法向不脱离、切向有摩擦，可滑动）
力学平衡 Tr Tr 0, T T 0 法向位移连续 ur ur 切向库伦摩擦定律 T T f Tr f Tr
r
F
0
E
1 2
(
r ),
几何方程
r
E
2(1
)
r
r
ur r
边界条件
ur r
1 r
u
Tr rl r m Tr T rl m T
r
1 ur
r
u r
u r
ur ur u u
极坐标下的应力函数和相容方程（1）
直角坐标下的相容方程 4 22 0
y P
r x2 y2
切线构成局部正交坐标标架
极坐标下的应力、应变和位移
应力分量
法向是径向坐标正向的截面的应力
r rr r
方向是周向坐标正向的截面的应力
r r 应变分量
径向坐标方向的线应变 r rr 周向坐标方向的线应变 相互垂直的径向和周向的剪应变 r 位移分量
径向位移 ur 周向位移 u
2 2 2 1 1 2
弹性力学简明教程-平面问题的极坐标解答习题详解
4第四章年面问軀的級坐标解各典型例题讲解例4T 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果 离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角％其中 = 6 = 0, q = % 得最大正应力。
税“所在截面的方位角为％若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成殳方向截取矩形ABCD,则在其边界 4上便承受集度为q的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由a =t7 cos 2(^(1--^-)(1-3-^5-),P~ P-厂4(4-18)=-^cos2^(l + 3—XP2 2% = -q sin 2卩(1 一二)(i+3 二)・得矩形薄板ABCD内的应力分量为2 2j =gcos2°（l-爲）（1-3牛）（a）=-^ cos 2^（1+ 3^-）（b）p2 2% sin 2卩（1 - $）（1+ 3 爲）（c）其中a为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b）,在p = a处得到兀=-q cos 2^(1 + 3—) = -4cos2©当（P = 0, Tl时，孔边最小正应力为（％）仙=一切，当申=±夕时，孔边最大正应力为（％）*乂= 4q。
分析：矩形板ABCD边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】（1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程—+——+ ― / =0 dp p d (p p dr 1 Oq-^- + ---------- +—^ + f=0Pdcr dr.K—^ + —+ / =0dx dy ——+ —— + /v =0dy dx将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中, 前两项与直角坐标相似；而严项是由于正P 面上的面积大于负P 面上的面积而产生 的，-严是由于正负（P 而上的正应力％在通过微分体中心的P 方向有投影而引起的。
弹性力学基础平面问题的极坐标解答
2020/7/21
t rj tjr
2020/7/21
极坐标中的平衡微分方程
➢力系平衡条件：
将微分体所受各力分别投影 到微分体中心的径向轴和环向 轴上，可分别列出径向和环向 的平面平衡方程，即
Fr 0 Fj 0
s r r
+
1
r
t rj j
+sr
sj r
+
fr0t rj r源自+1r
s j j
er
ur
r
ej
ur
r
+
1
r
uj
j
（4-2）
g rj
1
r
ur
j
+ uj
r
uj
r
➢应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假
设，这也是其适用的条件；
2020/7/21
极坐标中的物理方程
➢物理方程：应力与应变的关系 ➢对于理想弹性体，平面应力问题的物理方程
AA PP uj
PA
r
➢环向线段PB的线应变和转角分别为
PP uj
AA uj
+
uj
r
dr
BB uj
2020/7/21
+
uj
j
dj
ej
PB PB PB
1
r
uj
j
POP uj r
➢切应变为
g rj
+
uj
r
uj
r
极坐标中的几何方程
➢根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，
极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：
2020/7/21
弹性力学--平面问题的极坐标解答2
（a2） ）
uρ 1 ∂uϕ ∂uρ 1 ∂uρ ∂uϕ uϕ εϕ = + γρϕ = + − = 0 ερ = ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
（a3） ）
1 ∂uρ ∂uϕ uϕ γρϕ = + − ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
积分式（a）中的第一式，有 积分式（ ）中的第一式，
1 A uρ = −(1+µ) +2(1−µ)Bρ(ln ρ −1 +(1−3µ)Bρ ) E ρ +2(1−µ)Cρ] + f (ϕ)
o
设已知极坐标中的应力 分量 σ ρ 、 ϕ 、 ρϕ 。试求 σ τ 直角坐标中的应力分 σ τ 量 σ x 、y 、xy 。(与书 中讲解内容相反) 中讲解内容相反)
ϕ
σ ρ τ ρϕ c
a
x
A
y
σϕ
b τϕρ
τ xy
σx
图4 - 4
如图4-4，在弹性体中取微小三角板 ， 如图 ，在弹性体中取微小三角板A， 各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为 各边上的应力如图所示。 一个单位。 边的长度为ds， 边及ac 一个单位。令bc边的长度为 ，则ab边及 边的长度为 边及 边的长度分别为 ds sin ϕ 及 ds cos ϕ 。
A
y
另取微小三角板B 如图4-4， 另取微小三角板 ，如图 ，根据平衡条 得到： 件 ∑ Fy = 0 ，得到：
σϕ
b τ
τ xy
σx
ϕρ
σ y = σ ρ sin ϕ + σ ϕ cos ϕ + 2τ ρϕ sin ϕ cos ϕ
2 2
综合以上结果， 综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐 标的变换式为： 标的变换式为：
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第七章 平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分量 极坐标系的 Laplace 算符 轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式 曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设 带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数 楔形体应力 楔形体受集中力偶作用、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解， 但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程 度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统 要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程， 且求解一些典型问题。
极坐标平衡微分方程 几何方程的极坐标表达 应力函数 轴对称位移 厚壁圆筒作用均匀压力 曲梁弯曲应力 曲梁作用径向集中力 孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1平面问题极坐标解的基本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点:1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6极坐标系的LaPIaCe算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD ,其由两个相距茁的圆柱面和互成d「的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用二表示径向正应力，用二表示环向正应力，「,和•二:分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，.J=.二:。
首先推导平衡微分方程的极坐标形式。
考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为^和二A 则CD面上的应力分量为如果AD面上的应力分量为"和甲，则BC面上的应力分量为同时，体力分量在极坐标径向「和环向'：方向的分量分别为Fb；'：〉和Fb ':o2、极坐标平衡微分方程设单元体的厚度为1,如图所示考察其平衡首先讨论径向的平衡，注意到Zr]" I ,可以得到∂a^.∂σ.A(D(O^ + ——AP)(P + dp)dφ - σf^pAφ - (σφ + ——Aφ)dp--OP oφZB 切字+ & J 号;⅜)dp-r^dχ? + ^ pΛpΛP = O简化上式，并且略去三阶微量，则竺Δ +J⅛宀P =O∂p P ∂φP Q同理，考虑微分单元体切向平衡，可得∂o^∂τ+-g^-^φ)dp - + (r^ + -^-A^P ^A P)A p p P A(P^J+⅛ A^A P^+T^A P竽讥P d p呦=0简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即3、极坐标下的应变分量以下推导极坐标系统的几何方程。
在极坐标系中，位移分量为u：：, U「，分别为径向位移和环向位移。
极坐标对应的应变分量为：径向线应变寫，即径向微分线段的正应变；环向线应变；「为环向微分线段的正应变；切应变为径向和环向微分线段之间的直角改变量。
首先讨论线应变与位移分量的关系，分别考虑径向位移环向位移U ：，U所pΛφ为厂 .;环向微分线段AB「d「的相对伸长为—I；OP pdφP 如果只有环向位移u「时，径向微分线段线没有变形，如图所示环向微分线段的相对伸长为将上述结果相加，可以得到正应变分量4、几何方程的极坐标表达下面考察切应变与位移之间的关系。
设微分单元体因此切应变为W= + (∣,-:)上式中表示环向微分线段AB向'方向转过的角度，即, I 表示径向微分线段AD向「方向转过的角度，因此二—■A点的环向位移除以该点的径向坐标「，即二OP1 j7=-;而将上述结果回代，则一点的切应变为4 一… —O综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为ε λ -——角应等于5、本构方程的极坐标表达由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本构方程与直角坐标的表达形式是相同的，只要将其中的坐标X和y换成T和「就可以了。
对于平面应力问题，有6、极坐标系的LaPlaCe算符平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中为JMl・：i D。
由于匚x+；「y= ■、二片匚「为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的LaPIaCe算符」—∣ —转换为极坐标的形式。
因为，X=TCOS，y=: Si，即匚：常汕LTr 。
将T 和和分别对X和y求偏导数，可得∂φ 1 1 I-L- 二一CoS ©眇x1 +∕PX2根据上述关系式，可得以下运算符号3 dp ∂ ∂φ ∂ 3 1 . 3——二---------------- + --------------- = cos®——-—Sin (P ——SX ‰ dp‰∂φdp P ∂φ∂dp ∂∂φ∂* ∂ 1 3——=一——+ --------------------- =Sin^——+ -COS(^ ——∂y5y dp ∂y∂φdp P ∂φE i对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数E，分别换为1 - v2IZI-V就可以y 丄“吓W√x77∕ P∂2 . 3 1 . 3 , z δ 1 . 2 . TT = (cos⅛p - - - sin ⅞p -)(cos^- - -Sln φ~) VX VP P oφ opP oφ _ H ∂2 _ 2sin ^cos 52 + sin 2 φ 9 + 2sin ⅛pcos⅛p 9 + sin 2 32CoS卩 3∕? P ∂p∂φ P dp P l ∂φ P A ∂φ 沪 f ・ 9 +1 9v- 9 + 1 9.TT = (srn??—÷-cos⅛p~)(sn⅛p -+-cosp —) Oy dp P ∂φ dp P ∂φ . S 2 cos 2 ^-Sm 2 φ 32 Sin^CoSGJ =Sin co —- + ------------ - ------ - ------- + ----- ---- - P 讷卩COS J 2 φ S Sifl ^COS^ 3ip 2 ∂φ p 2 Sφ2将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的—兰少=护 _____________________________________ ____________ ∂x 2 + ∂f 2 ∂f^ ^PdP^P 2 ∂φ2 另外，注意到应力不变量 ；- ；、∙-J - - -C ,因此在极坐标系下，平面问 题的由应力表达的变形协调方程变换为 1 & 1 淨 W X n + —〒+ K 丿（勺 + Cr ffJ ） = 0 P ∂p P ∂φLaPlaCe 算符。
1 ∂ 1 ∂2 + --------- + ---------∂2 V a (^÷^) =7、应力函数 为在给定的边界条件下求解双调和方程。
在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式+ 1 白仍二 _ 9 1 ⅜fP p 2 bφ dp P ∂φ求解应力，然后通过物理方程务=⅛(σp -∣∕<τp )求解应变分量和位移分量 §7.2轴对称问题的应力和相应的位移 学习思路：如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时， 称为轴对称结构。
轴对称结构的应力分量与 '无关，称为轴对称应力。
如果位移 也与‘无关，和几何方程2(1+ v)E~~如果弹性体体力为零，则可以采用应力函数解法求解。
不难证明下列应力表这里T （「，）是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。
将 上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得显然这是极坐标形式的双调和方程。
总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都归结1护佻称为轴对称位移问题。
本节首先根据应力分量与：无关的条件，推导轴对称应力表达式。
这个公式有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。
因此讨论轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后代入胡克定理第三式，确定待定函数。
轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解应该注意的问题是如何确定轴对称问题学习要点:1轴对称应力分量；2、轴对称位移；3、轴对称位移函数推导；4、轴对称位移和应力表达式。
1、轴对称应力分量考察弹性体的应力与「无关的特殊情况，如图所示。
即应力函数仅为坐标T 的函数。
这样，变形协调方程1 3 1 护、+------- + ---------- )P dp P I∂φ2即双调和方程成为常微分方程(^L÷lA x⅛÷ 丄=OΛp1 P dp Ap1 P如将上式展开并在等号两边乘以可得4 5 . ςι M 切 2 <*>f . ⅜f -πP5 矿 FPr对于这类方程，只要引入变换'=e t,则方程可以变换为常系数的这是欧拉方程,微分方程，有其通解为φi (t) = At +B⅛e + C⅛2' + D注意到t = In「，则方程的通解为φf (P) = Akip+ SP J Inp + CP + D将上式代入应力表达式G=I⅛L+丄血H Sφ29 V fσ -———P皤_ _ 1 3冷£ 1 3% _∂5一~p∂p∂φ1√^97^则轴对称应力分量为σ= —4 + 5(1 +2InP) + IC P P=4⅛ = ^~τ + δ<3 + 21n^) + 2c 切P^=θ上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的，因此称为轴对称应力。
2、轴对称位移现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。
对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程弓=£(屯-%二£(弓-心r,p2⅛ + v)t pφ/沪PG E可得应变分量1 A= —[(1 + V)—+ (1-3√)B + 2(1 - V)BIiI P+ 2(1 - P)C] E P1 Δ% - —[-(1 + 卩)二 + (3-y)B + 2(1-y)BInp+ 2(L-r)C] E P嘉=°根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。
将上式代入几何方程E _ ------ P dpF 二土卡丄些 * P p^φ -1 ⅜ + 9⅛ ,¾ 牌 P ∂φ dp P+ ——；—=—[一Q + V)—- + (3 -v)S + 2(1 -1/)BkIP +2(1- V)C] P p ∂φ E P IdU λ ∂u 皿 Il Ji ±_ +-丄二 O P ∂φ dp P对上述公式的第一式∂u.1 r A ,,二—[(1 +IZ)— ÷ Q -3v)β+ 2(1 -v)51n P + 2(1 - V)C] 3p E P积分，可得1A©二曰-Q 2) — + 2(L L v)Bp(∖n /7-1) + (1-3v)Bp + 2(1 - v)Cp ∖ + f(φ) LP其中f (为，的任意函数。