不等式证明方法专项+典型例题

不等式证明方法专项+典型例题

不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样，技巧性强。

1、比较法（作差法）

在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

例1、已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2

。

2、分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。

例2、求证：15175+>+。

3、综合法

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

例3、已知：a ，b 同号，求证：2≥+a

b b a 。

4、作商法（作比法）

在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助

1>b a 或1

a 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。 例4、设0>>

b a ，求证：a b b a b a b a >。

a b b a b a b a >。

5、反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。

例5、已知0>>b a ，n 是大于1的整数，求证：n n b a >。

6、迭合法（降元法）

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

例6、已知：122221=+++n a a a ，12

2221=+++n b b b ，求证：12211≤+++n n b a b a b a 。 证明：因为122221=+++n a a a ，12

2221=+++n b b b ，

由柯西不等式

所以原不等式获证。

7、放缩法（增减法、加强不等式法）

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

例7、求证：01.09999531<•••• 。

所以01.0

8、数学归纳法

对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立。

例8、已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a 。 证明：（1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；

（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则

111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a

=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(， 即k k k k ab b a b a +≥+++11成立。

根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立。

9、换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。

例9、已知：1=++c b a ，求证：1≤++ca bc ab 。

10、三角代换法

借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。

例10、已知：122=+b a ，122=+y x ，求证：1≤+by ax 。

证明：设θsin =a ，则θcos =b ；设ϕsin =x ，则ϕcos =y

所以1)cos(

cos cos sin sin ≤-=+=+ϕθϕθϕθby ax 。

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。

例11、设R y x ∈,，且122=+y x ，求证：21a ax y +≤-。

证明：设ax y m -=，则m ax y +=

代入122=+y x 中得1)(22=++m ax x ，即0)1(2)1(222=-+++m amx x a 因为R y x ∈,，012≠+a ，所以0≥∆，即0)1)(1(4)2(222≥-+-m a am ，

12、标准化法

形如n n x x x x x x f sin sin sin ),,,(2121 =的函数，其中π≤

n

x x x x x x x x x f n n n n +++≤= 212121sin sin sin sin ),,,(。 标准化定理：当A+B 为常数时，有2sin sin sin 2B A B A +≤•。 证明：记A+B=C ，则

2

sin )sin(sin 2sin sin sin )(22C A C A B A B A A f --=+-•=， 求导得)2sin()`(A C A f -=，由0)`(=A f 得C=2A ，即A=B

又由0)cos()``(<--=A B A f 知)`(A f 的极大值点必在A=B 时取得 由于当A=B 时，0)`(=A f ，故得不等式。 同理，可推广到关于n 个变元的情形。

例12、设A ，B ，C 为三角形的三内角，求证：1sin sin sin

≤C B A 。