(人教B版)数学选修1-1(全册)同步练习汇总

（人教B版）数学选修1-1（全册）同步练习汇总1.1命题与量词课时过关·能力提升1.下列语句不是命题的是()A.一个正数不是质数就是合数B.大角所对的边较大,小角所对的边较小C.请把门关上D.若x∈R,则x2+x+2>0答案:C2.下列语句是命题的是()A.|x+a|B.{0}∈NC.元素与集合D.真子集答案:B3.命题“存在实数x,使x+1<0”可写成()A.若x是实数,则x+1<0B.∃x∈R,x+1<0C.∀x∈R,x+1<0D.以上都不正确解析:由存在性命题的表示形式可知,选项B正确.答案:B4.对命题“一次函数f(x)=ax+b是单调函数”改写错误的是()A.所有的一次函数f(x)=ax+b都是单调函数B.任意一个一次函数f(x)=ax+b都是单调函数C.任意一次函数f(x)=ax+b是单调函数D.有的一次函数f(x)不是单调函数解析:由全称命题的表示形式可知,选项D错误.答案:D5. 下列命题是假命题的是()A.∃x∈R,lg x=0B.∃x∈R,tan x=1C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0解析:对于A选项,当x=1时,lg x=0,为真命题;对于B选项,当x=+kπ,k∈Z时,tan x=1,为真命题;对于C选项,当x<0时,x3<0,为假命题;对于D选项,由指数函数性质知,∀x∈R,2x>0,为真命题,故选C.答案:C6.下列语句是命题的是.(填序号)①地球上有四大洋;②-2∈N;③π∈R;④同垂直于一条直线的两个平面平行.解析:所给语句均能判断真假,故都是命题.答案:①②③④7. 给出下列语句:①奇函数的图象关于原点对称;②有些三角形是等腰三角形;③∀x∈R,2x+1是奇数;④实数的平方大于零.其中是全称命题的是.(填序号)解析:根据全称命题的定义知,①③④是全称命题.答案:①③④★8.下列命题,是真命题的是.(填序号)①5能整除15;②不存在实数x,使得x2-x+2<0;③对任意实数x,均有x-1<x;④方程x2+3x+3=0有两个不相等的实数根;⑤不等式<0的解集为空集.解析:对于①,由整数的整除性知该命题是真命题;对于②,因为Δ<0,所以x2-x+2<0无解,故该命题是真命题;对于③,因任意一个数减去一个正数后都小于原数,故该命题是真命题;对于④,因为Δ<0,所以方程x2+3x+3=0无解,故该命题是假命题;对于⑤,因为分子恒为正,分母大于0,所以商不可能小于0,即解集为空集,故该命题是真命题.答案:①②③⑤9.判断下列命题的真假:(1)∀a∈R,函数y=log a x是单调函数;(2)∃a∈{向量},∀b∈{向量},使a·b=0.解:(1)由于1∈R,当a=1时,y=log a x无意义,因此命题“∀a∈R,函数y=log a x是单调函数”是假命题;(2)由于0∈{向量},当a=0时,能使a·b=0,因此命题“∃a∈{向量},使a·b=0”是真命题.★10. 求使命题p(x):≥0为真命题的x的取值范围.分析:要使命题p(x):≥0为真命题,就是要使x的取值满足≥0,只需解不等式≥0即可.解:由≥0得x(2x+1)≥0,且2x+1≠0,解得x≥0或x<-,故x的取值范围为.1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”课时过关·能力提升1.下列命题中不是“p∧q”形式的命题是()A.函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象一定过(0,1)B.+3和-3是方程x2-9=0的实数根C. 1不是质数且不是合数D.正方形的四条边相等且四个角相等答案:A2.下列命题中是“p∧q”形式的命题是()A.28是5的倍数或是7的倍数B.2是方程x2-4=0的根又是方程x-2=0的根C.函数y=a x(a>1)是增函数D.函数y=ln x是减函数解析:选项A是由“或”联结构成的新命题,是“p∨q”形式的命题;选项B可写成“2是方程x2-4=0的根且是方程x-2=0的根”,是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题,故选项B是“p∧q”形式的命题;选项C,D不是由逻辑联结词联结形成的新命题,故不是“p∧q”形式的命题.答案:B3.下列说法与x2+y2=0含义相同的是()A.x=0,且y=0B.x=0或y=0C.x≠0,且y≠0D.x≠0或y≠0解析:因为两个非负数的和等于0,所以每个加数都为0,即x2=0,且y2=0,故x=0,且y=0.答案:A4.以下判断正确的是()A.命题“p∨q”是真命题时,命题p一定是真命题B.命题p是假命题时,命题“p∧q”不一定是假命题C.命题“p∧q”是假命题时,命题p一定是假命题D.命题p是真命题时,命题“p∨q”一定是真命题解析:利用真值表可以判断选项D正确.答案:D5.如果命题“p∨q”是真命题,命题“p∧q”是假命题,那么()A.命题p,q都是假命题B.命题p,q都是真命题C.命题p,q有且只有一个是真命题D.以上答案都不正确解析:因为命题“p∨q”是真命题,所以p,q中至少有一个是真命题.因为命题“p∧q”是假命题,所以p,q中至少有一个是假命题,故p,q中有且只有一个是真命题.答案:C6.命题“∀n∈R,n≤n”的构成形式是,该命题是命题.(填“真”或“假”)答案:p∨q真7.命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是,组成该命题的两个命题是,.答案:p∧q所有正多边形都有一个内切圆所有正多边形都有一个外接圆8.命题p:等腰三角形有两条边相等;q:等腰三角形有两个角相等.由命题p,q构成的“且”命题是,该命题是命题.(填“真”或“假”)答案:等腰三角形有两个角相等且有两条边相等真★9.已知c>0,且c≠1,设命题p:函数y=x2+cx+1的图象与x轴有两个交点;q:当x>1时,函数y=log c x>0恒成立.如果p∨q为假,求c的取值范围.分析:先由p,q为真,分别求出c的范围;再由p∨q为假知p,q都假;然后列出关于c的不等式组来解决.解:若p为真,则Δ=c2-4>0(c>0,且c≠1),解得c>2.若q为真,则c>1.因为p∨q为假,所以p,q都为假,当p为假时,0<c≤2,且c≠1,当q为假时,0<c<1,因此,当p,q都为假时,0<c<1,即c的取值范围为(0,1).★10.已知命题p:函数y=x2+mx+1在区间(-1,+∞)上是单调增函数;q:函数y=4x2+4(m-2)+1的函数值恒大于零.若p∧q为假,p∨q为真,求m的取值范围.分析:先由p,q为真,分别求出m的取值范围;再由p∧q为假,p∨q为真知,命题p,q一真一假;然后分“p真,q假”和“p假,q真”两种情况列出关于m的不等式组来解决.解:若p为真,≤-1,解得m≥2;若q为真,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,因为p∧q为假,p∨q为真,所以p,q一真一假.当p真,q假时,得m≥3;当p假,q真时,得1<m<2.综上,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.1.2.2“非”(否定)课时过关·能力提升1.命题“2不是质数”的构成形式是()A.p∧qB.p∨qC.pD.以上答案都不正确答案:C2.若命题“p”与“p∧q”都是假命题,则()A.命题p,q都是真命题B.命题p,q都是假命题C.命题p是真命题,命题q是假命题D.命题q是真命题,命题p是假命题答案:C3.a,b不全为0是指()A.a,b全不为0B.a,b中至多有一个为0C.a,b中只有一个不为0D.a,b中至少有一个为0答案:B4.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是.答案:对任意x∈R,都有x2+2x+5≠05.命题“所有人都晨练”的否定是.答案:有些人不晨练6.已知命题p:“∃x∈R,x p的否定为命题p,则命题p是“”;命题p 是命题.(填“真”或“假”)解析:利用存在性命题的否定形式写出p:∀x∈R,x≤x>1时,x p为假.答案:∀x∈R,x≤7.已知命题p:0不是自然数,命题q“p∧q”;②“p∨q”;③“p”;④“q”中,真命题的序号是,假命题的序号是.解析:先判断命题p,q的真假,其真假为p假q真;再利用含有逻辑联结词的命题的真假判断方法(真值表)进行判断,其中②③为真,①④为假.答案:②③①④8.写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)集合A是集合A∪B的子集;(2)∀T=2kπ(k∈Z),sin(x+T)=sin x.解:它们的否定及真假如下:(1)集合A不是集合A∪B的子集;(假)(2)∃T=2kπ(k∈Z),sin(x+T)≠sin x.(假)★9.指出下列命题的结构形式及构成它们的简单命题,并判断它们的真假:(1)正多边形既有内切圆又有外接圆;(2)1-x2≤1.分析:可依据命题的几种结构形式(“p∨q”“p∧q”“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题;然后根据真值表判断其真假.解:它们的结构形式依次为:(1)p∧q,(2)p∨q.构成它们的简单命题依次为:(1)“正多边形有内切圆”和“正多边形有外接圆”.(2)“1-x2<1”和“1-x2=1”.其真假依次为:(1)真;(2)真.1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件课时过关·能力提升1.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由题意知甲⇒乙⇒丙⇔丁,故命题丁是命题甲的必要不充分条件.答案:B2.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤5答案:C3.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:l1与l2平行的充要条件为a×2=2×1,且a×4≠-1×1,得a=1,故选C.答案:C4.“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的()A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件答案:A5.设{a n}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因{a n}是首项大于零的等比数列,故a1<a2⇒数列{a n}是递增数列,数列{a n}是递增数列⇒a1<a2,因此,“a1<a2”是数列{a n}是递增数列的充要条件.答案:C★6.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由m为平面α内一条直线,m⊥β,得α⊥β,必要性成立;由m为平面α内一条直线,α⊥β,不能推出m⊥β,充分性不成立.故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.答案:B7.已知集合A为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的条件.答案:必要不充分★8.设a,b,c为实数,“a>0,c<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的条件.解析:a>0,c<0⇒b2-4ac>0⇒函数f(x)有两个零点;函数f(x)有两个零点⇒b2-4ac>0a>0,c<0,故“a>0,c<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的充分不必要条件.答案:充分不必要9.已知p:A={x|x2+4x+3>0},q:B={x||x|<a},若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.分析:先化简集合,然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“B⫋A”,得关于a的不等式求解.解:p:A={x|x2+4x+3>0}={x|x>-1或x<-3},q:B={x||x|<a},∵p是q的必要不充分条件,∴B⫋A.当a≤0时,B=⌀,满足B⫋A;当a>0时,B={x|-a<x<a},要使B⫋A,只需-a≥-1,此时0<a≤1.综上,a的取值范围为(-∞,1].★10.已知m∈Z,关于x的一元二次方程x2-2x+m=0, ①x2+2mx+m2-m-1=0, ②求方程①②的根都是整数的充要条件.分析:方程①和②的根都是整数,即方程①和②有实数根且为整数,因此先求出方程①和②有实数根的充要条件,得到m的取值范围,由m∈Z,再逐一验证.解:方程①有实根⇔Δ=4-4m≥0,即m≤1;方程②有实根⇔Δ=(2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,即m≥-1,所以方程①和②同时有实数根⇔-1≤m≤1.因为m∈Z,所以m=-1,0,1.当m=-1时,方程①无整数根;当m=0时,方程①和②都有整数根;当m=1时,方程②无整数根.综上所述,方程①和②的根都是整数的充要条件是m=0.1.3.2命题的四种形式课时过关·能力提升1.命题“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题是()A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B必有一钝角D.在△ABC中,若∠A,∠B都是锐角,则∠C=90°答案:B2.下列说法正确的是()A.一个命题的否命题为真,则它的逆命题为假B.一个命题的逆命题为真,则它的否命题为真C.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真D.一个命题的逆否命题为真,则它的逆命题为真解析:由四种命题的关系可知,一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系,根据互为逆否命题的两个命题是等价的,可得选项B正确.答案:B3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数答案:B4.与命题:“若x∈M,则y∉M”等价的命题是()A.若x∉M,则y∉MB.若y∉M,则x∉MC.若x∉M,则y∈MD.若y∈M,则x∉M解析:与命题“若x∈M,则y∉M”等价的命题是其逆否命题:“若y∈M,则x∉M”.答案:D5.下列命题中,是真命题的为()A.“若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0”的逆否命题B.“正方形的四条边相等”的逆命题C.“若x2-4=0,则x=2”的否命题D.“对顶角相等”的逆命题解析:对于A项,原命题是假命题,故其逆否命题也为假命题;对于B项,逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题;对于C项,否命题为“若x2-4≠0,则x≠2”为真命题;对于D项,逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题.答案:C6.命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是.答案:到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上7.命题“若x,y是偶数,则x+y是偶数(x∈Z,y∈Z)”的逆否命题是,它是命题.(填“真”或“假”)答案:若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数(x∈Z,y∈Z)真★8.有下列四个命题:①如果xy=1,则lg x+lg y=0;②“如果sin α+cos αα是第一象限角”的否命题;③“如果b≤0,则方程x2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题;④“如果A∪B=B,则A⊆B”的逆命题.其中是真命题的有.(填序号)解析:命题①显然错误,例如:x=-1,y=-1时,lg x+lg y无意义.对于②,其否命题为“如果sin α+cos α≠α不是第一象限角”,因当α=60°时,sin α+cos α.对于命题③,因当b≤0时,Δ=4b2-4b≥0恒成立,故方程x2-2bx+b=0有实数根.由原命题与其逆否命题真假相同,可知命题③是真命题.对于④,其逆命题为“若A⊆B,则A∪B=B”,显然为真.答案:③④9.写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题.分析:对该命题的结论加以否定得到其否定为:正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.对该命题的条件和结论分别加以否定得到其否命题为:不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.解:命题的否定:正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.否命题:不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.★10.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假.(1)末尾数字是0或5的整数,能被5整除;(2)若a=2,则函数y=a x是增函数.分析:依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题.“0或5”的否定是“不是0且不是5”,“是”的否定词是“不是”,“等于”的否定词是“不等于”.解:(1)逆命题:能被5整除的整数,末尾数字是0或5;(真)否命题:末尾数字不是0且不是5的整数,不能被5整除;(真)逆否命题:不能被5整除的整数,末尾数字不是0且不是5;(真)(2)逆命题:若函数y=a x是增函数,则a=2;(假)否命题:若a≠2,则函数y=a x不是增函数;(假)逆否命题:若函数y=a x不是增函数,则a≠2.(真)2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升1.椭A.(5,0),(-5,0)B.(0,5),(0,-5)C.(0,12),(0,-12)D.(12,0),(-12,0)解析:由题易知焦点在y轴上,a2=169,b2=144,则c.答案:B2.在椭圆的标准方()A.a=100,b=64,c=36B.a=10,b=6,c=8C.a=10,b=8,c=6D.a=100,c=64,b=36答案:C3.已知a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆的标准方程是()A=1 B.xC=1 D.x答案:C4.化简方AC解析:由题意可知,方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,6<10,它符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16.答案:C5.已知椭y轴上,若焦距为4,则m=()A.4B.5C.7D.8解析:因为焦点在y轴上,所⇒6<m<10.又焦距2c=4,所以m-2-10+m=22⇒m=8.答案:D6.设F1,F2是椭P为椭圆上的一点,则△PF1F2的周长为()A.10B.12C.16D.不确定答案:B7.椭M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于()A.2B.4C.8 D解析:设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON||=4.答案:B★8.已知椭圆C=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满|PF1|+|PF2|的取值范围为.解析:∵点P(x0,y0)满P在椭圆内且不过原点,∴2c≤|PF1|+|PF2|<2a.又∵a2=2,b2=1,∴a b=1,c2=a2-b2=1,即c=1,∴2≤|PF1|+|PF2|<答案:[29.已知圆A:(x+3)2+y2=1及圆B:(x-3)2+y2=81,动圆P与圆A外切,与圆B内切,求动圆圆心P的轨迹方程.分析:利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆,再求其方程.解:设动圆P的半径为r.由所给圆的方程知,A(-3,0),B(3,0),由题意,可得|PA|=r+1,|PB|=9-r,故|PA|+|PB|=r+1+9-r=10>|AB|=6.由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆.其中2a=10,2c=6,即a=5,c=3,所以b2=16.故动圆圆心P的轨迹方程.★10.已知椭P,F1,F2为椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.分析:计算三角形的面积有多种公式可供选择,其中与已知条件联系最密切的应|·|PF2|·sin θ,所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算.解:如图,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,而在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=4c2,即4(a2-c2)=3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2||·|PF2|sin 60.2.1.2椭圆的几何性质课时过关·能力提升1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为()A答案:B2.方AC解析:由题意可知,方程表示点(x,y)与两个定点(2,0)和(-2,0)之间的距离,又两定点之间的距离为4,4<10,符合椭圆的定义,即2a=10,2c=4,从而可求得b2=21.答案:B3.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是(0,-4),则k的值为()A解析:先化成标准方程(0,-4),可知焦点在y轴上,所c=4,所k答案:A4.椭圆的对称轴为坐标轴,若它的长轴长与短轴长之和为18,焦距为6,则椭圆的标准方程为()A BC D答案:C★5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A解析:依题意有2×2b=2a+2c,即2b=a+c,∴4b2=a2+2ac+c2.∵b2=a2-c2,∴4a2-4c2=a2+2ac+c2,∴3a2-2ac-5c2=0,两边同除以a2,即有5e2+2e-3=0,解得e e=-1(舍去).故选B.答案:B6.若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于.解析:椭圆的焦距长等于它的短轴长,即2b=2c,则有a2=b2+c2=2c2,解得a e答案7.已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比e为.解析:由题意,得(a+c)∶(a-c e=5-答案:5-8.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为F(-0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.解析:由题意可设该椭圆的标准方程a>b>0),由已知a2=16,b2=4,所以椭圆的标准方程.答案9.已知椭a>b>0)过e.分析:由椭圆的离心率可得a,c的关系,从而知道b,c的关系,再由点在椭圆上,代入方程即可求得椭圆的标准方程.解:由题意知,椭圆的离心率e a=2c,∴b2=a2-c2=3c2,∴椭圆的方程.又,∴c2=1,∴椭圆的方程.★10.如果椭k的值.分析:所给椭圆的焦点不确定应分两种情况讨论,利用离心率的定义解题.解:当焦点在x轴上,即k>1时,b=3,a∴c e k=4,符合k>1的条件.当焦点在y轴上,即-8<k<1时,a=3,b∴c∴e k=-8<k<1的条件.综上所述,k=4或k=2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时过关·能力提升1.双曲线的方程()A.(2,0),(-2, 0)B.(4,0),(-4,0)C.(0,2),(0,-2)D.(0,4),(0,-4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以两焦点坐标为(4,0),(- 4,0).答案:B2.方k的取值范围是()A.-1<k<1B.k>0C.k≤0D.k>1或k<-1解析:因为方,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案:A3.若椭m的值为()A.1B.1或3C.1或3或-2D.3解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆解析:原方程可变形y轴上的双曲线.答案:C5.与双曲2)的双曲线的标准方程为()AC解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线的方程a>0,b>0),则a2+b2=20,a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程.答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则符合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解.即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,故a=2,c=4,∴b2=c2-a2=16-4=12且焦点在x轴上,∴双曲线的标准方程.答案★7.已知F是双曲A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设右焦点为F1,依题意,|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9.答案:9★8.已知双曲=1的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足∠F1PF△F1PF2的面积是.解析:设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,②-①2,得r1r2=2.r2=1.答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程a>0,b>0),又知c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程a>0,b>0),则.★10.已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:由于不知道焦点在哪个轴上,所以应先分两种情况来讨论,然后把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1,然后把两点代入求解.解:方法一:当焦点在x轴上时,设所求的双曲线方程a>0,b>0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所a b2=7.当焦点在y轴上时,设双曲线方程a>0,b>0),同理,解得a2=-7,b2=,舍去.故所求的双曲线的标准方程.方法二:设所求的双曲线方程为Ax2+By2=1.因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程解故所求的双曲线的标准方程.2.2.2双曲线的几何性质课时过关·能力提升1.双曲线的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列, 则它的离心率为()A解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e答案:B2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距0,2),则双曲线的标准方程为()AC解析:由方程a=2,b=2.∵双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的标准方程.答案:B3.过点(2,-2)且=1有公共渐近线的双曲线方程为()AC解析:由题意可设双曲线方程=k(k∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程.答案:A4.F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.解析:△PF1F2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|,即2c c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解之,得e=∵e>1,∴e=答案:A5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离m=()A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点3y-mx=0,由题意,m=4.答案:D6.已知双曲2,焦点与椭.解析:∵椭(4,0),(-4,0),∴双曲线的焦点坐标也为(4,0),(-4,0),∴c=4,c2=a2+b2,∴a=2,b2=12,∴双曲线的方程∴双曲线的渐近线方程为y=.答案:(4,0),(-4,0)7.双曲.解析:利用公式y=y=答案:y=8.若双曲2,则k的值是.答案:- 319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)过点P(3e(2)F1,F2是双曲线的左,右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°2.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,.由e由点P(3,.②又a2+b2=c2, ③由①②③,得a2=1,b若双曲线的焦点在y轴上,.同理a2+b2=c2.解之,得b2=).故所求双曲线的标准方程为x.(2)设双曲线的标准方程|F1F2|=2c,而e,得||PF1|-|PF2||=2a=c.由余弦定理,得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos 60°),∴4c2=c2+|PF1|·|PF2|.|·|PF2|·sin 60°=1∴|PF1|·|PF2|=48.由3c2=48,∴c2=16,得a2=4,b2=12.∴所求双曲线的标准方程.★10.如图所示,已知F1,F2为双曲a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.分析:由于双曲y=,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.解:方法一:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0)代入方程得y0=|PF2|在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|F1F2||,即2c又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.故所求双曲线的渐近线方程为y=方法二:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a.∴|F1F2||.∴2c=c2=3a2=a2+b2.∴2a2=b2.故所求双曲线的渐近线方程为y=2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案: C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y.yC.y2=.y2=4x答案:B3.抛物线yA.x.xC.x=.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y.x2+(y-1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1答案:C5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()A.3B.6C.9D.12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x.由抛物线定义知l=h,又l=d d=l-4=6.答案:B6.设定y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1C.(2,2) D解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y y2=2x联立求得x=2,y=2;x y=),此时,点P的坐标为(2,2).答案:C7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为. 答案:y2=8x8.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案9. 已知y2=2px(p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;(2)焦点到直线x=-5的距离是8.解: (1)直线与x轴的交点为(4,0),则=4,∴p=8,∴方程为y2=16x.(2)焦点在x轴上,设为,∴+5=8,解得=3,则其焦点为(3,0),∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.★10.如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:(1)y1y2=-p2,x1x(2)|AB|=x1+x2+pθ为直线AB的倾斜角);(3.分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.证明:(1)由已知,得焦点F,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k≠0),由消去x,得ky2-2py-kp2=0.①由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2=.又由y=k,得x=y+,故x1x2=y1y2+(y1+y2)+(-p2)+.当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,x1x2=.综上,y1y2=-p2,x1x2=.(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.②又y=k(k≠0),∴x=y+,∴x1+x2=(y1+y2)+p.由①知y1+y2=,∴x1+x2=+p,代入②得|AB|=+2p=2p=2p.当直线AB的斜率不存在,即θ=时,A,B,|AB|=2p=+p=.综上,|AB|=x1+x2+p=.(3)=,将x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得.故为定值.2.3.2抛物线的几何性质课时过关·能力提升1.已知抛物线的焦点坐标是(2, 0),则抛物线的标准方程为()A.x2=8yB.x2=-8yC.y2=8xD.y2=-8x答案:C2.抛物线y2=-4mx(m>0)的焦点为F,准线为l,则m表示()A.F到l的距离B.F到y轴的距离C.F点的横坐标D.F到l的距离答案:B3.抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,若|PF|=4,则点P坐标为()A.(3B.(3,-C.(33, -D.(-3,±答案:C4.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0的一个交点坐标为(1,2),则抛物线的焦点到该直线的距离是()AC解析:点(1,2)在抛物线y2=2px和直线ax+y-4=0上,所以p=2,a=2,抛物线的焦点为(1,0).焦点到直线2x+y-4=0的距离答案:B★5.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()A解析:抛物线y2=2px的准线方程为x=(x-3)2+y2=16的圆心为(3,0),半径为4.故p=2.答案:C6.抛物线ax2=y的焦点坐标是.答案:7.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点.解析:直线x+2=0即x=-2是抛物线y2=8x的准线,由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2=8x 的准线的距离,即动圆的半径等于圆心到抛物线y2=8x的焦点的距离.故动圆必过抛物线的焦点(2,0).答案:(2,0)★8.下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=m.答案:★9.定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求AB的中点M到y轴的距离的最小值,并求出此时AB的中点M的坐标.分析:如图,线段AB的中点M到y轴距离的最小值,就是横坐标的最小值,这是中点坐标的问题,因此只要研究A,B两点的横坐标之和最小即可.解:F是抛物线y2=x的焦点,A,B两点到准线的垂线分别是AC,BD,过AB的中点M作准线的垂线MN,N为垂足,则|MN|=(|AC|+|BD|),由抛物线的定义可知|AF|=|AC|,|BD|=|BF|, ∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥|AB|=.设点M为(x,y),则|MN|=x+,则x≥.当弦AB过点F时,等号成立,此时点M到y 轴的最小距离为,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x,当x=时,y1·y2=-p2=-.。