一元线性回归分析
6.2 一元线性回归分析
6.2.2 一元线性回归分析的原理 2. 最小二乘点估计
根据样本数据 ( xi , yi )(i 1, 2, , n) 计算得到回归 系数的最小二乘点估计 b0 和 b1 之后，定义：
ˆi b0 b1 xi ，称为预测值； y
定义 ei yi y ˆi ，称为残差； 记 RSS= i 1 ei2 ，称为残差平方和；
n i 1 i
n i 1
y n ， ( x x ) n ， s ( x x )( y y ) n
n， y
n i 1 i
b0 y b1x
(6.2.4)
2
n
i
xy
i 1
i
i
6.2.2 一元线性回归分析的原理 2. 最小二乘点估计
可 以 证 明 (6.2.3) 式 和 (6.2.4) 式 与 1.7.2 小 节 的 (1.7.3)式
6.2.2
一元线性回归分析的原理
6. 一元线性回归模型显著性的F检验
回归模型 y 0 1 x 的显著性检验，就是由 样本数据 ( xi , yi )(i 1, 2, , n) 检验假设： 原假设 H 0 : 1 0 ；备择假设 H1 : 1 0 拒绝原假设 H 0 : 1 0 而采纳备择假设 H1 : 1 0 ，意 味着回归模型是显著的；采纳原假设 H 0 : 1 0 ，意 味着回归模型是不显著的. 在实际应用中，不显著的回归模型是不应该采用 的.
6.2.2 一元线性回归分析的原理 3. 决定系数
定义决定系数为 R2 FSS TSS . R 2 就是由于使 用一元线性回归模型而使误差平方和下降的降幅占 总平方和的比例. 由(6.2.6)式，有 R2 1 RSS TSS ， 0 R2 1 所以 R 2 越接近 1， 一元线性回归模型的拟合精确程度 就越高；特别的，当 R 2 1 时，回归直线 y b0 b1x 恰 好经过所有的数据点，残差 ei 都等于 0 (i 1, 2, , n) .
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
第二章2.2一元线性回归分析
ˆ β1 ~ N ( β1 ,
∑x
σ2
2 i
)
ˆ β 0 ~ N (β 0 ,
∑ n∑ x
X i2
2 i
σ 2)
22
随机误差项u的方差σ 随机误差项 的方差σ2的估计 的方差
σ2又称为总体方差 总体方差。 总体方差
23
由于随机项ui不可观测，只能利用残差ei (ui的 估计)的样本方差，来估计ui的总体方差σ2 。 样本方差？ 样本方差？ 可以证明，σ2的最小二乘估计量 最小二乘估计量为: 可以证明 最小二乘估计量
= β1 + P lim(∑ xi µ i / n) P lim(∑ xi2 / n)
xi µ i
2 i
∑x
)
样本协方差？ 样本协方差？
Cov ( X , µ ) 0 = β1 + = β1 + = β1 Q Q
21
四、参数估计量的抽样分布及随机项方 差的估计
ˆ ˆ 、 1、参数估计量 β 0 和 β 1 的概率分布
Yi = β0 + β1 X i + ui
i=1
Y为被解释变量，X为解释变量，β0与β1为待估 待估 参数， 随机项。 参数 u为随机项。 随机项
2
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数 回归分析的主要目的 （模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数 （模型）PRF。 估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最 普通最 估计方法 小二乘法（ordinary least squares, OLS）。 小二乘法 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模 型提出若干基本假设。 实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
2
1 X2 = + n ∑ x2 i
第3章 一元线性回归分析
3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态 分布误差项
• 放松了假设4后，与之相关的结论10和12 不再成立，t-检验、F-检验不再成立。 • 大样本情况下，t-统计量近似服从标准正态 分布，因此可以用标准正态分布临界值进 行判断。 • 去掉假设4不影响OLS估计的一致性、无偏 性和渐近正态性。
1
s ˆ
1
t-检验的涵义：估计参数的绝对值足够大或者 标准误很小（标准误小则随机性小，估计越精 确） 样本量较大时 （n>35），t分布接近正态分布， 5%置信水平下临界值接近2，因此常用统计量 是否大于2作为判断系数显著与否的标准。
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
检验 X 和 Y 之间是否 具有线性关系：看 Y 的变化能被 X 的变化解释多少。 总平方和（total sum squared）：
一元线性回归分析
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归 3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态分布误差 项 3.7.2 假设条件的放松（二）—异方差 3.7.3 假设条件的放松（三）—非随机抽样和序 列相关 3.7.4 假设条件的放松（四）—内生性 3.7.5 总结
重要概念
第3章
一元线性回归分析
一元线性回归分析
3.1 一元线性回归模型 3.2 一元线性回归模型参数估计
3.2.1 回归系数估计 3.2.2 误差的估计—残差 ˆ 和 ˆ 的分布 3.2.3 0 1
3.3 更多假设下OLS估计量性质 3.4 回归系数检验（t-检验） 2 R 3.5 拟合优度 和模型检验（F检验）
2
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
不带常数项的模型其相应的TSS和ESS为：
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
第15讲 一元线性回归分析
n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析
x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
第三节 一元线性回
1
1、回归系数的显著性检验
• 估计量 S 2 来代替。 ˆ • 但样本为小样本时，回归系数估计量 β1 的标准 化变换值服从t分布，即：
σ 2 是未知的，要用其无偏 一般来说，总体方差
tβˆ =
1
ˆ β1 − β1 Sβˆ
1
~ t (n − 2)
• 式中n为样本容量，n-2为自由度。 •
回归系数显著性检验步骤：
(二)一元线性回归分析的特点 二 一元线性回归分析的特点
• 1、在两个变量之间，必须根据研究目的具体确定哪个 是自变量，哪个是因变量。相关分析不必确定两个变量中 哪个是自变量，哪个是因变量。 2、计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的； 但是，在回归分析中因变量是随机的，而自变量不是随机 的变量。 3、在没有明显的因果关系的两个变量与y之间，可以 3 y 求得两个回归方程。 4、回归方程的主要作用在于：给出自变量的数值来估 计因变量的可能值。一个回归方程只能做出一种推算，推 算的结果表明变量之间的具体的变动关系。 5、直线回归方程中，自变量的系数称回归系数。回归 系数的符号为正，表示正相关；为负则表示负相关。
ˆ β1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x − (∑ xi )
2 i 2
ˆ ˆ β 0 = yi − β1 xi
（一）参数 β 0 , β 1 的最小二乘估计
一元线性回归分析研究实验报告
一元线性回归分析研究实验报告一元线性回归分析研究实验报告一、引言一元线性回归分析是一种基本的统计学方法，用于研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
本实验旨在通过一元线性回归模型，探讨两个变量之间的关系，并对所得数据进行统计分析和解读。
二、实验目的本实验的主要目的是：1.学习和掌握一元线性回归分析的基本原理和方法；2.分析两个变量之间的线性关系；3.对所得数据进行统计推断，为后续研究提供参考。
三、实验原理一元线性回归分析是一种基于最小二乘法的统计方法，通过拟合一条直线来描述两个变量之间的线性关系。
该直线通过使实际数据点和拟合直线之间的残差平方和最小化来获得。
在数学模型中，假设因变量y和自变量x之间的关系可以用一条直线表示，即y = β0 + β1x + ε。
其中，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
四、实验步骤1.数据收集：收集包含两个变量的数据集，确保数据的准确性和可靠性；2.数据预处理：对数据进行清洗、整理和标准化；3.绘制散点图：通过散点图观察两个变量之间的趋势和关系；4.模型建立：使用最小二乘法拟合一元线性回归模型，计算模型的参数；5.模型评估：通过统计指标（如R2、p值等）对模型进行评估；6.误差分析：分析误差项ε，了解模型的可靠性和预测能力；7.结果解释：根据统计指标和误差分析结果，对所得数据进行解释和解读。
五、实验结果假设我们收集到的数据集如下：经过数据预处理和散点图绘制，我们发现因变量y和自变量x之间存在明显的线性关系。
以下是使用最小二乘法拟合的回归模型：y = 1.2 + 0.8x模型的R2值为0.91，说明该模型能够解释因变量y的91%的变异。
此外，p 值小于0.05，说明我们可以在95%的置信水平下认为该模型是显著的。
误差项ε的方差为0.4，说明模型的预测误差为0.4。
这表明模型具有一定的可靠性和预测能力。
六、实验总结通过本实验，我们掌握了一元线性回归分析的基本原理和方法，并对两个变量之间的关系进行了探讨。
第一节一元线性回归分析-
回 归 分
线 性回归分析 非线性回归分析
一元线性回归分析 多元线性回归分析
析
一、一元线性回归的数学模型
问题的分析
设 随 机 变 量 Y (因 变 量 )和 普 通 变 量 x ( 自 变 量 )之
间 存 在 着 相 关 关 系
Y
F(y x)表示当x取
确定的值x时,所对应
的Y的分布函数 .
C1
(x2)
求Q的最小值可以利用微分法
n
设 Q (,) (Y i x i)2 ,求 偏 导 可 得 i 1 Q ( ,)2i n 1(Y ixi)0
Q(
,
)
2
n i 1
xi (Yi
来自xi)0
n
(
n
[
i1
2 (
xi )2]
2 n[
n
(
i1
i1
n
= i1
(n1(xin(xx)i(x0x)2x))Yi
i1
因 而 Y ˆ 0 服 从 正 态 分 布 ， 其 期 望 值 为
E Y 0 E ( ˆ ˆx 0 ) x 0
D(Yˆ0)=i n1(n 1(xin(xx)i(x0x)2x))2DYi
例1 为研究某一化学反应过程中,温度x(oC)对产 品得率Y(%)的影响,测得数据如下.
温度x(oC) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 用MATLAB画出散点图
x=100:10:190;y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; plot(x,y,'.r')
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析是一种用于研究变量之间相互关系的统计分析方法。
它旨在
在一组数据中，以一个线性方程的式子去拟合变量之间的关系。
借此，分析一个独立变量（即自变量）和一个取决变量（即因变量）之间的关系，求出最合适的回归系数。
一元线性回归分析可以用来发现和描述变量之间的复杂方程式，用来估计参数，以及构建预测模型。
具体而言，一元线性回归分析指的是自变量和因变量之间有线性关系的回归分析。
也就是说，自变量和因变量均遵从一元线性方程，也就是y=βx+α，其中y
为因变量，x为自变量，β为系数，α为常数。
通过一元线性回归分析可以精确
的定义出变量之间的关系，从而可以得出最佳的回归系数和常数，并估计每个参数。
一元线性回归分析用于研究很多方面，例如决策科学、经济学和政治学等领域。
例如，在政治学研究中，可以使用一元线性回归分析来分析政府的软性政策是否能够促进社会发展，以及社会福利是否会影响民众的投票行为。
在经济学研究中，则可以使用一元线性回归分析来检验价格是否会影响消费水平，或检验工资水平是否会影响经济增长率等。
总结而言，一元线性回归分析是一种有效的研究变量之间关系的统计分析方法，精确地检验独立变量和取决变量之间的关系，从而求得最合适的回归系数和常数，并用该回归方程式构建预测模型，为决策提供参考。
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之
一元线性回归分析实验报告doc
一元线性回归分析实验报告.doc一、实验目的本实验旨在通过一元线性回归模型，探讨两个变量之间的关系，即一个变量是否随着另一个变量的变化而呈现线性变化。
通过实际数据进行分析，理解一元线性回归模型的应用及其局限性。
二、实验原理一元线性回归是一种基本的回归分析方法，用于研究两个连续变量之间的关系。
其基本假设是：因变量与自变量之间存在一种线性关系，即因变量的变化可以由自变量的变化来解释。
一元线性回归的数学模型可以表示为：Y = aX + b，其中Y是因变量，X是自变量，a是回归系数，b是截距。
三、实验步骤1.数据收集：收集包含两个变量的数据集，用于建立一元线性回归模型。
2.数据预处理：对数据进行清洗、整理和标准化，确保数据的质量和准确性。
3.绘制散点图：通过散点图观察因变量和自变量之间的关系，初步判断是否为线性关系。
4.建立模型：使用最小二乘法估计回归系数和截距，建立一元线性回归模型。
5.模型评估：通过统计指标（如R²、p值等）对模型进行评估，判断模型的拟合程度和显著性。
6.模型应用：根据实际问题和数据特征，对模型进行解释和应用。
四、实验结果与分析1.数据收集与预处理：我们收集了一个关于工资与工作经验的数据集，其中工资为因变量Y，工作经验为自变量X。
经过数据清洗和标准化处理，得到了50个样本点。
2.散点图绘制：绘制了工资与工作经验的散点图，发现样本点大致呈线性分布，说明工资随着工作经验的变化呈现出一种线性趋势。
3.模型建立：使用最小二乘法估计回归系数和截距，得到一元线性回归模型：Y = 50X + 2000。
其中，a=50表示工作经验每增加1年，工资平均增加50元；b=2000表示当工作经验为0时，工资为2000元。
4.模型评估：通过计算R²值和p值，对模型进行评估。
在本例中，R²值为0.85，说明模型对数据的拟合程度较高；p值为0.01，说明自变量对因变量的影响是显著的。
一元线性回归分析和多元线性回归分析
一元线性回归分析和多元线性回归分析一元线性回归分析1.简单介绍当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y 和自变量x 之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y 和自变量1x ，2x ，…，n x 之间的相关关系）。
如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。
在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。
这里讨论线性回归分析法。
2.回归分析法的基本步骤回归分析法的基本步骤如下： （1） 搜集数据。
根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。
由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。
（2） 设定回归方程。
以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。
设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。
（3） 确定回归系数。
将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定回归方程。
这一步的工作量较大。
（4） 进行相关性检验。
相关性检验是指对已确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。
一般有R 检验、t 检验和F 检验三种方法。
（5） 进行预测，并确定置信区间。
通过相关性检验后，我们就可以利用已确定的回归方程进行预测。
因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。
3. 一元线性回归分析的数学模型用一元线性回归方程来描述i x 和i y 之间的关系，即i i i x a a y ∆++=10 （i =1，2，…，n ）（2-1）式中，i x 和i y 分别是自变量x 和因变量y 的第i 观测值，0a 和1a 是回归系数，n 是观测点的个数，i ∆为对应于y 的第i 观测值i y 的随机误差。
一元线性回归分析
第二节 一元线性回归分析回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。
本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系。
回归分析的主要内容：1. 从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；2. 估计回归模型参数；3. 对确定的关系式进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。
一、一元线性回归模型：一元线性模型是指两个变量x 、y 之间的直线因果关系。
（一）理论回归模型：εββ++=x y 10理论回归模型中的参数是未知的，但是在观察中我们通常用样本观察值),(i i y x 估计参数值10,ββ，通常用10,b b 分别表示10,ββ的估计值，即称回归估计模型：x b b y10ˆ+= 二、模型参数估计：用最小二乘法估计10,b b ：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=∑∑∑∑∑xb y b x x n y x xy n b 10221)( 三．回归系数的含义（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点，称为y 截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量（x ）每变动一个单位量时，因变量（y ）的平均变化量。
（3）回归系数b1的取值有正负号。
如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系，如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。
四．回归方程的评价与检验：当我们得到一个实际问题的经验回归方程后，还不能马上就进行分析与预测等应用，在应用之前还需要运用统计方法对回归方程进行评价与检验。
进行评价与检验主要是基于以下理由：第一，在利用样本数据估计回归模型时，首先是假设变量y 与x 之间存在着线性关系，但这种假设是否存在需要进行检验；第二，估计的回归方程是否真正描述了变量y 与x 之间的统计规律性，y 的变化是否通过模型中的解释变量去解释需要进行检验等。
一般进行检验的内容有：1.经济意义的检验：利用相关的经济学原理及我们所积累的丰富的经验，对所估计的回归方程的回归系数进行分析与判断，看其能否得到合理的解释。
简单线性相关(一元线性回归分析)
第十三讲简单线性相关（一元线性回归分析）对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。
回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。
如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。
一、一元线性回归模型及其对变量的要求（一）一元线性回归模型1、一元线性回归模型示例两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示：Y=A+BX+方程中的 A 、B 是待定的常数，称为模型系数，是残差，是以X预测Y 产生的误差。
两个变量之间拟合的直线是：y a bxy 是y的拟合值或预测值，它是在X 条件下 Y 条件均值的估计a 、b 是回归直线的系数，是总体真实直线距，当自变量的值为0 时，因变量的值。
A、B 的估计值， a 即 constant 是截b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。
可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程：y x为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（ Z XjXj），因变量 Y 的标准差的平均变化。
S j由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y 的重要性。
（二）对变量的要求：回归分析的假定条件回归分析对变量的要求是：自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。
自变量 X 值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。
回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。
（三）数据要求模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为 1 个自变量）。
一元线性回归分析
• 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件 均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：
E(Y | X X i )
该例中：E（Y | X=800）=650
2020/4/28
朱晋
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• 从散点图发现：随着收入的增加，消费“平均
地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正 斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相 关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
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朱晋
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回归分析构成计量经济学的方法论基 础，其主要内容包括：
（1）根据样本观察值对计量经济模型参数进行 估计，求得回归方程；
（2）对回归方程、参数估计值进行检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
随机变量间的关系。 • 统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随 机变量间的关系。
2020/4/28
朱晋
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△对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析 (correlation analysis)或回归分析(regression analysis) 来完成的：
统计依赖关系
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
yi 0 1xi ui
• 利用样本观察值找出参数0和 1的估计值，
得到样本回归模型：
yˆi ˆ0 ˆ1xi
• 检验估计值的性质，并利用样本回归模
型分析被解释变量的总体平均规律。
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朱晋
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• 由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根据 解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体
负相关 1 XY 1
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８. １ 相关分析
• (４) 按相关的表现形式不同可以分为直线相关和曲线相关。 直线相 关又称线性相关，是指当一个变量变动时， 另一个变量随之发生大 致均等的变动的相关关系。 曲线相关又称非线性相关， 是指当一个 变量变动时， 另一个变量也随之发生变动， 但这种变动不是均等的。 在平面直角坐标图中， 前者是变量间变化所对应数值的散点分布近 似地表现为一条直线; 而后者对应数值的散点分布近似地表现为一条 曲线， 如抛物线、 指数曲线等。 如产品产量与单位产品的生产成 本之间的关系， 当产品产量在合理范围内增加时， 单位产品的生产 成本会降低， 一旦产品增加超过经济规模， 则产量越多， 单位产品 成本反而会上升。 这就是非线性相关关系。
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８. ２ 一元线性回归分析
• 相关分析与回归分析的主要联系是: • (１) 研究有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得
直线回归方程等问题， 需进行直线相关和回归分析。 • (２) 从研究目的来说， 若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密
切程度和方向， 则宜选用线性相关分析; 若仅仅为了建立由自变量推 算因变量的直线回归方程， 则宜选用直线回归分析。 • (３) 作相关分析时要求两变量都是随机变量 ( 如人的身高与体重) ; 作 回归分析时要求因变量是随机变量， 自变量可以是随机的， 也可以 是一般变量 ( 即可以事先指定变量的取值， 如用药的剂量) 。 • (４) 在实际应用中， 当两变量都是随机变量时， 常需同时给出这两 种方法分析的结果;另外， 若用计算器来实现统计分析， 则可用对相 关系数的检验取代对回归系数的检验， 以达到化繁为简的目的。
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８. １ 相关分析
• (２) 按相关的变化方向是否相同可以分为正相关和负相关。 当一个 变量的数量变动与另一个变量的数量变动方向一致时， 称为正相关。 如政府财政收入增加， 则下拨给各预算单位的财政拨款也会随之增 加。 当一个变量的数量变动与另一个变量的数量变动方向相反时， 称为负相关。 如劳动生产率提高， 则单位产品所消耗的时间会减少。
• 从求得的相关系数可知， 产品的销售额和销售利润之间存在高度正 相关关系。
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８. ２ 一元线性回归分析
• 相关分析与回归分析都是处理变量之间相关关系的一种统计方法。 • 相关分析是确定变量相关关系的具体形式， 但无法从一个变量的变
化来推测出另一个变量的变化情况。 因此， 相关分析需要利用回归 分析来表明现象数量关系的具体形式， 回归分析则应该建立在相关 分析的基础上。 回归分析和相关分析是互相补充、 密切联系的。 • 回归分析是研究两种或两种以上变量之间相互依赖的定量关系的统计 分析方法， 在很多行业都有广泛的应用。 无论是银行、 保险、 电信 等服务行业的业务分析人员在进行数据库营销、 欺诈风险侦测， 还 是半导体、 电子、 化工、 医药、 钢铁等制造行业的研发技术人员在 进行新产品实验设计与分析、 流程优化与过程监控， 或者更广义地 说， 不同类型的企业在开展质量管理和六○项目时， 都会用到回归 分析。 • 回归分析可以帮助我们判断哪些因素的影响是显著的， 哪些因素的 影响是不显著的， 还可以利用求得的回归方程进行预测和控制。
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８. ２ 一元线性回归分析
• ８. ２. １ 一元线性回归分析的概念
• 如果两个变量呈现直线相关关系 ( 即两变量的增长比率为常数) ， 则 其变动的规律可用一条直线来说明， 即 ｙ ＝ ａ ＋ ｂｘ。 基于两变 量之间的数量变化常常是采用近似于一条直线的方式变动， 因此， 回归分析可以利用数学上的线性分析法， 即采用一条直线进行统计 分析，这条关于 ｘ 与 ｙ 的回归直线称为估计回归线， 采用的回归 线的方程式称为回归方程式， 一元线性回归方程式表示为: ｙ＾ ＝ ａ ＋ ｂｘ， 其中ｙ＾表示 ｙ 的估计值， ａ 表示直线在纵轴上的 截距， ｂ表示直线的斜率， 在回归分析中称为回归系数。 当 ｂ 为 正时， 表明自变量和因变量按相同方向变动; 当 ｂ 为负时， 表明自 变量和因变量按相反方向变动。 ａ 和 ｂ 都叫待定参数， 可根据实 际资料求解其数值， 最后确定回归直线方程式。回归分析的主要步 骤有:
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８. １ 相关分析
• 从以上的分析可以看出， 探讨现象之间的相关关系是发现事物内在 相关性的一种捷径，有时甚至能够指明研究方向的重要信息， 而且 许多现象也证实了这种机制。 例如， 天花是一种毁坏性很强的传染 病， 但有人发现， 牧场里挤牛奶的姑娘几乎从来不染天花， 经过多 次的“ 试错” 活动， 牛痘诞生了， 天花不再肆虐， 以至于现在， 天花病毒在某些范围内成为濒临灭绝的需要保护的生物物种; 再如， 风湿性关节炎是一种顽疾， 但人们发现， 养蜂人几乎不患关节炎， 与产生牛痘的艰难过程相似， 治疗关节炎的 “ 蜂毒” 出现了。
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８. ２ 一元线性回归分析
• 相关分析与回归分析的主要差别是: • (１) 在回归分析中， ｙ 被称为因变量， 处在被解释的特殊地位， 而
在相关分析中， ｘ 与ｙ 处于平等的地位， 即研究 ｘ 与 ｙ 的密切 程度和研究 ｙ 与 ｘ 的密切程度是一致的。 • (２) 相关分析中， ｘ 与 ｙ 都是随机变量， 而在回归分析中， ｙ 是 随机变量， ｘ 可以是随机变量， 也可以是非随机的。 通常在回归模 型中， 总是假定 ｘ 是非随机的。 • (３) 相关分析研究的主要是两个变量之间的密切程度， 而回归分析 不仅可以揭示 ｘ 对 ｙ的影响大小， 还可以由回归方程进行数量上的 预测和控制。
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８. １ 相关分析
• ８. １. ２ 相关分析的分类
• 感知某种事物的存在， 人们很自然地就要去理解、 解释这种事物。 现象间存在着相关关系， 这些 “ 关系” 成为认识的对象， 我们不 禁要问: 这些关系是怎样的? 从科学方法的角度看， 对研究对象进行 适当的分类是必要的。
• 现象间的相关关系可以按照不同的标准进行分类。 • (１) 按相关的程度划分为完全相关、 不完全相关和不相关。 完全
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８. １ 相关分析
• 相关系数的计算方法有很多种， 实际应用中常用积差法计算。 其中， Ｃｏｒｒ( Ｘ， Ｙ) 常用 ｒ表示; Ｃｏｖ( Ｘ， Ｙ) 是协方差; Ｖａ ｒ( Ｘ) 和Ｖａｒ( Ｙ) 分别是变量Ｘ 和Ｙ 的方差。 相关系数Ｃｏｒ ｒ( Ｘ， Ｙ) 具有以下性质:
• (１) Ｃｏｒｒ( Ｘ， Ｙ) ≤１， • (２) Ｃｏｒｒ( Ｘ，Ｙ) ＝ １ 当且仅当 Ｐ{ Ｙ ＝ ａ ＋ ｂＸ} ＝ １。 • 相关系数 Ｃｏｒｒ( Ｘ， Ｙ) 的数值总是介于 － １ 与 １ 之间。
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８. １ 相关分析
• “ 事物间是普遍联系的” ， 一种现象的变化总是依赖或影响着其他 现象的变化， 运用统计方法的目的之一就是从数量上测度事物之间 的 “ 联系及其程度” 。 事物之间存在依存关系， 从统计学的视角 看， 可以把事物间的关系视为变量间的关系。 为了简化讨论， 假 设相互联系发生在两个事物或两个变量之间， 则两者间关系的紧密 程度即统计学要探索和度量的对象。
第八章 相关与回归分析
• ８. １ 相关分析 • ８. ２ 一元线性回归分析
８. １ 相关分析
• ８.１. １ 相关分析的概念
• 加拿大的一位科学家 ( Ｄｒ Ｐｅｔｅｒ Ｙｕ) 猜测: 严重暴力罪犯是 否在生理结构上就与正常人有区别? 之后， 他研究了监狱内几十名 严重暴力罪犯的血样， 发现其中一种叫作 ＭＡＯ 的物质只相当于 正常人的 １ / ３， 而且暴力犯罪越严重， ＭＡＯ 含量越低。 西班 牙的一位科学家对斗牛士进行了相似的实验， 也得到相似的结果。 Ｄｒ Ｐｅｔｅｒ Ｙｕ 同样也对一些胆子很小、 “ 不惜一切， 避免任 何风险” 的人进行了相似的实验， 发现 ＭＡＯ 含量偏高。 于是， 他着手研制一种能够降低某些胆小的人血液中的 ＭＡＯ 含量的药， 以使他们能与普通人同样生活。 这是一种现象: 暴力倾向强的人， 同时血液中 ＭＡＯ 的含量也低; 相反， 胆子小的人， ＭＡＯ 含量高。 人们会很自然地猜测———ＭＡＯ 是否决定了一个人的暴力倾向?
上一页 下一页 还有许多情况是现象之间存在着客观联系， 但在 数量上表现为不确定的相互关系。 例如， 一般地， 一个人的身高越 高， 他的体重也应该越重， 但我们会发现有些身高为 １ ６０ 米的 人较身高为 １ ７０ 米的人体重重; 又如， 单位生产成本的高低与利 润的多少的关系; 广告费支出与产品销售量之间的关系等。 类似的情 况很多， 其基本特点是: 当一种现象发生数量上的变化时， 另一现 象也会相应地发生变化， 但其变化是不确定的。 众多现象所形成的 复杂性和认识的局限性， 或者实验误差、 测量误差等偶然因素， 使 得当一个变量发生变化时， 另一个变量与之对应的数值变化会有多 种可能， 或分布于平均值周围， 或在一定区间内随机波动。 统计学 中， 把这种现象之间在数量上非确定性的对应关系叫作 “ 相关关系” 或 “ 统计关系” 。 因此， 我们把相关看作现象或变量之间的数量 关联， 从而有(１) 完全确定的关联———函数关系。
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８. １ 相关分析
• 诸如此类的情况， 都存在这样的过程: 人们发现某种现象的变化经常 会引起另一现象的变化， 这可以被视为不太明确的规律; 人们为了验 证、 利用这些规律， 会进一步实验， 筛选出最主要的变量， 再进行 理论论证， 直至形成一种比较稳定的、 可控的操作模式。 这个过程 用统计术语来表述就是: 通过大量观察， 发现某两个变量之间的相关 关系， 再对这两个变量的一系列观测值进行有效的统计技术处理 ( 下面将要介绍的回归分析方法是主要的手段) ，形成具有一定概率 的统计规律。 如何验证或解释统计规律则是统计方法以外的事业， 前述三个事例都属于生物学、 生理学领域。 经济现象中的 “ 恩格尔 定律” 也有类似的情形。