陕西省宝鸡中学2019-2020学年高二下学期期中考试文科数学试题 Word版含解析

宝鸡中学2018级高二第二学期期中考试试题文科数学说明：1.本试题分Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷和答案要按照A 、B 卷的要求涂到答题卡上，第Ⅰ卷不交；2.全卷共三大题22个小题，满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请选出正确答案）1.在极坐标系中，方程()06πθρ=≥表示的图形为（ ）A. 一条直线B. 一条射线C. 一个点D. 一个圆【答案】B 【解析】 【分析】根据极坐标系的概念进行判断.【详解】在极坐标系中，方程()06πθρ=≥表示的图形为一条射线,0y x =≥. 故选：B【点睛】本题考查极坐标系的意义、直线的极坐标方程，属于基础题. 2.点M 的极坐标32,4π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为（ ）A. (-B. (2,C. (D.【答案】C 【解析】 【分析】直接利用极坐标公式得到答案.【详解】点M 的极坐标32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32cos4x π==，32sin 4y π==故直角坐标为(. 故选：C.【点睛】本题考查了极坐标转化为直角坐标，属于简单题. 3.已知0a b >>，那么下列不等式中成立的是 A. a b ->- B. a m b m +<+C. 22a b >D.11a b> 【答案】C 【解析】【详解】由不等式的性质可知，若0a b >>， 则： a b -<-，a m b m +>+，22a b >， 11a b<. 故选：C. 4.把点4,,43P π⎛⎫⎪⎝⎭的柱坐标化为直角坐标为（ ）A. ()2,4B. ()2,4C.)4D.()4【答案】A 【解析】 【分析】根据柱坐标与直角坐标的转化关系求解即可. 【详解】由题意可知4,,43z πρθ===∴cos 4cos23x πρθ===，sin 4sin3y πρθ===4z =则点4,,43P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,4 故选：A【点睛】本题主要考查了柱坐标化直角坐标，属于基础题. 5.极坐标方程sin cos ρθθ=+表示的曲线是（ ） A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线【答案】B 【解析】 【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，再根据直角坐标方程判断曲线的形状即可. 【详解】极坐标方程sin cos ρθθ=+，两边同时乘以ρ，可得2sin cos ρρθρθ=+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，代入上式可得22x y x y +=+，化简变形可得22111442x x y y -++-+=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线表示的图形为圆， 故选：B【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，曲线形状的判断，属于基础题. 6.2m ax b =+，2n bx a =+，且m n >，a b >，则（ ） A. x a b >+B. x a b <+C. x a b >-D.x a b <-【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得22ax b bx a +>+，然后化简得()()()a b x a b a b ->+-，而a b >，由不等式的性质给两边同除以-a b 不等号方向不变，可得结果. 【详解】解：因为2m ax b =+，2n bx a =+，m n >， 所以22ax b bx a +>+，所以22ax bx a b ->-，()()()a b x a b a b ->+- 因为a b > ，所以0a b ->， 所以x a b >+ 故选：A【点睛】此题考查了不等式的性质，属于基础题.7.椭圆2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的离心率为（ ）A.2 B.2C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】将椭圆的参数方程化为普通方程，即可求得椭圆的离心率.【详解】椭圆2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），化为普通方程可得22134x y +=，所以2,a b ==，则1c =， 所以离心率为12c e a ==， 故选：C.【点睛】本题考查了椭圆参数方程与普通方程的转化，椭圆离心率的求法，属于基础题. 8.直线:40l x y -+=被圆12cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为（ ）A. B.C.2D.【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的参数方程化为标准方程，求出圆到直线的距离d ，利用直线被圆截得的弦长为【详解】解：由12cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），得22(1)(2)4x y ++-=，所以圆心为(1,2)-，半径为2r ，所以圆心到直线的距离d ==， 所以直线被圆截得的弦长为==， 故选：A【点睛】此题考查直线与圆相交求弦长问题、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题.9.若,a b ∈R ，a b >，则（ ） A. a b > B. a b <C. a b <-D. a b ->【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的概念知b b ≥，即可判断. 【详解】b b ≥，a b ∴>.故选：A【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.10.若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ）A. 14B.114C. 29D.129【答案】B 【解析】 【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：()()2221492231xy z y z ++++≥++=，即222114x y z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力. 11.不等式：①223x x +>；②()2221a b a b +≥--；③2b a a b +≥；④()2230x x x+≥>，其中恒成立的是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①④D. ②③【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式和作差比较法，即可判定，得到答案.【详解】①22312324x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭,223x x ∴+>不能恒成立,；②2222222(1)222(1)(1)0a b a b a b a b a b +---=+-++=-++≥222(1)a b a b ∴+≥--恒成立；③当0ab >时，2a b b a +≥=，当0ab <时，2b a a b+≥不成立；④0x >时，2221133x x x x x +=++≥=，当且仅当21x x =，即1x =时，等号成立，故④恒成立. 故选：B.【点睛】本题考查作差法比较大小及基本不等式应用，其中解答中熟记基本不等式的"一正、二定、三相等"，以及熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.12.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB⊥交圆周于D ，连接OD .作CE OD ⊥交OD 于E .则下列不等式可以表示CD DE ≥的是( )A. ()20,0abab a b a b≥>>+ B.()0,02a bab a b +≥>> C.()220,022a b a ba b ++≥>> D. ()2220,0a b ab a b +≥>>【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD 和D E 的长度，利用CD >D E 即可得到答案.【详解】连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，所以在Rt ADB ∆中，中线22AB a bOD +==，由射影定理可得2CD AC CB ab =⋅=，所以CD ab =. 在Rt DCO ∆中，由射影定理可得2CD DE OD =⋅，即222CD ab abDE a b OD a b ===++，由CD DE >得2abab a b≥+， 故选A .【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分，答案填在答卷纸中相应位置的横线上.）13.二次不等式2560x x --+≥的解集是_____________.【答案】{}|61x x -≤≤ 【解析】 【分析】先把2560x x --+≥变形为2560x x +-≤，再结合二次函数与二次方程的关系求出其解集.【详解】解：由2560x x --+≥得:2560x x +-≤，解得：61x -≤≤，所以2560x x --+≥的解集为{}|61x x -≤≤. 故答案为：{}|61x x -≤≤. 【点睛】本题考查二次不等式的解法，属于基础题. 14.用分析法证明：若a ，b ，m 都是正数，且a b <，则a m ab m b+>+.完成下列证明过程. 因为0b m +>，0b >，所以要证原不等式成立，只需证明()()b a m a b m +>+，即只需证明________.因为0m >，所以只需证明b a >，由已知显然成立，所以原不等式成立.【答案】bm am > 【解析】 【分析】 把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止.【详解】解：因为0b m +>，0b >，所以要证原不等式成立，只需证明()()b a m a b m +>+，而()()b a m a b m +>+可化为ab bm ab am +>+， 所以只需证明bm am >即可， 故答案为：bm am >【点睛】此题考查用分析法证明不等式的方法和步骤，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，属于基础题.15.直线3cos 4sin 90ρθρθ--=与圆2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的位置关系是_________.【答案】相交【解析】 【分析】先将圆的参数方程化为圆的普通方程，然后再将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后计算圆心到直线的距离与半径进行比较即可判断位置关系.【详解】解：因为直线的极坐标方程为3cos 4sin 90ρθρθ--=， 所以直线的直角坐标方程为3490x y --=，因为圆的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以圆的普通方程为224x y +=，所以圆心(0,0)到直线的距离为925d ==<， 所以直线与圆相交， 故答案为：相交【点睛】此题考查直线的极坐标方程，圆的参数方程，直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.16.已知a ，b ，c 都是正数，且493a b c ++=，则111a b c++的最小值是________. 【答案】12 【解析】 【分析】由1111114()(3)33a cb a bc a b c ++=++++，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由493a b c ++=，可得43133a cb ++=， 所以1111114()(3)33a c b a b c a b c ++=++++4341433333333b c a c a ba ab bc c=++++++++5344353()()()3333333b a c a c b a b a c b c =+++++++≥++543421233=++++=，当且仅当111,,462a b c ===时取等号，所以111a b c++的最小值是12. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质及其应用，着重考查式子的变形能，以及推理与运算能力，属于中档试题.三.解答题（本大题共5个小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤17.（1）解不等式3112x x -<-. （2）已知0x <，求证：()()()()3443x x x x +->+-. 【答案】（1）1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质把分式不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）通过两式做差，判断与0的大小即可. 【详解】（1）解：由3112x x -<-，知2102x x +<-，即()()2120x x +-<得，122x -<<，所以不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）证明：()()()()()()2234431212200x x x x x x x x x x +--+-=---+-=-><.【点睛】本题考查分式不等式解法、作差法证明不等式，属于基础题. 18.已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .【答案】（1）11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）（2）)21【解析】 【分析】（1）由直线的参数方程直接写出；（2）先把直线2l 极坐标方程化为直角坐标方程，然后与直线1l 的参数方程联立得到t 的值，根据参数t 的几何意义即可求出MN .【详解】解：（1）直线1l的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）（2）直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=化为直线20x y +-=，将1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入20x y +-=得，)21t =-，由t 的几何意义知，点()1,3M 到两直线的交点N的距离为)21t =.【点睛】本题考查直线的参数方程及参数的几何意义、极坐标方程与直角坐标方程互化，属于基础题.19.已知1m ，且关于x 的不等式21x m -≤-的解集为[]1,3. （1）求m 的值；（2）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值. 【答案】（1）2m =（2）2 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式得到31m x m -≤≤+，对比解集得到答案. （2）直接利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）∵1m ，解不等式21x m -≤-得121m x m -≤-≤+，∴31m x m -≤≤+， 因为解集为[]1,3，∴2m =.（2）2a b +=，则()()()()22222222222a b a b ab a b a b a b +=++≤+++=+，故222a b +≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，故22a b +的最小值为2.【点睛】本题考查了绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知函数()()()221cos sin 0,2f x x x x π=-+∈. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角A 所对边a =角B 所对边4b =，若()0f A =，求：ABC 的面积.【答案】（1）0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）2.【解析】 【分析】（1）化简函数()1cos 22f x x =+，利用余弦函数的性质，求得函数的单调递减区间，进而求得函数()f x 的单调递减区间； （2）由（1）求得3A π=，利用余弦定理得到2440c c --=，求得c 的值，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）由函数()2211cos sin cos 222f x x x x =-+=+， 令222k x k πππ≤≤+，k z ∈，解得2k x k πππ≤≤+，当0k =时，可得02x π≤≤，即函数()f x 的单调递减区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）在ABC 中，A ，B 角的对边分别为a =4b =，由()0f A =，可得()11cos 20,cos 222f A A A =+==-， 因为(0,)2A π∈，则2(0,)A π∈，所以223A π=，所以3A π=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，又由a =4b =，可得2440c c --=，解得()212c =+或()212c =-（舍去）， 所以三角形的面积为()()11sin 4212sin 236223S bc A π==⨯⨯+=+.【点睛】本题考查三角恒等变换化简并求函数的性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．21.如图，在三棱锥P ABC -中，90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，M 为PB 中点，且PDB △是正三角形，PA PC ⊥.（1）求证：//DM 平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得出//DM AP ，由线面平行判定定理即可得证； （2）先由正三角形的三线合一性质得DMPB ，又由//DM AP 推出PA PB ⊥.结合PA PC ⊥推出PA ⊥平面PBC ，从而得到PA BC ⊥，再由BC AC ⊥得到BC ⊥平面PAC ，根据面面垂直的判定定理即证.【详解】（1）证明：∵D 是AB 的中点，M 是PB 的中点，∴//DM AP ，∵AP ⊆平面APC ，DM ⊄平面APC ，∴//DM 平面PAC .（2）证明：因为PDB △是正三角形，M 是PB 的中点，所以DMBP ⊥.又∵//DM AP ，∴PA PB ⊥，又∵PA PC ⊥，PB PC P ⋂=，,PB PC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴PA BC ⊥，又BC AC ⊥，AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ， 又BC ⊂平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判定，是立体几何中重要的知识点，属于中档题.22.已知椭圆22 22:1x yCa b+=的焦距2，且经过点()0,1A.（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线:2l y kx=+与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x 轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，求证：OM ON⋅为定值.【答案】（1）2212xy+=（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据焦距及所过点的坐标可得,c a，再由椭圆中,,a b c的关系求得b，即可得椭圆的方程.（2）设()11,P x y，()22,Q x y，由点斜式表示出直线AP的方程，并表示出M点的横坐标，进而表示出OM、ON，联立直线与椭圆方程，并由判别式可得k的取值范围，由韦达定理表示出12x x+，12x x⋅，代入OM ON⋅中化简即可.【详解】（1）由题意得22c=，所以1c=，因为过点()0,1A，所以1b=，而2222a b c=+=，所以椭圆C的方程为2212xy+=.（2）证明：设()11,P x y，()22,Q x y，则直线AP的方程为1111yy xx-=+，令0y =，得M 点的横坐标111M x x y =--， 又112y kx =+，从而111M x OM x kx ==+，同理221N x ON x kx ==+，联立直线与抛物线22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()2212860k x kx +++=， ()()2228241216240k k k ∆=-+=->，解得232k >， 则122812kx x k +=-+，122612x x k ⋅=+， 所以121211x x OM ON kx kx ⋅=⋅++()12212121x x k x x k x x ⋅=+++222261266811212k k k k k k +==-⎛⎫⋅+⋅+ ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，由韦达定理求椭圆中定值，属于中档题.。