高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)-

F

A

E

O

B D

M

(第2题图)

A 1

B 1

C 1

D

A B

C

D

E

高二文科数学《立体几何》大题训练试题

1．(本小题满分14分)

如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点．

（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE 。

2．(本小题满分14分)

如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.

(1)求证：

AF ⊥平面CBF ；

(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；

(3)求三棱锥F －CBE 的体积.

3.（本小题满分14分）

如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，

90ADE ∠=o ，DE AF //，22===AF DA DE .

(Ⅰ)求证：

//AC 平面BEF ；

（Ⅱ）求四面体BDEF 的体积.

4．如图,长方体

1

111D C B A ABCD -中，

11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.

(Ⅰ)求证：直线//1

BB 平面DE D 1；

(Ⅱ)求证：平面

AE A 1⊥平面DE D 1；

(Ⅲ)求三棱锥

DE A A 1-的体积.

5．（本题满分14分）

如图，己知

BCD ∆中，090BCD ∠=，1,BC CD AB BCD ==⊥平面，060,,AC,AD ADB E F ∠=分别是上的动点，

且

AE AF

==,(0<<1)AC AD

λλ （1）求证：不论

λ为何值，总有EF ABC;⊥平面

（2）若1=,2

λ求三棱锥A-BEF 的体积．

6.(本小题满分13分)

如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点， D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． (1)求证：DM ∥平面APC ；

A

B C D

F

E

B A

E

D

C

F

A

B

C

D

图2

B

C

D 图1

(2)求证： BC ⊥平面APC ；

(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．

7、（本小题满分14分）

如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,2,1AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,

得到几何体D ABC -,如图2所示.

(1) 求证:BC ⊥平面ACD ；(2) 求几何体D ABC -的体积.

8、（本小题满分14分）

已知四棱锥P ABCD - (图5) 的三视图如图6所示，PBC ∆为正三角形，PA 垂直底面ABCD ，俯视图是直角梯形．

（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P ABCD -

的体积；

（3）求证：

AC ⊥平面PAB ；

参考答案

1．(本小题满分14分) （1）证明：取

CE 的中点G ，连结FG BG 、．

∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且1

2

GF DE =．

∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．

又1

2

AB DE =，∴GF AB =． …………3分

∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．……………5分

∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分

（2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥…………9分

∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥．……………10分

又

CD DE D ⋂=，∴AF ⊥平面CDE ．……………………………12分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ．…………………………………13分 ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分

2．解：（1）Θ平面

ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥,

平面ABCD I 平面ABEF AB =，

CB ∴⊥平面ABEF ， ∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，……… 2分

又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF . ……… 4分

B A

E

D

C F

G

（2）设DF 的中点为N ，则MN

//12CD ，又AO //1

2

CD ， 则MN

//

AO ，四边形MNAO 为平行四边形，

∴

//OM AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，

∴//OM 平面DAF . …… 8分

（3）∵BC ⊥面BEF ，∴1

3

F CBE C BEF BEF V V S BC --∆==⨯⨯，

B 到EF 的距离等于O 到

EF 的距离，

过点O 作OG

EF ⊥于G ，连结OE 、OF ， ∴OEF ∆为正三角形，∴OG 为正OEF ∆的高，

∴OG

=

=……… 11分

∴

1

3

F CBE

C BEF BEF

V V S BC --∆==⨯⨯ ……

12分

1111113232EF OG BC =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=。……… 14分

3、(Ⅰ)证明：设

AC BD O =I ，取BE 中点G ，连结OG FG ,，

所以，OG //

=12DE …2分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF

//

=OG ， 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ………4分

因为FG

⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,

所以

//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF ………7分

（Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,

所以AB ⊥平面ADEF . ………10分 因为

DE AF //,90ADE ∠=o ,22===AF DA DE ，

所以DEF ∆的面积为

1

22ED AD ⨯⨯=， ……12分

所以四面体BDEF 的体积

=⨯=∆AB S DEF 3143. ……14分

4、(Ⅰ)证明：在长方体

1111D C B A ABCD -中, 11//DD BB ，

又 ∵ ⊄1BB 平面DE D 1，⊆1DD 平面DE D 1∴ 直线//1BB 平面DE D 1 ……4分

A

B

C

D

F

E