2010级数学分析2期末试题

一、填空题（每小题2分，共26分）

1、函数155345++-=x x x y 在]1,1[-上的最大值为 ，最小值为 。

2. 利用定积分定义得=-∑=∞→n i n i n 1

2241lim 。

3. 若点)2,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ， =b 。

4．若级数∑∞

=1n n a 收敛，则=∞→n n a lim 。

5．设集合⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=+N n n S n 1)1(]1,0[ ，则集合S 的所有聚点之集为 。

6、积分⎰1

02dx x a 当 时收敛，级数∑-p n n

)1(当 时条件收敛。

7、=⎰-1

132tan xdx x 。

8、⎰+=)1()(x e dx x f x ，则=)(x f 。

9、曲线)(x f y =，],[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为

=S 。

10、函数列一致收敛的柯西准则为 。

11、=+--⎰dx x x x 3

252 。 12、设]1,1[-∈x ，则=⎰∑∞=-x n n dt n

t 0121

。

13、函数x e 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式为

=x e 。

二、计算下列积分（每题6分，共18分）

1、

⎰xdx x arctan ； 2、

⎰-10221dx x x ； 3、⎰-40

22dx x x 。

三、判断下列反常积分和级数的敛散性，（每题6分，共24分） 1、dx x x ⎰+∞+12)1ln(； 2、dx x

x ⎰103arctan ； 3、 ∑∞

=-1!)2(n n n n n ； 4、∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11)21(n n n 。 四、证明题（第1题12分，第2、3题各10分，共32分）

1、利用定积分证明：

（1）半径为R 的园周长为R π2。

（2）半径为R 的球体体积为33

4R π。 2、设)(x f 是定义在),(+∞-∞上且以T 为周期的连续函数，证明：)(x f 在),(+∞-∞上有最大值与最小值。

3、证明函数∑∞==13sin )(n n nx x f 在),(+∞-∞上连续，且有连续的导函数。