高中数学全套讲义 选修2-3 排列 中等教师版

目录

考点一：排列 (2)

题型一、排列数计算 (3)

题型二、排列在实际问题中的应用 (5)

课后综合巩固练习 (6)

考点一：排列

排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)

(1)m

n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．

全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．

n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．

排列组合一些常用方法

1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排

成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有1

1m n C --．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

实际问题的解题策略

排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是

分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

题型一、排列数计算

1．（2017春•西夏区校级月考）若12320081232008M A A A A =+++⋯+，则M 的个位数字是( )

A ．3

B ．8

C ．0

D ．5

【分析】根据题意，由排列数公式计算可得111A =，2

2

2A =，336A =，4424A =，55120A =，分析可得66A ，77A ，⋯，2008

2008A 的个位数都是0，由此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，由排列数公式计算可得111A =，2

2

2A =，336A =，4424A =，55120A =， 66A ，77A ，⋯，2008

2008A 的个位数都是0，

1262433+++=，

则M 的个位数字是3； 故选：A ．

【点评】本题考查排列数公式的应用，解题时要注意总结规律．

2．（2017春•临朐县期中）已知自然数x 满足322121326x x x A A A +++-=，则(x )

A ．3

B ．5

C ．4

D ．6

【分析】利用排列数公式构造关于x 的方程，由此能求出结果．

【解答】解：自然数x 满足322

121326x x x A A A +++-=，

3(1)(1)2(2)(1)6(1)x x x x x x x ∴+--++=+，

整理，得：231140x x --=，

故选：C ．

【点评】本题考查实数值的求法，二查排列数公式的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查创新意识、应用意识 3．（2017春•西夏区校级月考）解下列各式中的n 值．

（1）2490n n A A =；（2）442

4242n n n n n A A A ----=．

【分析】（1）利用排列数公式得到90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，由此能求出n ． (4)!42(4)!

n -=能求出n ．

【解答】解：（1）2

490n

n A A =， 90(1)(1)(2)(3)n n n n n n ∴-=---， 25840n n ∴--=， (12)(7)0n n ∴-+=，

解得12n =或7n =-（舍)． 12n ∴=．

（2）4424242n n n n n A A A ----=，

(4)!42(4)!

n -=(1)42n n ∴-=，2420n n ∴--=，

解得7n =或6n =-（舍)， 7n ∴=．

【点评】本题考查方程的解法，考查排列数公式、组合数公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．