高中数学全套讲义 选修2-3 排列 中等教师版

目录考点一：排列 (2)题型一、排列数计算 (3)题型二、排列在实际问题中的应用 (5)课后综合巩固练习 (6)考点一：排列排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．排列组合一些常用方法1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．实际问题的解题策略排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．题型一、排列数计算1．（2017春•西夏区校级月考）若12320081232008M A A A A =+++⋯+，则M 的个位数字是( )A ．3B ．8C ．0D ．5【分析】根据题意，由排列数公式计算可得111A =，222A =，336A =，4424A =，55120A =，分析可得66A ，77A ，⋯，20082008A 的个位数都是0，由此分析可得答案．【解答】解：根据题意，由排列数公式计算可得111A =，222A =，336A =，4424A =，55120A =， 66A ，77A ，⋯，20082008A 的个位数都是0，1262433+++=，则M 的个位数字是3； 故选：A ．【点评】本题考查排列数公式的应用，解题时要注意总结规律．2．（2017春•临朐县期中）已知自然数x 满足322121326x x x A A A +++-=，则(x )A ．3B ．5C ．4D ．6【分析】利用排列数公式构造关于x 的方程，由此能求出结果．【解答】解：自然数x 满足322121326x x x A A A +++-=，3(1)(1)2(2)(1)6(1)x x x x x x x ∴+--++=+，整理，得：231140x x --=，故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，二查排列数公式的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查创新意识、应用意识 3．（2017春•西夏区校级月考）解下列各式中的n 值．（1）2490n n A A =；（2）4424242n n n n n A A A ----=．【分析】（1）利用排列数公式得到90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，由此能求出n ． (4)!42(4)!n -=能求出n ．【解答】解：（1）2490nn A A =， 90(1)(1)(2)(3)n n n n n n ∴-=---， 25840n n ∴--=， (12)(7)0n n ∴-+=，解得12n =或7n =-（舍)． 12n ∴=．（2）4424242n n n n n A A A ----=，(4)!42(4)!n -=(1)42n n ∴-=，2420n n ∴--=，解得7n =或6n =-（舍)， 7n ∴=．【点评】本题考查方程的解法，考查排列数公式、组合数公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．题型二、排列在实际问题中的应用1．（2019春•广东期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个【分析】由排列组合及简单的计数问题得：用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有242448+=个，得解．【解答】解：①当千位数字为3时，由数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有3 424A=个，②当千位数字为4时，由数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有3424A=个，综合①②得：用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有242448+=个，故选：C．【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题．2．（2019春•南山区期末）某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为()A．60B．48C．36D．24【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为22222324A A A=，得解．【解答】解：先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A=，故选：D．【点评】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题．3．（2019春•丽水期末）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为()A．24B．36C．42D．48【分析】由排列组合中的捆绑问题得：不同排法的种数为24232423481236A A A A-=-=，得解．【解答】解：先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，再减去数学排第一节的排法即可即不同排法的种数为24232423481236A A A A-=-=，故选：B．【点评】本题考查了排列组合中的捆绑问题．课后综合巩固练习1．（2019春•白山期末）六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有()A．180 种B．240 种C．360 种D．720 种【分析】根据题意，首先计算6人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，甲站在乙的左边与甲站在乙的右边的数目是相等的，计算可得答案．【解答】解：根据题意，6人并排站成一排，有66A种情况，而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的即其数目是相等的．2．（2019•怀化三模）北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有() A．12种B．24种C．48种D．96种【分析】将3名男性排成一排，形成了2个空，不包含两端，将其中的女性甲插入到里面，此时形成了4个空，再将另1名女性插入即可，问题得以解决．【解答】解：将3名男性排成一排，形成了2个空，不包含两端，将其中的女性甲插入到里面，此时形成了4个空，再将另1名女性插入即可，故有31132448A A A=种，故选：C．【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，属于中档题．3．（2019•岳麓区校级模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有()A．72种B．144种C．288种D．360种【分析】将数学与物理插入到语文、英语、化学、生物，且化学排在生物前面，此时形成了4个空（不包含最后的一个空）即可求出．【解答】解：先排语文、英语、化学、生物，且化学排在生物前面，此时形成了4个空（不包含最后的一个空），再将数学与物理插入到其中两个空中，42 44144A=种，故选：B．【点评】本题考查分类计数原理，特殊元素优先安排的原则，分类不重不漏4．（2019春•浉河区校级月考）某小学开家长会，会场第一排有连在一起的8个座位，有4位同学和她们的妈妈共8人坐在第一排的这8个座位上，则每位同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为()A．378B．384C．396D．412【分析】由排列组合中的相邻问题得：先将4位同学和她们的妈妈分别捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将4个新元素全排即可得解．【解答】解：由排列组合中的相邻问题得：每位同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为2222422224384A A A A A=，故选：B．【点评】本题考查了排列组合中的相邻问题，通常用捆绑法5．（2019春•连云港期末）计算123452!3!4!5!6!++++=．解：n【点评】本题考查排列数公式的性质，考查数学转化思想方法6．（2017春•让胡路区校级期中）设*a N ∈，28a <，则等式35(28)(29)(35)maa a a A ---⋯-=中m = ．【分析】利用排列数计算公式即可得出．【解答】解：等式35(28)(29)(35)m a a a a A ---⋯-=，*a N ∈，28a <，∴83535m a a A A --=．8m ∴=．故答案为：8．【点评】本题考查了排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力。