叠加法作弯矩图32
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工程力学叠加原理作剪力图和弯矩图
§9-5 叠加原理作剪力图和弯矩图
(a)
(1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时 的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为
FSx F qx, 0 x l M x Fx qx2 , 0 x l
(2) 叠加原理 ： 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构 上)荷载成线性关系时，由几种荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每 种荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。
A
MA A
MB MA
B
注意:
是竖标相加,不是 图B形的简单拼合.
MB
MA
B
1 ql2 8
2
(a)
(b)
FSx F qx, 0 x l
M x Fx qx2 , 0 x l
(c)
2
这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载 F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和 弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。
MB 1 ql2 8
MB
跨中集中荷载的情况：
Pl/4
A Pl/4
P
B
C
A
l/2
l/2
Pl/4 B
Pl/8
P
0
A
B
P/2
0
Pl/4
P/4
P/2
Pl/4
Pl/4
Pl/8
A
B
M图
P/4
(a)
(1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时 的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为
FSx F qx, 0 x l M x Fx qx2 , 0 x l
(2) 叠加原理 ： 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构 上)荷载成线性关系时，由几种荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每 种荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。
A
MA A
MB MA
B
注意:
是竖标相加,不是 图B形的简单拼合.
MB
MA
B
1 ql2 8
2
(a)
(b)
FSx F qx, 0 x l
M x Fx qx2 , 0 x l
(c)
2
这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载 F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和 弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。
MB 1 ql2 8
MB
跨中集中荷载的情况：
Pl/4
A Pl/4
P
B
C
A
l/2
l/2
Pl/4 B
Pl/8
P
0
A
B
P/2
0
Pl/4
P/4
P/2
Pl/4
Pl/4
Pl/8
A
B
M图
P/4
区段叠加法作弯矩图
叠加法作弯矩图 教学目的：
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 “之和”——代数和 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 6kN
A
2kN m
B
2kN m
D
C
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B
l A
q
B A
MA
MB B
l
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
M x M1 x M 2 x
qx2 M x Fx 2
q
B
A F
X
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图 由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
注意：
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 “之和”——代数和 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 6kN
A
2kN m
B
2kN m
D
C
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B
l A
q
B A
MA
MB B
l
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
M x M1 x M 2 x
qx2 M x Fx 2
q
B
A F
X
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图 由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
注意：
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
2015一级建筑师《建筑结构》：分段叠加法作弯矩图
分段叠加法作弯矩图
结构中的任⼀直杆段若受横向荷载作⽤(图 3 -35a、b ) ，则该杆段的弯矩图等于将该杆段视作简⽀梁，在简⽀端单独作⽤该杆段的端部弯矩与简⽀梁单独作⽤横向荷载的弯矩图的叠加(图 3 -35 c)。
这种作弯矩图的⽅法称为分段叠加法作弯矩图。
由于简⽀梁在⼀些常见荷载(如满跨均布荷载、跨中集中荷载等)下的弯矩图较为简单，因此利⽤分段叠加法往往可以简化弯矩图的绘制.
具体作图时，可先求出该杆段的端部弯矩，并连以虚线，然后以此虚线为基线绘出相应简⽀梁在相同荷载作⽤下的弯矩图，该图与梁轴包围的图形即为杆段的最后弯矩图(图3- 35d )。
需要注意的是，所谓弯矩图的叠加是指竖标的叠加，即在虚线基础上叠加的值仍应垂直于杆轴⽅向(⽽不是垂直于虚线⽅向)。
分段叠加法作弯矩图不仅适⽤于静定结构，同样也适⽤于超静定结构。
分段叠加法作弯矩图
q
0
ql A
ql
B C D
ql
l
l
2q l
l
第三章 静定梁与静定钢架
习题6
Qingdao Technoligical University
本章重点：
梁和刚架的内力图
0
3 ql 2
3 2 ql 2
ql
q
C 1 ql 2
A
B
l
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
P
本章重点：
梁和刚架的内力图
l
l/2
l/2
用叠加法作直杆M 图的步骤
• (1)竖：用截面法求杆端弯矩。
Qingdao Technoligical University
• (2)联：将杆两端弯矩纵标联以虚线
• (3)叠加：以联线为基础，叠加杆跨 上荷载所产生的简支梁弯矩图。
练习:
q
1 2 ql 16
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
l
6.分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 16
B
l/2
q
C
q
l/2
1 2 ql 16
1 ql 8
1 2 ql 16
l/2
q
q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
分段叠加法作弯矩图的方法：
Qingdao Technoligical University
第三章 静定梁与静定钢架
（1）计算控制截面的弯矩值:
选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、
本章为全书 第三章 静定梁与静定钢架 最重要的一章
分段叠加法作弯矩图
任意直杆段的弯矩图的特性和与其相应的长度承受荷载和两端弯矩mamb均相同简支梁的竖向力yaybyb和弯矩图完全相同因此我们可以用前面所属的叠加法来绘制任意直杆段的弯矩图
分段叠加法作弯矩图
作弯矩图时,可采用叠加法，使绘制工作得到简化。
（1）叠加发作简支梁的弯矩图
应当注意,这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拼合.图2－6d中的纵坐标M0，如图 和M的纵坐标一样，也是垂直于杆轴AB，而不是垂直杆A'B’。
小结：梁弯矩图的一般作法
利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：
（1）选定外力的不连续点（如集中力、集中力偶的作用点,分布力的起点和终点等)为控制截面,求出任制裁面的弯矩值。
（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直意直杆段的弯矩图
结论：任意直杆段的弯矩图的特性和与其相应的（长度、承受荷载q和两端弯矩MA、MB均相同）简支梁的竖向力YA、YB(Y0A、Y0B）和弯矩图完全相同，因此,我们可以用前面所属的叠加法来绘制任意直杆段的弯矩图。
具体作法如下：先求出杆段两端截面的弯矩图MA、MB。作直线的 图, 然后依此直线为基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的M0图（如d所示）
分段叠加法作弯矩图
作弯矩图时,可采用叠加法，使绘制工作得到简化。
（1）叠加发作简支梁的弯矩图
应当注意,这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拼合.图2－6d中的纵坐标M0，如图 和M的纵坐标一样，也是垂直于杆轴AB，而不是垂直杆A'B’。
小结：梁弯矩图的一般作法
利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：
（1）选定外力的不连续点（如集中力、集中力偶的作用点,分布力的起点和终点等)为控制截面,求出任制裁面的弯矩值。
（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直意直杆段的弯矩图
结论：任意直杆段的弯矩图的特性和与其相应的（长度、承受荷载q和两端弯矩MA、MB均相同）简支梁的竖向力YA、YB(Y0A、Y0B）和弯矩图完全相同，因此,我们可以用前面所属的叠加法来绘制任意直杆段的弯矩图。
具体作法如下：先求出杆段两端截面的弯矩图MA、MB。作直线的 图, 然后依此直线为基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的M0图（如d所示）
结构力学第三章叠加法作弯矩图
2kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
MA A
MB
B
l
MB
MA
MA A
q B
MB
l
MA
ql 8
2
MB
8kN· m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m
2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m
4kN· m
2kN· m
+
所以：M2＝375kN.m （左拉） FN1=141×0.707=100kN
FQ1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN
(取外力矩逆时针转向为正方向) (下拉）
M1=125 +141×0.707×10－50×5－5/2×5²=812.5kNm
注意：外力矩的正负是为了区分它的两种不同的转向。
qba30因此上图梁中ab段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制即把m以直线然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图为此必须先求出mql区段弯矩图叠加法32qlqlqlqlqlqlql区段弯矩图叠加法3310knm15kn60knm2m2m2m2m20knm3055303030303030303030303030348kn4knm16knm1m2m2m1m1730237kn1m1m35利用上述关于内力图的特性和弯矩图的分段叠加法可将梁的弯矩图的一般作法归纳如1选定外力的不连续点如集中力作用点集中力偶作用点分布荷载的起点和终点等为控制截面求出控制截面的弯矩值连一虚线然后以该虚线为基线叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
MA A
MB
B
l
MB
MA
MA A
q B
MB
l
MA
ql 8
2
MB
8kN· m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m
2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m
4kN· m
2kN· m
+
所以：M2＝375kN.m （左拉） FN1=141×0.707=100kN
FQ1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN
(取外力矩逆时针转向为正方向) (下拉）
M1=125 +141×0.707×10－50×5－5/2×5²=812.5kNm
注意：外力矩的正负是为了区分它的两种不同的转向。
qba30因此上图梁中ab段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制即把m以直线然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图为此必须先求出mql区段弯矩图叠加法32qlqlqlqlqlqlql区段弯矩图叠加法3310knm15kn60knm2m2m2m2m20knm3055303030303030303030303030348kn4knm16knm1m2m2m1m1730237kn1m1m35利用上述关于内力图的特性和弯矩图的分段叠加法可将梁的弯矩图的一般作法归纳如1选定外力的不连续点如集中力作用点集中力偶作用点分布荷载的起点和终点等为控制截面求出控制截面的弯矩值连一虚线然后以该虚线为基线叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图
叠加法在绘制弯矩图中的应用
叠加法在绘制弯矩图中的应用
王妍
【期刊名称】《内江科技》
【年(卷),期】2022(43)8
【摘要】土木工程专业设置的力学课程都是专业基础课,该课程在整个课程体系中处于承上启下的作用。
本课程中讲解的弯曲变形是四种基本变形之一也是工程中最常见的一种变形。
平面弯曲的内力是弯矩和剪力,内力对杆件的材料选择起决定性的作用,因而绘制出正确的弯矩图和剪力图尤为重要。
常见的绘制弯矩图的方法有方程法、规律法和叠加法,其中利用叠加法是一种实用、快捷的方法,在力学计算中被广泛采用。
本文主要讨论利用叠加法如何绘制杆系结构的弯矩图,概述了叠加法绘制内力图的适用条件及其原理、叠加法绘制弯矩图的做题步骤及做题过程中需要注意的事项,并解释了如何求解弯矩图中的极值问题。
【总页数】3页(P63-64)
【作者】王妍
【作者单位】四川建筑职业技术学院土木工程系
【正文语种】中文
【中图分类】TU311-4;G642
【相关文献】
1.Visual Basic计算与绘图功能在绘制梁弯矩图中的应用
2.叠加法在剪力图和弯矩图中的应用
3.浅谈flash绘图中对象绘制图形、打散图形以及合成图像在绘图中的
应用4.叠加法做弯矩图时弯矩极值的判别方法5.建筑力学中应用叠加法绘制弯矩图的新探讨
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D
4
支座反力 RA=15KN
6KN q=2KN/m
8KN q=2KN/m
RB=11KN
C 2m
梁分CA、AD、DB、BF段。
各控制面弯矩分别为：
A 4m
RA
D
E
2m 2m
BF 2m
RB
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
12 4
8
10
的拼凑。
ql2/8
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁
的弯矩图。
支座反力（可不求） 梁分两段：AB段和BD段。
AB段： A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段： B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
B
2
A
1
步骤：1. 荷载分解(分解）
2. 作分解荷载的弯矩图（查表9-1）
3. 作荷载共同作用下的弯矩图（叠加）
注意：
弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处 纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图举例
F
q
F
q
=
+
A
BA l
B l
A
B
l
1/2qL2+FL
1/2qL2
FL
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
N
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m
2m 2m 2m
4
-
MA
q
A
l
MB BA
+ MB
A
1/8qL2
q
l
+
1/8qL2
MA B
A
MB B
l
+ MB MA
能用叠加法画下图所示梁的弯矩图吗？
q
P
A
B
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法
原理
q
P
叠加法作弯矩图步骤：
A
B
（1）求支座反力；
MA
A VA
MB
B
VB
（2）求区段两端的弯矩值，将 弯矩纵坐标连成虚线（或实线）。 以虚线为基线，将区段中的荷载 作用在简支梁上的弯矩图叠加。
MA
MB
(MA+MB)/2
MA
MB
★叠加法是数值的叠加，不是图形