金融计算与建模课件 (2)

Hale Waihona Puke Baidu不妨设
C(x, y) C。( y,如x) 下定义C相应的条件Copula函数：
定义14 对于一个Copula函数C，
。
定义：
u (0,1), s.t.C(u,u) 0
表示XF,uY(x均) :小CC(x于(u,uuu,)的u) ,条0 件x 下1 u的分布，即
(14.31)
Fu (x)
[ 0 ,1]2
C(u,v)dudv 3
[ 0 ,1]2
即可将 X ,Y 理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平 均距离。
Kendall’s tau及Spearman’s rho作为度量相关性指标的合理性
定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量 ，必须满足： （1） 对( X ,Y ) 有定义；
i 1
(14.7)
其中函数 :[0,1] R,(1) 0,(0) ，函数 称为 Copula函数的生成元。 生成元并非任意，必须满足 的导数随维数n的增加而 收敛。如果[1](R )是在任何维数下的可容许生成元，[1](R )
必须是一个Laplace变换。
Kendall’s tau
定义11 令 {(x1, y1),(x2, y2 ),,(xn , yn )}为连续随机变量(X，Y)n 组设观c表测示的一随致机的样数本组，对则对有数 n2， 对d表不示同不的一数致组的对数{(x组i, yi)对,(xj对, yj )}
数，则 c d (2n ) 。Kendall’s tau定义为:
1
(C(u,
v)
C
(u,
v)
u 1

1 C(u, v) C(u, v) du)dv
0
v u0 0 u
v
1(v 1 C(u, v) C(u, v) du)dv
0
0 u
v
1 1 1 C(u, v) C(u, v) dudv
(1

e
)],


\
{0}
(14.11) (14.12) (14.13) (14.14)
运用Copula函数的相关性度量
运用Copula函数能对非线性相关性进行度量，其思想 主要是度量变量的一致性，其中常用的度量指标为 Kendall’s tau和Spearman’s rho。
定义10（一致性）令 (xi , yi ), (xj , y j )为向量X，Y的两组观 测。若 xi x j )( yi y j ) 0，则称 (xi , yi ) 与 (x j , y j ) 一致。 若 xi x j )( yi y j ) 0 ，则称为不一致。
（2）1 X ,Y 1, X ,X 1, X , X 1
（3） X ,Y Y ,X
（4）若X,Y独立，则 X ,Y 0 （5） X ,Y X ,Y X ,Y （6）若 C1, C2 满足C1 C2 ，则C1 C2
L1定义为函数 : R [0,1] 满足：
L (t) :
ety ( y)dy (t),t 0
0
(14.10)
（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。
几种不同生成元的Copula函数：
定义9
（1）Clayton Copula:
(t )

(t
Copula函数
定义1 n维Copula函数 C :[0,1]n [0,1] ，满足：
(中(12))除uuak,外[b0,1的][，n0分,1若]量n，中均若至为少a1有，b 一则，个则C(分uV)C量([uak为,b；]0) ，0则，C其(u中) ：0；若
u
Copula函数及其应用
组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产 本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的 相关结构引起的风险。
要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将 单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。
Copula是这样一个函数，它能将单个边缘分布和多 元联合分布联系起来。
t-分布Copula函数
t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。
定义5 正态分布随机变量 X1,, Xn 的均值分别为0，
方自差由分度别为为1，，与协方差(矩X1阵,独为, X立Rn )。。则Y为随机2分变布量随机变量，
称U为i t自 ( 由Y X度i ),i为 I
（7）若 {( X n,Yn )}
则
lim
n

Cn
C
是一列连续随机变量，有Copula函数Cn C ，
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
恰为C，则：
X ,Y 12
uvdC(u, v) 3 12E(UV ) 3 E(UV ) E(U )E(V )
[ 0 ,1]2
Var(U ) Var(V )
(14.23)
这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。
此外，
X ,Y C 12
uvdC(u,v) 3 12
的分布函数 C,R (u1,,un ) 为Copula函数，
，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。
Archimedean Copula函数
定义6 Archimedean Copula函数 C :[0,1]n [0,1] 可表述 为如下形式：

I
C(x) [1] ( (xi ))
定理5 连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则X,Y
的Spearman’s rho为：
X ,Y C 12
uvdC(u, v) 3 12
[ 0 ,1]2
C(u, v)dudv 3
[ 0 ,1]2
(14.22)
若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数
X ,Y C 4
C(u,v)dC(u,v) 1
[ 0 ,1]2
(14.16)
若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数
恰为C，则：
X ,Y 4
C(u, v)dC(u, v) 1 4E[C(U ,V )] 1 (14.17)
[ 0 ,1]2
下面讨论如何计算Kendall’s tau：
正态Copula函数
定义4 正态分布随机变量 X1,, Xn 的均值分别为1,, ，n
方差分别为1,, n ，协方差矩阵为R，则随机变量
为Ui :协 方( X差ii 矩i ),阵i 为I 的的分正布态函（数GaCuR (sus1,）,Cuno)为puClao函pu数la。函（数， 称为 标准正态分布函数）
定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数 为 G( y) ，密度函数 g( y)，则有：
（1）Y的Laplace变换定义为：
LY (t) : E[etY ]
etydG( y)
0
0
ety
g
(
y)dy
:
Lg
(t),t

0
(14.9)
（2）令 : R [0,1] ，若解存在， 的Laplace逆变换
。由于对称性， 同时也是y在条
件Fu下(x) P[ X x | X 的u,分Y 布u]。
Fu
{X u,Y u}
R R为
( f1( X1),,
fn
(X
n
))
的Copula函数。
常见Copula函数
乘积Copula函数
定义3 满足 n (v) v1 v2 vn 的Copula函数称为乘积 Copula函数。 乘积Copula函数是独立随机变量的Copula函数。
定理3 令 U1,U2,,Un 为连续随机变量，则 U1,U2,,Un 彼此独立当且仅当这些变量的Copula函数 C n 。
C(u,v)dC(u,v)
1
1
C
(u,
v)
2C (u,
v)
dudv
[ 0 ,1]2
00
uv

1
(
1C(u, v) 2C(u, v) du)dv
00
uv

VCbakk(C[a(,tb)])


ba
C
(t )

C(t1,, tk1
bn bn1 C(t ) an an1
b2 b1 a2 a1
, bk , tk1,, tn ) C(t1,,
tk
1
,
ak
,
tk
1
,
,
tn
(14.1)
)
定义2 n维函数 C :[0,1]n [0,1] 为Copula函数，若对 n个服从均匀分布的随机变量 U1,U2,,Un ，满足：
定理7 X,Y为连续随机变量， , 分别为Kendall’s tau与
Spearman’s rho，则有：
3 1 1 2 2 , 0
2
2
2 2 1 1 3 , 0
2
2
Copula函数与尾部相关性
设X,Y在[0,1]上均匀分布，联合分布函数为C，由对称性，
C(u1, u2 ,, un ) P[U1 u1,U2 u2 ,,U n un ]
(14.2)
即Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函
数。
Copula函数的性质
引理1 随机变量有连续分布函数F，则Z=F(X) 在[0,1]上 均匀分布。
定理2（Sklar定理） 设随机变量 X1,, X n 的边际分布 函函数数为，使FF1(,得x),对FnC于，(F所1联(x有1合),分x ,布FRn(函nxn数)，) 为有F：。则(1有4.3n)维Copula
2 0 0 u
v
Spearman’s rho
定义12 设连续随机变量 ( X1,Y1), ( X 2 ,Y2 ), ( X3,Y3) 彼此独立，
且每组
Xi ,Yi ,i 之1, 2间,3 的联合分布均为H， X的i ,Y边i
际分布均分别为F,G。则Spearman’s rho定义为：
X ,Y 3(P[( X1 X 2 )(Y1 Y3 ) 0] P[( X1 X 2 )(Y1 Y3 ) 0]) (14.21)
1),[1] (s)

(1
1
s) ,

0
（2）Gumbel Copula:
1
(t) ( ln t) ,[1](s) es , 1
（3）Frank Copula:

(t
)


ln
e t e
1 1
,
[1]
(s)


1

ln[1

es
Copula函数的一些其他性质：
性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递 减，即，若v [0,1]n，则：
C(v)

C(v j
, vj ),v j

vj
1,j I
(14.4)
性则对质于2（每F个rechet-vHo[，0e,f1有f]dn ：ing约束）C为n维Copula函数，
W n (v) C(v) M n (v)
(14.5)
其中
W n (v) M n (v)

max(v1 v2 min(v1, v2,, vn )
vn

n
1,
0)
(14.6)
性质3 （递增变化不变性） 随机变量向量
一X族 (严X1,格,递Xn增)有函C数op。ul则a函C数(u)C仍(u)是。fiX:
t

cd cd

(c

d
)
/(
n 2
)
(14.15)
根据上述定义，t即为数组对 {(xi , yi ), (x j , y j )} 一致与不 一致的概率之差。
将Kendall’s tau引入Copula函数：
定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则
(X，Y)的Kendall’s tau为：