17哈工大理论力学第五章PPT课件
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ppt版本-哈工大版理论力学课件(全套)
理论力学课程的内容包括质点和刚体的运动、弹性力学、 流体力学、振动和波等，其体系由静力学、运动学和动力 学三个部分组成。
理论力学课程的内容非常广泛，主要包括质点和刚体的运 动、弹性力学、流体力学、振动和波等方面的知识。这些 内容在理论力学体系中占据着重要的地位，为后续的工程 技术和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。同时 ，理论力学体系由静力学、运动学和动力学三个部分组成 ，这三个部分相互联系、相互渗透，构成了完整的理论力 学体系。
详细描述
理论力学作为经典力学的一个重要分支，主要研究物体运动规律、力的作用机制以及它们之间的相互作用。通过 对质点和刚体的运动规律、力的合成与分解、动量守恒和能量守恒等基本原理的研究，理论力学为各种工程技术 和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。
理论力学课程的内容和体系
要点一
总结词
要点二
详细描述
置和速度。
刚体的转动
02
描述刚体绕固定点或轴线的旋转运动，通过角速度矢量和角加
速度矢量表示刚体的转动状态。
刚体的复合运动
03
描述刚体同时存在的平动和转动，通过平动和转动运动的合成
来描述。
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
表述了物体运动与力的关系，即物体受到的合外力等 于其质量与加速度的乘积。
动量定理
表述了物体动量的变化率等于作用在物体上的力与时 间的乘积。
由于非惯性参考系中物体受到的力不是真实的外力，而是由于参考 系加速或旋转产生的惯性力。
非惯性参考系的应用
在研究地球上的物体运动时，常常需要用到非惯性参考系，例如研 究地球的自转和公转对物体运动的影响。
05
刚体的运动
01
描述刚体在空间中的位置和运动，通过平动矢量表示刚体的位
《哈工大理论力学》课件
总结词
动量守恒定律在物理学、工程学和天文 学等领域有着广泛的应用。
VS
详细描述
在碰撞、火箭推进、行星运动、相对论等 领域中，动量守恒定律都起着重要的作用 。通过应用动量守恒定律，可以预测系统 的运动状态和变化趋势，为实际应用提供 重要的理论支持。
04
角动量与角动量守恒定律
角动量的定义与计算
角动量的定义
体育竞技
在花样滑冰、冰球等体育项目 中，运动员通过改变身体姿态 来调整角动量，以完成各种高
难度动作。
05
万有引力定律
万有引力定律的表述
总结词
万有引力定律是描述两个质点之间由于它们 的质量而相互吸引的力的大小和方向的定律 。
详细描述
万有引力定律由艾萨克·牛顿提出，表述为 任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸 引，该力的大小与它们质量的乘积成正比，
02
牛顿运动定律
牛顿运动定律的表述
第一定律（惯性定律）
除非受到外力作用，否则保持静止或匀速直线运动 的状态不变。
第二定律（动量定律）
物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反 比。
第三定律（作用与反作用定律）
对于任何作用力，都存在一个大小相等、方向相反 的反作用力。
牛顿运动定律的应用
动力学问题
弹性力学的应用实例
总结词：实际应用
详细描述：弹性力学在工程领域有广 泛的应用，如桥梁、建筑、机械和航 空航天等。应用实例包括梁的弯曲、 柱的拉伸和压缩、壳体的变形等。
THANKS
感谢观看
提供理论基础和解决方案。
理论力学的发展历程
总结词
理论力学的发展经历了古典力学和相对论力学两个阶段，相对论力学对于高速运动和强引力场的研究具有重要意 义。
哈工大理论力学PPT课件
第51页/共52页
感谢您的观看。
第52页/共52页
第29页/共52页
3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固 定铰链支座等）
（1） 径向轴承（向心轴承）
约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束．
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为 光滑接触约束——法向约束力．约束力作用在接 触处，沿径向指向轴心．
第30页/共52页
当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的 大小与方向均有改变．
， 的受
CD AB
解：
取 杆，其为二力构件，简称二力杆，其
受力C图D如图(b)
第43页/共52页
取 A梁B，其受力图如图 (c)
CD 杆的受力图能否画
为图（d）所示？
若这样画，梁 的A受B力图又如何
改动?
第44页/共52页
例1-4
不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、
右拱 图．
的受力图A与B,系C统B 整体受力
第21页/共52页
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡 状态保持不变。
柔性体（受拉力平衡） 反之不一定成立．
刚化为刚体（仍平衡）
刚体（受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
第22页/共52页
思考
只适用于刚体的公理有哪些？ 二力平衡条件和加减平衡力系公理
第23页/共52页
光滑支承接触对非自由体的约束力，作用 在接触处；方向沿接触处的公法 线并指向受力 物体，故称为法向约束力，用 FN 表示．
第27页/共52页
2 、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束
柔索只能受拉力，又称张力.用
FT
表示．
感谢您的观看。
第52页/共52页
第29页/共52页
3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固 定铰链支座等）
（1） 径向轴承（向心轴承）
约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束．
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为 光滑接触约束——法向约束力．约束力作用在接 触处，沿径向指向轴心．
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当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的 大小与方向均有改变．
， 的受
CD AB
解：
取 杆，其为二力构件，简称二力杆，其
受力C图D如图(b)
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取 A梁B，其受力图如图 (c)
CD 杆的受力图能否画
为图（d）所示？
若这样画，梁 的A受B力图又如何
改动?
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例1-4
不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、
右拱 图．
的受力图A与B,系C统B 整体受力
第21页/共52页
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡 状态保持不变。
柔性体（受拉力平衡） 反之不一定成立．
刚化为刚体（仍平衡）
刚体（受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
第22页/共52页
思考
只适用于刚体的公理有哪些？ 二力平衡条件和加减平衡力系公理
第23页/共52页
光滑支承接触对非自由体的约束力，作用 在接触处；方向沿接触处的公法 线并指向受力 物体，故称为法向约束力，用 FN 表示．
第27页/共52页
2 、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束
柔索只能受拉力，又称张力.用
FT
表示．
哈工大理论力学第五章 点的运动学
dvz d 2 z az 2 dt dt
例 5-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹；
ax (l a ) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t ay (l a ) sin t cos( a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动， 它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t ) x t i y (t ) j z (t )k
速度
dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
③ 速度；
④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a) sin t
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l Biblioteka a） (l a )速度
l a sin t vx x (l a) cost vy y v vx 2 v y 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t
理论力学第五章——点的运动
'
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程， 采用积分法 求运动方程 ，积 分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ： 大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程， 采用积分法 求运动方程 ，积 分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ： 大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt
哈工大理论力学课件第五章.ppt
F1
sin cos
fs cos fs sin
P
sin cos
fs cos fs sin
P
F1
sin cos
fs cos fs sin
P
几个新特点
1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 除平衡方程外，还需增加补充方程 Fs fs FN
3 因 0 Fs ，F问ma题x 的解存在一个范围．
挺杆不被卡住时 a b
2 fs
用几何法求解
解：
b
(a极限
d 2
)
tan
(a极限
d 2
)
tan
2a极限 tan 2a极限 fs
b a极限 2 fs a b
2 fs
例5-4
已知：物块重 P,鼓轮重心位于 O处1 ，闸杆重量不
计， ，fs 各尺寸如图所示. 求： 制动鼓轮所需铅直力 F.
解： 分别取闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与 tan fs ,
P sin fs cos cos fs sin
F1
P sin cos
fs cos fs sin
第五章
摩擦
摩擦
滑动摩擦 滚动摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦
摩擦 湿摩擦
§5-1 滑动摩擦
1.摩擦力的变化规律
2. 库仑定律
Fmax fs FN
F f FN
f s 静滑动摩擦系数
理论力学-第五章ppt课件
注意，由于不可能大于90， 所以梯子平衡倾角 应满足
3068'7 900
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19
§5-4 滚动摩擦
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，下图的受力分析 看出一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。
X0,QF0 Y0,PN0 MA0,Qr0(不成立)
出现这种现象的原因是，
实际接触面并不是刚体，它们
m A 0 ,P 2 l cm o F B i s l n cm o N i B s l n sm i 0 n i n ( 3 )
解 :N 得 A 1 P f2,N B 1 ffP 2,F B P 1 P f2代 (3 )入
得 :m ianr1 c 2fft2g ar1 c 2 0 0 .t5 .5 2 g 308 6'7
生 平移）求Q
由于
T'F1fAN1 0.550025N 0
1
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33
分析轮有 T0.5 50 205 n 0 iQ c n( o 1 1 s c 0 0 ) o 0
1T 5 1Q [ 0s 2i c n2 o c so ] 0 s
ff
0.4
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31
[练习1] 已知：Q=10N， f '动 =0.1 f 静 =0.2 求：P=1 N; 2N, 3N 时摩擦力F？
解： F m afx 静 N 0 .2 1 0 2 N
P 1 N 时 ,由 X 0 ,F P 1 N （没动，F 等于外力）
P 2 N 时 ,由 X 0 ,F P 2 N （临界平衡）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小： F' f'N
《理论力学》课件 第5章
因而 dBA/dt 0 ，于是得
vA vB
将上式再求一次导数，则得
aA aB
例5-1
如图5-4所示的曲柄滑道机构，当曲柄 OA 在平面上绕定轴 O 转动 时，通过滑槽连杆中的滑块 A 的带动，可使连杆在水平槽中沿直
线往复滑动。若曲柄 OA 的长为 r ，曲柄与 x 轴的夹角为 t，
其中 是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
根据上述结论，可作出截面上各点的加速度的分布图，在通过轴心的 直线上，各点的加速度按线性分布，将加速度矢的端点连成直线，此 直线通过轴心，如图5-10（b）所示。
（a）
图5-10
（b）
例5-3
如图5-11所示，一半径 R 0.2 m 的圆轮绕定轴O 的转动方程
为 t2 4t ， 单位为rad， t单位为s。求 t 1 s 时，轮
*
t
当 t 趋近于零时，刚体转动的瞬时角加速度为
lim * lim d
t 0
t0 t dt
刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，
或等于转角对于时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量，它的单位是 rad/s2
若 与 的符号相同，则角速度的绝对值随时间而增加，这 时称为加速转动；反之，若 与 的符号相反，则角速度
例
设有平动的刚体，在刚体上任取两点 A 和 B ，并连成一直线如
图5-3所示。运动开始时 AB 线在 A0B0 的位置；经过极短时间间 隔 t 之后，移至 A1B1 ；依次再继续移至 A2B2 ， ，AnBn 等。
首先证明这两个任意点的轨迹形状是完全 相同的，根据刚体的定义得知 A，B 两点间 的距离保持不变。 因此 AB A0B0 A1B1 A2B2 AnBn
哈尔滨工业大学理论力学第七版第5章_点的运动学
解：点做匀加速运动
v v0 at t 2 4 2 6 m/s 2 at 4 m/s （常量） 2 v 36 2 an 9 m/s 4
a a a 16 81 97 m/s
M
s f (t )
S
(+)
（以弧坐标表示的点的运动方程）
• 自然轴系
切线 主法线 副法线
n b
b n
曲率半径
曲率
1
d lim s 0 s ds 1
2 sin 2
d 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
dvz d z az 2 dt dt
2
x
y
一火箭沿直线飞行，它的加速度方程 为 ，其中 A 和 B 均为常数。设初 a Ae Bt 速度为 ，初位置坐标为 ，求火箭的速 v0 度方程和运动方程。 x0
解：火箭作直线运动
dv adt
v vo adt v0 Ae Bt dt
（D）点A，B，C。
正确答案是：A
点沿螺线自外向内运动，如图所示。它 走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的 加速度是越来越大，还是越来越小？这点越 跑越快，还是越跑越慢？
解：
s kt
(常数 ）
ds v k dt
这点的速度保持不变
dv at 0 dt
an
2 n
v2
k2
（ 越来越小）
a3t
答：匀变速运动 ：at 常数, 该点不是作匀变速运动
点M 沿半径为 R 的圆周运动，其速
度为v＝kt，k 是常数。则点M 的全加
v v0 at t 2 4 2 6 m/s 2 at 4 m/s （常量） 2 v 36 2 an 9 m/s 4
a a a 16 81 97 m/s
M
s f (t )
S
(+)
（以弧坐标表示的点的运动方程）
• 自然轴系
切线 主法线 副法线
n b
b n
曲率半径
曲率
1
d lim s 0 s ds 1
2 sin 2
d 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
dvz d z az 2 dt dt
2
x
y
一火箭沿直线飞行，它的加速度方程 为 ，其中 A 和 B 均为常数。设初 a Ae Bt 速度为 ，初位置坐标为 ，求火箭的速 v0 度方程和运动方程。 x0
解：火箭作直线运动
dv adt
v vo adt v0 Ae Bt dt
（D）点A，B，C。
正确答案是：A
点沿螺线自外向内运动，如图所示。它 走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的 加速度是越来越大，还是越来越小？这点越 跑越快，还是越跑越慢？
解：
s kt
(常数 ）
ds v k dt
这点的速度保持不变
dv at 0 dt
an
2 n
v2
k2
（ 越来越小）
a3t
答：匀变速运动 ：at 常数, 该点不是作匀变速运动
点M 沿半径为 R 的圆周运动，其速
度为v＝kt，k 是常数。则点M 的全加
理论力学5A
10
dτ kn ds
问题： dn ？
ds
由： n n 1
dn n 0 ds
dn n ds
设： dn τ
ds
再由： n τ 0
dn τ n dτ 0
ds
ds
即： τ τ n kn 0 k
dn kτ ds
ds ds
ds
记: dn τ b
ds
kn n τ ( τ b) n
定义:
(s) 称为空间曲线在弧坐标 s 的挠率; (s) 可取： + , - , 0.
dn d (b τ ) db τ b dτ n τ b kn kτ b
这些曲线形状相同，可以通过旋转和平移使得这些曲线重合)。
对于平面曲线： b =常矢， (s) 0 .
25
26
精品课件！
精品课件！
反映速度大小的变化
an
kv2n
v2
n
反映速度方向的变化
加速度矢量在密切面内 16
例: 半径为 R 的车轮在地面上纯滚动，轮心速度大小为 u (常量) 求圆盘接触地面时的加速度。
u R
vx x u(1 cos) vy y u sin
触地时: 2k (k 0,1, )
主法线
n
密切面
速度: v sτ vτ 加速度: a v d(vτ )
dt
法 平
M
面b
副法线
τ 切线
vτ v dτ ds ds dt
vτ kv2n
理论力学-第五章 运动的合成与分解
2e vr
得
aa ae ar 2e vr aC 2e vr
称为科氏加速度
令
有
aa ae ar aC
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连
加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。
例题二
动点：顶杆AB上的A点。
动系：固连于凸轮上的
y
Oxy 绝对运动：A点作竖直直 线运动。
相对运动：A点沿凸轮的
y
A
x
x
b
外轮廓线作曲线运动。
牵连运动：凸轮绕O轴作
定轴转动。
例题二
y
速度
方向 大小
va
竖直
ve
vr （*）
OA
?
OA
?
va ve
vr
（*）沿凸轮轮廓线在A点的切线
va sin r sin
汽阀中的凸轮机构
例题二
汽阀中的凸轮机构， 顶杆AB沿铅直导向套筒D 运动，其端点A由弹簧压 在凸轮表面上，当凸轮绕 O轴转动时，推动顶杆上 下运动，O、A、B在同一 b 竖直直线上。已知在图示 瞬时凸轮角速度为ω， AO=b,凸轮轮廓曲线在A点 的法线An与AO的夹角为θ，曲率半径为ρ。 求该瞬时顶杆的速度。
第五章
运动的合成与分解
§5-1 点的合成运动的基本概念
§5-1 点的合成运动的基本概念
动系
动点
（动点的）绝对运动
va aa
定系
§5-1 点的合成运动的基本概念
§5-1 点的合成运动的基本概念
va ve vr
理论力学PPT课件第5章 第5.2节 动量定理
投影积分形式:
p2x p1x IR ex p2y p1y IR ey p2z p1z IR ez
2020年11月16日
8
稳定流动
2020年11月16日
9
例1 流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速
分别为 v1,v2(m/)s, 流量qV(m3/s)为常量, 密度为
(kg/m3). 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体作定常流动， 且不可压缩。
流体段变力如图，有
qV(v2v1)P1A1FNFN
螺栓拉F7力 F6N
2020年11月16日
FN
v2
12
2. 质心运动定理
注：
p = mvc
mac FRe
1）描述了质点系的质心运动与外力系主矢的关 系。如炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线 运动，直到一个碎片落地。跳水运动员的质心 作抛射体运动。
2）对刚体而言仅描述了其随质心平移的运动。
2020年11月16日
10
思考：判断图示方向弯管段。管段所受动约束力
（水平）
v2
v1 v2 v,qV,
对流体：FN2 qV（v2 - v1） v 1
对管道：FN' 2 FN2
O
-qV v1
F N2 F N 2
qV v2
2020年11月16日
11
v2 A1 , v1 A2
A1v1A2v2 qV
5-2 质点系动量定理
d p
dt
Fie(FRe)
2020年11月16日
1
❖ 动量与冲量 ❖ 动量定理与质心运动定理 ❖ 动量守恒与质心运动守恒 ❖ 变质量系统的质心运动定理
2020年11月16日
p2x p1x IR ex p2y p1y IR ey p2z p1z IR ez
2020年11月16日
8
稳定流动
2020年11月16日
9
例1 流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速
分别为 v1,v2(m/)s, 流量qV(m3/s)为常量, 密度为
(kg/m3). 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体作定常流动， 且不可压缩。
流体段变力如图，有
qV(v2v1)P1A1FNFN
螺栓拉F7力 F6N
2020年11月16日
FN
v2
12
2. 质心运动定理
注：
p = mvc
mac FRe
1）描述了质点系的质心运动与外力系主矢的关 系。如炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线 运动，直到一个碎片落地。跳水运动员的质心 作抛射体运动。
2）对刚体而言仅描述了其随质心平移的运动。
2020年11月16日
10
思考：判断图示方向弯管段。管段所受动约束力
（水平）
v2
v1 v2 v,qV,
对流体：FN2 qV（v2 - v1） v 1
对管道：FN' 2 FN2
O
-qV v1
F N2 F N 2
qV v2
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v2 A1 , v1 A2
A1v1A2v2 qV
5-2 质点系动量定理
d p
dt
Fie(FRe)
2020年11月16日
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❖ 动量与冲量 ❖ 动量定理与质心运动定理 ❖ 动量守恒与质心运动守恒 ❖ 变质量系统的质心运动定理
2020年11月16日
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3 斜面与螺纹自锁条件
tantanf fs
斜面自锁条件
f
螺纹自锁条件
f
思考题2 用钢楔劈物，接触面间的摩擦角为φ。 劈入后欲使楔不滑出，问钢楔两个平面间的夹角 应该多大?楔重不计。
2
§5-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
例5-1 已知：P, θ，fs
求： 维持物块平衡，水平推力F1的取值范围．
2 fs
用几何法求解
解：
b(a极 限 d 2)tan (a极 限 d 2)tan
2a极限tan 2a极限 fs
a极限
b 2 fs
b a
2 fs
例5-4
已知：物块重 P,鼓轮重心位于 O处1 ，闸杆重量不
计， ，f s 各尺寸如图所示. 求： 制动鼓轮所需铅直力 F.
解： 分别取闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态
M300Nm
例5-7 已知：抽屉尺寸a，b，fs （抽屉与两壁间），不
计抽屉底部摩擦；
求：抽拉抽屉不被卡住之e 值。
解： 取抽屉，画受力图，设抽屉刚好被卡住
Fx 0 FNAFNC0
Fy 0 FsAFsCF0
MA 0
F sC bF N CaF(b 2e)0
FsAfsFNA FsCfsFNC
e a 2 fs
对鼓轮， MO1 0 对闸杆， MO 0
且 FsfsFN
rF TRsF 0 F a F N b F s c 0
而 解得
F T P , F s F s F rP(b fsc) fs Ra
例5-5
已知：均质木箱重 P5kN, fs 0.4 , h2a2m, 30o ；
求：（1）当D处拉力 F1k时N，木箱是否平衡? （2）能保持木箱平衡的最大拉力.
F1scionsffsscsoinsP
s ci o n s ffssc sio n P sF 1s ci o n s ffssc sio n P s
几个新特点
1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 除平衡方程外，还需增加补充方程 Fs fsFN
3 因 0Fs ，F问m题a的x 解存在一个范围．
抽屉不被卡住， e a .
2 fs
例5-8 已知：MA4N 0m, fs 0.3, 各构件自重不计，
尺寸如图； 求：保持系统平衡的力偶矩 M.C
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
FDx 600N
(c) 分析O2K，画受力图
MO2 0
F K Eco s
K O 2F N 21 2K O 20
FN2 1200N
(d) 分析O1D,画受力图
MO1 0
FD xO1DFN 11 2O1D0
FN1 1200N
分析鼓轮，画受力图
M OFsR 2 FsR 1
Fs2 fsFN2 Fs1 fsFN1
You Know, The More Powerful You Will Be
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谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
相同的皮带压力F 作用下，平皮带与三角皮带所
能传递的最大拉力。
§5-2 摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
FRA ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，全约束 力和法线间的夹角---摩擦角
tanf
F max FN
fsFN FN
fs
全约束力和法线间的夹角的正切等于静 滑动摩擦系数．
摩擦锥
0 f
2 自锁现象
第五章
摩擦
1
摩擦
滑动摩擦 滚动摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦
摩擦 湿摩擦
§5-1 滑动摩擦
1.摩擦力的变化规律
3
2. 库仑定律
FmaxfsFN
F f FN
fs 静滑动摩擦系数
f 动滑动摩擦系数
4
摩擦的物理模型
思考题1 试比较用同样材料、在相同的光洁度和
解： （1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 FsFcos0
Fy 0 FNPFsin0
MA 0 hF cosPa 2FNd0
而 F ma xfsF N18N 00
Fs 866N FN 450N0
d0.17m 1
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0, 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1
ACO1D1m, ED 0.25 m,各构件自重不计；
求：作用于鼓轮上的制动力矩.
解： 分析O1AB,画受力图
（a）
MO1 0
F AC O 1A FO 1B0
FAC300N
分析DCE,画受力图
MD 0
(b)
F Ec KoD s F E CA C D 0
θ
FEK cos60N 0
Fx 0 FDxFEKcos0
解： 1.设物块有上滑趋势
Fx 0
Fy 0
F 1 co P s si n F s 0
F 1si n P c o F s N 0 Fs fsFN
F1scionsffsscsoinsP
2.设物块有下滑趋势
Fx 0
Fy 0
F 1 cθ o P s sθ i n F s 0 F 1sθ i n P cθ o F s N ' 0 Fs fsFN
例5-2 已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之 a 值.
解： 研究挺杆
Fx 0 FNAFNB0
Fy 0 F AF BF0 MA 0 F(ad 2)FBdFN Bb0
考虑临界情况
F AfsF N A F BfsF N B
a b 2 fs
挺杆不被卡住时 a b
Fx 0 FsF1cos0
Fy 0 F NPF 1sin0
又 Fs Fma x fsFN
F1cosfsP fssin1876N
设木箱有翻动趋势时拉力为 F 2
MA 0
FcoshPa0
2
2
F2
Pa 1
2hcos
4
4N3
最大拉力为 1443N
例5-6
已知： F20N0, fs 0.5 , O 1 O 2K D D C O 1A K L O 2 L 2 R 0 .5 m ,O1B0.7m 5,
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1m axPtan()
物块有向下滑动趋势时
F1m inPtan()
P tHale Waihona Puke n () F P ta n ()
利用三角公式与 tanfs ,
Ps ci o n sffssc sio n sF 1Ps ci o n sffssc sio ns