2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
AB CD E F 12G 正方形角含半角模型提升例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =例 5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒∠=.求证：BE CF =.(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.【双基训练】1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ∆的面积为________2cm ．(6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。
分别以AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。
正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2AD=，求AG．【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10==，并且P点到CD边的距离也PA PB等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB⊥于F交DC于E．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(共14张PPT)
间的数量关系是否仍然成立,请证明。
A
D
F
画板
顺 变式２
B
E
C
A
E′
D
结论：
F
EF= BE+DF
B
E
C
画板 变式２
A
D
结论：
F
E′
EF =BE+DF
B
E
C
画板 逆 变式２
Байду номын сангаас
（2）如图，在四边形ABCD中， AB＝AD， ———————— ∠B+∠D＝ 180°，E、F分别是BC、CD上的点， —————————— ——————————————— 1 且 EAF BAD ， BE、DF、EF三条线段之间 2 —————————— 的数量关系是否仍然成立？
A
D B E C F
画板
变式3
A
E′
D
结论：
B
F
EF= BE+DF
E C
画板 变式3
(3)如图，在四边形ABCD中， AB＝AD， ———————— ∠B＋∠D＝180°，E、F分别是BC、CD延长线上 —————————— ———————————————————— 1 的点，且 EAF 2 BAD BE、DF、EF三条线段 —————————— 之间的数量关系是否仍然成立，若不成立，请 写出它们之间的数量关系，并证明.
A
E
B C F
D
画板
一、知识与技能：
1、“半角模型” 特征：
①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； ③等线段的相邻对角互补； 2、强化关于利用旋转变换解决问题： ①旋转的目的： 将分散的条件集中，隐蔽的关系显现； ②旋转的条件：具有公共端点的等线段； ③旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案、
例2.如图，分别以 的 和 为一边,在 的外侧作正方形 和正方形 ，点 是 的中点．
求证：点 到边 的距离等于 的一半.
例4．如图,四边形 为正方形， ， ， 与 相交于 .
求证： ．
例6.设 是正方形 一边 上的任一点， ， 平分 ．
求证: ．
例７.已知： 是边长为1的正方形 内的一点，求 的最小值.
(1)求证: ;
(２）求证： ．
【纵向应用】
6. 在正方形 中， ．求证:
7． 在正方形 中， . ，求证：
8. 如图1３,点 为正方形 对角线 上一点, ,
求证：
９.已知:点 、 分别正方形 中 和 的中点,连接 和 相交于点 ，
于点 .
（1）求证： ；
(2）如果 ,求 的长;
（3）求证：
例1.已知：如图, 是正方形 内点， .
3.如图９，已知正方形 的面积为35平方厘米, 、 分别为边 、 上的点. 、 相交于 ,并且 的面积为14平方厘米, 的面积为5平方厘米， 那么四边形 的面积是____＿＿__．
4．如图， 、 、 三点在同一条直线上, 。分别以
、 为边作正方形 和正方形 ,连接 ,
。
求证： 。
5.如图 ， 是正方形. 是 上的一点, 于 , 于 .
年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(、)
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正方形角含半角模型升
例1．如图,折叠正方形纸片 ，先折出折痕 ,再折叠使 边与对角线 重合,得折痕 ，使 ，求 .
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)D2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF∆的面积为14平方厘米，BCE∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________．4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，2=。
分别以AB BCAB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。
求证：FN EC=。
AB CDEF12G5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+．【纵向应用】6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 21=A D E F CG B7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21=8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥求证：AE FG ⊥ABCDFOEG H12D GA EBCF13EG B9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE相交于点G ,GH AD⊥于点H .（1）求证：AF DE ⊥ ； （2）如果2AB =,求GH 的长； （3）求证：CG CD =例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒∠=∠=．求证：PBC ∆是正三角形．APCDB例 2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ．求证：CE CF =．AFD E CBP C G FBQ A D E例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE∠．求证：PA PF =．例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．DFEP CB A AC BPD例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．【双基训练】1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．ACBPD2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则EAB∠=________．【纵向应用】3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，90∠=，且EF交正方形外AEF︒角的平分线CF于点F．（1）证明：BAE FEC∠=∠；（2）证明：AGE ECF∆≅∆；（3）求AEF∆的面积．【横向拓展】4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.EA DB CNM。
2018年初中数学冲破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案526
正方形角含半角模型提升例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，而且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？例3. 如图，E 、F 别离为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，那么有EF BE DF =+，什么缘故？例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 别离在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒∠=. 求证：BE CF =.(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 别离在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长别离为3cm 和5cm ，那么CDE∆的面积为________2cm ．(6) (7)2．你能够依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•若是你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 别离为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，而且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。
别离以AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
初中半角模型教案模板
初中半角模型教案模板一、教学目标1. 让学生理解半角模型的概念及应用。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维。
二、教学内容1. 半角模型的定义及性质2. 半角模型的应用3. 相关练习题三、教学重点与难点1. 半角模型的定义和性质2. 半角模型在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究半角模型的性质和应用。
2. 利用几何画板软件，动态展示半角模型的变换过程，增强学生的直观感受。
3. 案例教学法，分析实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
五、教学步骤1. 导入新课1.1 教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。
1.2 学生尝试分析问题，发现问题的解决关键在于理解半角模型。
2. 讲解半角模型2.1 教师给出半角模型的定义，并解释其性质。
2.2 学生通过几何画板软件，动态观察半角模型的变换过程，加深对半角模型的理解。
3. 应用半角模型解决问题3.1 教师展示几个与半角模型相关的实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
3.2 学生独立解决这些问题，并在课堂上分享解题思路和方法。
4. 巩固练习4.1 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识。
4.2 学生独立完成练习题，教师进行点评和指导。
5. 总结与拓展5.1 教师引导学生总结本节课所学内容，加深对半角模型的理解。
5.2 学生结合自己的生活实际，思考半角模型在生活中的应用。
5.3 教师提出一些拓展问题，激发学生的创新思维。
六、教学评价1. 学生对半角模型的理解和掌握程度。
2. 学生运用半角模型解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与度和合作意识。
七、教学反思教师在课后要对课堂教学进行反思，分析学生的学习情况，针对性地调整教学方法和解题策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习兴趣和需求，不断丰富教学内容，提高教学质量。
中考数学专题复习 正方形之“半角”模型 课件
也相当于翻折法、 (或轴对称)
“截长”: 在EF上截取一点H,使BE=EH
EF=BE+DF
“补短”
“截长”
“旋转” “翻折”或(轴对称)
几何主要包括线与角,既然可以从“线段”上考虑, 那能否从“角”上考虑呢?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF.
三、变式训练
1、如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD， 求证：EF=BE+DF；
三、变式训练
2.如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论 是否仍然成立？请写出证明过程.
能否通过翻折来解决问题?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF. (1)求证:EF=BE+DF
延长
“补短” 全等变换-- 旋转、翻折
方法归一
既然可以“补短”,那可以“截长”吗?
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF
同理: 延长CD到点H，使BE=DH,连接AH
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 除了延长得到△ABG, 还可以如何得到?
将△ADF绕点A顺时针旋转90°
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 旋转是全等变换,还可以利用其它全等变换吗? 平移与翻折
正方形中的半角模型 教学设计
正方形中的半角模型教学设计【课题】《正方形中的半角模型》【内容】九年级下期数学总复习微专题【授课对象】九年级学生【目标确定的依据】1.基于课程标准的思考《数学课程标准（2011版）》要求，在数学课程中应当注重发展学生的模型思想。
模型思想是建立学生体会和理解数学与实际世界的基本途径。
模型思想是一种重要的数学思想，它能使复杂，难于解决的问题模型化。
当问题的条件具有模型的特征时，就可通过对应模型确定答案,提高学生快速准确的数学素养.2.基于教材理解本节课内容是在学生全面复习后的二轮复习中的微专题学习，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，使学生更熟练运用模型思想解决问题。
3.基于学情分析对于正方形中的半角模型，有少部分学生知道，但所知的知识是零碎的。
由于这个模型涉及知识是初中三年的重要的几何知识，综合度高，所以很有必要安排专题课引领，帮助学生分析总结，找到模型的结论的处理方法.【学习目标】1. 让学生经历从已有的知识出发，多角度对半角模型探索的过程，获得模型的结论和所得结论的方法；2. 让学生掌握正方形中的半角模型结论，能够利用此模型解决相关问题；3. 通过正方形中半角模型的应用，让学生体验模型思想在数学学习中的作用。
【学习重点】正方形中的半角模型多角度的探究及运用.【学习难点】从具体的问题中抽象出半角模型，并运用半角模型解决问题.【评价任务】1.借助小组讨论交流，能够归纳总结出正方形半角模型的多角度的结论。
2.会准确选用合理的方法解决符合半角模型条件的问题。
【学习资源准备】多媒体几何画板课件、班班通资源【教学过程】一、 创设问题情境，导入新课角含半角模型，即一个角包含这它一半大小的角，这是几何图形中常见的模型。
通常出现在等腰直角三角形和正方形中，可以类推到一般四边形。
模型中蕴含着旋转，全等，相似，四点共圆等丰富的几何知识。
这节课我们就以正方形中的半角为例，来研究半角模型，获得解决半角模型的思路和方法。
初中几何半角模型教案
初中几何半角模型教案教案标题：初中几何半角模型教案教案目标：1. 理解半角的概念和性质。
2. 掌握使用半角模型解决几何问题的方法。
3. 培养学生的空间想象力和几何思维能力。
教学重点：1. 半角的概念和性质。
2. 半角模型的应用。
教学难点：1. 运用半角模型解决几何问题。
2. 提高学生的空间想象力和几何思维能力。
教学准备：1. 教师准备好黑板、白板、彩色粉笔、半角模型等教具。
2. 学生准备好几何工具、练习册等学习材料。
教学过程：Step 1：引入1. 教师用彩色粉笔在黑板上绘制一个直角三角形ABC，角A为直角，边AB为横坐标轴，边AC为纵坐标轴。
2. 教师解释什么是半角，并引导学生观察直角三角形ABC中的半角，即角B和角C。
3. 教师提问学生，半角的度数是多少？（答案：45度）Step 2：概念讲解1. 教师在黑板上绘制一个正方形DEFG，边DE平行于边FG。
2. 教师解释正方形DEFG中的半角模型，即将正方形沿对角线DG对折，形成的两个直角三角形。
3. 教师引导学生观察半角模型中的角度关系，并解释半角模型的性质：两个直角三角形的半角是相等的。
Step 3：应用练习1. 教师提供一些几何问题，要求学生使用半角模型解决。
2. 学生独立思考并解答问题，教师适时给予指导和帮助。
3. 学生展示自己的解题过程和答案，教师进行点评和讲解。
Step 4：拓展练习1. 教师提供更复杂的几何问题，要求学生通过运用半角模型解决。
2. 学生分组合作解题，教师在小组之间进行巡回指导和帮助。
3. 学生展示解题过程和答案，教师进行综合点评和总结。
Step 5：归纳总结1. 教师带领学生回顾本节课所学的内容，总结半角的概念和性质。
2. 教师强调半角模型在解决几何问题中的重要性，并鼓励学生在以后的学习中积极运用。
3. 教师布置相关的练习作业，巩固学生的学习成果。
教学延伸：1. 学生可以自行寻找更多与半角模型相关的几何问题，并进行解答和讨论。
几何模型——半角模型实用教案
• （2）解：EF=DF﹣BE， • 证明如下(rúxià)： • 如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD， • 交CD于点G， • 同（1）可证得△AEF≌△AGF， • ∴EF=GF，且DG=BE， • ∴EF=DF﹣DG=DF﹣BE．
第第4四页页，/共共112页1。页
它
பைடு நூலகம்
能
滋 “
润 不
你 能
的 。
干 ”
渴第八？页”，共12页。
第第9九页页，/共共121页1。页
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以 懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相 互懂得，才能走的更远。
相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的 难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！
感谢您的观看(guānkàn)！
第第1十1一页页，/共共121页1。页
内容(nèiróng)总结
什么叫半角模型。由旋转可得GB=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF，。∴∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF，。在△AGE和△AFE中。 ∵GE=GB+BE=BE+DF，。∴EF=GF，且DG=BE，。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。一
No 路相扶相持，一路心手相(shǒu xiānɡ)牵，一路笑对风雨。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无
怨无悔足矣。你路过我，我忘记你
Image
第十二页，共12页。
第第1一页页，/共共121页1。页
基本( jīběn)模型（1）——正方形内含半角
• 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上(biān shànɡ)的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
初中数学半角模型教案
初中数学半角模型教案教学目标：1. 理解半角模型的概念和特点；2. 学会运用半角模型解决相关几何问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 半角模型的概念和特点；2. 运用半角模型解决几何问题。
教学难点：1. 半角模型的理解和运用；2. 解决相关几何问题。
教学准备：1. 教师准备半角模型的相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示半角模型的图片，引导学生观察和思考；2. 学生分享对半角模型的理解和认识。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师讲解半角模型的概念和特点，引导学生理解和掌握；2. 教师通过例题演示如何运用半角模型解决几何问题；3. 学生跟随教师一起解答例题，巩固理解和掌握半角模型的运用。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些有关半角模型的问题，让学生独立解答；2. 学生展示解答过程和答案，教师进行点评和指导。
四、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结半角模型的概念和特点；2. 学生分享自己在解决问题时的经验和困惑；3. 教师给出建议和指导，帮助学生进一步提高解决问题的能力。
五、课后作业（5分钟）1. 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识；2. 学生完成作业，教师进行批改和反馈。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了半角模型的概念和特点，并能运用半角模型解决相关几何问题。
在教学过程中，教师注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
在今后的教学中，教师还需注意以下几点：1. 针对不同学生的学习情况，给予个别化的指导和帮助，提高学生的学习效果；2. 增加一些拓展练习，让学生更好地理解和运用半角模型；3. 结合其他几何模型，让学生综合运用所学知识解决问题。
综上所述，本节课的教学目标是让学生理解和掌握半角模型的概念和特点，学会运用半角模型解决相关几何问题。
中考数学专题复习 正方形之“半角”模型 学案
九下专题：正方形之“半角模型”一、复习引入正方形的性质：1.边：相等，平行2.角：相等，都等于度3.对角线：4.对称性：二、模型讲解1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且45∠=︒,连接EAFEF.(1)求证:EF=BE+DF变式1：如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD，求证：EF=BE+DF；变式2：如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论是否仍然成立？请写出证明过程.1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且45∠=︒,连接EAFEF.(2)求证: C△CEF=2AB。
(3)求证: EA平分∠BEF,即∠1=∠2。
(4)求证:FA平分∠DFE,即∠3＝∠4。
（5）如果连接BD分别交AE，AF于点H，G，请探究线段GH，BH，DG的数量关系。
(6)如果不再增加辅助线，图中还有哪几对三角形相似？试再写出一两个关于线段的等积式、等比式。
(7)如果再连接AC，△AEC与△ADG相似吗？为什么? 试探究CE与DG的关系。
(8)追问1: 此时，△FCA与△HBA相似吗？为什么？试探究CF与BH的关系。
(9)追问2: 此时，△AEF与△AGH相似吗？为什么？试探究EF与GH的关系。
(10) 求证:BG-DG=√2BE(11)求证:BECE ∙DFCF=12(12)如果我们分别连接EG、FH，看看又可得到什么结论?[提示:可证明AG⊥EG, AH⊥FH]。
（13）如果我们将CH连接起来，看看又可得到什么结论?（14）如果点E为BC边的中点，求tan∠HCF的值。
三、课堂总结四、作业布置1．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF=45°，（1）线段BE，EF，DF之间的关系是____________（2）若正方形的边长为4，DF=2BE，则EF=______________2．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA=CB，点E、F在AB边上，∠ECF＝45°，若AE=10，EF=15，则BF的长为__________．。
专题复习-正方形之半角模型
222
2AM BM DM 中考复习专题------正方形中“半角”模型
潜山县痘姆中心学校胡和根
课型专题复习教法合作探究、讲练结合学情分析学生已经完成基础复习、并熟练掌握“数与代数”“图形与几何”两大板块的基础知识及基本技能。
基于此，本专题重点培养学生模型意识，提高学生推理能力和综合运用能力. 教学目标
1.了解并提炼正方形之半角模型；
2.让学生经历问题的解决过程，培养学生用初中数学核心知识解决问题的能力，积累解决数学综合题的经验。
3.让学生感受模型及转化等数学思想，增强学生的数学核心素养。
教学媒体
教具：几何画板
教学过程一：【情境设计】
学生活动：
二：【探究发现】
学生活动：合作探究
2、如图2，连接BD ，求证：
（2）如图，在正方形ABCD 中，∠EAF=45°，你能写出哪些结论？（1）MN 2=BM 2+DN
2
3、连接NE、MF，△ANE、△AMF是等腰直角三角形吗？如果是，请证明。
4、如图2，猜想CE与DN，CF与BM的数量关系，并证明。
5、取EF的中点G，连接GM、GN，△MGN是等腰直角三角形吗？
三：【经典考题回顾】
四：【小结提高】
布置作业见学案教后记
45°
N
M
F
E
B C A D。
初中半角模型教案数学
初中半角模型教案数学教学目标：1. 理解半角模型的定义和特点；2. 掌握半角模型的应用方法；3. 能够解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 半角模型的定义和特点；2. 半角模型的应用方法。
教学难点：1. 半角模型的理解和应用；2. 解决实际问题时的计算和推导。
教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示半角模型的图像和定义；2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用半角模型解决问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点；2. 引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点；2. 通过示例，讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法；3. 引导学生总结半角模型的应用步骤和注意事项。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用；2. 引导学生思考和讨论解决实际问题时的方法和策略。
四、拓展提升（15分钟）1. 引导学生探索半角模型的推广和应用，例如在正方形中的半角模型；2. 给出一些综合性的问题，让学生运用半角模型和其它几何知识一起解决问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
五、总结和反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结半角模型的定义、特点和应用方法；2. 引导学生反思在解决问题时的思考过程和方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学反思：本节课通过引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点，引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。
通过讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点，并通过示例讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
然后让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用。
数学中考复习专题 正方形中的半角模型及其应用
课堂教学设计教学时间：年月日教学环节教学活动过程课堂随记活动一：温故知新，探索模型.问题：如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.求证：EF=DF+BE.多媒体播放微课视频“正方形中的半角模型”。
教师总结视频中解决问题的方法：方法一、利用旋转变换构造全等1.把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE'，则△ABE≌△ADE'，F，D，E共线；2.证明△AEF≌△AE'F；3.EF=E'F=FD+DE'=FD+BE.方法二、利用轴对称变换构造全等1.作△ABE关于AE的轴对称图形△AB'E，则有△ABE≌△AB'E；2.连接FB'，证明△ADF≌△AB'F；因为∠AB'E+∠AB'F=∠ABE+∠ADF=180°，所以E、B'，F三点共线；3.EF=EB'+B'F=BE+FD.教师给出半角模型的概念及其特征：模型名称：正方形中的半角模型特征：从正方形一个顶点出发的两条线所夹的角等于正方形内角的一半，并且与正方形的边相交。
解决模型问题的方法：1.把半角一侧的三角形通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形，利用全等三角形的对应边相等或对应角相等来转化边和角，进而可以探究新的边边关系或角角关系；2. 截长补短。
活动二：变换图形，拓展模型如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，∠EAF=45°，连接BD，分别交AE，AF于M，N.求证：△DMA∽△AMN.总结拓展：连接BD，分别交AE，AF于M，N，则有△DMA∽△AMN∽△BAN∽△BME∽△DFN.活动三：简单应用，熟悉模型1.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，若△ABE，△ADF的面积分别为5和3，则△AEF的面积为___________.2.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，则△CEF的周长_______________.活动四：改变图形，运用模型1.已知△AMN的顶点M,N分别在正方形ABCD的边CB,DC的延长线上,且∠MAN=45°.（1）如图，求证：MN+BM=DN;（2）如图，作射线DB交直线AM于点P，若MN=10，CM=8，求AP的长.2.将两块等腰直角三角板按如图所示方式摆放.（1）如图1，若AD=53，AE=102，DE=5，求BC的长;（2）如图1，求证：DE2=BD2+CE2;（3）如图2，若AG交BC的延长线于点E，则等式DE2=BD2+CE2还成立吗？请说明理由.课后活动与作业如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=21∠BAD，则BE，DF，EF三条线段之间的数量关系为__________,请证明你的结论.板书设计教后反思1、正方形中的半角模型中，条件往往会给出45°角，如果题目一开始没有给出正方形，我们就想方设法地通过延长线段、翻折变换等手段构造出正方形，从而用相关结论解决问题。
初中数学半角模型教案模板
#### 教学目标1. 知识与技能：理解半角模型的概念，掌握半角模型的应用方法，能够运用半角模型解决几何问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对几何学习的兴趣，培养严谨的数学思维和良好的学习习惯。
#### 教学重点1. 半角模型的概念。
2. 半角模型的应用方法。
#### 教学难点1. 半角模型在解决几何问题中的应用。
2. 运用半角模型进行推理证明。
#### 教学准备1. 教学课件。
2. 教学模型（如正方形、等腰直角三角形等）。
3. 学生练习题。
#### 教学过程一、导入新课1. 展示几何图形，引导学生回顾等腰三角形、正方形等基本图形的性质。
2. 提出问题：在等腰直角三角形中，如果顶角的一半为45°，那么如何利用这个信息解决问题？二、新课讲授1. 概念引入- 引导学生观察等腰直角三角形，说明半角模型的概念：过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使得两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半。
- 通过实例讲解半角模型的基本性质，如正方形中夹半角模型、等腰直角三角形角含半角模型等。
2. 应用方法- 讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
- 通过实例展示如何运用半角模型解决几何问题。
3. 例题讲解- 展示典型例题，讲解解题思路和步骤。
- 引导学生分析例题中的关键信息，培养解题技巧。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调半角模型的概念和应用方法。
2. 引导学生总结半角模型的特点和适用范围。
五、作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 预习下一节课内容。
#### 教学反思1. 教学过程中，关注学生的参与度和学习效果。
2. 及时调整教学策略，提高教学质量。
3. 关注学生个体差异，实施分层教学。
#### 板书设计- 半角模型- 概念：过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使得两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半。
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正方形角含半角模型提升
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．
例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么
例4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =
例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点
O ,90AOF ︒∠=.
求证：BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点
O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.
【双基训练】
1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ∆的面积为________2cm ．
(6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．
4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。
分别以
AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
求证：FN EC =。
5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△；
（2）求证：DE EF FB =+．
【纵向应用】
6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2
1
= 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 2
1= 8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥
9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G ,
图2
D G
A E
B C
F
13
A D E F
C G B
GH AD ⊥于点H .
（1）求证：AF DE ⊥ ；
（2）如果2AB =,求GH 的长； （3）求证：CG CD =
例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒∠=∠=． 求证：PBC ∆是正三角形．
例2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆
ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 例4. 如图，四边形
ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．
例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分
DCE ∠．
求证：PA PF =． 例7. 已知：P 是边长为1PC 例8. P 为正方形ABCD 3a =边长．
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．
2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC •恰是一个菱形，•则EAB ∠=________． 【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，90AEF ︒∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：BAE FEC ∠=∠； （2）证明：AGE ECF ∆≅∆； （3）求AEF ∆的面积． 【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；
F
⑵①当M点在何处时，AM CM
+的值最小；
②当M点在何处时，AM BM CM
++的值最小，并说明理由；
⑶当AM BM CM
++的最小值为1
3+时，求正方形的边长.
E
A D
B C。