22.1.3《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)

22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质
第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质
01 基础题
知识点1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象
1．(教材P 33练习变式)函数y ＝13x 2＋1与y ＝1
3
x 2的图象的不同之处是(C )
A ．对称轴
B ．开口方向
C ．顶点
D ．形状 2．(自贡期中)二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B )
3．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C )
A ．y ＝(x －1)2＋2
B ．y ＝(x ＋1)2＋2
C ．y ＝x 2＋1
D ．y ＝x 2＋3
4．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)． 5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．
6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y ＝－2x 2＋3与抛物线y ＝－2x 2有什么关系？ 解：如图所示：
(1)抛物线y ＝－2x 2开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)． 抛物线y ＝－2x 2＋3开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)． (2)抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向上平移3个单位长度得到．
知识点2 二次函数y ＝ax 2＋k 的性质
7．(河池中考)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是(D )
A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2
B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2
C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2
D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2
8．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D )
A ．抛物线开口向上
B ．顶点坐标为(－1，2)
C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大
D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大
9．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y 轴，当x >0时，y 随x 的增大而增大；当x <0时，y 随x 的增大而减小．因为a ＝3>0，所以y 有最小值，当x ＝0时，y 的最小值是－3．
10．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝1
3x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－
3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由． 解：设平移后的函数解析式为y ＝1
3x 2＋k ，
把(3，－3)代入，得－3＝1
3×32＋k ，
解得k ＝－6.
∴把y ＝1
3x 2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3，－3)．
02 中档题
11．(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是(C )
12．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A (－3，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A )
A ．a >0
B ．a <0
C ．a ≥0
D ．a ≤0
13．(山西农业大学附中月考)已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等．当x 取x 1＋x 2时，函数值为(D )
A ．a ＋c
B ．a －c
C ．－c
D ．c
14．(泸州中考)已知抛物线y ＝1
4x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0，2)
的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝1
4x 2＋1上
一个动点，则△PMF 周长的最小值是(C )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
15．已知y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4－3是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．
16．将抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y ＝－2x 2－1，则a ＝－2，c ＝2．
17．若抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝－4．
18．把y ＝－1
2x 2的图象向上平移2个单位长度．
(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．
解：(1)新图象的函数解析式为y ＝－1
2x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．
(2)略．
(3)当x ＝0时，y 有最大值，为2.
03 综合题
19．(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋1
4与y 轴相交于点A ，
点B 在y 轴上，且在点A 的上方，AB ＝O A. (1)填空：点B 的坐标是(0，1
2
)；
(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC ，求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由．
解：∵B 点坐标为(0，1
2)，
∴设直线的解析式为y ＝kx ＋1
2.
令y ＝0，得kx ＋1
2＝0，
解得x ＝－1
2k .
∴OC ＝－1
2k
.
∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．
过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝1
2
，
∴PD ＝PC －CD ＝m －1
2.
在Rt △PBD 中，由勾股定理，得
PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－1
2k )2，
解得m ＝14＋1
4k 2.
∴PB ＝14＋1
4k
2.
∴P 点坐标为(－12k ，14＋1
4k
2)．
当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋1
4k 2，
∴点P 在抛物线上．
第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质
01 基础题
知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2的图象
1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝1
2
(x －2)2的图象可能是(D )
2．抛物线y ＝－4(x ＋3)2与x 轴的交点坐标是(－3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，－36)． 3．将抛物线y ＝ax 2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a ＝－1．
4．(教材P 35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．
解：图象如图：
抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．
抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)．
知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2的性质
5．下列对二次函数y ＝2(x ＋4)2的增减性描述正确的是(D )
A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小
B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大
C ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小
D ．当x ＜－4时，y 随x 的增大而减小
6．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y ＝(x －2)2，下列说法：①图象经过点(1，1)；②当x ＝2时，y 有最小值0；③y 随x 的增大而增大；④该函数图象关于直线x ＝2对称．其中正确的是(B )
A．①②B．①②④
C．①②③④D．②③④
7．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0. 8．完成表格：
9.(衡阳中考)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”)．
10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．
解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.
又∵此抛物线过点(1，－3)，
∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.
∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.
当x＞2时，y随x的增大而减小．
易错点1 混淆二次函数图象的平移方向与h 的加减关系
11．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C )
A ．y ＝x 2－1
B ．y ＝x 2＋1
C ．y ＝(x －1)2
D ．y ＝(x ＋1)2 易错点2 二次函数增减性相关的易错
12．已知二次函数y ＝2(x －h )2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足h ≤3． 02 中档题
13．(玉林中考)对于函数y ＝－2(x －m )2的图象，下列说法不正确的是(D )
A ．开口向下
B ．对称轴是x ＝m
C ．最大值为0
D ．与y 轴不相交
14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝a ＋ax 的图象可能是(D )
15．已知A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为y 3<y 1<y 2．
16．已知二次函数y ＝2(x －1)2的图象如图所示，则△ABO 的面积是1．
17．已知某抛物线与抛物线y ＝－1
2x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)．根
据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
解：∵所求抛物线与y ＝－1
2
x 2＋3形状相同，开口方向相反，
∴所求抛物线解析式的二次项系数是1
2.
又∵顶点坐标是(－5，0)，
∴所求抛物线的解析式为y ＝1
2(x ＋5)2.
18．二次函数y ＝a (x －h )2的图象如图，已知a ＝1
2
，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．
解：由题意，得C (h ，0)， y ＝1
2
(x －h )2. ∵OA ＝OC ，∴A (0，h )．
将点A (0，h )代入抛物线的解析式，得1
2h 2＝h .
∴h 1＝2，h 2＝0(不合题意，舍去)． ∴该抛物线的解析式为y ＝1
2(x －2)2.
03 综合题
19．已知点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点，且点P 在第一象限内． (1)求m 的值；
(2)过P 点作PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q .若a 的值为3，试求P 点，Q 点及原点O 围成的三角形的面积．
解：(1)∵点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点， ∴a ＝a (m －1)2，解得m ＝2或m ＝0. 又∵点P 在第一象限内，∴m ＝2. (2)∵a 的值为3，
∴抛物线的解析式为y ＝3(x －1)2. ∵m ＝2，a ＝3，∴点P 的坐标为(2，3)． ∵PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q ，
∴Q 点纵坐标也为3.
令y ＝3，即3＝3(x －1)2，解得x ＝2或x ＝0. ∴点Q 的坐标为(0，3)．∴PQ ＝2. ∴S △OPQ ＝12·PQ ·y P ＝1
2×2×3＝3.
第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质
01 基础题
知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象
1．(大同市期中)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是(D )
A ．(－1，2)
B ．(－1，－2)
C ．(1，－2)
D ．(1，2)
2．(呼伦贝尔中考)二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为(D )
3．将抛物线y ＝1
2x 2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解
析式为(D )
A ．y ＝12(x －2)2＋4
B ．y ＝1
2(x －2)2－2
C ．y ＝12(x ＋2)2＋4
D ．y ＝1
2
(x ＋2)2－2
4．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是(1，0)．
5．(教材P 37练习变式)说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
6.画出函数y ＝(x －1)2－1的图象． 解：列表：
描点并连线：
知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质
7．(台州中考)设二次函数y ＝(x －3)2－4图象的对称轴为直线l .若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是(B )
A ．(1，0)
B ．(3，0)
C ．(－3，0)
D ．(0，－4)
8．(吕梁市文水县期中)对于抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②
对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．二次函数y ＝(x ＋4)2＋m 2，当x ＞m ＋1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜m ＋1时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是－5．
10．(河南中考)已知点A (4，y 1)，B (2，y 2)，C (－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2＜y 1＜y 3． 易错点1 对抛物线的顶点理解不清
11．抛物线y ＝(2x ＋1)2＋1的顶点坐标是(－1
2，1)．
易错点2 将图象平移与坐标轴平移混淆
12．在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y ＝3(x ＋1)2－1． 02 中档题
13．与抛物线y ＝4(x －1)2－7的形状相同的抛物线是(B )
A ．y ＝(4x －1)2－7
B ．y ＝(2x －3)2
C ．y ＝14x 2＋7
D ．y ＝1
4
(x －1)2＋9
14．若二次函数y ＝(x －m )2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(C )
A ．m ＝1
B ．m ＞1
C ．m ≥1
D ．m ≤1
15．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是(C )
A ．y ＝(x ＋1)2－1
B ．y ＝(x ＋1)2＋1
C ．y ＝(x －1)2＋1
D ．y ＝(x －1)2－1
16．如果二次函数y ＝(x －h )2
＋k 的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h 的值为1． 17．将抛物线y ＝a (x －h )2
＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝－2(x ＋3)2
＋1的图象． (1)确定a 、h 、k 的值；
(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大(小)值．
解：(1)∵将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到平移后的二次函数解析式为y＝－2(x－h＋2)2＋k＋3，
∴a＝－2，－h＋2＝3，k＋3＝1.
∴a＝－2，h＝－1，k＝－2.
(2)∵二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k＝－2(x＋1)2－2，
∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－2)．
(3)∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，
∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；
当x>－1时，y随x的增大而减小．
且当x＝－1时，y有最大值，y的最大值是－2.
18．(教材P36例4变式)如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？
解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流离地面的最大高度为2.25 m.
(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25.
∴喷嘴离地面的高度为1.25 m.
(3)令y＝0，即0＝－(x－1)2＋2.25，
解得x1＝－0.5，x2＝2.5.
∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出的水流不落在水池外．
03综合题
19．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝5
4S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝(x＋m)2＋k的顶点坐标为M(1，－4)，∴y＝(x－1)2－4.
令y＝0，即(x－1)2－4＝0.
解得x1＝3，x2＝－1.
∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝5
4S△MAB，
∴|y P|＝5
4|y M|＝
5
4×4＝5，即y P＝±5.
又∵点P在二次函数y＝(x－1)2－4的图象上，∴y P≥－4.∴y P＝5.
∴(x－1)2－4＝5，解得x1＝4，x2＝－2.
∴存在这样的点P，其坐标为(4，5)或(－2，5)．。