小学四年级奥数 容斥问题

容斥问题（一）
容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。

这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分
类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的
有9人，两种报纸都订阅的有5人。

（1）订阅报纸的总人数有多少（2）两种报纸都没订阅的有多少人
例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人
例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个
例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。

其他年级参展的画共有多少幅
练习与思考
1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部
分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米
2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人
3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名
4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人
5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加
6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。

一共有多少人参加了这次数学测验
7．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。

这个俱乐部里有多少人
8．某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。

这个班共有多少名学生
9．在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个
10．科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。

其他年级参展的作品共有多少件
容斥问题（二）
这一讲介绍容斥原理2 n个事物，如何采用三种不同的分类标准：按性质a 分类、性质b分类与性质c分类（如图1），那么，具有性质a或b或c的事物的个数=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。

例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到
短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球
17人18人15人6人6人6人2人
求全班人数。

例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。

已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人
例3．一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。

结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。

既参加篮球队又参加足球队的有多少人
例4.松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。

有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。

（1）只参加数学竞赛的有多少人
（2）只参加作文竞赛的有多少人
（3）只参加美术竞赛的有多少人
练习与思考
1．有30名运动员、其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。

既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名
2．操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。

操场上有多少人在做操
3．一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三个学科都爱好。

请问：这个年级中数学、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人
4．某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余
5．第三小队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有红球的有4人。

已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少人
6．某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。

三个小组都参加的有多少人
7．有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为14人、12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组都参加的有1人。

这些学生中这三个小组都没有参加的有几人
8．某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。

结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。

既学习英语又学习德语的有多少人
9．四（1）班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。

有22人参加美术组，有21人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组，3人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加优育组。

（1）只参加美术组的有多少人
（2）只参加音乐组的有多少人
（3）只参加音乐组的有多少人
能力测试（三）
（满分100分，90分钟完成）
一、填空题（每空6分，共54分）。

1．小英有2分、5分的硬币共35枚，一共是1元1角5分，2分硬币有（）枚，5分硬币有（）枚。

2．从旧旧历中知道，1988年元旦昌星期五，那么，2000年元旦是星期（）。

3．买5元1千克的糖和8元1千克的糖共10千克，用去71元。

5元1千克的糖有（）千克，8元1千克的糖有（）千克。

4．
图中共有（）个正方形。

图中菜有（）个三角形。

5．新华小学四年级共40个学生采集标本，采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的有21人，两种标本都采集的有（）人。

6．某班学生去图书馆借书，每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人，全班学生共（）人。

二、应用题（第1题10分，其余每题9分，共46分）。

1．英文字母A，B，C，D，按规则排列为ABAACCDABAACCD…共250个字母，最后一个字母是什么A，B，C，D 各有多少个
2．四年级学生进行数学比赛，规定算对一题得5分，错一题扣2分。

试卷上共有20道题，李华得了86分，他算对了多少道题
3．一个停车场上共停汽车、三轮摩托车25辆，其中汽车有4个轮子，三轮摩托车有3个轮子。

这些车共有90个轮子。

三轮摩托车有多少辆
4．某班学生会打篮球的有40人，会打排球的有32人，两种球都会打的有30人，还有3个学生这两种球都不会打。

这个班有学生多少人
5．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。

画片只有两种：3分一张和5分一张。

如果每人都尽量多买5分一张的画片，那么，他们所买的3分一张是画片的总数是多少张。