洛必达法则 泰勒公式

．
用上述 的一次多项式去近似表达函数 存在两点不足：
(1) 精确度不高，它所产生的误差仅是比 高阶的无穷小；
(2) 用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小．
(3) 存在(或为无穷大)，
则
．
也就是说，当 存在时， 也存在，且等于 ；当 为无穷大时， 也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．
下面我们给出定理1的严格证明：
分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．
一、洛必达法则
在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为 和 ．
例12求 .
解这是一个 型未定式，我们有
．
由于上式右端极限 不存在，所以未定式 的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限 不存在．这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限．
．
由此可见极限 是存在的．
二、泰勒公式
把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达．说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单．那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过．设函数 在 点的某个邻域内可导，且 ，则在该邻域内
证因为求极限 与 及 的取值无关，所以可以假定 ．于是由条件(1)和(2)知， 及 在点 的某一邻域内是连续的．设 是这邻域内一点，则在以 及 为端点的区间上，函数 和 满足柯西中值定理的条件，因此在 和 之间至少存在一点 ，使得等式
( 在 与 之间)
成立．ຫໍສະໝຸດ Baidu
对上式两端求 时的极限，注意到 时 ，则
．
第三章微分中值定理与导数的应用
第二讲洛必达法则泰勒公式
目的1．使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；
2．理解泰勒中值定理的内涵；
3． 了解 等函数的麦克劳林公式；
4．学会泰勒中值定理的一些简单应用．
重点1．运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；
2．使学生理解泰勒中值定理的内涵．
难点使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓．
定理3 设
(1)当 (或 )时，函数 及 都趋于无穷大；
(2)在点 的某去心邻域内(或当 时)， 及 都存在，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)，
则
．
例5求 .
解 .
例6求 .
解 .
事实上，例6中的 不是正整数而是任何正数其极限仍为零．
注由例5和例6可见，当 时，函数 都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的， 最快，其次是 ，最慢的是 ．
例2求 ．
解 .
注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．
例3求 ．
解 .
例4求 .
解 .
注(1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子 ，则在应用洛必达法则时需要计算导数 ，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．
又因为极限 存在(或为无穷大)，所以
．
故定理1成立．
注若 仍为 型未定式，且此时 和 能满足定理1中 和 所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定 ，从而确定 和 ，即
．
且这种情况可以继续依此类推．
例1求 ．
分析当 时，分子分母的极限皆为零，故属于 型不定式，可考虑应用洛必达法则．
解 .
注最后一个求极限的函数 在 处是连续的．
由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当 时， 型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．
定理 1 设
(1) 当 时，函数 及 都趋于零；
(2)在点 的某去心邻域内， 及 都存在，且 ；
(2) 例４中的极限 已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．
对于 时的未定式 有以下定理．
定理2设
(1)当 时，函数 及 都趋于零；
(2) 当 时， 与 都存在，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)，
则
．
同样地,对于 (或 )时的未定式 ，也有相应的洛必达法则．
除了 和 型未定式外，还有 型的未定式．这些未定式可转化为 或 型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明．
例7求 ．
分析因为 ， ，所以 是 型未定式．又因为 ， ．
而 是 型未定式， 是 型未定式，所以 型未定式可以转化为 或 型未定式去计算．
解 .
例8求 ．
分析因为 ， ，所以 是 型未定式．又因为
.
型未定式向 或 型未定式的转化可形式地表示为：
或 ；
(或 )；
(或 )；
(或 ) ．
最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法．当定理的条件满足时，所求的极限当然存在(或为 )，但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在．也就是说，当 不存在时(无穷大的情况除外)， 仍可能存在,见下面的例题．
．
而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 型未定式来计算．
解 ．
注讨论 型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论．
例9求 .
分析这是一个幂指函数求极限的问题，由于 ，所以 是一个 型未定式．又因为 ，
而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 或 型未定式来计算．
解 .
例10求 ．
分析由于 ， ，所以 是一个 型未定式．又因为 ，
而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 或 型未定式来计算．
解 .
由于
,
所以
．
例11求 .
分析由于 ， ，所以 是一个 型未定式．又因为 ，而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 或 型未定式来计算．
解 ．
由于
，
所以