人教版数学八年级上册：乘法公式练习题附答案
新人教版初二上册数学乘法公式练习题与答案题型归纳
新人教版初二上册数学乘法公式练习题与答案题型归纳
相信同学们一定有着爱思考的头脑，聪明、敏捷的思维，小编正对初中学生整理的“初二上册数学乘法公式练习题”，希望同学们在认真的做题的同时也去了解其中的奥妙。
1. (3a+1)(3a-1)+(3a-1)
2.
2. 观察给予_、y不同的值，你都能计算_2-2_y+y2与(_-y)2的值吗?______。
当_=0，y=1时，_2-2_y+y2与(_-y)2的值相同吗?__________。
当_=-1，y=-2时，_2-2_y+y2与(_-y)2的值相同吗?______。
是否当无论_、y是什么值，计算_2-2_y+y2与(_-y)2所得结果都相同
吗?__________。
由此你能推出_2-2_y+y2=(_-y)2吗?__________。
3. 计算(用两种方法求解，并比较哪种方法简单)：
(1)(- 3a-2b)2;
(2)(a-2b)2-(a+2b)2;
(3)(_+2y)2(_-2y)2。
4. 已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：
(1)ab的值是多少?
(2)a2+b2的值是多少?
5. 计算：1-(-1-2_)2.
6. 阅读理解：求代数式y2+4y+8的最小值.
解：∵y2+4y+8=(y2+4y+4)+4
=(y+2)2+4
≥4
∴当y=-2时，代数式y2+4y+8的最小值是4.
仿照应用(1)：求代数式m2+2m+3的最小值.
仿照应用(2)：求代数式-m2+3m+的最大值.。
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步练习题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十四章乘法公式》同步练习题及答案（人教版）一、选择题（共8题）1.下列计算正确的是( )A．a2⋅a3=a6B．3a2+2a3=5a5C．a3÷a2=a D．(a−b)2=a2−b22.若x2−6x+y2+4y+13=0，则y x的值为( )A．8B．−8C．9D．193.下列算式能用平方差公式计算的是( )A．(x−2)(x+1)B．(2x+y)(2y−x)C．(−2x+y)(2x−y)D．(−x−1)(x−1)4.若x2−mx+4是完全平方式，则m的值为( )A．2B．4C．±2D．±45.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是( )A．a2−b2=(a+b)(a−b)B．a(a−b)=a2−abC．(a−b)2=a2−2ab+b2D．a(a+b)=a2+ab6.对于代数式：x2−2x+2，下列说法正确的是( )A．有最大值1B．有最小值1C．有最小值2D．无法确定最大最小值7.在下列多项式中，与−x−y相乘的结果为x2−y2的多项式是( )A．−x+y B．x+y C．x−y D．−x−y8.已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为( )A．a2+2a+1B．a2−2a+1C．a2+1D．a+1二、填空题（共5题）9.计算：(a+2)(a−2)=．10.已知m=√2+1，n=√2−1则代数式m2+n2−3mn的值为．11.定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=−1 )，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．如(1+ 3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i，因此(1+3i)2的实部是−8，虚部是6．已知复数(3−mi)2的虚部是12，则实部是．12.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是．13.有两个正方形A，B现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为．三、解答题（共6题）14.计算：(1) (ab)3⋅(−23a4b5)÷32a2b5．(2) (2x−y+5)(2x+y−5)．15.数学课堂上，张老师写出了下面四个等式，仔细观察下列等式，你会发现什么规律：1×5+4=32，2×6+4=42，3×7+4=52，4×8+4=62⋯⋯(1) 请你按照这个规律再写出第5个，第6个等式：、．(2) 请将你写出第n个等式．(3) 说出这个等式成立的理由：16.已知代数式(ax−3)(2x+4)−x2−b化简后，不含有x2项和常数项．(1) 求a，b的值．(2) 求(b−a)(−a−b)+(−a−b)2−a(2a+b)的值．17.先化简后求值：(x−2y)2−(x+2y)(x−2y)，其中x=−1，y=2．18.如图所示，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．19.学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．(1) 选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是（请用含a，b的代数式表示）；(2) 选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为；(3) 选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S=S1−S2，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．答案1. C2. B3. D4. D5. A6. B7. A8. A9. a2−410. 311. 512. (a+b)(a−b)=a2−b213. 514.(1)(ab)3⋅(−23a4b5)÷32a2b5=−23a7b8÷32a2b5=−49a5b3.(2)(2x−y+5)(2x+y−5)=[2x−(y−5)][2x+(y−5)] =4x2−(y−5)2=4x2−(y2−10y+25)=4x2−y2+10y−25.15.(1) 5×9+4=72；6×10+4=82(2) 第n个：n×(n+4)+4=(n+2)2．(3) 左边=n×(n+4)+4=n2+4n+4=(n+2)2=右边；即n×(n+4)+4=(n+2)2成立．16.(1) 原式=ax (2x +4)−3(2x +4)−x 2−b=2ax 2+4ax −6x −12−x 2−b =(2a −1)x 2+(4a −6)x −12−b,∵ 不含 x 2 项和常数项∴2a −1=0，−12−b =0∴a =12，b =−12． (2) 原式=−(b −a )(a +b )+[−(a +b )]2−2a 2−ab=−(b 2−a 2)+a 2+2ab +b 2−2a 2−ab =a 2−b 2+a 2+2ab +b 2−2a 2−ab =ab,当 a =12，b =−12 时 原式=12×(−12)=−6．17. 原式=x 2−4xy +4y 2−(x 2−4y 2)=x 2−4xy +4y 2−x 2+4y 2=−4xy +8y 2.当 x =−1，y =2 时原式=−4×(−1)×2+8×22=40．18. 绿化面积S=(3a +b )(2a +b )−(a +b )2=6a 2+5ab +b 2−a 2−b 2−2ab =5a 2+3ab(平方米).当 a =3，b =2 时S =5×32+3×3×2=63（平方米）．19.(1) 9；a +3b(2) (a −b )2=(a +b )2−4ab(3) 设 MN 长为 xS 1=(a −b )[x −(a −b )]=ax −bx −a 2+2ab −b 2S 2=3b (x −a )=3bx −3abS =S 1−S 2=(a −4b )x −a 2+5ab −b 2由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化可知当a−4b=0时，即a=4b时，S=−a2+5ab−b2为定值．故答案为：a=4b时，S为定值．。
部编数学八年级上册专题01运算能力之乘法公式综合难点专练(解析版)(人教版)含答案
专题01运算能力之乘法公式综合难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，>，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m n花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则m n-的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）A．22B．24C．42D．44【答案】C【分析】由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【详解】解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故选：C．【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．3．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（）A ．5B ．6C ．9D ．10【答案】A【分析】设①小长方形的长为a ，宽为b ，根据正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22根根据大长方形阴影面积为长为()3+a b ，宽为()3a b +的长方形面积-7个小长方形面积=96列方程求出5ab =即可．【详解】解：设①小长方形的长为a ，宽为b ，根据②正方形边长为+a b ，阴影面积为()2+322a b ab -=，根据③大长方形的长为3+a b ，宽为+3a b ，阴影面积为()()3+3796a b a b ab +-=，∴联立得()()()2+3223+3796a b ab a b a b ab ì-=ïí+-=ïî，整理得222222+32a b ab a b ab ì+-=í+=î①②，解得22=275a b ab ì+í=î，一个小长方形①的面积为5．故选择A ．【点睛】本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析图形，从中找出等量关系，正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22，大长方形阴影面积为长为()3+a b ，宽为()3a b +的长方形面积-7个小长方形面积=96，列方程组是解题关键．4．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）A ．22224824852+52+=300´B ．222248248484800=2-´-C ．222248224852++=52300´´D ．22224822484848200=-´´-【答案】C【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．【详解】解： A 、222482485252´＋＋不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为224852´´，所以不符合题意；B 、222482484848-´-不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为248＋，所以不符合题意；C 、()222224822485252248+52300´´＋＋＝＝，所以符合题意；D 、22224822484848200-´´-＝不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为248＋，所以不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：2222a ab b a b ±±＋＝（）是解答问题的关键．二、填空题5．如图，长方形ABCD 的边13BC =，E 是边BC 上的一点，且10BE BA ==，F ，G 分别是线段AB ，CD 上的动点，且BF DG =，现以BE ，BF 为边作长方形BEHF ，以DG 为边作正方形DGIJ ，点H ，I 均在长方形ABCD 内部．记图中的阴影部分面积分别为1S ，2S 长方形BEHF 和正方形DGH 的重叠部分是四边形KILH ，当四边形KILH 的邻边比为3∶4，12S S +的值为________．【答案】7或93125【分析】利用长方形及正方形的性质可求解KI =2DG -10，KH =DG -3，根据当长方形KILH 的邻边的比为3：4可求解DG 的长，再利用DG 的长分别求解AF ，CG ，AJ 的长，进而可求解，注意分类讨论．【详解】解：在长方形ABCD 中，AB =CD =10，AD =BC =13．∵四边形DGIJ 为正方形，四边形BFHE 为长方形，BF =DG ，∴四边形KILH 为长方形，KI =HL =2DG -AB =2DG -10．∵BE =BA =10，∴LG =EC =3，∴KH =IL =DG -LG =DG -3．当长方形KILH 的邻边的比为3：4时，（DG -3）：（2DG -10）=3：4，或（2DG -10）：（DG -3）=3：4，解得DG =9或315，当DG =9时，AF =CG =1，AJ =4，∴S 1+S 2=AF •AJ +CE •CG =1×4+1×3=7；当DG =315时，AF =CG =195，AJ =345，∴S 1+S 2=AF •AJ +CE •CG =1934193555´+´=93125故答案为7或93125．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．6．计算：（1）若x 满足(30)(20)10x x --=-则22(30)(20)x x -+-的值为____；（2）如上图，2,4AE CG ==，长方形EFGD 的面积是50，四边形ABCD 和NGDH 以及MEDQ 都是正方形四边形PQDH 是长方形，则图中正方形NFMP 的面积为_______．【答案】120204【分析】（1）设（30-x ）=m ，（x -20）=n ，求出mn 和m +n ，利用完全平方公式计算即可；（2）根据正方形ABCD 的边长为x ，AE =2，CG =4，所以DE =x -2，DG =x -4，得到（x -2）（x -4）=50，设x -2=a ，x -4=b ，从而得到ab =50，a -b =（x -2）-（x -4）=2，根据题意求出（a +b ）2，即可求出正方形NFMP 的面积．【详解】解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，∴（30-x）（x-20）=mn=-10，∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2，=m2+n2，=（m+n）2-2mn，=102-2×（-10）=120；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，∴DE=x-2，DG=x-4，∴（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，则（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，∴正方形NFMP的面积为：204，故答案为：（1）120；（2）204．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．7＝_____（直接填写结果）．【答案】10n【分析】10n．【详解】==+99 (91)10n=．故答案为：10n．【点睛】本题主要考查算术平方根以及完全平方公式的逆运用，熟练掌握算术平方根以及完全平方公式的逆运用是解决本题的关键．三、解答题8．已知关于x 的二次三项式A 满足2(1)(1)(1)A x x x --+=+.（1）求整式A ；（2）若2342B x x =++，当12x =-时，求B A -的值．【答案】（1）222A x x =+；（2）54B A -=．【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案即可；（2）直接利用整式的加减运算法则结合x 的值代入得出答案即可．【详解】解：（1）∵2(1)(1)(1)A x x x --+=+∴2(1)(1)(1)A x x x =+++-22211x x x =+++-222x x =+；（2）∵2342B x x =++，222A x x=+∴()2234222B A x x x x -=++-+2234222x x x x=++--222x x =++2(1)1=++x .当12x =-时，2215(1)11124B A x æö-=++=-++=ç÷èø．【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．9．计算：（1）()2354102•2x x x x x -+¸；（2）()()()433223a a b b a a b ---+；（3）()()()323423159x y xy x y -¸-g ；（4）请用简便方法计算：2704696700´－【答案】（1）82x -；（2）228129a ab b --；（3）3445x y ；（4）-16．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；（2）先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；（3）先根据积的乘方化简，再从左往右计算即可；（4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．【详解】解：（1）()2354102•2x x x x x -+¸8884x x x =-+82x =-；（2）()()()433223a a b b a a b ---+()()()432323a a b a b a b =-+-+22241249a ab a b =-+-228129a ab b =--；（3）()()()323423159x y xy x y -¸-g ()()6334227159x y xy x y =-¸-g ()76424059x y x y =-¸-3445x y =；（4）2704696700´－()()270047004700=+´--2270016700=--16=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．10．计算：（1）234110;2x yz xy æö×-ç÷èø（2）221232ab ab ab æö-×ç÷èø;（3）()()()()223523642x x x x x ++-+--;（4）()()2121x y x y -+--．【答案】（1）-5x 3 y 5 z 3；（2）232213a b a b -；（3）18；（4）22441x xy y -+-．【分析】（1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；（3）分别根据多项式乘以多项式和单项式乘以单项式运算法则去括号，然后外挂；（4）运用平方差公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()12341102x yz xy æö×-ç÷èø()()2431102x x y y z éùæö=´-××ç÷êúèøëû3535x y z =-．()2221232ab ab ab æö-×ç÷èø()22112322ab ab ab ab =×+-×232213a b a b =-．()3()()()()223523642x x x x x ++-+--2261061061248x x x x x x =+++---+=18()4()()2121x y x y -+--()()2121x y x y éùéù=-+--ëûëû2(2)1x y =--22441x xy y =-+-．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．11．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．（1）对于等式()()22232a b a b a ab b ++=++，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_____，宽为_____，用长乘以宽可求得其面积，同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？方法1（从整体角度）：_________；方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________；数学等式：______________________．（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知7a b c ++=，22219a b c ++=，求ab bc ac ++的值．【答案】（1）（a +2b ），（a +b ）；（2）（a +b +c ）2，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（3）15【分析】（1）根据图形直接得出长为（a +2b ），宽为（a +b ）；（2）整体上是一个边长为（a +b +c ）的正方形，各个部分的面积和为a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，可得等式；（3）将（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，变形为（a +b +c ）2-a 2-b 2-c 2=2ab +2bc +2ac ，再整体代入求值即可．【详解】解：（1）由图形直观得出，长为：（a +2b ），宽为（a +b ），故答案为：（a +2b ），（a +b ）；（2）方法1（从整体角度）：（a +b +c ）2，方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，因此有数学等式：（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（3）由（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 得，2ab +2bc +2ac =（a +b +c ）2-（a 2+b 2+c 2），∵a +b +c =7，a 2+b 2+c 2=19，∴2ab +2bc +2ac =49-19=30，∴ab +bc +ac =15．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提．12．某公园对一个边长为a （a ＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？（3）如果正方形的花坛边长是a 米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．【答案】（1）小明的说法不对，理由见解析；（2）向东扩展54米；（3）2a a 1-【分析】（1）理由平方差公式求出小明所得的图形面积，与原图形面积相比较即可得到答案；（2）设向东扩展x 米，根据题意得方程2(51)(5)5x -+=，解方程即可；（3）利用长方形的面积公式计算即可【详解】解：（1）小明的说法不对，理由如下：由题意得：22(1)(1)1a a a a -+=-<，∴小明的说法不对；（2）设向东扩展x 米，由题意得2(51)(5)5x -+=，解得x =54，答：向东扩展54米；（3）改造后长方形的长为2a a 1-【点睛】此题考查了平方差计算公式与图形面积，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键13．对于实数a ，b ，c 定义一种新运算，规定22(,,)2F a b c a b c=++例如：22(1,2,3)122311F =++´=（1）求(2,3,1)F ；（2）如图，在矩形ABFG 和矩形BCDE 中，2AB x =，4AG x =，2BC y =，CD y =，若25x y +=，22(3,3,4)40F x y x y x y +---=．连接AF 和AD ，求图中阴影部分的面积；（3）若,2,2)2F y xy -=-，求x y +的值．【答案】（1）15；（2）754；（3【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可；（2）根据新定义运算法则列出方程，得到22420x y +=，运用完全平方公式可得54xy =，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得；（3）根据新定义运算法则列出方程，配方得22(2)(0x y x -+=，根据非负数性质可得．【详解】（1）(2,3,1)F =22221531++´=故答案为：15（2）22(3,3,4)40F x y x y x y +---=Q 2222(3)(3)2(4)0x y x y x y ++-+--=22420x y \+=又25x y +=Q 2(2)25x y +=224425x xy y ++=54xy \=22118224(22)22S x y x x y x y =+-××-+阴224S x y xy=+-阴754S =阴（3）,2,2)2F y xy -=-222442x y xy +--=-222440x xy y x -++-=22(2)(0x y x -+=x =，y =x y +=【点睛】考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键．14．现定义运算，对于任意有理数a ，b ，都有()(),()().a b a a b b a b a b b a b a a b Ä=+-£ìíÄ=+->î如：232(23)37Ä=´+-=，522(52)59Ä=´+-=．（1）若(2)(3)x x x x Ä+>Ä-，求x 的取值范围；（2）有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，计算：[]()(2)()(22)a b b b a a b -Ä--Ä-．【答案】（1）x 的取值范围是1x >；（2）2234a b b ab a ---+-.【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可，（2）在理解新定义运算()(),()().a b a a b b a b a b b a b a a b Ä=+-£ìíÄ=+->î的意义和转换方法，然后类推计算即可．【详解】解：（1）∵x <x +2，x >x -3，∴22(2)(22)(2)22222x x x x x x x x x x Ä+=+-+=+--=+-，2(3)(3)(23)2109x x x x x x x Ä-=---=-+．∵(2)(3)x x x x Ä+>Ä-，∴22222109x x x x +->-+．∴1111x >．∴1x >．x 的取值范围是1x >．（2）∵a -b <0，2b >0，b -a >0，2a -2b <0，∴a -b <2b ，b -a >2a -2b ．[]()(2)()(22)a b b b a a b -Ä--Ä-[]()(2)2(22)(22)()a b a b b b a b b a a b b a =--+----+---[]()()2(22)()a b a b b a b a b b a =-+-----+22222242a b b a ab b b a éù=----+-+ëû22222242a b b a ab b b a=---+-+-2234a b b ab a =---+-.【点睛】此题主要考查了整式的四则运算以及新定义运算的意义，理解新定义的运算方法是正确解答的前提．15．如图1，用4个相同边长是x 、y 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x y -值为__________；则x y +的值为__________；（2）若小长方形两边长为9m -和4m -，则大正方形的边长为___________；若满足(9)(4)4m m --=，则22(9)(4)m m -+-的值为__________；（3）如图2，正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a ，b ，c 三边的数量关系，并说明理由．【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3）222+=a b c ，理由见解析【分析】（1）大正方形的边长为x +y ，小正方的边长为x -y ，由面积可求出正方形的边长；（2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可；（3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论．【详解】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，∴()236x y +=，()24x y -=，又∵0x y >>，∴6x y +=，2x y -=，故答案为：2，6；（2）大正方形的边长为945x y m m +=-+-=，∵(9)(4)4m m --=，∴[]2222(9)(4)(9)(4)2(9)(4)5817m m m m m m -+-=-+----=-=，故答案为：5，17；（3）a ，b ，c 三边的数量关系为222+=a b c ．理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为-a b ，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，221()42a b ab c -+´=，即222+=a b c ．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提.16．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图所示的正方形．（1）①请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：；方法2： ．②以上结果可以验证的乘法公式是 ．（2）根据上面的结论计算：①已知m ＋n ＝5，2211m n +=，求mn 的值．②已知（2019−m ）（2020−m ）＝1010，求()()222020--2019m m +的值．【答案】（1）①22a b +，()2-2a b ab +；②22a b +＝()2-2a b ab +；（2）①7；②2021【分析】(1)①方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分别求出面积然后进行计算即可；②根据完全平方公式可以很容易得出答案；(2)①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案；②根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案.【详解】解：（1）①方法一：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和∴22S a b =+阴影方法二：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积∴()()222S a b ab ab a b ab=+--=+-阴影②∵()22222-222a b ab a b ab ab a b +=++-=+∴()222-2a b ab a b +=+即验证的乘法公式为()222-2a b ab a b +=+（2）①∵m ＋n ＝5∴()225m n +=∵2211m n +=∴()()222-225-1114m n m n mn ++===∴mn ＝7②∵（2019−m ）（2020−m ）＝1010，∴()()()()()2222020--10192020--2019-22020--2019m m m m m m +=+()()2122020-2019-m m =+1210102021=+´=【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关公式.17．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>=猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +³a b =时等号成立）．猜想证明：∵20³∴①0=，即a b =时，0a b -+=，∴a b +=②0¹，即a b ¹时，0a b ->，∴a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +³a b =时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？【答案】（1）1x =，函数y 的最小值为2；（2）4x =，函数y 的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为1333y x x =+-+-，再根据材料中方法计算即可；拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：∵0x >，∴10x>，∴12y x x =+³=，∴当1x x=时，min 2y =，此时21x =，只取1x =，即1x =时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵3x >，∴30x ->，103x >-，∴133353y x x =+-+³=-，∴当133x x =--时，min 5y =，此时()231x -=，∴14x =，22x =（舍去），即4x =时，函数y 的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得：91263x y +=，即3421x y +=，∵30x >，40y >，∴34x y +³，即21≥，整理得：14716xy ≤，即14716S ≤，∴当34x y =时max 14716S =，此时72x =，218y =，即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米．【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．18．有些同学会想当然地认为333()x y x y -=-．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算3()x y -；（3）直接写出当x 、y 满足什么条件，该式成立．【答案】（1）见解析；（2）33222()33x y x x y xy y -=-+-；（3）x y=【分析】（1）选一组使等式不成立的x 、y 值即可；（2）利用多项式乘以多项式的运算法则进行推导计算即可；（3）将x=y 代入等式中即可解答．【详解】解：（1）令2x =，1y = ，（反例不唯一）∵ 3()1x y -=，337x y -=， 17¹，∴该等式不一定成立；（2）3()x y -= 2()()y y x x ×--=22(2)()x xy y x y -+×-=322233x x y xy y -+-，即33222()33x y x x y xy y -=-+-（3）将x y =代入333()x y x y -=-中，得： 3()0x y -=，33330x y x x -==-，0=0，∴当x 、y 满足x=y 时，该式成立．【点睛】本题考查整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握整式的混合运算是解答的关键．19．计算：（1）8x 2y 2÷2y 2；（2）（﹣2a 2）3+4a 5•a ；（3）（x +2y ）2﹣2y （2x +y ）；（4）249922a a a a a --æö-¸ç÷--èø；（5）2323222221a a a a a a a a a a ++¸--+--；（6）23221x xy y x y x y x y æöæö--+¸-ç÷ç÷++èøèø．【答案】（1）4x 2；（2）-4a 6；（3）x 2+2y 2；（4）33a a -+；（5）21a ；（6）y x -．【分析】（1）根据单项式除以单项式可以解答本题；（2）根据积的乘方、单项式乘单项式和合并同类项可以解答本题；（3）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；（4）根据分式的减法和除法可以解答本题；（5）根据分式的除法和减法可以解答本题；（6）根据分式的减法和除法可以解答本题．【详解】解：（1）8x 2y 2÷2y 2=4x 2；（2）(-2a 2)3+4a 5•a=(-8a 6)+4a 6=-4a 6；（3）(x +2y )2-2y (2x +y )=x 2+4xy +4y 2-4xy -2y 2=x 2+2y 2；（4）2499(22a a a a a ---¸--(2)(49)22(3)(3)a a a a a a a ----=×-+-2249(3)(3)a a a a a --+=+-2(3)(3)(3)a a a -=+-33a a -=+；（5）2323222221a a a a a a a a a a ++¸--+--22(1)(1)(1)2(1)(1)(1)a a a a a a a a a a ++-=×--+-212(1)(1)a a a a a +=---212(1)a a a a +-=-21(1)a a a -=-21a =；（6）23221x xy y x y x y x y æöæö--+¸-ç÷ç÷++èøèø23(2)()2()x xy x y x y y x y x y x y---+-+=¸++2223222x xy x xy xy y x y x y y x y---+++=×+--222x xy y y x-+=-2()y x y x-=-y x =-．【点睛】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．长方形ABCD 和正方形CEFH ，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等（其中点D 在EC 上，点B 在CH 的延长线上，AD 和FH 相交于点G ），正方形CEFH 的边长为m ，长方形ABCD 的宽为x ，长为y （x ＜m ＜y ）．（1）写出x ，y ，m 之间的等量关系；（2）若长方形ABHG 的周长记作C 1，长方形DEFG 的周长记作C 2．①求C 1＋C 2的值（用含y 、m 的代数式表示）；②若关于y 的不等式C 1＋C 2＜10-2m 的正整数解只有2个，求m 的取值范围；（3）若长方形ABHG 的面积记作S 1，长方形DEFG 的面积记作S 2，试比较2S 2与S 1的大小，并说明理由．【答案】（1）2x +y =3m ；（2）①2m +2y ；②1≤m <32；（3）2S 2>S 1【分析】（1）根据长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等列式求解即可；（2）①把长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相加整理即可；②根据C 1＋C 2＜10＋2m 列式求解；（3）分别表示出S 1，S 2，然后用作差法比较；【详解】解：（1）长方形ABHG 的周长=2x +2(y -m )=2x +2y -2m ，长方形DEFG 的周长=2m +2(m -x )=4m -2x ，∵长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等，∴2x+2y-2m=4m-2x，∴2x+y=3m；（2）①C1＋C2=2x+2y-2m+4m-2x=2m+2y；②由C1＋C2＜10-2m，得2m+2y＜10-2m，∴y<5-2m，∵C1＋C2＜10-2m的正整数解只有2个，∴2<5-2m≤3，∴1≤m<32；（3）∵S1=x(y-m)=xy-xm，S2=m(m-x)=m2-mx，∴2S2-S1= 2m2-2mx- xy+xm，∵2x+y=3m∴y=3m-2x∴2S2-S1=2m2-2mx- x(3m-2x)+xm=2m2-4mx+2x2=2(m-x)2，∵x＜m＜y，∴2(m-x)2>0，∴2S2>S1．【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，解一元一次不等式，根据题意正确列出算式是解答本题的关键．21．若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”．（1）100 “方和数”，110 “方和数”；（填写“是”或“不是”）（2）以下两个判断，正确选项的序号是 ．①两个“方和数”的和是“方和数”；②两个“方和数”的积是“方和数”．【答案】（1）是，不是；（2）②【分析】（1）根据“方和数”的概念计算求解；（2）①举反例进行分析说明；②根据方和数的概念，结合完全平方公式进行计算求解．【详解】解：（1）100=36+64=62+82，∴100是“方和数”，110不能写成两个正整数的平方和的形式，∴110不是“方和数”，故答案为：是，不是；（2）①两个“方和数”的和不一定是“方和数”，比如：2=12+12，13=22+32，∴2和13都是“方和数”，但2+13=15，而15不能写成两个正整数的平方和的性质，∴15不是“方和数”，故①错误；②设两个方和数分别为m ，n ，设m =a 2+b 2，n =c 2+d 2（a ，b ，c ，d 均为正整数），∴mn =（a 2+b 2）（c 2+d 2）=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2+2abcd -2abcd=（ac +bd ）2+（ad +bc ）2，∴mn 是“方和数”，故②正确，故答案为：②．【点睛】本题属于新定义题目，考查有理数的乘方运算，理解题意，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．22．通过课堂的学习知道，我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如()22223214(1)4x x x x x +-=++-=+-，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为222462(1)8x x x +-=+-，可知当1x =-时，2246x x +-的最小值是8-．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：（1）因式分解：268x x ++；（2）已知a 是任何实数，若(23)M a =-(31)a -，3222N a a æö=--ç÷èø，通过计算判断M 、N的大小关系；（3）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为8米．设与墙壁垂直的一边长为x 米，①试用x 的代数式表示菜园的面积；②求出当x 取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？【答案】（1）()()42x x ++；（2）M ＞N ；（3）①2220x x -+；②当x =6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据平方差公式进行因式分解；（2）计算M -N 并配方，根据结果判断即可；（3）①根据长方形的面积公式计算即可；②将①中结果进行配方，根据结果利用非负数的性质．【详解】解：（1）2268691x x x x ++=++-=()231x +-=()()3131x x +++-=()()42x x ++；（2）M -N =()()32331222a a a a éùæö-----ç÷êúèøëû=()()32331222a a a a æö----+ç÷èø=226293232a a a a a --+-++=2485a a -+=()242145a a -+-+=()2411a -+＞0，∴M ＞N ；（3）①由题意可得：菜园的面积=()202x x -=2220x x -+；②由题意可得：0＜20-2x ≤8，解得：6≤x ＜10，2220x x -+=()2210x x --=()22102550x x --++=()22550x --+，∴当x =6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．23．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G ．Fubini ）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．（教材片段）：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是()2a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：()2222a b a ab b +=++．（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 表示）（2）利用上面结论解决问题：若6,2x y xy +==，则()2x y -=__________；（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 、c 表示）（4）利用上面结论解决问题：已知7,14a b c ab bc ac ++=++=，则222a b c ++=__________；（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c 的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a 、b 、c 表示）（6）若221,2,1a n b n c n =-==+，请通过计算说明a 、b 、c 满足上面结论．【答案】（1）()()224b a b a ab +=-+；（2）28；（3）()2222222a b c a b c ac ab bc ++=+++++；（4）21；（5）222+=a b c ；（6）见解析【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（2）由（1）得到()()224x y x x y y +=-+，再将已知等式代入计算即可；（3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可；（5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（6）分别计算出2a ，2b ，2c ，根据整式的混合运算法则可得结论．【详解】解：（1）大正方形整体表示面积为：()2a b +，大正方形部分和表示面积为：()24b a ab -+，∴由此可得等式为：()()224b a b a ab +=-+；（2）由（1）可得：()()224x y x x y y +=-+，∴x +y =6，xy =2，∴()22642x y =-+´，∴()236828x y -=-=；（3）大正方形面积整体表示为：()2a b c ++，大正方形面积部分和表示为：222222a b c ac ab bc +++++，故由此可得公式为：()2222222a b c a b c ac ab bc ++=+++++；（4）∵a +b +c =7，ab +bc +ac =14，∴由（3）可得：22227214a b c =+++´，∴222492821a b c ++=-=；（5）由题可得：大正方形面积整体表示为：()2a b +，大正方形面积部分和表示为：221422c ab c ab +´=+，∴()222a b c ab +=+，∴222+=a b c ；（6）∵21a n =-，2b n =，21c n =+，∴()22242121a n n n =-=-+，()22224b n n ==，()22242121c n n n =+=++，∴2242242221421a b n n n n n c +=-++=++=，∴222+=a b c ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用．24．同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？（苏科版教材P75页）计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是2()a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：222()2a b a ab b +=++．（类比探究（1））：如图2，正方形ABCD 是由四个边长分别是a ，b 的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是_______（用a ，b 表示）（应用探索结果解决问题）：已知：两数x ，y 满足7x y +=，6xy =，求x y -的值．（类比探究（2））：如图3，正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是_________．（用a ，b ，c 表示，结果尽可能化简）（应用探索结果解决问题）：正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当22103,3a xb y ==时，4c =；当232a x =，22b y =时，3c =，求x ，y 的值．【答案】[类比探究（1）]：22()()4a b a b ab +=-+，±5；[类比探究（2）]：222+=a b c ；[应用探索结果解决问题]：23x y =ìí=î．【分析】[类比探究（1）]根据正方形ABCD 的面积2()a b =+，正方形ABCD 的面积2()4a b ab -+，即可得出22()()4a b a b ab +=-+；据此可得x y -的值．[类比探究（2）]根据正方形ABCD 的面积2c =，正方形ABCD 的面积21()42a b ab -+´，即可得出222+=a b c ；[应用探索结果解决问题]根据222+=a b c 可得关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值．【详解】解：（1）如图2，正方形ABCD 的面积2()a b =+，正方形ABCD 的面积2()4a b ab -+，22()()4a b a b ab \+=-+；22()()4x y x y xy +=-+Q ，且7x y +=，6xy =，249()24x y \=-+，即2()25x y -=，x y \-的值为5±；（2）如图3，正方形ABCD 的面积2c =，正方形ABCD 的面积21()42a b ab -+´，221()42c a b ab \=-+´，即222+=a b c ，Q 当23a x =，2103b y =时，4c =；当232a x =，22b y =时，3c =，\1031633292x y x y ì+=ïïíï+=ïî，解得23x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及解二元一次方程组，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2．解题时注意数形结合思想的运用．25．（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a 2－b 2，图2中阴影部分面积可表示为(a +b )(a -b )，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a 2－b 2=(a +b )(a －b )；（拓展探究）图3是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1： ，方法2： ；（2）由(1)可得到一个关于（a +b ）2、（a －b ）2、ab 的的等量关系式是 ；（3）若a +b ＝10，ab ＝5，则（a －b ）2＝ ；（知识迁移）（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根。
人教版八年级数学上册乘法公式(含答案)
14.2乘法公式专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（）A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2 2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)43．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A．（a+b）（a－b）=a2－b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．（a+b）2=a2+ab+b25．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）A．a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？状元笔记【知识要点】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．参考答案:1．D 解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D错误．2．A 解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B．5．C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）2和b2，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故选C．6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．。
人教版八年级上册数学 14.2乘法公式 同步练习
人教版八年级上册数学14.2乘法公式同步练习第1课时平方差公式1.若x²−y²=4,则x+y²x−y²的值是()A.4B.8C.16D.642.下列多项式相乘不能用平方差公式计算的是()A.(4x-3y)(3y-4x)B.(-4x+3y)(-4x-3y)C.(3y+2x)(2x-3y)D.−14x+2y+2y3.已知(x+2)(x--2)--2x=1,则2x²−4x+3的值为()A.13B.8C.--3D.54.若a=2022º,b=2021×2023-2022²,c=−×,则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a5.计算:x+1x−1x²+1=.6.已知a--b=2,则a²−b²−4a的值为7.运用平方差公式计算：(1)9.9×10.1(2)(5ab-3xy)(-3xy-5ab)（3）31×29(4)(3m-2n)(-3m-2n)8.如图,大正方形ABCF与小正方形EBDH的面积之差是40，则涂色部分的面积是()A.20B.30C.40D.609.若(3a+3b+1)(3a+3b--1)=899,则a+b=.10.[3−1×3+1×32+1×34+1×⋯×3³²+1+1]÷3的个位上的数字为.11.如果a，b为有理数，那么2a²−a−b(a+b)-[(2-a)(a+2)+(-b-2)(2-b)]的结果与b的值有关吗?12.先化简,再求值:(a+2b)(a—2b)—(--2a+3b)(-2a-3b)+(--a-b)(b-a),其中a=2,b=3.13.阅读材料:乐乐遇到一个问题：计算(2+1)×2²+1×2⁴+1.经过观察，乐乐答案讲解发现如果将原式进行适当变形后，可以出现特殊的结构，进而可以运用平方差公式解决问题，具体解法如下：2+1×2²+1×2⁴+1=2−1×2+1×2²+1×2⁴+1=2²−1×2²+1×2⁴+1=2¹−1×2⁴+1=2⁸−1.根据乐乐解决问题的方法，请你试着计算下列各题：12+1×2²+1×2⁴+1×2⁸+1×2¹⁶+1.23+1×3²+1×3⁴+1×3⁸+1×3¹⁶+1.14.(1)将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为(2)运用你所得到的乘法公式，完成题目：①若x²−9y²=12,x+3y=4,求x-3y的值.②计算:103×97.(3)计算:1−×1−×1−×⋯×1×1−.第2课时完全平方公式1.下列关于104²的计算方法中，正确的是()A.104²=100²+4²B.104²=100+4×100−4C.104²=100²+100×4+4²D.104²=100²+2×100×4+4²2.我们在学习许多公式时，可以用几何图形来推理和验证.观察下列图形，可以推出公式a−b²=a²−2ab+b²的是()3.若x=y+3,xy=4,则.x²−3xy+y²的值为4.已知x²−2x−2=0,则x−1²+2021=5.运用乘法公式计算：1.x+3x−3x²−92.−x−5²−2x+3²3.1+12x21−12x26.已知3a−b=5,9a²−7ab+b²=14,则ab的值为()A.1B.2C.9D.117.已知长方形的长和宽分别为a和b，长方形的周长和面积分别为20和24，则a²+b²的结果为()A.64B.52C.48D.448.已知a，b满足等式x=3a²−2a+4,y=2a²+4a--5,则x,y的大小关系是()A.x=yB.x>yC.x<yD.x≥y9.先化简，再求值：[4xy−1²−xy+2(2−xy)]÷xy,其中x=2,y=-0.3.10.已知2024−x²+x−2023²=9,则(2024-x)(x-2023)的值为.11.已知x+1x=3,求下列各式的值：1x4+1x4.2x.12.如图，将一块大长方形铁皮切割成九块(虚线代表切痕)，其中两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是(第10题)长、宽分别为m，n的小长方形，且m>n，切痕的总长为42，每块小长方形的面积为9，则(m-n)²的值为.13.如图①,有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.(1)如图②,用1张A型卡片,2张答案讲解B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，利用两种方法计算这个长方形的面积，可以得到一个等式：(2)选取1张A型卡片,8张C型卡片,张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为.(3)如图③，正方形的边长分别为m，n，m+2n=10,mn=12,求涂色部分的面积.完全平方公式经过适当的变形，可以用来解决很多数学问题.14.例如:若a+b=3,ab=1,求a²+b²的值.解:∵a+b=3,ab=1,∴a+b²=9,2ab=2.∴a²+b²+2ab=9.∴a²+b²=7.根据上面的解题思路与方法，还可以解决下面的几何问题：如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形ACDE与正方形BCFG.设AB=8，两个正方形的面积和为40,求△AFC的面积.。
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步训练题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十四章乘法公式》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列多项式，能用平方差公式分解的是（）A．−x2−4y2B．9x2+4y2C．−x2+4y2D．x2+(−2y)2 2．当m为自然数时，(4m+5)2−9一定能被下列哪个数整除（）A．5B．6C．7D．83．如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（）A．x(x+4)=x2+4x B．(x+2)(x−2)=x2−4C．(x+2)2=x2+4x+4D．(x+4)(x−4)=x2−164．计算：52a×10012−52a×9992=（）A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a5．已知x−y=3，xy=2则(x+y)2的值等于（）A．12 B．13 C．14 D．176．设a=√7−1，则3a3+12a2−6a−12=（）A．24 B．25 C．4√7+10D．4√7+127．如图有三种不同的纸片，现选取4张拼成了图甲，你能根据面积关系得到下列等式成立的是（）A．a(a+b)=a2+ab B．a2−b2=(a+b)(a−b)C．(a−b)2=a2−2ab+b2D．(a+b)2=a2+2ab+b28．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．计算982−99×97=．10．若a≠b，且a2﹣a＝b2﹣b，则a+b＝．11．若x2−y2=16，x+y=8，则x-y= ．12．若a+b=8，ab=−5则(a−b)2＝.13．若x2+2(m+3)x+9是关于x的完全平方式，则m=．三、解答题14．化简：(2m−n)2+(m+n)(m−n).15．用简便方法计算：2022+20222−2023216．已知a、b、c是三边ΔABC的长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ΔABC三边的长.17．如图，有一位狡猾的地主，把一块边长为a的正方形的土地，租给李老汉种植，他对李老汉说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”.李老汉一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了.同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？请说明理由.18．当a、b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．参考答案1．C2．D3．B4．D5．D6．A7．D8．D9．110．111．212．8413．0或-614．解：(2m−n)2+(m+n)(m−n)=4m2−4mn+n2+m2−n2=5m2−4mn.15．解：原式=2022+（2022+2023）（2022-2023）=2022+（2022+2023）×（-1）=2022-2022-2023=-2023．16．∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0即：(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0∴a−3=0，b−4=0，c−5=0∴a=3，b=4，c=5 .17．解：赵老汉吃亏了.∵a2-（a+4）（a-4）=a2-（a2-16）=16∴与原来相比，赵老汉的土地面积减少了16米2 即赵老汉吃亏了.18．解：a2＋b2－4a＋6b＋18＝a2－4a＋b2＋6b＋18＝a2－4a＋4＋b2＋6b＋9＋5＝(a－2)2＋(b＋3)2＋5∵(a－2)2≥0，(b＋3)2≥0∴当a－2＝0，b＋3＝0即a＝2，b＝－3时，原式有最小值，最小值为5.。
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》练习题附答案-人教版
八年级数学上册《第十四章乘法公式》练习题附答案-人教版一、选择题1.下列计算中，能用平方差公式计算的是( )A.(x＋3)(x﹣2)B.(﹣1﹣3x)(1＋3x)C.(a2＋b)(a2﹣b)D.(3x＋2)(2x﹣3)2.下列运算正确的是( )A.a2•a3=a6B.(a2)3=a5C.2a2+3a2=5a6D.(a+2b)(a﹣2b)=a2﹣4b23.计算(﹣2a﹣3b)(2a﹣3b)的结果为( )A.9b2﹣4a2B.4a2﹣9b2C.﹣4a2﹣12ab﹣9b2D.﹣4a2+12ab﹣9b24.已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是( )A.-3B.3C.-9D.95.计算(x-1)(-x-1)的结果是( )A.﹣x2+1B.x2﹣1C.﹣x2﹣1D.x2+16.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2.这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图2中Ⅱ部分的面积是( )A.60B.100C.125D.1507.下面是一位同学做的四道题：①(a＋b)2＝a2＋b2，②(﹣2a2)2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3·a4＝a12其中做对的一道题的序号是( )A.①B.②C.③D.④8.若4x2＋kx＋25＝(2x＋a)2，则k＋a的值可以是( )A.﹣25B.﹣15C.15D.209.已知x2＋4y2＝13，xy＝3，求x＋2y的值.这个问题我们可以用边长分别为x与y的两种正方形组成一个图形来解决，其中x＞y，能较为简单地解决这个问题的图形是( )10.已知(x﹣2 025)2＋(x﹣2 027)2＝34，则(x﹣2 026)2的值是( )A.4B.8C.12D.16二、填空题11.化简：(x+1)(x﹣1)+1= .12.若m+n=2，mn=1，则m2+n2= .13.计算：9982= .14.如果x2+mx+1=(x+n)2，且m>0，则n的值是 .15.在我们所学的课本中，多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示.例如，(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图(1)来表示.请你根据此方法写出图(2)中图形的面积所表示的代数恒等式： .16.已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2－6a－4b＋13=0，则c为三、解答题17.化简：(2a﹣3b)(﹣3b﹣2a)18.化简：(2x+y﹣3)(2x﹣y﹣3).19.化简：(x＋5)(x﹣1)＋(x﹣2)2.20.化简：(2x＋3y)2-(4x-9y)(4x＋9y)＋(3x-2y)2.21.已知2a2+3a﹣6=0.求代数式3a(2a+1)﹣(2a+1)(2a﹣1)的值.22.已知x+y=5，xy=1.(1)求x2+y2的值.(2)求(x﹣y)2的值.23.如图，郑某把一块边长为a m的正方形的土地租给李某种植，他对李某说：“我把你这块地的一边减少5 m，另一边增加5 m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”.李某一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了.同学们，你们觉得李某有没有吃亏？请说明理由.24.对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号(a，b)⊙(c，d)=ad－bc.例如：(1，3)⊙(2，4)=1×4－2×3=－2.(1)(－2，3)⊙(4，5)=________；(2)求(3a＋1，a－2)⊙(a＋2，a－3)的值，其中a2－4a＋1=0.25.南宋杰出的数学家杨辉，杭州人，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称杨辉三角.(1)请看杨辉三角，根据规律在横线上填上第八行数：(2)观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关：(a+b)0=1(a+b)=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…根据前面各式的规律，则(a+b)6=(3)请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是.参考答案1.C2.D3.A4.D5.A6.B7.C8.A9.B.10.D.11.答案为：x2.12.答案为：213.答案为：99600414.答案为：1.15.答案为：(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2.16.答案为：2或3或4.17.解：原式(2a﹣3b)(﹣3b﹣2a)=﹣6ab﹣4a2+9b2+6ab=﹣4a2+9b218.解：原式=4x2﹣12x+9﹣y2.19.解：原式＝2x2﹣1.20.解：原式=-3x2＋94y221.解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7.22.解：(1)∵x+y=5，xy=1∴原式=(x+y)2﹣2xy=25﹣2=23；(2)∵x+y=5，xy=1∴原式=(x+y)2﹣4xy=25﹣4=21.23.解：李某吃亏了.理由如下：∵(a+5)(a-5)=a2-25＜a2∴李某少种了25 m2地，李某吃亏了.24.解：(1)﹣22;(2)(3a＋1，a﹣2)⊙(a＋2，a﹣3)＝(3a＋1)(a﹣3)﹣(a﹣2)(a＋2) ＝3a2﹣9a＋a﹣3﹣(a2﹣4)＝3a2﹣9a＋a﹣3﹣a2＋4＝2a2﹣8a＋1.∵a2﹣4a＋1＝0∴2a2﹣8a＝﹣2∴(3a＋1，a﹣2)⊙(a＋2，a﹣3)＝﹣2＋1＝﹣1.25.解：(1)故答案为：1，7，21，35，35，21，7，1；(2)则(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；(3)依据规律可得到：(a+n)10的展开式的系数是杨辉三角第11行的数第3行第三个数为1第4行第三个数为3=1+2第5行第三个数为6=1+2+3 …第11行第三个数为：1+2+3+…+9=45.。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14-2乘法公式》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列各式计算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2D．（x+2）（x﹣1）＝x2﹣x﹣22．下列各式正确的是（）A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1B．（x+）2＝x2+x+C．（3m+n）2＝9m2+n2D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+13．下列等式成立的是（）A．（2+x）（x﹣2）＝x2﹣4B．（2x﹣y）（﹣2x+y）＝4x2﹣y2C．（3m+2n）（3m﹣2n）＝9m3﹣2n2D．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b24．若等式（3x+5）2（3x﹣5）2＝81x4﹣mx2+n2成立，则（）A．m＝﹣30，n＝5B．m＝﹣30，n＝﹣5或5C．m＝﹣450，n＝25或﹣25D．m＝450，n＝25或﹣255．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（）A．56B．60C．62D．886．若（3b+a）（）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a7．计算20212﹣2020×2022的结果是（）A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1 8．式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化简的结果为（）A．21024B．21024+1C．22048D．22048+19．如图1，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图2），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）10．如图，从边长为（a+5）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）cm2．A．a2+5a B．6a+21C．6a+14D．3a+2111．图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）A．mn B．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2二．填空题12．设N＝2（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣），则N的值为．13．已知x2﹣y2＝﹣5，则代数式（x+y）3•（x﹣y）3的值为．14．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，c＝82022×（﹣0.125）2023，则a，b，c的大小关系是（用“＞”连接）．15．已知4x2+mxy+16y2是完全平方式，则m＝．16．若多项式4x2﹣（k﹣1）x+9可以写成一个完全平方式，则k＝．三．解答题17．计算：4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）18．计算：．19．已知，求值：（1）（2）．20．对于任意四个实数a，b，c，d，可以组成两个实数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11．（1）若（3x，﹣3x）⊗（ky，y）是一个完全平方式，则常数k的值为；（2）若x+y＝6，且（2x+y，x2+y2）⊗（2，x﹣2y）＝60，求xy的值．21．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形并用A种纸片一张，B 种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．由图2，可得出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（1）根据上述方法，要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片张．（2）根据得出的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10，求（x﹣2021）2的值．22．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是；（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式；（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20212﹣2020×2022；②（2m+n+p）（2m+n﹣p）．参考答案一．选择题1．解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意；C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项符合题意；D、（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，故本选项不符合题意．故选：C．2．解：（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1，选项A错误；（x+）2＝x2+x+，B选项正确；（3m+n）2＝9m+6mn+n2，C选项错误；（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，选项D错误．故选：B．3．解：（2+x）（x﹣2）＝x2﹣4，故A成立，符合题意；（2x﹣y）（﹣2x+y）＝﹣4x2+4xy﹣y2，故B不成立，不符合题意；（3m+2n）（3m﹣2n）＝9m2﹣4n2，故C不成立，不符合题意；（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故D不成立，不符合题意；故选：A．4．解：由于（3x+5）2（3x﹣5）2＝81x4﹣mx2+n2，即[（3x+5）（3x﹣5）]2＝81x4﹣mx2+n2，也就是（9x2﹣25）2＝81x4﹣mx2+n2，所以81x4﹣450x2+625＝81x4﹣mx2+n2，即m＝450，n＝±25，故选：D．5．解：∵60＝162﹣142，∴60是“神秘数”，故选：B．6．解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），故选：D．7．解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故选：A．8．解：设S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（21024﹣1）（21024+1）＝22048﹣1，∴（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1＝S+1＝22048﹣1+1＝22048．故选：C．9．解：∵图形中阴影部分的面积可表示为a2﹣b2或＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．10．解：拼成矩形的长为a+2+a+5＝2a+7，宽为a+5﹣a﹣2＝3，所以面积为3（2a+7）＝6a+21，故选：B．11．解：方法一：图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn，图2的大正方形的面积＝（m+n）2，图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2．方法二：图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n），∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2．故选：C．二．填空题12．解：N＝2×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）……（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）＝2××××……××××＝，故答案为：．13．解：∵x2﹣y2＝﹣5，∴（x+y）（x﹣y）＝﹣5，∴（x+y）3•（x﹣y）3＝[（x+y）（x﹣y）]3＝﹣125，故答案为：﹣125．14．解：a＝20220＝1，b＝2021×2023﹣20222＝（2022﹣1）（2022+1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝82022×（﹣0.125）2023＝﹣0.125×（﹣0.125×8）2022＝﹣0.125，∵﹣1＜﹣0.125＜1，∴b＜c＜a．故答案为：b＜c＜a．15．解：∵4x2+mxy+16y2是完全平方式，∴mxy＝±2×2x×4y，∴m＝±16．故答案为：±16．16．解：由于（2x±3）2＝4x2±12x+9＝4x2﹣（k﹣1）x+9，则﹣（k﹣1）＝±12，解得：k＝13或﹣11．故答案为：13或﹣11．三．解答题17．解：原式＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29．18．解：原式＝x2﹣xy+y2﹣（x2﹣y2）（4分）＝﹣xy+y2．（2分）19．解：（1）∵x+﹣3＝0，∴x+＝3，∴＝（x+）2﹣2＝9﹣2＝7，即＝7；（2）由（1）知，＝7，∴（x﹣）2＝﹣2＝7﹣2＝5，∴x﹣＝±．20．解：（1）（3x，﹣3x）⊗（ky，y）＝（3x）2+y2﹣（﹣3x•ky）＝9x2+3kxy+y2．∵（3x，﹣3x）⊗（ky，y）是一个完全平方式，∴3kxy＝±6xy．∴k＝±2．（2）∵（2x+y，x2+y2）⊗（2，x﹣2y）＝60．（2x+y）2+（x﹣2y）2﹣2（x2+y2）＝60．∴x2+y2＝20．∵x+y＝6．∴（x+y）2＝36．∴x2+y2+2xy＝36∴2xy＝36﹣20＝16．∴xy＝8．21．解：（1）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．故答案为：3．（2）①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴2ab+14＝36，∴ab＝11；②（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10，∵[（x﹣2020）﹣（x﹣2022）]2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2﹣2（x﹣2020）（x﹣2022），∴4＝10﹣2（x﹣2020）（x﹣2022），∴2（x﹣2020）（x﹣2022）＝6，∵[（x﹣2020）+（x﹣2022）]2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2+2（x﹣2020）（x﹣2022），∴[2（x﹣2021）]2＝10+6＝16，即4（x﹣2021）2＝16，∴（x﹣2021）2＝4．22．解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）如图2，所拼成一个长方形，它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b），故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）（2）可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①原式＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）＝20212﹣20212+1＝1；②原式＝[（2m+n）+p][（2m+n）﹣p]＝（2m+n）2﹣p2＝4m2+4mn+n2﹣p2．。
初二上册数学乘法公式练习题
初二上册数学乘法公式练习题在初二上册的数学学习中，乘法公式是一个重要的内容。
乘法公式是指将两个或多个数相乘时使用的特定公式。
通过掌握乘法公式，我们能够更快、更准确地进行乘法计算。
本文将为大家提供一些乘法公式的练习题，帮助大家巩固乘法公式的运用。
练习题一：单项乘法公式运算1. 52 * 7 = ____。
答案：364。
2. 63 * 9 = ____。
答案：567。
3. 85 * 6 = ____。
答案：510。
4. 97 * 4 = ____。
答案：388。
5. 34 * 12 = ____。
答案：408。
练习题二：多项乘法公式运算1. (6 + 9) * 4 = ____。
答案：60。
2. (5 - 3) * (8 + 2) = ____。
答案：20。
3. (7 + 2) * (6 - 3) = ____。
答案：27。
4. (8 - 4) * (10 + 2) = ____。
答案：48。
5. (9 + 3) * (7 - 2) = ____。
答案：60。
练习题三：应用乘法公式解决实际问题1. 某书店每天卖出50本书，如果连续卖出7天，共卖出多少本书？答案：350本。
2. 某超市原价为每袋4.5元的大米进行促销，打8折后售价为多少？答案：3.6元。
3. 一包纸巾共有8包，每包纸巾有36张，共有多少张纸巾？答案：288张。
4. 一直线上有10个点，每两个点之间都有一段直线连接，共有多少段直线？答案：45段。
5. 小明在一周内每天早上跑步，每天跑5公里，共跑了多少公里？答案：35公里。
通过以上练习题，我们可以巩固数学乘法公式的运用。
通过反复练习，大家可以更加熟练地应用乘法公式解决实际问题。
希望大家能善于运用乘法公式，提高数学计算的准确性和效率。
人教版八年级数学上册《14.2 乘法公式》练习题-附参考答案
人教版八年级数学上册《14.2 乘法公式》练习题-附参考答案一、选择题1．下列不能用平方差公式计算的是（）A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x−y)C．(−x+y)(−x−y)D．(−x+y)(x+y)2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式（）A．(a−b)2=a2−2ab+b2B．a(a−b)=a2−abC．(a−b)2=a2−b2D．a2−b2=(a+b)(a−b)3．已知x2−16=(x−a)(x+a)，那么a等于（）A．4 B．2 C．16 D．±44．一个长方形的长为(2x+y)，宽为(y−2x)，则这个长方形的面积为（）.A．2x2−y2B．y2−2x2C．4x2−y2D．y2−4x25．下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．(a+2)(a−2)=a2−4C．(−3a2b)2=6a4b2D．(a−b)2=a2−b26．下列图形能够直观地解释(3b)2=9b2的是（）A． B． C． D．7．若a+b=5,ab=−1，则(a−b)2等于（）A．25 B．1 C．21 D．298．若a满足(a+2023)(a+2022)=5，则(a+2023)2+(a+2022)2=（）A．5 B．11 C．25 D．26二、填空题9．计算：(x−y)(y+x)=；10．计算： 20202−2019×2021= .11．若 x +y =−4 ， x −y =9 那么式子 x 2−y 2= .12．已知a+b=8，ab=c 2+16，则a+2b+3c 的值为 .13．如果ax 2+3x+ 12 ＝（3x+ 12 ）2+m ，则a ，m 的值分别是 ．三、解答题14．用乘法公式简算:（1）199×201（2）20132﹣2014×201215．计算： (1)()22()x y x xy y +-+ (2)22(35)(23)x x --+16．已知（x+y ）2＝1，（x ﹣y ）2＝49，求x 2+y 2与xy 的值．17．如图1所示，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： ， ；（只需表示，不必化简）；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？ ； （3）试利用这个公式计算：①；②； ③．参考答案1．B2．D3．D4．D5．B6．A7．D8．B9．x 2-y 2.10．111．-3612．1213．914．（1）解：原式=（200-1）×（200+1）=2002-12=40000-1=39999；（2）解：20132﹣（2013+1）×（2013-1）=20132-20132+1=1． 15．（1）解：原式322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+ ；（2）解：原式()22930254129x x x x =-+-++ 22930254129x x x x =-+---254216x x =-+．16．解：∵（x+y ）2＝x 2+y 2+2xy ＝1①，（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ＝49② ∴①+②得：2（x 2+y 2）＝50，即x 2+y 2＝25；①﹣②得：4xy ＝﹣48，即xy ＝﹣12．17．（1）；（2）(a+b)(a-b)=a2-b2（3）解：①原式②原式．③原式。
2022-2023学年八年级上数学：乘法公式(附答案解析)
C．（x﹣y）（﹣x﹣y）D．（m﹣n）（n﹣m）
5．下列计算结果中，正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（2a）3＝6a3
C．（a﹣7）2＝a2﹣49D．a7÷a6＝a．
二．填空题（共5小题）
6．如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：．
14．已知（a+b）2＝5，ab＝﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．
15．图①是一个长为m，宽为4n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，可得：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝；
（2）若m﹣n＝7，mn＝6，求（m+n）2的值．
【分析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
【解答】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
7．若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为．
8．计算：（x﹣3）（x+3）＝．
9．（x+1）2展开后等于x2+ax+1，其中a的值为．
10．如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：．
三．解答题（共5小题）
11．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14-2乘法公式》同步综合练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》同步综合练习题（附答案）一．选择题1．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（）A．1B．2C．3D．42．下列整式乘法能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（a﹣2b）B．（b﹣2a）（﹣2a﹣b）C．（2a+b）（﹣2a﹣b）D．（a﹣2b）（2b﹣a）3．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）4．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：＝（）A．B．C．1D．25．下列计算正确的是（）A．x4+x2＝x6B．x6÷x3＝x2C．（5m﹣n）（﹣5m﹣n）＝n2﹣25m2D．（﹣3xy）2＝6x2y26．已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（）A．6B．12C．24D．367．若代数式x2+kx+64是完全平方式，则k等于（）A．±16B．16C．±8D．88．下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a2•a3＝a5C．（﹣2a2）3＝8a6D．（a+b）2＝a2+b29．如果多项式x2+mx+16是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（）A．8B．+10C．8或﹣8D．﹣810．已知16x2+4（k﹣1）xy+9y2是完全平方式，则k的值为（）A．7B．﹣5C．±7D．7或﹣5二．填空题11．计算20192﹣2020×2018的值为．12．计算：＝．13．已知a2﹣b2＝8，a﹣b＝4，则2a+2b＝．14．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1…．则22022+22021+22020+…+22+2+1的结果为．15．计算（2+1）×（22+1）×（24+1）…（2128+1）+1＝．16．已知a+b＝6，ab＝﹣6，则a2+b2＝．17．若关于x的二次三项式x2﹣ax+是完全平方式，则a的值是．18．若a+b＝8，ab＝5，则a2+b2＝．19．已知x2+y2＝34，x﹣y＝2，则（x+y）2的值为．20．已知x+y＝2，xy＝﹣1，（x﹣y）2＝．三．解答题21．从乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2中，我们可以算出a+b、a2+b2与ab的数量关系，应用此关系解决下列数学问题．（1）若a+b＝8，ab＝15，求a2+b2的值；（2）若m满足（11﹣m）2+（m+9）2＝10，求（11﹣m）（m+9）的值．22．（1）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求代数式a2+b2的值；（2）已知3x＝4，9y＝7，求3x+2y的值．23．计算：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）．24．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是：（请选择正确的选项）；A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝；②计算：．参考答案一．选择题1．解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，∴原式＝（a+b）（a﹣b）＝3×1＝3．故选：C．2．解：A、（2a+b）（a﹣2b）不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；B、（b﹣2a）（﹣2a﹣b）＝（2a﹣b）（2a+b）＝4a2﹣b2，故此选项符合题意；C、（2a+b）（﹣2a﹣b）＝﹣（2a+b）2，故此选项不符合题意；D、（a﹣2b）（2b﹣a）＝﹣（a﹣2b）2，故此选项不符合题意．故选：B．3．解：∵左图阴影的面积是a2﹣b2，右图的阴影的面积是（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．4．解：原式＝2×（1﹣）×＝2×（1﹣）（1+）＝2×（1﹣）（1+）（1+）+＝2×（1﹣）（1+）+＝2×（1﹣）+＝2﹣+＝2，故选：D．5．解：A、x4与x2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．B、原式＝x3，故B不符合题意．C、原式＝﹣（5m﹣n）（5m+n）＝﹣25m2+n2，故C符合题意．D、原式＝9x2y2，故D不符合题意．故选：C．6．解：∵a+b＝6，∴a2﹣b2+12b＝（a+b）（a﹣b）+12b＝6（a﹣b）+12b＝6a﹣6b+12b＝6a+6b＝6（a+b）＝6×6＝36，故选：D．7．解：∵x2+kx+64＝x2+kx+82，∴kx＝±2×8x，解得k＝±16．故选：A．8．解：A、原式＝3a，原计算错误，故此选项不符合题意；B、原式＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；C、原式＝﹣8a6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、原式＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．9．解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，∴m＝±8．故选：C．10．解：∵16x2+4（k﹣1）xy+9y2是完全平方式，∴16x2+4（k﹣1）xy+9y2＝（4x±3y）2，即4（k﹣1）＝±24，解得k＝7或﹣5，故选：D．二．填空题11．解：原式＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1．故答案为：1．12．解：原式＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．13．解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，且a﹣b＝4，∴a+b＝2，∴2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4．故答案为：4．14．解：由题意得，（2﹣1）（22022+22021+22020+…+22+2+1）＝22023﹣1．故答案为：22023﹣1．15．解：原式＝（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）…（2128+1）+1＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1）…（2128+1）+1＝（24﹣1）×（24+1）…（2128+1）+1＝2256﹣1+1＝2256，故答案为：2256．16．解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，a+b＝6，ab＝﹣6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣2×（﹣6）＝48．故答案为：48．17．解：∵x2﹣ax+＝x2﹣ax+（）2，∴﹣a＝±2×＝±，∴a＝±，故答案为：±，18．解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，又∵a+b＝8，ab＝5，∴64＝a2+b2+10，∴a2+b2＝54，故答案为：54．19．解：把x﹣y＝2两边平方得：（x﹣y）2＝4，即x2﹣2xy+y2＝4，∵x2+y2＝34，∴2xy＝30，则（x+y）2＝x2+y2+2xy＝34+30＝64．故答案为：64．20．解：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时，原式＝22﹣4×（﹣1）＝4+4＝8．故答案为：8．三．解答题21．解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．（2）∵（11﹣m）2+（m+9）2＝10，∴[（11﹣m）+（m+9）]2﹣2（11﹣m）（m+9）＝10，即：400﹣2（11﹣m）（m+9）＝10．∴（11﹣m）（m+9）＝195．22．解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42；∴代数式a2+b2的值是42；（2）3x+2y＝3x•32y＝3x•9y＝4×7＝28．∴3x+2y的值是28．23．解：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣（9x2﹣y2）＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣9x2+y2＝7xy﹣y2．24．解：（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），由图1、图2的面积相等得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：D；（2）①∵9a2﹣b2＝36，∴（3a+b）（3a﹣b）＝36，又∵3a+b＝9，∴3a﹣b＝36÷9＝4，故答案为：4；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） (1)）（1+）＝××××××××…××＝×＝．。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14-2乘法公式》同步题型分类练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》同步题型分类练习题（附答案）一．完全平方公式1．下列运算正确的是（）A．（a+4）2＝a2+16B．a3•a4＝a12C．（﹣a）4＝﹣a4D．7x3﹣2x3＝5x32．已知x2+4x+4＝0，则x3的值等于（）A．8B．2C．﹣3D．﹣83．已知M＝（x+1）2+（2x+1）（2x﹣1），N＝4x（x+1），当x＝时，请比较M与N的大小．4．若a+2b＝7，ab＝6，则（a﹣2b）2的值是（）A．3B．2C．1D．05．（2a+b）2＝（2a﹣b）2+（）A．4ab B．﹣4ab C．8ab D．﹣8ab6．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值是（）A．2.5B．5C．10D．157．如果a﹣b＝2，a﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc等于（）A．B．C．D．不能确定8．已知a+＝3，则a2+的值是．9．已知a+b＝8，a2b2＝4，则﹣ab＝．10．若x2﹣4x﹣1＝（x+a）2﹣b，则|a﹣b|＝．11．若（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝4，则a2+b2＝．12．（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）请直接写出下列问题的答案：①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．二．完全平方公式的几何背景13．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a﹣b＝2，ab＝3，则图中阴影部分的面积是．14．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请根据拼图的原理，写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（2）根据（2）中等式，已知a+b＝9，ab＝8，求﹣b2+2ab﹣a2和b2﹣a2的值．三．完全平方式15．如果二次三项式x2﹣3x+a是一个完全平方式，那么常数a的值是．16．已知多项式x2+kx+1是一个关于x的完全平方式，则实数k＝．四．平方差公式17．下列计算正确的是（）A．6x5﹣2x2＝4x3B．（﹣2x3）2＝﹣4x6C．（﹣3x3）•（﹣x2）＝3x5D．（x﹣2）（﹣x+2）＝x2﹣418．已知a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝．19．已知a+b＝10，a﹣b＝8，则a2﹣b2＝．20．计算：20202﹣2019×2021＝．21．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（结果可用幂的形式表示）．22．怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）23．如果一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm2，求原正方形的边长．五．平方差公式的几何背景24．实践与探索：如图1，边长为a的大正方形里有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是：（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个等式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝．②计算：9（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）．25．如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2参考答案一．完全平方公式1．解：A、原式＝a2+8a+16，故A符合题意．B、原式＝a7，故B不符合题意．C、原式＝a4，故C不符合题意．D、原式＝5x3，故D符合题意．故选：D．2．解：∵x2+2x+4＝0，∴（x+2）2＝0，解得：x＝﹣2，∴x3＝（﹣2）3＝﹣8．故选：D．3．解：∵M＝（x+1）2+（2x+1）（2x﹣1），N＝4x（x+1），∴M﹣N＝（x+1）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1）＝x2+2x+1+4x2﹣1﹣4x2﹣4x＝x2﹣2x，∵x＝，∴x2﹣2x＝2﹣2＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N．4．解：（a﹣2b）2＝a2+4b2﹣4ab＝a2+4b2+4ab﹣8ab＝（a+2b）2﹣8ab，∵a+2b＝7，ab＝6，∴原式＝72﹣8×6＝49﹣48＝1．故选：C．5．解：∵（2a+b）2＝4a2+b2+4ab，（2a﹣b）2＝4a2+b2﹣4ab，∴（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．∴（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab．故选：C．6．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值是（）A．2.5B．5C．10D．15解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．故选：B．7．如果a﹣b＝2，a﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc等于（）A．B．C．D．不能确定解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，＝×（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc），＝×[（a2+b2﹣2ab）+（a2+c2﹣2ac）+（b2+c2﹣2bc）]，＝×[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a﹣b＝2，a﹣c＝，∴b﹣c＝﹣，∴原式＝×（4++）＝．故选：A．8．已知a+＝3，则a2+的值是7．解：∵a+＝3，∴a2+2+＝9，∴a2+＝9﹣2＝7．故答案为：7．9．已知a+b＝8，a2b2＝4，则﹣ab＝28或36．解：﹣ab＝﹣ab＝﹣ab﹣ab＝﹣2ab∵a2b2＝4，∴ab＝±2，①当a+b＝8，ab＝2时，﹣ab＝﹣2ab＝﹣2×2＝28，②当a+b＝8，ab＝﹣2时，﹣ab＝﹣2ab＝﹣2×（﹣2）＝36，故答案为28或36．10．解：∵（x+a）2﹣b＝x2+2ax+a2﹣b，∴2a＝﹣4，a2﹣b＝﹣1，解得a＝﹣2，b＝5，∴|a﹣b|＝|﹣2﹣5|＝7．故本题的答案是7．11．解：由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得，∵（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝4，∴＝＝6.5．故答案为：6.5．12．解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴82＝40+2xy，∴xy＝12．（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，∴2a﹣b＝＝±3；②（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．二．完全平方公式的几何背景13．解：S阴影＝S△BCD﹣S△BEF﹣S正方形CGEF＝＝＝＝＝；∵a﹣b＝2，ab＝3，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab（a+b）2＝4+12，（a+b）2＝16，∴a+b＝±4，∵a，b都是边长，∴a+b＝4．∴S阴影＝；＝﹣＝．故答案为：．14．解：（1）大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，阴影小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，而每个长方形的面积为mn，由S大正方形＝S小正方形+4S长方形可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（2）由（1）得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，即81＝（a﹣b）2+32，∴a﹣b＝±7．∴﹣b2+2ab﹣a2＝﹣（b2﹣2ab+a2）＝﹣（a﹣b）2＝﹣49，∴b2﹣a2＝（a+b）（b﹣a）＝9×（±7）＝±63．三．完全平方式15．解：∵（x﹣）2＝x2﹣3x+，∴a＝，故答案为：．16．解：∵多项式x2+kx+1是一个关于x的完全平方式，∴x2+kx+1＝（x±1）2＝x2±2x+1，∴k＝±2，故答案为：±2．四．平方差公式17．解：A、6x5与﹣2x2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．B、原式＝4x6，故B不符合题意．C、原式＝3x5，故C符合题意．D、原式＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，故D不符合题意．故选：C．18．解：因为a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．故答案为：2．19．已知a+b＝10，a﹣b＝8，则a2﹣b2＝80．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴a2﹣b2＝10×8＝80，故答案为：8020．计算：20202﹣2019×2021＝1．解：20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣20202+12＝1 故答案为：1．21．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝216﹣1（结果可用幂的形式表示）．解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（24﹣1）（24+1）（28+1），＝（28﹣1）（28+1），＝216﹣1．22．怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）解：（1）1232﹣124×122＝1232﹣（123+1）（123﹣1）＝1232﹣（1232﹣1）＝1232﹣1232+1＝1；（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）＝（4a2﹣b2）（4a2+b2）＝（4a2）2﹣（b2）2＝16a4﹣b4．23．如果一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm2，求原正方形的边长．解：设原正方形的边长为xcm，（x+2）2﹣x2＝24，解得：x＝5．答：原正方形的边长为5cm．五．平方差公式的几何背景24．解：（1）图1中阴影部分面积可以表示为a2﹣b2或（a+b）（a﹣b），故选：A；（2）①由（1）题结果可得，（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，∴2a﹣b＝（4a2﹣b2）÷（2a+b）＝24÷6＝4，故答案为：4，②∵9（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）＝（10﹣1）（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1），∴由（1）题结果可得，原式＝（102﹣1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）＝（104﹣1）（104+1）（108+1）（1016+1）……＝1032﹣1．25．解：总体大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，4个长方形的面积为4ab，根据各个部分面积之间的关系可得，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故选：B．。
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步练习题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：1．下列运算中，正确的是（ ） A ．336x x x ⋅= B ．235()x x = C ．232x x x ÷=D ．222()x y x y -=-2．设（a+b ）2=（a ﹣b ）2+A ，则A=（ ） A ．2ab B ．4ab C ．abD ．﹣4ab 3．若4a 2+kab+9b 2是完全平方式，则常数k 的值为（ ） A ．6 B ．12 C ．6±D ．12± 4．无论x ，y 取何值，多项式x 2+y 2-4x+6y+13的值总是（ ） A ．都是整数 B ．都是负数 C ．是零 D ．是非负数5．若()()22221135a b a b +++-=，则22a b +=（ ） A ．3B ．6C ．3±D ．6±6．我们把形如+b （a ，b +1型无理数，则2是（ ）A 型无理数B C D 型无理数7．已知： ()2(1)5a a a b ---=-. 求： 代数式 222a b ab +- 的值为（ ）A ．-5B ．5C ．252D ．258．如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，x ，y 表示四个相同长方形的两边长（x>y ），则①x-y=n ；②xy= 224m n - ；③x 2-y 2=mn ；④x 2+y 2= 222m n - 中，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③①D ．①②③①二、填空题：9．计算()()11a a +-的结果是 .10．多项式 2264x mx ++ 是完全平方式，则m= . 11．已知a+b=7，ab=6，则a 2+b 2的值为 ． 12．若 2111322a k a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则k= . 13．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b ）5= ． 三、解答题：14．计算：32)(32)x y c x y c -+++（ ．15．计算下列各题 （1）()222(2)x y xy -⋅-（2）24(1)(25)(25)x x x +-+-16．先化简，再求值： ()()()22235a b a b a b b +-+--， 其中 12a =- 和 2b = ．17．已知4m n -=和3mn =-． （1）计算：22m n +；（2）求()()2244m n --的值； （3）求28324m n m n +⋅÷的值．18．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，求a2+b2+c2的值．（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：（3a+b）（a+3b）＝3a2+10ab+3b2．参考答案：1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．a 2-1 10．±8 11．37 12．3413．1a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+1b 514．解：原式= ()()2323x c y x c y +-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ = ()()2223x c y +- = 222449x cx c y ++- . 15．（1）解： ()222(2)x yxy -⋅-42=4(2)x y xy ⋅- 53=8x y - ；（2）解： 24(1)(25)(25)x x x +-+-22=4(21)(425)x x x ++--22=484425x x x ++-+=829x + ．16．解：原式=a 2+4ab+4b 2﹣3a 2+ab ﹣3ab+b 2﹣5b 2 =﹣2a 2+2ab 当a 12=-，b=2时，原式 15222=--=-17．（1）解：4m n -= 3mn =-22m n ∴+ 2()2m n mn =-+()2423=+⨯- 166=- 10=；（2）解：()()2244m n --()222()416mn m n =-++当3mn =-，2210m n +=时 原式2(3)41016=--⨯+94016=-+ 15=-；（3）28324m n m n +⋅÷3522(2)(2)(2)m n m n +=⋅÷3524222m n m n +=⋅÷ 352422m n m n ++=÷ 35242m n m n +--= 2m n +=4m n -= 3mn =-2()m n ∴+ 2()4m n mn =-+()2443=+⨯- 1612=- 4=2m n ∴+=或2- 2m n +∴ 22=或22-4=或14．18．（1）（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc （2）解：∵a+b+c ＝13，ab+bc+ac ＝52 ∴（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2（ab+ac+bc ）即（13）2＝a 2+b 2+c 2+2×52 ∴a 2+b 2+c 2＝65（3）解：如图：。
人教版 八年级上册数学 14.2 乘法公式 同步课时训练(含答案) (2)
14.2 乘法公式同步训练一、选择题1. 计算(－a－b)2的结果是()A．a2＋b2B．a2＋2ab＋b2C．a2－b2D．a2－2ab＋b22. 将202×198变形正确的是()A．2002－4 B．2022－4C．2002＋2×200＋4 D．2002－2×200＋43. 若a2＋ab＋b2＝(a－b)2＋X，则整式X为()A．ab B．0 C．2ab D．3ab4. 化简(－2x－3)(3－2x)的结果是()A．4x2－9 B．9－4x2C．－4x2－9 D．4x2－6x＋95. 若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值分别为() A．2，3 B．2，－3C．－2，－3 D．－2，36. 将9.52变形正确的是()A．9.52＝92＋0.52 B．9.52＝(10＋0.5)×(10－0.5) C．9.52＝92＋9×0.5＋0.52 D．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52 7. 计算(x＋1)(x2＋1)·(x－1)的结果是()A．x4＋1 B．(x＋1)4C．x4－1 D．(x－1)48. 若(x＋a)2＝x2＋bx＋25，则()A．a＝3，b＝6B．a＝5，b＝5或a＝－5，b＝－10C．a＝5，b＝10D．a＝－5，b＝－10或a＝5，b＝109. 如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为()A.a2－4b2B.(a＋b)(a－b)C.(a＋2b)(a－b)D.(a＋b)(a－2b)10. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是()A .①②B .②③C .①③D .①②③二、填空题11. 如果(x ＋my )(x －my )＝x 2－9y 2，那么m ＝________．12. 填空：()22121453259x y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭13. 如果(x －ay )(x ＋ay )＝x 2－9y 2，那么a ＝ .14. 若x －y ＝6，xy ＝7，则x 2＋y 2的值等于________.15. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.ab ba16. 根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是____________________.三、解答题17. 计算：(41)(41)a a ---+18. 阅读材料后解决问题.小明遇到一个问题:计算(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1).经过观察，小明发现将原式进行适当的变形后，可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下:(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)＝(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)＝(22－1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)＝(24－1)×(24＋1)×(28＋1)＝(28－1)×(28＋1)＝216－1.请你根据小明解决问题的方法，试着解决下列问题:(1)计算:(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1);(2)计算:(3＋1)×(32＋1)×(34＋1)×(38＋1)×(316＋1);(3)化简:(m ＋n )(m 2＋n 2)(m 4＋n 4)(m 8＋n 8)(m 16＋n 16).19. 观察下列各式：(x－1)(x＋1)＝x2－1；(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；…(1)(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝________；(2)根据规律可得：(x－1)(x n－1＋…＋x＋1)＝________(其中n为正整数)；(3)计算：(3－1)(350＋349＋348＋…＋32＋3＋1)；(4)计算：(－2)2020＋(－2)2019＋(－2)2018＋…＋(－2)3＋(－2)2＋(－2)＋1.20. 认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应地，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，….下面我们依次对(a＋b)n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成如图所示的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”．仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)(a＋b)n展开式中共有多少项？(2)请写出多项式(a＋b)5的展开式．答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 原式＝(－a)2－2·(－a)·b＋b2＝a2＋2ab＋b2.2. 【答案】A[解析] 202×198＝(200＋2)×(200－2)＝2002－4.3. 【答案】D4. 【答案】A[解析] 原式＝(－2x－3)(－2x＋3)＝(－2x)2－32＝4x2－9.5. 【答案】C[解析] 因为(2x＋3y)(mx－ny)＝2mx2－2nxy＋3mxy－3ny2＝9y2－4x2，所以2m＝－4，－3n＝9，－2n＋3m＝0，解得m＝－2，n＝－3.6. 【答案】D[解析] 9.52＝(10－0.5)2＝102－2×10×0.5＋0.52.7. 【答案】C[解析] (x＋1)(x2＋1)(x－1)＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1.8. 【答案】D[解析] 因为(x＋a)2＝x2＋bx＋25，所以x 2＋2ax ＋a 2＝x 2＋bx ＋25.所以⎩⎨⎧2a ＝b ，a 2＝25，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－10.9. 【答案】A [解析] 根据题意得(a ＋2b )(a －2b )＝a 2－4b 2.10. 【答案】D [解析] 在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a 2－b 2，右边图形的面积＝(a ＋b )(a －b )，故可得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可以验证平方差公式; 在图②中，左边图形的阴影部分的面积＝a 2－b 2，右边图形的面积＝(2b ＋2a )(a －b )＝(a ＋b )(a －b )，可得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可以验证平方差公式;在图③中，左边图形的阴影部分的面积＝a 2－b 2，右边图形的面积＝(a ＋b )(a －b )，可得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可以验证平方差公式.二、填空题11. 【答案】±3 [解析] (x ＋my)(x －my)＝x 2－m 2y 2＝x 2－9y 2，所以m 2＝9.所以m ＝±3.12. 【答案】221212145353259x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】221212145353259x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13. 【答案】±3 [解析] ∵(x －ay )(x ＋ay )＝x 2－a 2y 2＝x 2－9y 2，∴a 2＝9，解得a ＝±3.14. 【答案】50 [解析] 因为x －y ＝6，xy ＝7，所以x 2＋y 2＝(x －y)2＋2xy ＝62＋2×7＝50.15. 【答案】224()()ab a b a b =+--【解析】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--16. 【答案】(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2三、解答题17. 【答案】222(41)(41)(4)1161a a a a ---+=--=-【解析】222(41)(41)(4)1161a a a a ---+=--=-18. 【答案】解:(1)原式＝(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1)＝232－1.(2)原式＝×(3－1)×(3＋1)×(32＋1)×(34＋1)×(38＋1)×(316＋1)＝. (3)若m ≠n ，则原式＝(m －n )(m ＋n )(m 2＋n 2)(m 4＋n 4)(m 8＋n 8)(m 16＋n 16)＝;若m ＝n ，则原式＝2m ·2m 2·……·2m 16＝32m 31.19. 【答案】 解：(1)x 5－1(2)x n －1(3)(3－1)(350＋349＋348＋…＋32＋3＋1)＝351－1.(4)因为(－2－1)[(－2)2020＋(－2)2019＋(－2)2018＋…＋(－2)3＋(－2)2＋(－2)＋1]＝(－2)2021－1＝－22021－1，所以(－2)2020＋(－2)2019＋(－2)2018＋…＋(－2)3＋(－2)2＋(－2)＋1＝22021＋13.20. 【答案】解：(1)由已知可得：(a＋b)1展开式中共有2项，(a＋b)2展开式中共有3项，(a＋b)3展开式中共有4项，……则(a＋b)n展开式中共有(n＋1)项．(2)(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，…则(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.。
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乘法公式练习题一、选择题1.用乘法公式计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22018+1)的结果( )A. 24036+1B. 24036−1C. 22018+2D. 22018−22.已知(m−n )2=8，(m +n )2=2，则m 2+n 2的值为( )A. 10B. 6C. 5D. 33.对于任意正整数m ，能整除式子(m +3)(m−3)−(m +2)(m−2)的整数是 ( )A. 2B. 3C. 4D. 54.下列计算结果为2ab−a 2−b 2的是( )A. (a−b )2B. (−a−b )2C. −(a +b )2D. −(a−b )25.下列运算中，正确的有( ) ①(x +2y )2=x 2+4y 2; ②(a−2b )2=a 2−4ab +4b 2; ③(x +y )2=x 2−2xy +y 2; ④(x−14)2=x 2−12x +116．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.利用平方差公式计算：1013×923，应先将算式写成( )．A. (10+13)×(9+23)B. (10+13)(10−13)C. (9+43)(9+23)D. (11−23)(11−43)7.小明在利用完全平方公式计算二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是()A. 12B. −6C. 6或−6D. 12或−128.下列各式中，是完全平方式的是( )A. m2−4m−1B. x2−2x−1C. x2+2x+14D. 14b2−ab+a29.下列各式中与2ab−a2−b2相等的是()A. −(a−b)2B. −(a+b)2C. (−a−b)2D. (−a+b)210.下列算式中，能连续两次用平方差公式计算的是( )A. (x+y)(x2+y2)(x−y)B. (x+1)(x2−1)(x+1)C. (x+y)(x2−y2)(x−y)D. (x−y)(x2+y2)(x−y)二、填空题11.根据完全平方公式填空：(1)(x+1)2=(__________)2+2×________×________+(________)2=____________；(2)(−x+1)2=(________)2+2×________×________+(________)2=____________；(3)(−2a−b)2=(________)2+2×________×________+(________)2=____________．12.在括号内填上适当的项：(1)a+2b−c=a+();(2)2−x2+2xy−y2=2−();(3)(a+b−c)(a−b+c)=[a+()][a−()]．13.若x2+Rx+16是一个完全平方式，则R的值等于．14.已知a +b =10，a−b =8，则a 2−b 2=______．三、计算题15.计算：(1)(x−1)(x +1);(2)(a +2b)(a−2b);(3)(14a−1)(14a +1);(4)(2m +3n)(2m−3n)．16.用乘法公式计算：(1)(x−2y +3z )2;(2)(2a +3b−1)(1+2a +3b)．四、解答题17.先化简，再求值：(x +1)(x−1)+x 2(1−x)+x 3，其中x =2．18.(1)计算并观察下列各式：(x−1)(x+1)=;(x−1)(x2+x+1)=;(x−1)(x3+x2+x+1)=;(2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么?请根据你发现的规律直接填空：(x−1)()=x6−1;(3)利用你发现的规律计算：(x−1)(x m+x m−1+x m−2+x m−3+⋯+x+1)的结果为．19.如图1是一个宽为a、长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)．(1)观察图2，请你用等式表示(a+b)2，(a−b)2，ab之间的数量关系：______；(2)根据(1)中的结论．如果x+y=5，xy=9，求代数式(x−y)2的值；4(3)如果(2019−m)2+(m−2020)2=7，求(2019−m)(m−2020)的值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式=(2−1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(22017+1)×(22018+1)=(22−1)×(22+1)×(24+1)×…×(22017+1)×(22018+1)=(24−1)×(24+1)×…×(22017+1)×(22018+1)=(22018−1)×(22018+1)=24036−1．故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了代数式求值和完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.根据完全平方公式由(m−n)2=8得到m2−2mn+n2=8①，由(m+n)2=2得到m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10，变形即可得到m2+n2的值．【解答】解：∵(m−n)2=8，∴m2−2mn+n2=8①，∵(m+n)2=2，∴m2+2mn+n2=2②，①+②得，2m2+2n2=10，∴m2+n2=5．故选C．3.【答案】D【解析】【分析】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式化简．根据平方差公式化简后解答即可．【解答】解：因为(m+3)(m−3)−(m+2)(m−2)=m2−9−m2+4=−5，所以对于任意正整数m，能整除式子(m+3)(m−3)−(m+2)(m−2)的整数是5，故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：原式=−(a2−2ab+b2)=−(a−b)2故选D．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握公式是解题的关键【解答】解： ①(x+2y)2=x2+4xy+4y2，故错误; ②(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故正确; ③(x+y)2=x2+2xy+y2故错误; ④(x−14)2=x 2−12x +116故正确．故选B ．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：(a +b)(a−b)=a 2−b 2.先根据式子的特点进行变形，再根据平方差公式进行计算，即可求出答案．【解答】解：原式=(10+13)(10−13).故选B ．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．运用完全平方公式求出(2a ±3b )2对照求解即可．【解答】解：由(2a ±3b )2=4a 2±12ab +9b 2，∴染黑的部分为±12．故选D ．8.【答案】D【解析】【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：14b 2−ab +a 2=(12b−a )2．故选D ．9.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查完全平方式的定义及其应用，比较简单．把2ab−a 2−b 2根据完全平方式整理，然后直接选取答案．【解答】解：2ab−a 2−b 2，=−(a 2−2ab +b 2)，=−(a−b )2．故选A ．10.【答案】A【解析】【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键，利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：A.首先(x +y )(x−y )=x 2−y 2，再与(x 2+y 2)使用平方差公式，可以两次使用平方差公式，故A 正确；B .不能使用平方差公式，故B 错误；C .只能使用一次平方差公式，故C 错误；D .不能使用平方差公式，故D 错误．故选A ．11.【答案】(1)x ；x ；1；1；x 2+2x +1；(2)−x ；(−x)；1；1；x 2−2x +1；(3)−2a ；(−2a)；(−b)；(−b)；4a 2+4ab +b 2．【解析】【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：(a+b)2=a2 +2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2.根据完全平方公式得出各题结果即可．【解答】解：根据完全平方公式可得：(1)(x+1)2=x2+2×x×1+12=x2+2x+1；(2)(−x+1)2=(−x)2+2×(−x)×1+12=x2−2x+1；(3)−2a−b)2=(−2a)2+2×(−2a)×(−b)+(−b)2=4a2+4ab+b2．故答案为(1)x；x；1；1；x2+2x+1；(2)−x；(−x)；1；1；x2−2x+1；(3)−2a；(−2a)；(−b)；(−b)；4a2+4ab+b2．12.【答案】(1)2b−c；(2)x2−2xy+y2；(3)b−c，b−c．【解析】【分析】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．(1)根据添括号法则求解可得；(2)根据添括号法则求解可得；(3)根据添括号法则求解可得．【解答】解：(1)a+2b−c=a+(2b−c)；(2)2−x2+2xy−y2=2−(x2−2xy+y2);(3)(a+b−c)(a−b+c)=[a+(b−c)][a−(b−c)]．故答案为(1)2b−c；(2)x2−2xy+y2；(3)b−c，b−c．13.【答案】±8【解析】【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值．【解答】解：∵x2+Rx+16是一个完全平方式，∴k=±2×4=±8，故答案为±8．14.【答案】80【解析】【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：∵(a+b)(a−b)=a2−b2，a+b=10，a−b=8，∴a2−b2=10×8=80．故答案为80．15.【答案】解：(1)原式=x2−1．(2)原式=a2−(2b)2=a2−4b2．(3)原式=1a2−1．16(4)原式=(2m)2−(3n)2=4m2−9n2．【解析】本题主要考查的是平方差公式的有关知识．(1)直接利用平方差公式进行求解即可；(2)直接利用平方差公式进行求解即可；(3)直接利用平方差公式进行求解即可；(4)直接利用平方差公式进行求解即可．16.【答案】解：(1)原式=[(x−2y)+3z]2=(x−2y)2+6z(x−2y)+9z2=x2+4y2+9z2−4xy+6xz−12yz；(2)原式=[(2a+3b)−1][(2a+3b)+1]=(2a+3b)2−1=4a2+12ab+9b2−1．【解析】本题主要考查的是平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解答此题的关键．(1)把(x−2y)当作一项，直接运用完全平方公式进行计算即可；(2)把(2a+3b)当作一项，直接运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．17.【答案】解：原式=x2−1+x2−x3+x3，=2x2−1，当x=2时，原式=2×22−1=7．【解析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，主要考查学生的计算和化简能力．根据平方差公式和单项式乘以多项式法则先化简，再代入求值即可．18.【答案】(1)x2−1；x3−1；x4−1；(2)x5+x4+x3+x2+x+1；(3)x m+1−1【解析】【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，也考查了规律型问题的解决方法．(1)利用平方差公式计算(x−1)(x+1)，利用立方差公式计算(x−1)(x2+x+1)=x3−1；利用上面两等式的变化规律计算(x−1)(x3+x2+x+1)；(2)利用(1)中三个等式的变化规律求解；(3)利用(1)中三个等式的变化规律求解．【解答】解：(1)(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)(x2+x+1)=x3−1；(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；(2)(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1；(3)(x−1)(x m+x m−1+x m−2+x m−3+…+x+1)=x m+1−1．故答案为(1)x2−1；x3−1；x4−1；(2)x5+x4+x3+x2+x+1；(3)x m+1−1．19.【答案】(a+b)2=(a−b)2+4ab【解析】解：(1)由图2可知，大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a−b)，大正方形的面积可以表示为：(a+b)2或(a−b)2+4ab，因此有(a+b)2=(a−b)2+4ab，故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；(2)由(a+b)2=(a−b)2+4ab得，(x−y)2=(x+y)2−4xy=25−9=16；答：代数式(x−y)2的值为16；(3)∵a2+b2=(a+b)2−2ab，∴(2019−m)2+(m−2020)2=[(2019−m)+(m−2020)]2−2(2019−m)(m−2020)，=(−1)2−2(2019−m)(m−2020)，又∵(2019−m)2+(m−2020)2=7，∴7=1−2(2019−m)(m−2020)∴(2019−m)(m−2020)=−3，答：(2019−m)(m−2020)的值为−3．(1)表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论；(2)由(1)的结论得(x−y)2=(x+y)2−4xy，再整体代入即可；(3)由a2+b2=(a+b)2−2ab的形式可得，(2019−m)2+(m−2020)2=[(2019−m)+(m−2020)]2−2(2019−m)(m−2020)，再根据(2019−m)+(m−2020)=−1，(2019−m)2+(m−2020)2=7，得出答案．本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示图形的面积，得出关系等式是关键，适当的变形是正确计算的前提．。