高中数学名校学案一课一练人教版《数学选修2-1》(第一章)_20

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高中数学名校学案一课一练人教版《数学选修2-3》(第一章)_2

高中课标教材同步导学丛书2 ①从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法?②从(1)班㊁(2)班男生中和(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?ʌ互动探究ɔ将题(1)中的x ,y 所满足的不等式改为不等式组2x -y ȡ0,x +y ɤ6,{则满足条件的点M (x ,y )共有多少个?ʌ规律方法ɔ用分类加法计数原理解题的一般思路分步乘法计数原理的应用ʌ典例2ɔ(1)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有( )(A )24对(B )30对(C )48对(D )60对(2)-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y =a x 2+b x +c 的系数a ,b ,c,则可以组成抛物线的条数为多少.ʌ规律方法ɔ利用分步乘法计数原理解题的一般思路1.某小组有8名男生,6名女生,要从中选出一名当组长,不同的选法有( )(A )48种 (B )24种 (C )14种 (D )12种2.5本不同的语文书,4本不同的数学书,每种各取一本,不同的选法有( )(A )3种(B )9种(C )12种(D )20种3.从A 地到B 地要经过C 地和D 地,从A 地到C 地有3条路,从C 地到D 地有2条路,从D 地到B 地有4条路,则从A 地到B 地不同的走法有( )(A )3+2+4=9种(B )1种(C )3ˑ2ˑ4=24种(D )1+1+1=3种4.加工某个零件分三道工序,第一道工序有5人,第二道工序有6人,第三道工序有4人,从中选3人每人做一道工序,则选法有种.5.要安排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人,每个人可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,此值班表共有多少种不同排法?课后巩固作业(一)一课一练,日积月累,厉兵秣马,稳固提能。

名校新学案高中数学人教A版选修2-1课后作业1.1.2四种命题及其相互关系(含答案详析)

第一章 1.1第2课时一、选择题1．命题“若p则q”的逆命题是()A．若q则p B．若¬p则¬qC．若¬q则¬p D．若p则¬q[答案] A[解析]本题考查四种命题，由逆命题定义，命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，选A.2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0[答案] C[解析]原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.3．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为()A．若x2≠1，则x＝1 B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1[答案] C[解析]“若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．4．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案] B[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．5．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案] A[解析]若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a，b不全为0，故选A.6．原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[答案] C[解析]当c＝0时，c2＝0，故原命题是假命题；若ac2>bc2，则必有c2≠0，∴c2>0，∴a>b，故逆命题为真命题，∴否命题为真，逆否命题为假，故选C.二、填空题7．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为________．[答案]若a∉B，则a∉A.8．给出下列命题：(1)平行四边形的对角线互相平分；(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(3)若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不能互相平分；(4)若一个四边形的对角线不能互相平分，则这个四边形不是平行四边形．①若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题．②若(4)为原命题，则(1)为(4)的________命题，(2)为(4)的________命题，(3)为(4)的________命题．[答案]①逆否逆否②逆否否逆三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析]直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．一、选择题11．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案] A[解析]否命题对命题的条件和结论都否定．12．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由于“M ⊆P ”为假命题，故M 中至少有一个元素不属于P ，∴②④正确．M 中可能有属于P 的元素，也可能都不是P 的元素，故①③错误，选B.13.若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，p 的逆命题为t ，则s 是t 的( ) A ．逆否命题 B ．逆命题 C ．否命题 D ．原命题[答案] C[解析] 特例：△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . p ：若∠A ＝∠B ，则a ＝b ， r ：若∠A ≠∠B ，则a ≠b ， s ：若a ≠b ，则∠A ≠∠B ，t ：若a ＝b ，则∠A ＝∠B .故s 是t 的否命题．14．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1”，则命题p 及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案] C[解析] 对于命题p ，当a >b >0时，有log 12a <log 12b ，则必有log 12a <log 12b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 12a <log 12b ＋1时，得log 12a <log 12b 2，即a >b2>0，此时不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，则命题p 的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C.二、填空题15．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线，其逆命题为________(真、假)．[答案] 假[解析] 逆命题为：在空间中，若四个点中任何三点不共线，则这四点不共面，假命题．如：正方形ABCD 的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．16．(2013·江西省临川一中月考)命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)[答案]真[解析]原命题的否命题为：若实数a满足a>2，则a2≥4，这是一个真命题．[点评]注意a2≥4的含义是a2>4或a2＝4.三、解答题17．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)平面内，两条平行直线不相交．[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线是平行直线，则它们不相交；逆命题：在同一平面内，若两条直线不相交，则它们平行；否命题：在同一平面内，若两条直线不是平行直线，则它们相交；逆否命题：在同一平面内，若两条直线相交，则它们不平行．18．已知a，b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析]逆命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1<1<x2，则a＋b＋1<0.否命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2.逆否命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2，则a＋b＋1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题．。

高中数学名校学案一课一练人教版《数学选修2-3》(第一章)_5

第一章数学㊃选修2-3（A 版）5解决形如题(2)类型的涂色问题的关键是什么?(2)将红㊁黄㊁绿㊁黑四种不同的颜色涂在如图所示的5个区域中,要求相邻两个区域的颜色不相同,则有多少种不同的涂色方法?ʌ规律方法ɔ涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题,由于这类问题常常涉及分类与分步,所以在高考题中经常出现,处理这类问题的关键是要找准分类标准,求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用的方法有:(1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理计算;(2)以颜色为主分类讨论法,适用于区域㊁点㊁线段问题,用分类加法计数原理计算;(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题;(4)对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准.规范解答综合应用两个计数原理计数ʌ典例ɔ(12分)编号为A ,B ,C ,D ,E 的五个小球,放到如图所示的五个盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A 球不能放到1,2号,B 球必须放到与A 相邻的盒子中,求不同的放法有多少种.ʌ审题指导ɔ(1)由于A 球不能放在1,2号盒中,即A 球只能放到3,4,5三个盒子中.(2)B 球必须放在与A 球相邻的盒子里,可知放球的顺序可为A ,B ,C ,D ,E .失分警示:若分类不清或分类错误,则扣6~12分或不得分.ʌ规范解答ɔ根据A 球的位置分三类:ң1分………………………………………(1)若A 球放入3号盒里,则B 球只能放在4号盒里,剩下的三个盒子放C ,D ,E 三球,共有3ˑ2ˑ1=6种放法.4分………………………………………(2)若A 球放入5号盒子里,则B 球只能放入4号盒中,剩下的三个盒子分别放C ,D ,E 三球,共有3ˑ2ˑ1=6种放法.7分…………………………………………………………()若A 球放入号盒子里,则失分警示:B 球位置考虑不全,导致扣2~3分.剩下的三个盒子放C ,D ,E 三球,只有3ˑ3ˑ2ˑ1=18种放法.11分…………………综合上述,由分类加法计数原理得不同放法种数共有6+6+18=30种.12分……………………………ʌ题后悟道ɔ加强分类分步意识在求解比较复杂的计数问题时,要注意分析问题是需要分类还是分步 ,如本例中由A ,B 球的特殊性,先分类㊁再分步.。

2020版数学人教B版选修2-1学案：第一章章末复习 Word版含解析

章末复习学习目标　1.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.2.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.3.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.4.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系．1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任合”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表p q p∧q p∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真3.全称命题与存在性命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫存在性命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.5．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．6．四种命题及其关系(1)四种命题①原命题：如果p，则q；②逆命题：如果q，则p；③否命题：如果綈p，则綈q；④逆否命题：如果綈q，则綈p.(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是假命题．(　√　)2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(　√　) 3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(　×　)4．已知命题p：∃x∈R，x－2>0，命题q：∀x∈R，x2>x，则命题p∨(綈q)是假命题．(　×　)题型一　命题及其关系例1　(1)有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①③考点　四种命题的概念题点　判断四种命题的真假答案　D(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用答案　A解析　由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．反思感悟　(1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假．跟踪训练1　(1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是( )A ．若x 2>1，则－1≤x ≤1B ．若－1≤x ≤1，则x 2≤1C ．若－1<x <1，则x 2>1D ．若x <－1或x >1，则x 2>1考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用答案　B(2)已知命题p ：4＋2＝5，命题q ：3>2，则下列判断中错误的是( )A ．p 或q 为真，非q 为假 B ．p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ．p 且q 为假，p 或q 为真考点　“或”“且”“非”的综合问题题点　判断复合命题的真假答案　C解析　由p ：4＋2＝5，可得p 是假命题，由q ：3>2，可得命题q 是真命题，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真，非q 为假，故选C.题型二　充分条件与必要条件、充要条件的探究例2　“m ＝”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”12的( )A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案　B解析　当m ＝时，两条直线的斜率分别为－，，－×＝－1，所以两条直线相互垂直；1253355335反之，若两条直线相互垂直，需分三种情况：①当m ＝－2时，两条直线的方程分别为－6y ＋1＝0，－4x －3＝0，显然两直线相互垂直；②当m ≠－2且m ≠0时，由－×＝－1，解得m ＝；m ＋23m 2－m m ＋212③当m ＝0时，两条直线的方程分别为2x ＋1＝0，－2x ＋2y －3＝0，两直线不垂直．所以m ＝－2或.12故“m ＝”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的充分12不必要条件．反思感悟　若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法：p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ；q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练2　(1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧q D ．p ∧(綈q )答案　D解析　p ：∀x ∈R,2x >0为真命题；q ：∵x >1⇏x >2，∴“x>1”不是“x>2”的充分条件，又x>2⇒x>1，∴“x>1”是“x>2”的必要条件，∴q是假命题，∴綈q是真命题．∴p∧(綈q)为真命题．(2)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　①∵a＝－1⇒Δ＝22－4a×(－1)＝0⇒f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，∴“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分条件．②f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点⇒a＝－1或a＝0⇏a＝－1，∴“a＝－1”不是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的必要条件．题型三　逻辑联结词与量词的综合应用例3　已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]考点　简单逻辑联结词的综合应用题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案　A解析　因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2>0，所以m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得∃x∈R，x2－2mx＋1≤0，所以Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.反思感悟　解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练3　已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．考点　简单逻辑联结词的综合应用题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围解　(1)对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，令f(x)＝2x－2(x∈[0,1])，则f(x)min≥m2－3m，当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－2，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，当p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．(2)当a＝1时，若q为真命题，则存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立，所以m≤1.因此，当命题q为真时，m≤1.因为p且q为假命题，p或q为真命题，所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由Error!得1<m ≤2；当p 假q 真时，由Error!得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．1．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( )A ．对任意m ∈R ，y ＝f (x )都是奇函数B ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数C ．对任意m ∈R ，y ＝f (x )都是偶函数D ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数答案　D解析　存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D.2．命题“如果α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )π4A ．如果α≠，则tan α≠1π4B ．如果α＝，则tan α≠1π4C ．如果tan α≠1，则α≠π4D ．如果tan α≠1，则α＝π4答案　C解析　命题“如果α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”，故选C.π4π43．已知α，β是两个不同的平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　若α与β相交，设交线为c，若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p⇏q；若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q⇒p.由此可知p是q 的必要不充分条件，故选B.4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案　②③解析　当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．5．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两个根的符号不同，q：方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．考点　“或”“且”“非”的综合问题题点　判断复合命题的真假解　(1)p或q：平行四边形的对角线相等或平行四边形的对角线互相平分．p且q：平行四边形的对角线相等且平行四边形的对角线互相平分．綈p：有的平行四边形的对角线不相等．因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真．(2)p或q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同或方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．p且q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同且方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．綈p：方程x2－16＝0的两个根的符号相同．因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“綈p”为假．1．判断复合命题真假的步骤确定复合命题的构成形式判断其中简单命题的真假⇒⇒根据真值表判断复合命题的真假2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：p q綈p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)。

名校新学案高中数学人教A版选修2-1第一章反馈练习(含答案详析)

反馈练习一、选择题1．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a ＝2时，直线2x ＋2y ＝0，显然平行于x ＋y ＝1，若直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，则须满足a －2＝0，得a ＝2.2．(2013·四川文，4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．¬p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．¬p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．¬p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．¬p ：∀x ∉A,2x ∉B [答案] C[解析] 由命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 得¬p ：∃x ∈A,2x ∉B .3．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列新命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③¬p ；④¬q .其中真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] C[解析] 由题意知p 真q 假，则①④为真命题，故选C.4．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍”；条件q ：“直线l 的斜率为－2”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意． 5．(2012·福建理，3)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 [答案] D[解析] 由指数函数的性质知，A 错误．当x ＝3时，23<32，知B 错误，由a ＝b ＝0时a ＋b ＝0，知C 错误，故选D. 6．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a ∉M[答案] D[解析] 即原命题的逆否命题，结论的否定b ∈M 作条件，条件的否定a ∉M 作结论，故选D.7．“a >b >0”是“a 2＋b 2>2ab ”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分且必要条件 D ．不充分且不必要条件[答案] B[解析] ∵a >b >0，∴a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2>0， ∴由a >b >0⇒a 2＋b 2>2ab ，由a 2＋b 2>2ab ⇒(a －b )2>0⇒/ a >b >0，故选B.8．若a ，b 均为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由a ⊥b ，则如图OABC 是矩形，即可推得|OB →|＝|a ＋b |＝|a －b |＝|CA →|.反之若|a ＋b |＝|a －b |，平方得a ·b ＝0，可推得a ⊥b .综上可得“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的充要条件． 9．(2013·银川一中模拟)有下列命题：①设集合M ＝{x |0<x <3}，N ＝{x |0<x <2}，则“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分而不必要条件； ②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题P ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定¬P ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”．则上述命题中为真命题的是( ) A ．①②B ．①③C ．③D ．②③[答案] C[解析] ①错误，“x ∈M ”是“x ∈N ”的必要而不充分条件；因为“且”命题满足一假即假，故p 和q 至少有一个为假命题，故②错误；由命题的否定的定义可判断③正确，综上可知只有③为真命题，故选择C.10．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是( )A.12<a <32B.12≤a ≤32 C ．a >32或a <12D ．a ≥32或a ≤12[答案] B[解析] |x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意知⎝⎛⎭⎫12，32(a －1，a ＋1)，则有⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32.且等号不同时成立，解得12≤a ≤32，故选B.11．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( ) A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．已知b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥aC ．已知b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．已知b ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥c [答案] C[解析] A 的逆命题是：已知c ⊥α，若α∥β，则c ⊥β，真命题；B 的逆命题是已知b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥a ，则b ⊥c ，是真命题；D 的逆命题是已知b ⊂α，c ⊄α，若b ∥c ，则c ∥α，是真命题．12．“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法一：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ 的解，∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件；又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法二：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ，显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A.二、填空题13．命题p ：若a 、b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件；命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬p ”中是真命题的为________．[答案] p ∨q ，¬p[解析] p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，¬p 为真命题． 14．已知a ，b 为两个非零向量，有以下命题：①a 2＝b 2；②a ·b ＝b 2；③|a |＝|b |且a ∥b .其中可以作为a ＝b 的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)[答案] ①②③[解析] 显然a ＝b 时①②③成立，即必要性成立．当a 2＝b 2时，(a ＋b )·(a －b )＝0，不一定有a ＝b ；当a ·b ＝b 2时，b ·(a －b )＝0，不一定有a ＝b ；|a |＝|b |且a ∥b 时，a ＝b 或a ＝－b ，即①②③都不能推出a ＝b .15．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________．[答案] (－2，－14)[解析] 函数y ＝－x 2＋mx ＋1图象的对称轴为x ＝m 2，由条件m2≤－1，∴m ≤－2，即命题p ：m ≤－2；∵函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立，∴⎩⎨⎧m <0Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴命题p ：m <－14，∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， ∴p 真q 假或p 假q 真，p 真q 假时，无解；p 假q 真时，－2<m <－14，∴m 的取值范围是(－2，－14)．16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝{x |( )x －1x <0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“( )”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数，乙：A 是B 成立的充分不必要条件，丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“( )”中的数应为________． [答案] 1[解析] 集合B ＝{x |－1≤x ≤4}，集合C ＝{x |0<x <12}．由甲的描述可设括号内的数为a (a >0)，故集合A ＝{x |0<x <1a }．根据乙、丙的描述可得集合A 、B 、C 的关系是：C A B ，故1a ∈(12，4]，所以a ∈[14，2)．又a 为正整数，所以a ＝1. 三、解答题17．将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式．并判断真假． (1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等． [解析] (1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题． (2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题． 18．写出命题“x 2＋x ≤0，则|2x ＋1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．[解析] 逆命题：若|2x ＋1|<1，则x 2＋x ≤0为真．否命题：若x 2＋x >0，则|2x ＋1|≥1为真．逆否命题：若|2x ＋1|≥1，则x 2＋x >0，为假．19．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题，并判断新命题的真假．(1)p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆； (2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相平分． [解析] (1)p 或q ：正多边形有一个内切圆或者有一个外接圆． p 且q ：正多边形既有一个内切圆，也有一个外接圆．非p ：正多边形没有内切圆．∵p 真q 真，∴p 或q ，p 且q 为真，¬p 为假． (2)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分． p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：存在一个平行四边形的对角线不相等．因为p 是假命题，q 是真命题，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为真命题．20．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] p ：A ＝{x |x <－2或x >10}，q ：B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a ，a >0}，如图．依题意，p ⇒q ，但q ⇒/ p ，说明A B ，则有⎩⎨⎧a >01－a ≥－21＋a ≤10，且等号不同时成立，解得0<a ≤3.∴实数a 的取值范围是0<a ≤3.21．设命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x >a ；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0如果命题“p或q ”为真，“p 且q ”为假，求a 的取值范围．[解析] 由命题p 可知x 2－2x ＝(x －1)2－1>a 恒成立， ∴a <－1.由命题q 可知方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实数根， ∴Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2或a ≥1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时，有－2<a <－1，当p 假q 真时，有a ≥1. ∴a 的取值范围是(－2，－1)∪[1，＋∞)．22．已知：p ：|5－3x |≤1，q ：x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由|5－3x |≤1得－1≤5－3x ≤1，即43≤x ≤2.由x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0知(x －1)[x －(2－m )]≤0，当2－m ＝1，即m ＝1时，不等式x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0的解集为{x |x ＝1}．当2－m >1，即m <1时，不等式x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0的解集为{x |1≤x ≤2－m }．当2－m <1，即m >1时，不等式x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0的解集为{x |2－m ≤x ≤1}．由题意知p 是q 的充分不必要条件，当m ＝1时，{x |43≤x ≤2} {x |x ＝1}，不满足题意，故舍去．当m <1时，{x |43≤x ≤2}{x |1≤x ≤2－m }⇔2≤2－m ⇔m ≤0.所以m ≤0时符合题意．当m >1时，{x |43≤x ≤2}不可能是{x |2－m ≤x ≤1}的真子集．综上所述，m 的取值范围是m ≤0.。

高中数学名校学案一课一练人教版《数学选修2-1》(第一章)_19

(P4)
假命题.
(4)是命题,能判断真假,它是一个假 1.B
命题.
2.“若a>0,则a>1” “若a≤0,则a≤1”
1.2 充分条件与必要条件
1.1.2 四种命题
3.“若数列{an}中没有零项,则数列{an}为等比数列”
第1课时充分条件与必要条件
(P3)
基础梳理
1.(1)条件结论 (3)互逆命题
高中课标教材同步导学丛书
(2)①逆命题:如果直线垂直于平面,那逆否命题:若一个数是素数,则它一定不
么直线垂直于平面内的两条相交直线; 是正偶数.
1.1 命题及其关系
否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面; 逆否命题:如果直线不垂直于平面,那
1.1.3 四种命题间的相互关系 (P5)
1.1.1 命题
么直线不垂直于平面内的两条相交
基础梳理
(P1)
基础梳理
1.判断真假判断为真陈述句符号或式子判断为假
语言、
直线. ②逆命题:如果x>0,那么x>10; 否命题:如果x≤10,那么x≤0; 逆否命题:如果x≤0,那么x≤10.
1.①互逆 ②互否 ③互否 ④互逆 2.(1)没有关系
(P3)
1.A 2.A 3.A 4.①③ 5.【解析】(1)是命题,因为当等比数列的首
项a1<0,公比q>1时,该数列为递减数列,因此是一个假命题. (2)不是命题,它是祈使句. (3)不是命题,它是一个疑问句,没有作出判断.
否命题:若一条直线不是弦的垂直平分
(P7)

(完整word版)高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]

高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、略 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象对于y 轴对称.这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、抗命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不可以被5整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不可以被5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、抗命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、抗命题：图象对于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不对于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不对于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：若 a b 1，则a2b22a 4b3( a b)( a b) 2( a b) 2b3a b 2 2b3a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，进而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）抗命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则a,b都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b不都是偶数.这是真命题.（2）抗命题：若方程 x2 x m 0 有实数根，则m 0. 这是假命题 . 否命题：若 m 0 ，则方程x2x m 0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 .这是真命题.3、（1）命题能够改写成：若一个点在线段的垂直均分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .抗命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直均分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直均分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直均分线上 .这是真命题.（ 2）命题能够改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.抗命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：假如一个三角形的两边所对的角相等，依据等腰三角形的判断定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证了然原命题的逆否命题，表示原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题能够改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能相互均分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条订交弦相互均分，则这两条订交弦是圆的两条直径.能够先证明此逆否命题：设AB,CD 是e O的两条相互均分的订交弦，交点是 E ，若 E 和圆心 O 重合，则AB,CD是经过圆心 O 的弦，AB,CD是两条直径.若 E 和圆心 O 不重合，连结AO, BO,CO 和DO，则OE是等腰AOB ， COD 的底边上中线，所以，OE AB ，OE CD .AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不行能的.所以， E 和 O 必定重合.即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充足条件与必需条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）.3（ 1） .4、（1）真；（2）真；（ 3）假；（ 4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的抗命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的抗命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，抗命题是真命题，p 是 q 的必需条件.2、（1）p是q的必需条件；（2）p是q的充足条件；（ 3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充足条件，或充足不用要条件；（2）充要条件；（3）既不是充足条件，也不是必需条件；（4）充足条件，或充足不用要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充足条件；（2）必需条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充足性：假如 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc 0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形.（2）必需性：假如ABC是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a 所以 a 2b2c2ab ac bc 0 2b2c2ab ac bc1.3简单的逻辑联络词练习（ P18）1、（1）真；（2）假 .2、（1）真；（2）假 .3、（1）225，真命题；（ 2）3 不是方程 x290的根，假命题；（ 3）( 1)21，真命题.习题 1.3 A组（ P18）1、（1） 4{2,3}或 2 {2,3}，真命题；（2） 4{2,3}且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（ 4） 2 是偶数且 3 不是素数，假命题 .2、（1）真命题；（ 2）真命题；（3）假命题 .3、（1） 2 不是有理数，真命题；（ 2）5 是 15 的约数，真命题；（3）2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何会合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（ P18）（1）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（2）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（3）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题；（4）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .练习（ P26）1、（1） n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单一函数 .2、（1）全部三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）全部实数的绝对值都是正数 .习题 1.4 A 组（ P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .3、（1） x0N , x03x02；（2）存在一个能够被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3） x R, x2x 10 ；（4）全部四边形的对角线不相互垂直 .习题 1.4 B组（ P27）（1）假命题 . 存在一条直线，它在y轴上没有截距；（2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与 x 轴不订交；（3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于180；（4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参照题 A 组（ P30）1、原命题能够写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.抗命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1） n N ,n20 ；（2）P { P P 在圆x2y2r 2上 } ，OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y 是整数}，2x 4y 3；（ 4）x0{ x x 是无理数}， x03{ q q 是有理数} .6、（1）32，真命题；（2）5 4 ，假命题；（ 3） x0R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参照题 B 组（ P31）1、（1）p q；（2） ( p) (q) ，或 ( p q) .2、（1）Rt ABC，C90 ，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2a2b2；（2）ABC ，A,B,a b cC 的对边分别是 a, b,c ，则.sin A sin B sin C第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 简单求出等腰三角形 ABC 的 BC 上的中 AO 所在直的方程是x 0 .2、 a32 ,b 18 .25253、解：点 A, M 的坐分 (t,0)， ( x, y) .（1）当 t 2 ，直 CA 斜率2 02kCAt2 t2所以， k CB1 t 2k CA2由直的点斜式方程，得直CB 的方程y 2t2( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐 (0,4 t ) .因为点 M 是段 AB 的中点，由中点坐公式得 xt, y4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y 22 得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 ，可得点 A, B 的坐分 (2,0) ， (0,2)此点 M 的坐 (1,1) ，它仍旧合适方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点M 的迹方程，它表示一条直.习题 2.1 A 组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y1 0 表示的曲上；点 B(2, 3) 不在此曲上2、解：当 c0 ，迹方程 xc 1；当 c 0 ，迹整个坐平面 .23、以两定点所在直 x ，段 AB 垂直均分 y ，成立直角坐系，得点M 的迹方程 x 2y 2 4 .4、解法一： x 2y 2 6x 50 的心 C ，点 C 的坐是 (3,0) .由意，得 CM AB ，有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]yy1 (x 3, x 0)所以，3 xx化简得 x 2y 23x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y 0 ，点 (3,0) 合适题意；当 x 0 时， y 0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 23x 0，得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 23x 0 ，5x3.3解法二：注意到OCM 是直角三角形，利用勾股定理，得 x 2 y 2(x 3)2y 2 9 ，即 x 2y 2 3x0 . 其余同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为xy 1.a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以341所以， ab 4a 3bab由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3 y 0 .2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为 (x, y) .y因为动圆截直线 3xy0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD 4 . 过点 M 分别CMFE作直线 3x y0 和 3x y0 的垂线，垂足分别为E ，DF ，则 AE4 ， CF2 . A3xy， MF3x yME1010 .Ox连结 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2 题）2ME 2CF 2MF 2 则有， AE(3 x y) 2(3 x y) 210 .所以， 1610410，化简得， xy所以，动圆圆心的轨迹方程是 xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：依据椭圆的定义，PF1PF220 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1 ；（2） y2x21；（3） x2y21，或 y2x2 1616361636163、解：由已知，a 5， b 4 ，所以 c a2b2 3 .（1）AF1B 的周长AF1AF2BF1BF2.由椭圆的定义，得 AF1AF22a， BF1BF22a .所以， AF1B 的周长4a20.（2）假如AB不垂直于 x 轴， AF1B 的周长不变化 .这是因为①②两式仍旧成立，AF1 B 的周长20，这是定值 .4、解：设点M的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x1)kAM；x1直线 BM 的斜率y(x1) ；kBMx1由题意，得kAM2，所以y2y( x1, y0) kBM x 1x1化简，得 x3( y0)所以，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点 B2（或 B1）为圆心，以线段 OA2（或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为F1 , F2 .A 1F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点 .B 1这是因为，在 Rt B2OF2中，OB2 b ， B2 F2OA2 a ，（第 1 题）所以， OF2 c .相同有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为(8,0) ， (8,0) ；14.1.F2 A 2x（2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x2y 21；（2） y2x2 1 . 363225164、（1）x2y21（2） x2y 21，或 y2x2 1. 9410064100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是 1 ，316122因为221 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 9x2y236 更扁；321612（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是10 ，36105因为2210 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 x29 y 236 更扁 . 356106、（1）(3,8（2） (0,2) ；（ 3）(487082 ) ；,) .7、. 537377习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 知足的关系式x2( y3)2x2( y3)210 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以F1(0,3) ， F2 (0,3) 为焦点，长轴长为10 的椭圆 .它的方程是y2x21. 25162、（1）x2y 21；（ 2）y2x2 1 ；（3） x2y21，或 y2x2 1. 3632259494049403、（1）不等式2x 2 ， 4 y 4 表示的地区的公共部分；（2）不等式25x25 ，10y10表示的地区的公共部分 .图略 . 334、（1）长轴长2a8 ，短轴长 2b 4 ，离心率e 3 ，2焦点坐标分别是 (23,0)， (23,0)，极点坐标分别为 (4,0)， (4,0)， (0,2) ， (0,2) ；（2）长轴长2a18 ，短轴长 2b 6 ，离心率e 2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 62)，(0,62)，极点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， (3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2y21，或 y2x2 1 ；859819（3） x2y21，或 y 2x2 1 .2592596、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2 .因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2y P1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x211，解得 x15 .P54215l所以，点 P 的坐标是(1)，共有 4个 .,2QA 7、解：如图，连结 QA .由已知，得 QA QP .O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以 OA OP（第 7 题）依据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x m 代入椭圆方程x2y2 1 ，得 9x26mx2m218 0 .249这个方程根的鉴别式36m236(2 m 218)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 32,32) 时，直线与椭圆订交 .（ 2）设直线与椭圆订交获得线段AB ，并设线段 AB 的中点为M (x, y) .则 x x1x2m .23因为点 M 在直线y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得 3x 2 y0 .23这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包含端点），这些弦的中点在一条直线上 .x2y29、3.5252 2.8752 1 .10、地球到太阳的最大距离 1.5288 108 km，最下距离 1.4712108 km.习题 2.2 B 组（ P50）1、解：点M的坐 ( x, y) ，点P的坐 ( x0 , y0 ) ，x x0， y 3 y0 .所以 x0x ， y0 2 y⋯⋯① . 23因点 P(x0, y0 ) 在上，所以 x02y02 4 ⋯⋯② .将①代入②，得点 M 的迹方程x2 4 y24，即 x2y21949所以，点 M 的迹是一个与例 2 对比可，也能够看作是由沿某个方向或拉伸获得.2、解法一：心P(x, y) ，半径R，两已知的心分O1, O2 .分将两已知的方程x2y26x 50 ， x2y 26x 910配方，得 (x 3)2y2 4 ，( x3) 2y2100当 e P 与e O1：( x3)2y2 4 外切，有O1P R2⋯⋯①当 e P 与e O2：( x3)2y2100 内切，有O2P10R ⋯⋯②①②两式的两分相加，得O1P O2 P12即， ( x 3)2y2(x 3)2y212⋯⋯③化方程③ .先移，再两分平方，并整理，得 2 (x 3)2y212x ⋯⋯④将④两分平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数移至方程的右，两分除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥3627由方程⑥可知，心的迹是，它的和短分12， 6 3 .解法二：同解法一，得方程( x 3)2y2( x 3)2y 212⋯⋯①由方程①可知，心P(x, y) 到点 O1 ( 3,0) 和点 O2 (3,0)距离的和是常数12，所以点 P 的迹方程是焦点 (3,0) 、 (3,0) ，等于 12 的 .而且个的中心与坐原点重合，焦点在 x 上，于是可求出它的准方程.因2c 6 ， 2a 12 ，所以 c3 ， a 6所以 b 2 36 927 .于是，心的迹方程x 2y2361.273、解： d 是点 M 到直 x8 的距离，依据意，所求迹就是会合PMF 1 M2d( x2)2y 2 1由此得x28将上式两平方，并化，得3x24 y248 ，即x 2y 2 11612所以，点 M 的迹是、短分8， 4 3 的 .4、解：如，由已知，得E(0, 3) ， F (4,0) ， G (0,3) ， H (4,0) .DyGLC因 R,S,T 是段 OF 的四均分点，R'MR , S ,T 是段 CF 的四均分点，S' 所以， R(1,0), S(2,0), T (3,0) ；HN T'O RSTF xR (4, 9 ), S (4, 3),T (4, 3) .424直 ER 的方程是 y 3x 3 ；直 GR 的方程是 y3.AEBx 31632 , y 45 .（第 4 题）立两个方程，解得x17 17所以，点 L 的坐是 (32 ,45) .17 17同，点 M 的坐是 (16 , 9) ，点 N 的坐是 ( 96 ,21) .5 525 25由作可，能够的方程x 2y 21 (m 0, n 0) ⋯⋯①nm 22把点 L, M 的坐代入方程①，并解方程，得11，11m 22232.4 n高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以经过点 L, M 的椭圆方程为x 2y 21 .16 9把点 N 的坐标代入x 2y 2 ，得 1( 96 ) 2 1 ( 21)2 1，169 16 259 25所以，点 N 在x 2y 2 1 上 . 169所以，点 L, M , N 都在椭圆x 2y 2 1 上.1692.3双曲线练习（ P55）1、（1）x 2y 21 .（2） x 2y21.16 93（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上y 2x 21 ( a 0,b0)所以，可设它的标准方程为2b 2a将点 (2, 5) 代入方程，得254 1 ，即 a 2b 24a 2 25b 2 0a 2b 2又 a 2b 236解方程组a 2b 2 4a 2 25b 2 0a2b 236令 m a 2,nmn 4m 25n 0 b 2，代入方程组，得n 36m m 20 m 45 解得16，或9nn第二组不合题意，舍去，得a 2 20,b 2 16y 2x 2所求双曲线的标准方程为 120 16解法二：依据双曲线的定义，有 2a4 (5 6)24 (5 6)2 4 5 .所以， a 2 5高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]又 c6，所以 b23620 16由已知，双曲线的焦点在y2x2y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为 1 .20162、提示：依据椭圆中a2b2c2和双曲线中 a2b2c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标 .3、由 (2 m)( m 1) 0 ，解得m 2 ，或 m1练习（ P61）1、（1）实轴长 2a8 2 ，虚轴长2b 4 ；极点坐标为(4 2,0),(42,0)；焦点坐标为 (6,0),(6,0)；离心率 e3 2 .4（2）实轴长2a 6 ，虚轴长 2b18 ；极点坐标为(3,0),(3,0) ；焦点坐标为 (310,0),(310,0) ；离心率 e10 .（3）实轴长2a 4 ，虚轴长 2b 4 ；极点坐标为(0,2),(0,2)；焦点坐标为 (0,22),(0,22) ；离心率 e 2 .（4）实轴长2a10，虚轴长2b14；极点坐标为(0,5),(0,5) ；焦点坐标为 (0,74),(0,74) ；离心率 e74 .52、（1）x2y 2 1 ；（2） y2x2 1.3、 x2y21169362835 4、 x2y2 1 ，渐近线方程为y x .18185、（1） (6,2),( 14,2) ；（ 2） (25,3) 334习题 2.3 A组（ P61）y2x21 . 因为a 8，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距1、把方程化为标准方程，得1664离的差的绝对值等于16. 所以点P到另一焦点的距离是17.2、（1）x2y2 1 .（2） x2y2120162575高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3、（1）焦点坐标为 F 1 ( 5,0), F 2 (5,0) ，离心率 e5 ；3 （2）焦点坐标为 F 1 (0, 5), F 2 (0,5) ，离心率 e5 ；44、（1）x 2y 21.（ 2） y2x 2 1 2516916（3）解：因为 ec2 ，所以 c 22a 2 ，所以 b 2c 2 a 22a 2 a 2a 2 .a设双曲线的标准方程为x 2 y 21 ，或 y 2x 2 1.a 2 a 2a 2a 2将 ( 5,3) 代入上边的两个方程，得25 9 1 ，或 925 1 .a 2a 2 a 2a 2解得 a 216 （后一个方程无解） .所以，所求的双曲线方程为x 2 y 21 .16 165、解：连结 QA ，由已知，得 QA QP .所以， QA QO QP QO OP r .又因为点 A 在圆外，所以 OA OP .依据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为实轴长的双曲线 .6、 x 2 y 2 1 .8 8习题 2.3 B组（ P62）1、 x 2y 2116 92、解：由声速及 A, B 两处听到爆炸声的时间差，可知A, B 两处与爆炸点的距离的差，所以爆炸点应位于以 A, B 为焦点的双曲线上 .使 A, B 两点在 x 轴上，而且原点 O 与线段 AB 的中点重合，成立直角坐标系 xOy .设爆炸点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 PA PB 340 3 1020 .即 2a 1020 ， a 510.又 AB1400，所以 2c 1400 ， c 700 ， b 2 c 2 a 2229900 .所以，所求双曲的方程x 2y22601001.2299003、 x 2y 2 1a 2b 24、解：点 A( x 1 , y 1) ， B( x 2 , y 2 ) 在双曲上，且段 AB 的中点 M ( x, y) .点 P 的直 l 的方程 y 1 k ( x 1) ，即 y kx 1 k把 ykx1 k 代入双曲的方程x 2y 2 1得2(2 k 2 )x 2 2k(1 k )x (1 k 2 ) 20 （ 2k 2 0 ） ⋯⋯①所以， xx 1x 2 k(1 k)22 k2由意，得k (1k) 1，解得 k 2 .2k 2当 k2 ，方程①成 2x 2 4x 30 .根的判式16 24 8 0 ，方程①没有数解 .所以，不可以作一条直 l 与双曲交于 A, B 两点，且点 P 是段 AB 的中点 .2.4 抛物线练习（ P67）1、（1） y 212x ；（ 2） y 2x ；（3） y 24x, y 2 4x, x 2 4 y, x 24y .2、（1）焦点坐 F (5,0) ，准方程 x5 ；（ 2）焦点坐 F (0, 1) ，准方程 y1 ；88 （3）焦点坐 F (5 ,0) ，准方程 x 5；（ 4）焦点坐 F (0, 2)，准方程 y2 ；p .883、（1） a ， a（ 2） (6,6 2) ， (6, 6 2)2提示：由抛物的准方程求出准方程. 由抛物的定，点M 到准的距离等于9，所以 x 39 ， x 6， y 6 2 .yy 2= 4x练习（P72）y 2= 2x1、（1） y216 x ；（ 2） x220 y ；y 2=x52 1=（3） y 216 x ；（ 4） x 232 y .yx22、形右， x 的系数越大，抛物的张口越大 .Ox3、解：过点 M (2,0) 且斜率为 1 的直线 l 的方程为 yx 2与抛物线的方程 y24x 联立y x 2y24x解得x 142 3 x 24 2 3，y 1 2 2 3y 2 2 2 3设 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB( x 2 x 1) 2( y 2 y 1 )2( 4 3) 2( 4 3) 2 4 6 .4、解：设直线 AB 的方程为 xa ( a 0) .将 x a 代入抛物线方程 y 2 4x ，得 y 24a ，即 y 2 a .因为AB 2 y 2 2 a 4 a 4 3 ，所以， a3所以，直线 AB 的方程为 x3 .习题 2.4 A 组（ P73）1、（1）焦点坐标 F (0, 1) ，准线方程 y1 ；22（2）焦点坐标 F (0,3) ，准线方程 y3 ；1616（3）焦点坐标 F ( 1 ,0) ，准线方程 x1 ；8 8 （4）焦点坐标 F ( 3 ,0) ，准线方程 x3 .222、（1） y 28x ；（ 2） (4,4 2) ，或 (4, 42)3、解：由抛物线的方程 y 2 2 px ( p0) ，得它的准线方程为 xp .2依据抛物线的定义，由 MF 2 p ，可知，点 M 的准线的距离为 2 p .设点 M 的坐标为 ( x, y) ，则xp 2 p ，解得 x3p .3 p 代入 y 222将 x2 px 中，得 y3 p .2所以，点 M 的坐标为 (3 p,3 p) ， (3 p,3 p) .224、（1） y 2 24 x ， y 2 24x ；（2） x 212 y （图略）5、解：因为xFM 60 ，所以线段 FM 所在直线的斜率 k tan 603 .所以，直线 FM 的方程为 y3( x 1)高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]与抛物 y 24xy3( x1)L L 1立，得y 24xL L 2将 1 代入 2 得， 3x210 x 3 0 ，解得， x 11， x 233把 x 11， x 23 分代入①得y 12 3， y 2 2 333由第 5 知 (1 ,2 3) 不合意，所以点 M 的坐 (3,2 3).33所以， FM(3 1)2 (2 3 0) 246、明：将 y x2 代入 y 22x 中，得 ( x2) 2 2x ，化得 x 2 6x 4 0 ，解得 x35y 3 5 2 15因 k OB1 5， k OA 1 535 35所以 k OB k OA1 5 1 5 153535 915所以 OAOB7、条抛物的方程是x217.5 yy8、解：成立如所示的直角坐系，Ox拱抛物的方程 x 2 2 py ，2l因拱离水面 2 m ，水面 4 m所以222 p( 2) ， p 1所以，抛物方程 x 2 2y4⋯⋯①（第 8 题）水面降落 1 m ， y 3 ，代入①式，得 x 22 ( 3) ， x6 .水面 26 m.习题 2.2 B 组（ P74）1、解：垂段的中点坐( x, y) ，抛物上相点的坐(x 1, y 1 ) .依据意， x 1x ， y 1 2 y ，代入 y 122 px 1 ，得迹方程 y21px .2由方程可知，轨迹为极点在原点、焦点坐标为( p,0) 的抛物线 .82、解：设这个等边三角形 OAB 的极点 A, B 在抛物线上，且坐标分别为( x 1 , y 1 ) ， (x 2 , y 2 ) ，则 y 12 2 px 1 ， y 22 2 px 2 .又 OAOB ，所以 x 12 y 12 x 22 y 22即 x 12 x 22 2 px 1 2 px 2 0， (x 12 x 22 ) 2 p( x 1 x 2 ) 0所以， ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 2 p)因为 x 1 0, x 2 0,2 p 0 ，所以 x 1 x 2由此可得 y 1y 2 ，即线段 AB 对于 x 轴对称 .因为 x 轴垂直于 AB ，且AOx 30 ，所以y 1tan303 .x 13因为 x 1y 12 ，所以 y 1 2 3p ，所以 AB2 y 14 3 p .2 p3、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得直线 AM 的斜率 k AMy ( x1) .x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1) .x 1由题意，得 k AMkBM2 ，所以，yy2( x1) ，化简，得 x 2( y 1)(x1)x 1 x 1第二章复习参照题 A 组（ P80）1、解：如图，成立直角坐标系，使点 A, B, F 2 在 x 轴上， F 2 为椭圆的右焦点（记 F 1 为左焦点） .因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x 2 y 2.a2b 21(a b0)y则 a c OAOF 2 F 2 A 6371 439 6810，a c OBOF 2F 2B 6371 2384 8755 ，解得 a 7782.5 ， c 8755BF 1OF 2A x所以 ba 2c 2(a c)( ac)8755 6810用计算器算得 b 7722所以，星的道方程是x 2y 2 1.77832772222R r 1 r 2a cR r 1 a 22、解：由意，得，解此方程，得a c Rr 2r 1r 2c2所以星道的离心率ecr 2 r 1 .a2R r 1r 23、（1） D ；（ 2） B .4、（1）当0 ，方程表示 .（2）当 090 ，方程化成 x 2y 2 1. 方程表示焦点在 y 上的 .1cos（3）当 90 ， x 21，即 x 1，方程表示平行于 y 的两条直 .（4）当 90180 ，因 cos0，所以 x 2y 2 cos1 表示双曲，其焦点在 x上. 而当180 ，方程表示等双曲 .5、解：将 ykx 1代入方程 x 2y 2 4得 x 2k 2 x 2 2kx 1 4 0即 (1 k 2 ) x 2 2kx 5 0 ⋯⋯①4k 2 20(1k 2 ) 20 16k 2令0 ，解得 k5，或 k522因0 ，方程①无解，即直与双曲没有公共点，所以， k 的取范 k5，或 k5226、提示：抛物方程y 2 2 px ，点 B 的坐 ( p, p) ，点 C 的坐 ( p, p)2 2点 P 的坐 ( x, y) ，点 Q 的坐 ( x,0) .因， PQy2px ， BC 2 p ， OQ x .所以， PQ 2BC OQ ，即 PQ 是 BC 和 OQ 的比率中 .7、解：等三角形的此外两个点分是A, B ，此中点 A 在 x 上方 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3 p直 FA 的方程 y( x)32与 y 22 px 立，消去 x ，得 y 2 23 py p 2解方程，得 y 1 ( 3 2) p ， y 2 ( 3 2) p把 y 1( 3 2) p 代入 y3( xp ) ，得 x 1(72 3) p .322把 y 2( 3 2) p 代入 y3(xp) ，得 x 2(72 3) p .322所以，足条件的点 A 有两个 A 1((72 3) p,(3 2) p) ， A 2 ((72 3) p,(3 2) p) .22依据形的称性，可得足条件的点B 也有两个B 1(( 72 3) p, (3 2) p) ，2 7( 32) p)B 2 ((2 3) p,2所以，等三角形的是A 1B 12( 32) p ，或许 A 2 B 22(23) p .8、解：直 l 的方程 y 2xm .把 y2x m 代入双曲的方程 2x 23y 2 6 0 ，得 10x 2 12mx 3m 26 0 .x 1 x 26m， x 1x 23m 2 6⋯⋯①510由已知，得(1 4)[( x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 ] 16⋯⋯②210把①代入②，解得m3210 所以，直 l 的方程 y2x39、解：点A 的坐 (x 1, y 1 ) ，点B 的坐 ( x 2 , y 2 ) ，点 M 的坐 (x, y) .并点 M 的直 l 的方程 y1 k (x 2) ，即 ykx 1 2k .22y把 y kx 1 2k 代入双曲的方程x1 ，得(2 k 2 )x 2 2k (12k )x(1 2k)2 20 (2 k 2 0) . ⋯⋯①高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x 1 x 2 k (1 2k)所以， x22 k 2由题意，得k(12k) 2 ，解得 k42 k 2当 k4 时，方程①成为 14 x 2 56x 51根的鉴别式56 256 51 2800 ，方程①有实数解 .所以，直线 l 的方程为 y4x 7 .10、解：设点 C 的坐标为 (x, y) .由已知，得直线 AC 的斜率 k ACy (x5)x 5直线 BC 的斜率kBCy 5 ( x 5)x 由题意，得 k AC k BCm . 所以， y y m( x5)5 x 5x化简得，x 2y 2 1(x 5)2525m当 m 0 时，点 C 的轨迹是椭圆 (m 1) ，或许圆 ( m 1) ，并除掉两点 ( 5,0),(5,0) ；当 m 0 时，点 C 的轨迹是双曲线，并除掉两点( 5,0),(5,0) ；11、解：设抛物线 y 2 4x 上的点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 y 24x .点 P 到直线 yx 3 的距离 dx y 3y 2 4y 12 ( y 2)2824 24 2.当 y 2时， d 的最小值是2 .此时 x1，点 P 的坐标是 (1,2) .12、解：如图，在地道的横断面上，以拱y顶为原点、拱高所在直线为y 轴Ox（向上），成立直角坐标系 .抛物线设地道顶部所在抛物线的方程6 mE为 x 22 py因为点 C (4, 4) 在抛物线上DC所以 422 p( 4) 2 mFA3 m3 m2 p 4B解得高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x 24 y .EFh 0.5. F (3, h 5.5)把点 F 的坐代入方程 x 24y ，解得 h3.25 .答：通地道的限制高度3.2 m.第二章复习参照题 B 组（ P81）1、SPF 1F 224 3 .2、解：由意，得 PF 1x .把 xc 代入方程，解得yb 2 . 所以，点 P 的坐是 ( c, b 2)aa直 OP 的斜率 k 1b 2 .直 AB 的斜率 k 2b .aca由意，得b 2b，所以， bc ， a2c .aca由已知及 F 1A a c ，得 ac 105所以 (1 2) c 105 ，解得 c5所以， a10 ， b5所以，的方程x 2y 2 1.1053、解：点 A 的坐 (x 1, y 1 ) ，点 B 的坐 ( x 2 , y 2 ) .由 OA OB ，得 x 1x 2y 1y 2 0 .由已知，得直 AB 的方程 y2x 5 .有 y 1 y 25( y 1 y 2 ) 25 0 ⋯⋯①由 y2x 5 与 y 22px 消去 x ，得 y 2py 5 p0 ⋯⋯②y 1y 2p ， y 1 y 25 p ⋯⋯③把③代入①，解得p54高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]当 p5时，方程②成为 4 y 25y 25 0 ，明显此方程有实数根 .所以， p5444、解：如图，以连结 F 1 , F 2 的直线为 x 轴，线段 F 1 F 2 的中点为原点，成立直角坐标系 .对于抛物线，有p1763 529 2292 ，2所以， p4584 ， 2 p 9168 .对于双曲线，有c a 2080c a 529解此方程组，得 a 775.5， c 1304.5所以， b 2 c 2 a 2 1100320 .（第 4 题）所以，所求双曲线的方程是x 2y 2 601400.31 ( x 775.5) .1100320因为抛物线的极点横坐标是 (1763 a)(1763 775.5)987.5所以，所求抛物线的方程是y 2 9168( x987.5)答：抛物线的方程为 y 29168( x 987.5) ，双曲线的方程是x 2y 21 ( x 775.5) .601400.311003205、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得直线 AM 的斜率 k AMy ( x 1)x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1)x1由题意，得 kAMk2 ，所以y y 2( x1)，化简，得 xy x 2 1(x1)BMx1 x 1所以，点 M 轨迹方程是 xy x 21(x1) .6、解：（1）当 m 1时，方程表示 x 轴；（ 2）当m3 时，方程表示 y 轴；（3）当 m1,m 3 时，把方程写成x 2 y23 mm 1.1①当 1 m 3, m 2 时，方程表示椭圆；② m 2 时，方程表示圆；③当 m 1，或 m3时，方程表示双曲线 .7、以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]垂线，垂足分别为 D , E .由抛物线的定义，得AD AF ， BE BF .所以， AB AF BF AD BE .设 AB 的中点为 M ，且过点 M 作抛物线y22px ( p0) 的准线l的垂线，垂足为C .明显 MC ∥x轴，所以， MC 是直角梯形 ADEB 的中位线.于是， MC 1( AD BE )1AB .所以，点 C 在以 AB 为直径的圆上.22又 MC l ，所以，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.近似地，能够证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线订交.高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算练习（ P86）1、略 .2、略 .uuuur uuuruuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 3、 A C ABAD AA ， BD AB AD AA ， DB AA AB AD .练习（ P89）uuuruuuruuuur1、（1） AD ；（2） AG ；（3） MG .2、（1） x 1；（2） x y1；（3） x y1 .3、如图 .22A CPB QRSO（第 3 题）练习（ P92）1、 B .uuuur uuur uuuruuur2、解：因为 ACABADAA ，uuuur2uuur uuur uuur 所以 AC( AB AD AA )2uuur 2 uuur 2 uuur 2uuur uuur uuur uuur uuur uuurABADAA2( AB AD AB AA AD AA )uuuur 42 32 52 2 (0 10 7.5)8585所以 AC3、解：因为 AC所以 AC BD ， AC AB ，又知 BD AB .uuur uuur uuur uuur 0uuur uuur 0 .所以 AC BD 0 ， AC AB ，又知 BD AB uuur 2 uuur uuur CD CD CDuuur uuur uuuruuur uuuruuur(CA AB BD ) (CA ABBD )uuur 2 uuur 2uuur2CAAB BDa 2b 2c 2所以 CDa 2b 2c 2 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]r r r r rr r r r r 1、向量 c 与 a b ， a b 必定组成空间的一个基底 . 不然 c 与 ab ， a b 共面，r r r2、共面于是 c 与 a ， b 共面，这与已知矛盾 .uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r 2、（1）解： OB OBBB OA AB BB OA OC OO a b c ；uuur uuur uuur uuur uuuur r rBA BABBOC OOc buuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r rCA CA AA OA OC OO a bcuuur uuur uuuruuur1 uuur r 1 rr 1rr1r（2） OGOC CGOCCBb (ac)ab2 c .222练习（ P97）1、（1） ( 2,7,4) ；（2） ( 10,1,16)；（3） ( 18,12,30) ；（ 4）2.2、略 .3、解：分别以 DA ,DC , DD 1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，成立空间直角坐标系 .则 D (0,0,0) ， B 1 (1,1,1)， M (1,1,0) ， C(0,1,0) 2uuuur uuuur 1所以， DB 1 (1,1,1)， CM (1, ,0) .2uuuur uuuur 1 1uuuur uuuurDB 1 CM 015所以， cos2.DB 1, CMuuuur uuuur 1 15DB 1 CM31D'4C'习题 3.1 A 组（ P97）A'B' Muuuruuur uuur D GC1、解：如图，（1） ABBC AC ；uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuuur uuuur（2） AB AD AAACAA AC CC AC ；A（第 1 题） Buuur uuur1 uuuur uuur uuuuruuuur（3）设点 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；1 uuur 21 uuuur（4）设点 G 是线段 AC 的三均分点，则uuur uuuruuur ( AB AD AA ) AC AG .uuur uuuur uuuur uuur33向量 AC , AC , AM , AG 如下图 .2、 A .uuuur 2 uuur uuur uuur3、解： AC ( AB AD AA )2高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AD AA 2( AB AD AB AA AD AA ) 52 32 722(5 3 1 5 72 3 7 2 )2 2298 56 2所以， AC13.3 .uuur uuuruuur uuur 1a2；4、（1） AB ACAB AC cos60uuur uuuruuur uuur21a 2；（2） AD DBAD DB cos120uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur1 a2 1 1（3） GF AC GF AC cos180 2 ( GF AC a) ；2 2 uuur uuur uuur uuur 1 a 2 uuur 1 uuur 1（4） EF BC EF BC cos60 4 ( EF 2 BD a) ； uuur uuur uuur uuur uuur uuur 21 2 1 1；（5） FG BA FG BA cos120 a ( FG2 AC a)4 2uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur（6） GE GF(GCCB2 BA)CA21 uuuruuur1 uuur 1 uuur( DCCB2 BA)2 CA21 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA 2 CB CA 4 BA CA1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA cos120 2 CB CA cos604 BA CA cos601 a 245、（1） 60 ；（2）略 .r rr6、向量 a 的横坐标不为 0，其余均为 0；向量 b 的纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为 0，其余均为 0.7、（1）9；（2） (14, 3,3) .rr r r 0 ，即 82 3x0 ，解得 x10 . 8、解：因为 ab ，所以 a buuuruuur3(5,1, 10)9、解： AB ( 5, 1,10) ， BAuuuur1 uuur uuur1 9 2) ，设 AB 的中点为 M ， OM2(OAOB )( , ,uuur 2 2所以，点 M 的坐标为 (1 , 9 ,( 5)2( 1)21021262) ， AB2 210、解：以 DA , DC , DD 1 分别作为 x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系 O xyz .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]则 C ,M , D 1 , N 的坐标分别为： C (0,1,0) ， M (1,0, 1D 1(0,0,1)1.) ，， N (1,1, )uuuur1 uuuur 1 22CM (1, 1, ) ， D 1 N (1,1, )2 2uuuur 12 ( 1)2 ( 1) 2 uuuur 12 12 1)2所以 CM 3 ， D 1 N ( 32 2 2 2uuuur uuuur1 1 11cos CM , D 1N9 4 94因为异面直线 CM 和 D 1N 所成的角的范围是 [0,]2所以， CM 和 D 1 N 所成的角的余弦值为 1.31911、 ( , ,3)2 2习题 3.1 B组（ P99）1、证明：由已知可知， uuuruuur uuur uuurOA BC ， OB ACuuur uuuruuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur0 .∴ OA BC0 ， OB AC 0 ，所以 OA (OC OB ) 0 ， OB (OC OA)uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ OA OC OA OB ， OB OC OB OA .uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0 uuur uuur 0 .∴ OA OC OB OC 0 ， (OA OB) OC ， BA OC∴ OC AB .2、证明：∵点 E, F ,G , H 分别是 OA,OB, BC ,CA 的中点 . uuur1 uuuruuur1 uuuruuuruuur∴ EFAB ， HGAB ，所以 EFHG22∴四边形 EFGH 是平行四边形 .uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuuruuur uuurEFEHABOC4 (OBOA) OC4(OB OCOA OC )2 2∵ OA OB ， CA CB （已知）， OC OC .∴ BOC ≌ AOC （ SSS ）∴ BOC AOCuuur uuur uuur uuur∴ OB OC OA OCuuur uuur ∴ EF EH 0uuur uuur ∴ EF EH∴ 平行四边形 □ EFGH 是矩形 .。

名校新学案高中数学人教A版选修2-1课后作业1.2.2充要条件习题课(含答案详析)

第一章 1.2 第2课时一、选择题1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |2＝3得，m ＝3或－33，故选A.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ，但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”，由不等式的性质可知，若a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ，∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x －2|<3得－1<x <5， ∵0<x <5⇒－1<x <5但－1<x <5⇒/ 0<x <5， ∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．(2014·南昌市高二期中)设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的________条件． [答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5； ③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10. 三、解答题9．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[解析] 由题意知⎩⎨⎧(2m ＋3)2－4m (1－m )>0，1－mm <0.∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， ∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．(2013·安徽理)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 13．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．14．设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析]对选项A如图①所示，由图可知a∥b，故排除A；对选项B如图②所示，由图可知a∥b，故排除B；对选项D如图③所示，其中a∥l，b∥l，由图可知a∥b，故排除D.二、填空题15．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故p⇒/ q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．16．f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案]b≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b ≥4.三、解答题17．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎨⎧1a>0－2a<0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．18．已知p ：x ＋210－x ≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m的取值范围．[解析] 由x ＋210－x ≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]．[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎨⎧1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。

高中数学名校学案一课一练人教版《数学选修2-2》(第一章)_31

第一章数学·选修2-2(A版)
0
∫ 1. (x-ex)dx 等于 -1
1
∫ ( )
f(x)dx=-2,求a,b,c的值.
0
(A)-1-
1 e
(B)-
3 2
+
1 e
(C)-1
(D)-
3 2
9
∫ 2. x(1+ x)dx 等于 4
()
(A)6
(B)84
(C)45
1 6
(D)51
1 2
{ ∫ 3.设f(x)=
x2,x∈[0,1], 则 2-x,x∈(1,2],
2
f(x)dx=
0
.
∫ ( ( ) ) 4.已知函数f(a)=
a
sinxdx,则f f
0
π 2
=
.
课后巩固作业(十一) 一课一练,日积月累,厉兵秣马,稳固提能
5.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f'(0)=0,
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
目标定位 1.体会定积分在解决几何问题中的作用. 2.会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.
知识点拨
几种定积分与曲边梯形的面积的关系
基础梳理
(1)由一条曲线f(x)和x=a,x=b,y=0(a<b)所围成的曲边梯形的面积为S.
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为S上 ,x 轴下方的面积为S下 .
用定积分求平面图形的面积
①当曲边梯形的面积在x 轴上方时,如图1,则
一般地,设由曲线y=f(x),y=g(x)以及直线x=a,x=b所围成 b
的平面图形(如图所示)的面积为S,

名校新学案高中数学人教A版选修2-1课后作业1.3.1“且”与“或”(含答案详析)

第一章 1.3第1课时一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] D[解析]对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是() A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真[答案] B[解析]∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.3．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．4．已知p：α为第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]当α为第二象限角时，sinα>0，cosα<0，∴sinα>cosα，但sinα>cosα不能推出α为第二象限角．5．以下四个命题正确的有()①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；③“矩形是圆的外切四边形或是圆的内接四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题；④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]∵矩形是平行四边形，也是圆的内接四边形，菱形是平行四边形，也是圆的外切四边形，但矩形不是圆的外切四边形，菱形不是圆的内接四边形，由p∨q，p∧q的定义知，①②③④都正确．6．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真⇒/ p∧q为真．二、填空题7．p：ax＋b>0的解为x>－b a，q：(x－a)(x－b)<0的解为a<x<b.则p∧q是________命题(填“真”或“假”)．[答案]假[解析]命题p与q都是假命题．8．设命题p：3≥2，q：32∉[23，＋∞)，则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________．[答案]p∨q[解析]3≥2成立，∴p真，32∈[23，＋∞)，∴q假，故“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题．9．已知命题p：∅⊆∅，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”、“p且q”形式的命题中真命题有________个．[答案] 1[解析]命题p为真，命题q为假，故“p或q”为真，“p且q”为假．三、解答题10．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．[解析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．一、选择题11．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②都是“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A.12．下列命题：①方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；③集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] ①中，判别式Δ＝9＋16＝25>0，故①中命题为真命题；②中，周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，故②中命题为假命题；③中，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆(A ∪B )，故③中命题为真命题．故选C.13．在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，则|AD →|＝|AC →|·cos ∠CAB ，|BD →|＝|BC →|·cos ∠CBA ，AB →·AC →＝BA →·BC →⇔|AB →|·|AC →|·cos ∠CAB ＝|BA →|·|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AC →|·cos ∠CAB ＝|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AD →|＝|BD →|⇔|AC →|＝|BC →|，故选C.二、填空题14．分别用“p ∧q ”、“p ∨q ”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式． (2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式． [答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∨q15．(2014·营口三中期中)设命题P ：a 2<a ，命题Q ：对任何x ∈R ，都有x 2＋4ax ＋1>0，命题P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，则实数a 的取值范围是________．[答案] －12<a ≤0或12≤a <1[解析] 由a 2<a 得0<a <1，∴P ：0<a <1；由x 2＋4ax ＋1>0恒成立知Δ＝16a 2－4<0，∴－12<a <12，∴Q ：－12<a <12，∵P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，∴P 与Q 一真一假，P 假Q 真时，－12<a ≤0，P 真Q 假时，12≤a <1，∴实数a 的取值范围是－12<a ≤0或12≤a <1.三、解答题16．已知命题p ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，并指出其真假．[解析] “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等． ∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两个相等的实根，故p 真，q 假． ∴p 或q 真，p 且q 假．17．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0.所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2；又f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2. ∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假．(1)若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎨⎧－2<a <2a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2a <2，解得a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．。

名校新学案高中数学人教A版选修2-1课后作业1.4.2含有一个量词的命题的否定(含答案详析)

第一章 1.4第2课时一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[答案] B[解析]量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.2．(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤0[答案] C[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3．(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是() A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0[答案] D[解析]特称命题的否定是全称命题．4．(2014·贵州湄潭中学期中)已知命题p：∀x∈R,2x>0，则()A．¬p：∃x∈R,2x<0 B．¬p：∀x∈R,2x<0C．¬p：∃x∈R,2x≤0 D．¬p：∀x∈R,2x≤0[答案] C[解析]全称命题的否定为特称命题，“>”的否定为“≤”，故选C.5．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0 D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件[答案] B[解析]由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确．6．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a，b∈R，如果ab<0，则a<0B．∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．∃a，b∈R，如果ab<0，则a<0D．∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0[答案] B[解析]条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．给出下列三个命题：①5≥5；②存在x∈R，使得2x＋1＝3；③对任意的x∈R，有x2＋1＜0，其中为真命题的是______________________．[答案]①②[解析]对于①，由5≥5成立，故①为真；对于②来说，因为2x＋1＝3，所以x＝1.所以存在x∈R，使2x＋1＝3，故②为真命题；对于③，因为x2＋1＞0恒成立，则不存在x∈R，使得x2＋1＜0，故③为假命题，所以①②为真命题．三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题． (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题11．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B.12．(2014·福建厦门六中期中)下列命题错误．．的是( ) A ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”．B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＝2＝0”的充分不必要条件．C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则¬p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题．[答案] D[解析] 由逆否命题的定义知A 正确；x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，不一定有x ＝1，故B 正确；由特称命题的否定为全称命题知C 正确；p 与q 只要有一个为假命题，p ∧q 为假命题，故D 错．13．(2014·抚顺二中期中)下列说法正确．．的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x >0”B ．命题“已知x 、y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立”D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题[答案] B[解析] A 显然错误；若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3，∴B 正确；如图，在x ∈[1,2]时，y ＝x 2＋2x 的图象总在y ＝ax 的图象的上方，但y ＝x 2＋2x (1≤x ≤2)的最小值不大于y ＝ax (1≤x ≤2)的最大值，故C 错；若f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则a ＝0或a ＝－1，故原命题的逆命题为假命题，∴D 错误．14．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题15．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________．[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．16．(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.17．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题18．(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6.若(¬p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。

人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

新课程标准数学选修2— 2 第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3． 1 变化率与导数练习（ P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 1 和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／ h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3℃／ h 的速率上升 . 练习（ P8）函数 h(t ) 在 tt 3 附近单调递增，在 t t 4 附近单调递增 . 并且，函数 h(t ) 在 t 4 附近比在 t 3 附近增加得慢 . 说明：体会“以直代曲” 1的思想.练习（ P9）函数 r (V )33V V 5) 的图象为(04根据图象，估算出 r (0.6) 0.3， r (1.2)0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数 . 习题 1.1 A 组（ P10）1、在 t 0W 1 (t 0 ) W 1 (t 0 t) W 2 (t 0 ) W 2 (t 0 t ) 处，虽然 W 1 (t 0 ) W 2 (t 0 ) ，然而 t t. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.h h(1 t) h(1)3.3 .2、t 4.9 t 3.3，所以， h (1)t这说明运动员在 t 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降 .3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s(t) 在 t5 时的导数 .s s( 5t ) s ( 5 )t 10 ，所以， s (5)10 .tt因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／ s ，它在第 5 s 的动能E k13 102150 J.24、设车轮转动的角度为，时间为 t ，则kt 2(t0) .由题意可知，当 t0.8 时，2 . 所以 k25 ，于是25 t 2.88 车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在 t 3.2 时的导数 .( 3. 2 t ) (3. 2) 2 5，所以(3.2) 20.tt8 t 20因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s 1.说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f ( x) 在 x5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x5 附近单调递增 . 同理可得，函数 f ( x) 在 x 4 ， 2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减 .说明：“以直代曲”思想的应用 .6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x) 的图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数 f(x) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f (x)的值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， f (x) 小于零，当 x 大于零时， f (x)大于零，并且随着 x 的增加， f (x) 的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 .说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 .习题 3.1B 组（ P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的 v(t) 的信息获得 s(t) 的相关信息，并据此画出 s(t ) 的图象的大致形状 .这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（ 1）的题意可知，函数f ( x) 的图象在点 (1, 5) 处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势 . 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（ 2）（ 3）某点处函数图象的大致形状 . 下面是一种参考答案 .说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 . 1． 2 导数的计算练习（ P18）1、 f (x) 2x 7 ，所以， f (2) 3， f (6) 5.2、（1） y1 ；（2） y2e x；x ln 2（3） y 10x46x ；（ 4） y 3sin x 4cos x ；（5） y1 sin x；（6） y1 .3 32 x 1习题 1.2 A 组（P18）S S( r r ) S( r )rr ，所以， S (r )lim (2 rr ) 2 r .1、2rrr 02、 h (t )9.8t 6.5 .3、 r (V ) 1 3334V 2.4、（1） y 3x2 1 ；（ 2）y nx n 1e x x n e x；x ln 2（ 3） y 3x2 sin x x3 cos x cos x ；（ 4）y 99(x 1)98；sin 2 x（ 5）y 2 x ；（ 6）y 2sin(2 x 5) 4x cos(2x 5). e5、f (x) 8 2 2x .由 f ( x0 ) 4 有 4 8 2 2x0，解得 x0 3 2 .6、（1） y ln x 1 ；（2） y x 1.7、 y x1.8、（1）氨气的散发速度 A (t ) 500 ln0.834 0.834t.（2） A (7) 25.5 ，它表示氨气在第7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少 .习题 1.2 B 组（P19）1、（1）（ 2）当 h 越来越小时， y sin( x h) sin x就越来越逼近函数 y cos x.h（ 3） y sin x 的导数为 y cos x.2、当 y 0 时， x 0 . 所以函数图象与x轴交于点 P(0,0) .y e x，所以 y x 0 1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y x .2、 d (t) 4sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为0.42 m／ h；上午 9:00 时潮水的速度为0.63 m／ h；中午 12:00 时潮水的速度为0.83 m／h；下午 6:00 时潮水的速度为 1.24 m／ h.1． 3 导数在研究函数中的应用练习（ P26）1、（1）因为f ( x) x2 2x 4 ，所以 f ( x) 2x 2.当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) x2 2x 4 单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 1时，函数 f ( x) x 22 x 4 单调递减 .（2）因为 f ( x) exx ，所以 f (x) ex1.当 f (x) 0 ，即 x0 时，函数 f ( x) e xx 单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 0 时，函数 f ( x) e xx 单调递减 .（3）因为 f ( x) 3x x 3，所以 f ( x)3 3x 2.当 f (x) 0 ，即 1 x 1时，函数 f ( x) 3x x 3单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 1或 x 1 时，函数 f (x) 3x x 3单调递减 .（4）因为 f ( x) x3x 2x ，所以 f ( x) 3x22 x 1.当 f (x) 0 ，即 x1或 x 1时，函数 f ( x) x 3 x 2 x 单调递增；1 3当 f (x) 0 ，即 x 1时，函数 f (x)x3x2x 单调递减 .3、2注：图象形状不唯一 .3、因为 f ( x) ax 2bx c(a 0) ，所以 f (x)2ax b .（1）当 a 0 时，f (x)0 ，即 x b时，函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 单调递增；2af (x)0 ，即 xb 时，函数 f (x)ax2bx c(a 0) 单调递减 .（ 2）当 a 0 时， 2af (x)0 ，即 xb 时，函数 f (x) ax2bx c(a 0) 单调递增；2af (x)0 ，即 xb时，函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 单调递减 .2a4、证明：因为 f (x)2x 3 6x27 ，所以 f (x) 6x212x .当 x (0, 2) 时， f ( x) 6x 212x 0 ，因此函数 f ( x) 2 x36x27 在 (0, 2) 内是减函数 .练习（ P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y f ( x) 的极值点，其中 x x 2 是函数 y f ( x) 的极大值点， x x 4 是函数 y f (x) 的极小值点 .2、（1）因为 f ( x) 6x2x 2 ，所以 f ( x) 12x1 .令 f ( x) 12x 1 0 ，得 x1 .12当 x1时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x 1 时， f (x) 0 ， f ( x) 单调递减 .12121时， f ( x)有极小值，并且极小值为所以，当 x12f ( 1) 6 ( 1)21 249 . 12 121224（2）因为 f ( x) x327x ，所以 f ( x) 3x 227 .令 f ( x) 3x227 0 ，得 x3 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x3 或 x 3时；②当 f (x) 0 ，即 3 x 3 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,3) 3 ( 3,3) 3 (3, ) f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当 x3 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 54；当 x 3时， f ( x) 有极小值，并且极小值为 54 .（3）因为 f ( x)6 12x x 3，所以 f (x) 12 3x 2.令 f ( x)12 3x20 ，得 x 2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0 ，即 2 x 2 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( , 2) 2 (2,2) 2 (2, )f ( x)－ 0 ＋ 0 －f (x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当 x 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为 10；当 x 2 时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 22（4）因为 f ( x) 3xx 3，所以 f ( x) 3 3x 2.令 f ( x) 3 3x20 ，得 x1 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0，即 1 x 1 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 1 或 x 1时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,1) 1 ( 1,1) 1 (1, ) f ( x) － 0 ＋ 0 － f (x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当 x1 时， f (x) 有极小值，并且极小值为2 ；当 x 1时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 2练习（ P31）（1）在[0, 2]x1 时， f ( x) 2上，当6x x 2有极小值，并且极小值为12f ( 1)49 .1224又由于 f (0) 2 ， f (2)20 .因此，函数 f ( x) 6 x2x 2 在 [0, 2] 上的最大值是 20、最小值是49 .24（2）在 [ 4,] 上，当 x 3 时， f ( x) x327x 有极大值，并且极大值为 f ( 3) 54 ；当 x 3时， f ( x) x327x 有极小值，并且极小值为 f(3)54 ；又由于 f ( 4) 44 ， f (4)44 .因此，函数 f ( x) x327x 在 [ 4, 4] 上的最大值是 54、最小值是 54 .1 上，当 x 2时， f ( x)3有极大值，并且极大值为 f (2) 22 .（3）在[ 3],6 12x x 3又由于 f ( 1)55 ， f (3) 15 .3271,3] 上的最大值是 22、最小值是55.因此，函数 f ( x) 6 12x x 3在 [327（ 4）在 [2,3] 上，函数 f (x)3x x 3无极值 .因为 f (2)2， f (3)18 .因此，函数 f (x) 3xx 3在 [2,3] 上的最大值是 2 、最小值是 18 .习题 1.3 A 组（ P31）1、（1）因为 f ( x)2x 1，所以 f ( x) 2 0 .因此，函数 f ( x)2x 1是单调递减函数 .（2）因为 f ( x)xcos x ， x (0, ) ，所以 f(x)1 sin x 0 ， x (0, ) .22因此，函数 f ( x)xcos x 在 (0, ) 上是单调递增函数 .2（3）因为 f ( x) 2x 4 ，所以 f ( x)20 .因此，函数 f ( x) 2x 4 是单调递减函数 .（4）因为 f ( x) 2x34x ，所以 f ( x) 6x24 0 .因此，函数 f ( x) 2x34 x 是单调递增函数 .2、（1）因为 f ( x) x22x 4 ，所以 f ( x)2x 2.当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) x 22x 4 单调递增 .当 f (x)0 ，即 x1时，函数 f ( x) x22x 4 单调递减 .（ 2）因为 f ( x) 2 x23x 3 ，所以 f ( x) 4 x 3 .当 f (x)0 ，即 x3 时，函数 f ( x) 2x23x3 单调递增 .4当 f (x)0 ，即 x 3 时，函数 f ( x) 2x 23x3 单调递减 .4（ 3）因为 f ( x) 3x x 3 ，所以 f (x) 3 3x20 .因此，函数 f ( x) 3x x 3是单调递增函数 .（ 4）因为 f ( x) x3x2x ，所以 f ( x) 3x22x 1.当 f (x)0 ，即 x1或 x1时，函数 f ( x)x 3x2x 单调递增 .3当 f (x)0，即 1x1时，函数 f (x) x 3x2x 单调递减 .33、（1）图略 .（2）加速度等于 0.4、（1）在 x x 2 处，导函数 yf ( x) 有极大值；（2）在 x x 1 和 x x 4 处，导函数 y f ( x) 有极小值；（3）在 x x 3 处，函数 y f (x) 有极大值；（4）在 xx 5 处，函数 y f (x) 有极小值 .5、（1）因为 f ( x) 6x2x 2 ，所以 f ( x) 12x 1.令 f ( x)12x 1 0 ，得 x 1 .12当 x1 时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递增；12当 x1时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减 .12所以， x 1 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为12 f (1)6( 1 )21 2 49 .12121224（2）因为 f ( x) x312x ，所以 f ( x) 3x 212.令 f ( x) 3x212 0 ，得 x2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,2) 2 ( 2,2) 2 (2,) f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当 x2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为16；当 x 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为16 .（3）因为 f ( x) 6 12x x3，所以 f (x) 12 3x2.令 f ( x) 12 3x2 0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( ,2) 2 ( 2,2) 2 (2,)f ( x) ＋0 －0 ＋f (x) 单调递增22 单调递减10 单调递增因此，当 x 2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为22；当 x 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为10 .（4）因为 f ( x) 48x x3，所以 f ( x) 48 3x2.令 f ( x) 48 3x2 0 ，得 x4 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( ,4) 4 ( 4,4) 4 (4, )f ( x) －0 ＋0 －f (x) 单调递减128 单调递增128 单调递减因此，当 x 4 时， f (x) 有极小值，并且极小值为128 ；当 x 4 时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 128.6、（1）在 [ 1,1]上，当 x 1时，函数 f ( x) 6x2 x 2 有极小值，并且极小值为47.12 24由于 f ( 1) 7， f (1) 9 ，所以，函数 f ( x) 6x2x 2 在 [ 1,1] 上的最大值和最小值分别为 9，47 .24（2）在 [ 3,3] 上，当 x 2 时，函数 f (x)x 312x 有极大值，并且极大值为 16；当 x 2 时，函数 f (x) x312x 有极小值，并且极小值为 16 .由于 f ( 3) 9， f (3) 9，所以，函数 f ( x) x 312x在 [ 3,3] 上的最大值和最小值分别为 16， 16 . （3）在 [ 1,1] 上，函数 f ( x) 6 12xx 3在 [ 1,1] 上无极值 .33由于 f ( 1)269 ， f (1) 5 ，327所以，函数 f ( x) 612x x 3在 [1,1] 上的最大值和最小值分别为269 ，3 275 .（ 4）当 x 4 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 128..由于 f ( 3)117 ， f (5)115 ，所以，函数 f ( x) 48x x 3在 [ 3,5] 上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题 3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f ( x)sin x x ， x (0, ) .因为 f ( x) cos x 1 0 ， x(0, )所以 f ( x) sin x x 在 (0, ) 内单调递减因此 f ( x)sin x xf (0) 0 ，x (0, ) ，即 sin x x ，x(0, ). 图略（ 2）证明：设 f (x)x x 2， x (0,1) .因为 f ( x) 1 2x ， x (0,1)所以，当 x(0, 1) 时， f ( x) 1 2x0 ， f (x) 单调递增，2f ( x) x x2f (0) 0 ；当 x1( x) 1 2x 0 ， f (x) 单调递减，( ,1) 时， f2f ( x) x x2 f (1) 0 ；又 f ( 1) 1 0 . 因此， x x2 0 ， x (0,1) . 图略2 4（ 3）证明：设 f ( x) e x 1 x， x 0 .因为 f ( x) e x 1 ， x 0所以，当 x 0 时，f ( x) e x 1 0 ，f ( x)单调递增，f ( x) e x 1 x f (0) 0 ；当 x 0 时， f ( x) e x 1 0 ，f ( x)单调递减，f ( x) e x 1 x f (0) 0 ；综上， e x 1 x ， x 0 . 图略（ 4）证明：设 f (x) ln x x ， x 0 .因为 f ( x) 1 1 ， x 0x1所以，当 0 x 1 时， f (x) 1 0 ， f (x) 单调递增，xf ( x) ln x x f (1) 1 0 ；当 x 1时， f (x) 11 0 ， f ( x) 单调递减，xf ( x) ln x x f (1) 1 0 ；当 x 1时，显然 ln1 1 . 因此， ln x x .由（ 3）可知， e x x 1 x ， x 0 .. 综上， ln x x e x， x 0 图略2、（ 1）函数f ( x) ax3 bx2 cx d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“ ”的形状 . 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间 .（2）因为 f ( x)ax3bx2cx d ，所以 f (x) 3ax22bx c .下面分类讨论：当 a 0 时，分 a 0和a 0 两种情形：①当 a 0 ，且 b23ac 0 时，设方程 f ( x) 3ax 22bx c 0 的两根分别为 x 1 , x 2 ，且 x 1 x 2 ，当 f ( x)3ax22bx c 0 ，即 x x 1 或 x x 2 时，函数 f ( x)ax3bx2cx d 单调递增；当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 x 1 x x 2 时，函数 f (x) ax3bx2cx d 单调递减 .当 a 0 ，且 b 23ac0 时，此时 f ( x)3ax22bx c 0 ，函数 f ( x) ax3bx2cx d 单调递增 .②当 a 0 ，且 b23ac 0 时，设方程 f ( x) 3ax 22bx c 0 的两根分别为 x 1 , x 2 ，且 x 1 x 2 ，当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 x 1 x x 2 时，函数 f (x) ax3bx2cx d 单调递增；当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 xx 1 或 x x 2 时，函数 f ( x)ax3bx2cx d 单调递减 .当 a 0 ，且 b 23ac0 时，此时 f ( x)3ax22bx c 0 ，函数 f ( x) ax3bx2cx d 单调递减1． 4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l x ，则这两个正方形的边长分别为x ， l x ，4 4两个正方形的面积和为Sf (x) ( x)2(lx ) 2 1 (2 x 22lx l 2) ， 0 x l .4 416令 f ( x)0 ，即 4x 2l0， xl .2当 x (0,l) 时， f ( x)0 ；当 x (l, l ) 时， f (x)0 .22因此， xl是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 .2所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小 .22、如图所示，由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去xa四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x ，高为 x . （1）无盖方盒的容积 V (x) (a 2 x) 2x ， 0 x a.2（ 2）因为 V ( x) 4x 34ax2a 2x ，所以 V ( x) 12x 2 8ax a 2 .令 V ( x) 0 ，得 xa（舍去），或 x a.26当 x (0, a) 时， V (x) 0 ；当 x ( a , a) 时， V ( x) 0 .6 6 2 因此， x a是函数 V ( x) 的极大值点，也是最大值点 .6 所以，当 x a时，无盖方盒的容积最大 .63、如图，设圆柱的高为 h ，底半径为 R ，R则表面积 S 2 Rh 2 R 2由 VR 2h ，得 hV .R 2因此， S(R)2 R V2 R22V2 R 2，R0 .R 2Rh3V.令S(R)2V 4 R 0，解得 RR2当R (0,3V )时， S (R) 0 ；2当R (3V ,)时， S(R) 0.（第 3题）2因此，R3V 是函数S(R)的极小值点，也是最小值点. 此时，2hV2 3V 2R .R 2 2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于 f (x)1n( x a i ) 22nn i 1 ，所以 f (x)( x a i ) .n i1令 f (x)0 ，得 x1 na i ，n i11n可以得到， xa i 是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 .n i 1这个结果说明，用 1nn 个数据的平均值a i 表示这个物体的长度是合理n i 1的，这就是最小二乘法的基本原理 .5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为xm ，半圆的面积为x 2 m 2，28矩形的面积为 ax 2m 2，矩形的另一边长为 ( a x) m8x 8因此铁丝的长为 l (x)xx 2ax (1 ) x 2a， 0 x8a2x 4 4x令 l ( x)12a 0 ，得 x4 8a（负值舍去） .4x 2当 x (0,8a ) 时， l ( x) 0 ；当 x ( 8a ,8a) 时， l ( x) 0 .44因此， x8a是函数 l (x) 的极小值点，也是最小值点 .4所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省 .46、利润 L 等于收入 R 减去成本 C ，而收入 R 等于产量乘单价 .由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润 . 收入 R q p q(251q)25q 1 q 2 ，88利润 L R C(25q 1 q 2 )(100 4q)1 q2 21q 100 ， 0 q 200 .8 8求导得 L1 q 214令 L0 ，即1q 21 0 ， q 84 .4当 q (0,84) 时， L0 ；当 q (84,200) 时， L0 ；因此， q 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大 ,习题 1.4 B 组（ P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x)(50 x 180)( x20) 1 x 270x 1360 ， 180x 680 .11010令 L ( x)700 ，解得 x350 .x5当 x (180,350) 时， L (x) 0；当 x (350,680) 时， L ( x) 0 .因此， x350 是函数 L ( x) 的极大值点，也是最大值点 .所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大 .2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x) ( x a)(c cbx4) c(x a)(54x) ， a x 5b .bb 4令 L ( x)8c x 4ac 5bc 0 ，解得 x 4a 5b .b b8当 x (a,4a 5b ) 时， L (x) 0；当 x (4a 5b , 5b) 时， L (x) 0 .884当 x4a 5b是函数 L(x) 的极大值点，也是最大值点 .84a 5b元／件时，可获得最大利润 .所以，销售价为81． 5 定积分的概念练习（ P42） 8 .3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想 .练习（ P45） 1、 s is iv( i ) t [ ( i)22]1( i ) 2 12， i 1,2, , n .nn nnn nnn nv( i) t 于是 ss is ii 1i 1 i 1nn( i ) 2 12[]i 1n nn(1)2 1( n 1) 2 1 ( n ) 2 12nnnnn n13 [1 22n 2] 2n1 n( n 1)(2 n 1) 2n36111(1)(1) 2 3 n2n取极值，得s limn [ 1 v( i )] lim n [ 1 (1 1 )(1 1) 2] 5ni 1n n ni 1 3 n 2n 3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、22km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤 . 练习（ P48）2 4 .x 3dx 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线 x 0 ， x 2 ， y 0 所围成的曲边梯形的面积S 4.习题 1.5 A 组（P50）1、（1） ( x100[(1 i 1) 1]10.495 ；21i 1100100（2） ( x500[(1 i 1) 1]10.499 ；21i 1500 50021000i 11（3） 1)dx[(1) 1]0.4995 .( x1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为： 181 12 1 7 13 1 0 1 40 （m ）；距离的过剩近似值为： 27 1 18 1 12 1 7 1 3 167 （ m ） .3、证明：令 f ( x) 1 . 用分点 ax 0 x 1 x i 1 x i x n b将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间，在每个小区间 [ x i 1, x i ] 上任取一点i (i 1,2,, n)nn作和式f ( i ) xi 1 i 1b a nb a ，bnb a从而1dx limani 1nb a ，说明：进一步熟悉定积分的概念 .4、根据定积分的几何意义，1 0 ， x 1 ， y 0 以及曲线1 x 2dx 表示由直线 xy1 x 2所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1 2dx.1 x 045、（1）1 .x 3dx14由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，所以定积分0 ， x1 ， y 0和x 3dx 表示由直线 x1曲线 y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数 .（2）根据定积分的性质，得10 1 1 1 0 .x 3dxx 3dxx 3dx114 4由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，在区间 [0,1] 上 x30 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x轴1上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积 .1 4 15（3）根据定积分的性质，得x 3dxx 3dxx 3dx2 02114 4由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，在区间 [0, 2] 上 x30 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x轴1上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积 .说明：在（ 3）中，由于 x 3在区间 [ 1,0] 上是非正的，在区间 [0, 2] 上是非负的，如果直接利用定义把区间 [ 1,2] 分成 n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx 化1x 3dx21,0] 和区间 [0, 2] 上的符号都是不变的，再利为x 3dx ，这样， x 3在区间 [ 10 2x 3dx ，进而得到定积分2 3dx 的值 . 由此可用定积分的定义，容易求出x 3dx ，x11见，利用定积分的性质可以化简运算 .在（ 2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 .习题 1.5 B 组（ P50） 1、该物体在 t 0 到 t6 （单位： s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 . 2、（1） v 9.81t .8i 1 1 8 9 （m ）；（2）过剩近似值：9.819.81488.29 i 12228i1 1 1 8 7 （ m ）不足近似值：9.8129.81468.67i 122（3）4 478.48（ m ）. 9.81tdt ；9.81tdt3、（1）分割在区间 [0, l ] 上等间隔地插入 n 1个分点，将它分成 n 个小区间：[0,l ] ， [ l , 2l ] ，,, ， [(n 2)l,l ] ， nn n n记第 i 个区间为 [(i 1)l , il ] （ i 1,2, n ），其长度为 n nxil (i 1)ll .n nn把细棒在小段 [0,l] ， [ l , 2l ] ，,, ， [ (n2)l ,l ] 上质量分别记作： nn nnm 1 , m 2 ,, m n ，n则细棒的质量 mm i .i 1（ 2）近似代替当 n 很大，即 x 很小时，在小区间 [(i1)l , il] 上，可以认为线密度 ( x) x2n n的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点i [(i1)l , i l]处的函数值 ( i )i 2. 于是，细棒在小段 [ (i 1)l, il ]上质量n n 2 l （ innm i ( i ) x i 1,2, n ） .（ 3）求和 nnnn2 l . 得细棒的质量mm i( i ) xi 1i 1i 1in（ 4）取极限n2llx 2dx ..细棒的质量 m limi ，所以 mni1n 01． 6 微积分基本定理练习（ P55）（1）50；（2）50；（3）4 25；（4）24；33 3（5）3ln 2 ；（6）1；（7）0；（8） 2.22说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题 1.6 A 组（ P55）1、（1） 40；（2）1 3ln2 ；（3）9ln 3 ln 2 ；322（4）17；（5）321；（ 6） e2e 2ln 2 .68说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 3cosx]032.2、 sin xdx [它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差 . 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和 . 习题 1.6 B 组（ P55）1、（1）原式＝ [ 1e 2x ]1e 21 ；（2）原式＝ [ 1sin 2x]41 3 ；2222624（3）原式＝ 2x36 .[ln 2 ]1 ln 22、（1） sin mxdx [ cosmx ]1[cos mcos( m )] 0 ；mm（2）cosmxdxsin mx1[sin m sin( m )] 0 ；mm（3）sin 2mxdx1 cos 2mx dx [ xsin 2mx ]；2 24m （4）cos 2mxdx1 cos2mx dx [ xsin 2mx ] . 32 24m 1、（）tgktg g kt t g g kt g0.2 ts(t )k (1e)dt [ k t k2e] 0k tk2ek249t 245e245 .（2）由题意得 49t 245e0.2 t245 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计 t 的取值范围 .根据指数函数的性质，当 t0时， 0e 0.2 t1 ，从而 5000 49t 5245 ，因此， 5000 t5245 .49 490.2 500070.2 524574949因此 245e3.36 10 ， 245e1.24 10 ，所以， 1.24 107245e0.2t3.36 107.从而，在解方程 49t 245e0.2t245 5000 时， 245e0.2t可以忽略不计 .因此， . 49t 245 5000 ，解之得 t5245 （ s ）.49说明： B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握 . 1． 7 定积分的简单应用练习（ P58）（1）32；（2） 1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程 .练习（ P59）5(2t 3)dt [t23t]35221、 s（m ）.344x]0440 （J ）.2、 W(3 x 4) dx [ 3x22习题 1.7 A 组（P60） 1、（1）2；（2） 9.2、 W2kqk q .kq2 dr [ kq]abbarrab3、令 v(t)0 ，即 40 10t 0 . 解得 t4 . 即第 4s 时物体达到最大高度 .h 410t) dt [40t 5t2 ]04 80 （ m ）.最大高度为(404、设 t s 后两物体相遇，则t 1)dtt5 ，(3t210tdt解之得 t5 . 即 A, B 两物体 5s 后相遇 .51)dt[ t3t] 05130此时，物体 A 离出发地的距离为 (3t2（ m ）.5、由 Fkl ，得 10 0.01k . 解之得 k1000 .所做的功为 W0.100.15（J ）.1000ldl 500l26、（1）令 v(t )5 t 550 ，解之得 t 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止 .1 t（2） s (5 t [5 t 1 t 2 55ln(1 t )]100 55ln11 （m ）.55)dt101 t 2y习题 1.7 B 组（P60）1、（1） aa 2x 2 dx 表示圆 x 2y2a 2与 x 轴所围成的上aa2 x 2dxa 2半圆的面积，因此aaO21x（2） 1 1(x 1)2x] dx 表示圆 ( x 1)2y21与直线[（第 1（ 2）题）y x 所围成的图形（如图所示）的面积，12( x 1)2x]dx11 1 11 .因此， [ 14 2 4 2O2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的x方程为 y ax 2，则 h(b)24h2 .a ，所以 ah2 b从而抛物线的方程为4h 2y b 2x .bbby4h 24h 2 2 bh . （第 2 题）于是，抛物线拱的面积 S 2 2(h x 2)dx 2[hx x 3] 02b 3b 33、如图所示 .解方程组y x22y 3x得曲线 y x22 与曲线 y 3x 交点的横坐标 x 1 1 ， x 2 2 .12) 3x]dx2[3 x ( x 22)] dx 1 .于是，所求的面积为[( x 21GMm2 04、证明： Wdr [ GMm ]RR hGMmh .R hRrrR(Rh)第一章复习参考题 A 组（ P65）1、（1）3；（2） y 4 .2、（1） y2sin x cos x 2x ；（2） y 3(x2)2(3x 1)(5x 3) ；cos 2xx2（ 3） y2xln xln 22 ；（4） y2x 2x 4 .x(2 x 1)3、 F2GMm .r34、（1） f (t ) 0 . 因为红茶的温度在下降 .（2） f (3) 4 表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／ min 的速度下降 .图略 .5、因为 f ( x)3x 2，所以 f ( x)2 .3 3 x当 f ( x)2 0 ，即 x 0 时， f ( x) 单调递增；33x当 f ( x)2 0 ，即 x0 时， f ( x) 单调递减 .33x6、因为 f (x)x2px q ，所以 f (x)2x p .当 f ( x)2xp 0 ，即 xp 1 时， f (x) 有最小值 .2p1，得 p2 . 又因为 f (1)1 2 q 4 ，所以 q5 .由27、因为 f ( x) x( x c) 2x32cx2c 2x ，所以 f ( x) 3x24cx c2(3x c)( xc) .当 f (x)0 ，即 xc，或 x c 时，函数 f (x)x(x c) 2可能有极值 .3由题意当 x 2时，函数 f (x)x( x c) 2有极大值，所以 c0 .由于, c)c( c,c)x(c(c, )3 3 3f ( x)＋－ 0＋f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当 xc时，函数 f (x) x( x c) 2有极大值 . 此时，c2 ， c 6 .338、设当点 A 的坐标为 (a,0) 时， AOB 的面积最小 .因为直线 AB 过点 A( a,0) ， P(1,1)，所以直线 AB 的方程为y0 xa，即 y 1( x a) .x0 1 a1 a当 x 0 时， ya ，即点 B 的坐标是 (0, a) .a 1a 1 因此， AOB 的面积 S AOBS( a) 1 a aa 2.2 a 1 2(a 1)令 S (a)1 a22a0 .0 ，即 S (a)2 ( a 1)2当 a 0 ，或 a2时， S (a) 0 ， a 0 不合题意舍去 .x (0, 2) 2 (2, )由于f ( x)－＋f ( x)单调递减极小值单调递增所以，当 a 2 ，即直线 AB 的倾斜角为 135 时， AOB 的面积最小，最小面积为2. 9、D.10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为 ( x 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m.所以，长方体容器的高为 14.8 4x 4( x0.5) 12.8 8x2x .43.2设容器的容积为 V ，则4V V (x) x( x0.5)(3.2 2x)2x32.2x21.6x ， 0x 1.6 .令 V ( x) 0 ，即 6x 24.4x 1.6 0 .所以， x4 （舍去），或 x 1 .15当 x (0,1) 时， V (x) 0 ；当 x (1,1.6) 时， V ( x) 0 .因此， x1 是函数 V (x) 在 (0,1.6) 的极大值点，也是最大值点 .所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3.11、设旅游团人数为 100 x 时，旅行社费用为 y f ( x) (100 x)(1000 5x)5x2500 100000 (0x 80) .令 f ( x)0 ，即 10 x500 0 ， x 50 .又 f (0) 100000 ， f (80) 108000 ， f (50)112500 .所以， x50 是函数 f (x) 的最大值点 .所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多 .12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大 . 因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为623.7，x打印面积 S(x) ( x2 2.54)(623.72 3.17)x3168. 3 9 6655.x 98.38 .9 0 7 2 x6. 3 4 2 ， 5.08x令 S ( x) 0 ，即 6.34 3168.396 0 ， x 22.36 （负值舍去），623.727.89 .x2 22.36 x 2 2. 3是6函数 S(x) 在 (5.08,98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm 时，可使其打印面积最大 .13、设每年养 q 头猪时，总利润为 y 元 .则 y R(q) 20000 100q 1 q2 300q 20000 (0 q 400, q N ) .2令 y 0 ，即q 300 0 ， q 300 .当 q 300 时， y 25000 ；当 q 400 时， y 20000 .q 300 是函数 y( p) 在 (0,400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000 元.14、（1）2 3 2 ；（2） 2e 2 ；（3）1；（ 4）原式＝2 cos2 x sin 2 x dx 2 (cos x sin x) dx [sin x cos x]2 0 ；0 cos x sin x 0（ 5）原式＝ 2 1cos x dx [x sin x]02 2 .0 2 2 415、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 2 2 .17、由 F kl ，得 0.049 0.01k . 解之得 k 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为W4.9ldl 4.9 0.10.1 20.196 （ J）第一章复习参考题 B 组（ P66）1、（1）b (t )1042 103 t .所以，细菌在t 5 与 t 10 时的瞬时速度分别为 0 和104.（2）当 0 t 5 时， b (t) 0 ，所以细菌在增加；当 5 t 5 5 5 时，b (t) 0 ，所以细菌在减少 .2、设扇形的半径为r，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S 1 r 2， l2rr ，所以l 2 .211 ( lr 1 (lrl .S r22) r 2 2r 2 ) ， 0 r22 r2 2令 S0 ，即 l 4r0 ， rl，此时为 2弧度.4rl 是函数 S(r ) 在 (0, l) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.4 l 2所以，扇形的半径为、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大 .43、设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，体积为 V ，那么 r 2h2R 2. 因此， V1 r2 h 1 ( R2h 2 )h 1 R 2h1 h 3， 0 h R .3 33 3令 V1 R2h20 ，解得 h3R .33容易知道， h3 R 是函数 V (h) 的极大值点，也是最大值点 .3所以，当 h3R 时，容积最大 .3把 h3R 代入 r2h2R 2，得 r6R .33由 R2 r ，得2 6.3所以，圆心角为2 6 时，容积最大 .34、由于 80 k 102，所以 k4 .54 x 220 20设船速为 x km ／ h 时，总费用为 y ，则 y4805x x 1 6x9600x 0x ，0 ，即 169600令 y0 ， x 24 .x2容易知道， x 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 .当 x 24 时， (16 249600 ) (20) 941（元／时）2424所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元. 5、设汽车以 x km ／ h 行驶时，行车的总费用 y 390x213050 x 100x (3)14 ，360x令 y 0 ，解得 x53 （km ／ h ） . 此时， y 114 （元）容易得到， x 53 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 .因此，当 x 53 时，行车总费用最少 .所以，最经济的车速约为 53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是 114 元.4e xdx 0xdx 4e x ]ex 04e4e 226、原式＝2ee xdx [ 2.27、解方程组y kxy xx 2得，直线 ykx 与抛物线 y x x 2交点的横坐标为 x 0 ， 1 k .1x 2)dx[x 2x 3]101 1 1 . 抛物线与 x 轴所围图形的面积 S( x2323 6S 1 k1k由题设得 0 ( x x 2)dxkxdx21 k3x2[1k x 2x]10 k0 (xkx) dx23(1 k)3.6又因为 S1 ，所以 (1 k)31. 于是 k134 .622说明：本题也可以由面积相等直接得到1 k kx) dx 1 k 1 k 2)dx ，由此求出 k 的值 . 但计算较为烦琐 .(x x2kxdx ( x x 0新课程标准数学选修2— 2 第二章课后习题解答第二章推理与证明2． 1 合情推理与演绎推理练习（ P77）1、由 a 1 a 2 a 3 a 4 1，猜想 a n 1.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是 1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和 .3、设VO PQR和VO PQ R分别是四面体 O PQR 和OPQ R 的体积，1 1 12 2 21 1 12 22VO PQ 11R 1OP OQ OR则111 .VO PQROP 2 OQ 2 OR 22 2 2练习（ P81）1、略 .2、因为通项公式为 a n 的数列 { a n } ，若an 1p ，其中 p 是非零常数，则 { a n } 是等比数列； ,,,,,,,,大前提a n又因为 cq 0 ，则 q0，则an 1cqn 1 q ； ,,,,,,,,,,,小a ncqn前提所以，通项公式为 acq n(cq 0) 的数列 { a n } 是等比数列 .,,,,,,,,n结论3、由 AD BD ，得到 ACD BCD 的推理是错误的 . 因为这个推理的大前提是 “在同一个三角形中，大边对大角” ，小前提是“ AD BD ”，而 AD 与 BD 不在同一个三角形中 .习题 2.1 A 组（P83）1、 a n 2 (n N ) .n 1 2、 F V E 2 .3 、当 n 6 时， 2n 1(n 1)2；当 n7 时， 2n 1(n 1)2；当 n 8 时，2n 1(n 1)2(n N ) .4、1 11n 2（ n 2 ，且 nN ） .A 1 A 2A n(n 2)5、 bb 12 b n bb 12 b 17 n （ n 17 ，且 n N ）.A D6、如图，作 DE ∥ AB 交BC 于 E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为 AD ∥BE ，AB ∥DE .所以四边形 ABED 是平行四边形 .B EC（第 6题）。

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答案解析数学㊃选修2-1(A 版)
-103 -要条件为真命题.②因为M ={-1,m 2},N ={2,4},M ɘN ={4},所以m 2=4,即m =ʃ2,所以命题若集合M ={-1,m 2},集合N ={2,4},则 m =2 是 M ɘN ={4} 的必要不充分条件是假命题.③因为x 2-x <0,所以0<x <1,即M ={x |0<x <1}.又因为|x |<2,所以-2<x <2,即N ={x |-2<x <2},所以M ⫋N ,所以p 是q 的充分不必要条件,即命题为真命题.
④因为,所以p 是q 的充分条件.所以命题为真命题.ʌ典例2ɔ(1)-1(2)不等式x 2-8x -20>0的解集为A ={x |x >10或x <-2};不等式x 2-2x +1-a 2>0的解集为B ={x |x >1+a 或x <1-a ,a >0}.依题意p ⇒q ,所以A ⊆B .于是有a >0,1+a ɤ10,1-a ȡ-2,{解得0<a ɤ3.所以正实数a 的取值范围是(0,3].ʌ互动探究ɔʌ解析ɔ因为x 2>1⇒x <-1或x >1,又 x 2>1 是 x >a 的必要不充分条件,所以a ȡ1,所以a 的最小值为1.(P 9)1.A 2.B 3.必要 4.充分5.ʌ解析ɔ由题意知,Q ={x |1<x <3},Q ⇒P ,所以a -4ɤ1,a +4ȡ3
,{解得-1ɤa ɤ5.所以实数a 的取值范围是[-1,5].第2课时充要条件的应用
(P 9)基础梳理
充要条件充分必要条件互为充要条件
(P 10)ʌ典例1ɔ(1)A (2)C (3)①易知,p :x +y =8,q :x =2且y =
6,显然q ⇒p ,但p ⇒/q ,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题与其逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.②显然x ɪA ɣB 不一定有x ɪB ,但x ɪB 一定有x ɪA ɣB ,所以p 是q 的必要不充分条件.ʌ典例2ɔ(1)B (2)不是.设x 2+a x +1=0的两实根分别为x 1,x 2,则平方和大于3的等价条件是Δ=a 2-4ȡ0,x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2 =(-a )2-2>3,{即|a |>5.又{a ||a |>5}⫋{a ||a |>3},所以|a |>3这个条件是其必要不充分条件.ʌ互动探究ɔʌ解析ɔ因为|x |ɤ4⇔-4ɤx ɤ4,所以A ={x |-4ɤx ɤ4}.又A ⊆B ⇔a <-4,所以 A ⊆B 是 a >5 的既不充分也不必要条件.ʌ典例3ɔ(1)A (2)充分性:当0<a <45时,判别式Δ=a 2-4a (1-a )=5a 2-4a =a (5a -4)<0,则a x 2-a x +1-a >0对一切实数x 都成立.而当a =0时,不等式a x 2-a x +1-a =1>0.显然当a =0时,不等式a x 2-a x +1-a >0对一切实数x 都成立.必要性:因为a x 2-a x +1-a >0对一
切实数x 都成立,所以a =0或a >0,Δ=a 2-4a 1-a ()<0,{解得0ɤa <45.故0ɤa <45是不等式a x 2-a x +1-a >0对一切实数x 都成立的充要条件.(P 11)1.A 2.B 3.充要4.1<x <25.ʌ解析ɔ由二次函数的图象可知当-b 2a ɤ1,即b ȡ-2a 时,函数y =a x 2+b x +c (a >0)在[1,+ɕ)上单调递增. 1.3 简单的逻辑联结词 (P 12)基础梳理1.p 且q p 或q 非p p 的否定2.(1)p ɡq 是真命题 p ɡq 是假命题(2)p ᶱq 是真命题 p ᶱq 是假命题(3)p 必是假命题 p 必是真命题(P 12)ʌ典例1ɔ(1)且 p ɡq (2)①p 或q :5是有理数或5是整数;p 且q :5是有理数且5是整数;非p :5不是有理数.②p 或q :不等式x 2-2x -3>0的解集是(-ɕ,-1)或不等式x 2-2x -3>0的解集是(3,+ɕ);p 且q :不等式x 2-2x -3>0的解集是(-ɕ,-1)且不等式x 2-2x -3>0的解集是(3,+ɕ);非p :不等式x 2-2x -3>0的解集不是(-ɕ,-1).ʌ典例2ɔ(1)B (2)①这个命题是 p ɡq 的形式,其中p :48是16的倍数,是真命题;q :48是12的倍数,是真命题,所以 48是16与12的公倍数是真命题.②这个命题是 p 的形式,其中p :方程x 2+x +3=0有实数根,是假命题,所以命题方程x 2+x +3=0没有实数根是真命题.③这个命题是 p ᶱq 的形式.其中p :相似三角形的周长相等,是假命题;q :相似三角形的对应角相等,是真命题,所以相似三角形的周长相等或对应角相等是真命题.ʌ典例3ɔ(1)C (2)解题流程:ʌ互动探究ɔʌ解析ɔ由条件 p ɡq 为假命题可得到三种情况(1)p 真,q 假;(2)p 假,q 真;(3)p 假,q 假.前两种情况的解法同第(2)题解法,当p 假时,0<a ɤ1;当q 假时,a ȡ2,所以当p 假q 假时,a ɪ⌀,综上0<a ɤ1或a ȡ2.(P 14)1.C 2.C 3.B 4.①④⑤⑥5.ʌ解析ɔ(1)因为p 为假命题,q 为真命题,所以p ɡq 为假命题,p ᶱq 为真命题,p 为真命题.(2)因为p 为假命题,q 为假命题,所以p ɡq 为假命题,p ᶱq 为假命题,p 为真命题. 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词(P 14)基础梳理1.(1)对所有的对任意一个(2)全称量词 ∀x ɪM ,p (x ) 对任意x 属于M ,有p (x )成立2.(1)存在一个至少有一个(2)存在量词 ∃x 0ɪM ,p (x 0) 存在一个x 0属于M ,使p (x 0)成立(P 15)ʌ典例1ɔ(1)C (2)B ʌ变式训练ɔ①可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360ʎ ,是全称命题.②含有存在量词有些 ,故是特称命题.③含有全称量词任意 ,故是全称命题.④含有存在量词有一个 ,是特称命题.ʌ典例2ɔ(1)①真命题.因为x 2-x +1-12=x -12()2+14ȡ14>0.所以x 2-x +1>12恒成立.②真命题.例如α0=π4,β0=π2,符合题意.。