第3章 矛盾方程组的解法及其分析应用

矩阵的范数

设∙是n n R ⨯上的一个对应规则，使得对每个n n R A ⨯∈有唯一记号A 表示的实数与之对应，如果∙满足下列条件：

① 0≥A ，当且仅当0=A 时，0=A ； ② A A αα=，R ∈α ③ B A B A +≤+ ④ B A AB ≤ 则称∙为n n R ⨯上的范数。

设n n n ij R a A ⨯∈=)(，则有： 行范数∑=∞=n

j ij a A 1

max ，（n i ≤≤1） 列范数∑==n

i ij a A 1

1max ，（n j ≤≤1） 可以证明min max 1

/)(λλ==-A Cond A A ，其中max λ和min λ分别是A A T 的最大和最小特征值。

范数与误差传递

多元混合体系吸光度的一般模型为：A KC =

假设K 是较精确的，非奇异的。A 有一个小误差，记作A δ，则相应解为C C δ+，因此有：

A

A

K

K

C

C

A

K C K C A C

K A A

K C A K C A

C K A A C C K δδδδδδδδδδδδ1

111)(----≤≤≤≤==+=+

例：求方程组①⎩⎨

⎧-=+-=+748.3215.6467.2507.683.10323.42121c c c c 和方程组②⎩⎨⎧-=+-=+748

.3467.2215.6507

.683.10323.42121c c c c 系数矩阵的条件数。

解：方程组①⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=215.6467.283.10323.4A

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9.15515.6215.6287.24215.6467.283.10323.4215.683.10467.2323.4A A T

015.6215.62)9.155)(87.24(9

.15515.6215

.6287

.24=⨯---=----=

-λλλλλA I

67.1801=λ，005.02=λ

1.190/)(min max ==λλA Cond

同理，方程组②84.2/)(min max ==λλA Cond

51.2323.483.10=，52.2467.2215.6=，397.0215

.6467

.2= 附：特征值 设n

n R

A ⨯∈，由)det()(A I p -=λλ定义的多项式p 称为A 的特征多项式。如果λ是p =0的根，

即：0)det(=-A I

λ,则齐次方程0=-A I λ必有非零解i λ,称为A 的特征值.

残差向量改善迭代法解病态方程组

① A KC =, 用主元素消去法解得C ； ② 0≠-=KC A A δ；

② 令A C K δδ=，用主元素消去法解得C δ； ③ 令C C C δ+=，返回②直至εδ≤C 。

例：求病态方程组⎩

⎨⎧-=+-=+748.3215.6467.2507

.683.10323.42121c c c c 的精确解（精确到0.000001）。

① 主元素消去法解得⎩⎨⎧-==004

.1010

.121c c

② 代入得残差⎩⎨

⎧=+--==+--=00019.0)215.6467.2(748.300009

.0)83.10323.4(507.6212

211c c A c c A δδ

③ 建立校正方程组⎩⎨

⎧=+=+00019.0215.6467.200009.083.10323.42121c c c c δδδδ，解得校正值⎩⎨⎧=-=004040

.001010

.021c c δδ

④ 校正后的解⎩⎨⎧-=+-=+==-=+=99996

.0004040.0004.19999

.001010.0010.1222111c c c c c c δδ，返回②，得⎩⎨⎧-==000000.1000001.121c c

第三章 矛盾方程组的解法及其分析应用

矛盾方程组：方程组中独立方程的个数大于未知数的个数。

如：吸光度-浓度、扩散电流-浓度、色谱峰面积-质量等工作曲线绘制中，由两个以上的实验点确定一条直线方程的斜率k 和截矩a 。

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=+=a

kc A a kc A a kc A a kc A a kc A 554

4332211

最小二乘原则和最小一乘原则的异同。

1 最小二乘法

矛盾方程组的一般形式（p ≥m ）：

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++=+++p

m pm p p m m mm m m m m m m A c k c k c k A c k c k c k A

c k c k c k A c k c k c k 22112211222221

211

1212111 其中p 为测量波长点数，m 为样品中共存组分的个数。写成矩阵形式为：

A KC =

其中

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=pm p p m m k k k k k k k k k K 2

1

22221

11211

， ⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=m c c c C 21，

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=p A A A A 21