北京理工大学 材料力学课本答案 第一次课(1[1].5+0.5学时)实际

y
y00，z00 轴是图形的主惯性轴，简称主轴
图形对于主轴的惯性矩I y0 , I z0 称为主惯性矩
II.4.2 主惯性轴和主惯性矩
主惯性轴和主惯性矩 任意平面图形上的任意点 O（图形内或图形外）都 有主轴，即过该点存在坐 标系y0 Oz0，满足
∫ I = y0 z0 A y 0 z 0 d A = 0
z
y
dA
∫ Sz =
ydA
A
z
O
y
z —图形对于 z 轴的静矩
yC
A
C
zC
O
yC
=
Sz A
, zC
=
Sy A
y
— 截面图形形心坐标
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II.1 静矩和形心
静矩与形心坐标的关系
∫ S y =
zdA
A
S y = AzC
∫ Sz =
ydA
A
S z = AyC
¾ 已知静矩可以确定图形的形心坐标
¾ 已知图形的形心坐标可以确定静矩
dA
z
¾ Iyz的数值可正、可负、可为零。
O
y
量纲：L4
¾ 当 y ，z 轴中有一个是图形的对称轴时，
图形对这一对坐标的惯性积 Iyz 恒为零
例题II.1
z
dA
dr
r C
d
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz
dA = 2πrdr
∫ I y
= Iz
=
IP 2
=1 2
d
2 r 2dA
0
y
∫ = 1
d 2
已知： Iy、Iz、Iyz
求： Iy1、Iz1、Iy1z1
∫ I y1 = A z12dA ∫ Iz1 = A y12dA ∫ I y1z1 = A y1z1dA
y1 = ycosα + zsinα z1 = zcosα − ysinα
z1 z
y
α
y1
dA
z
z1
α
y1 y
O
II.4.1 转轴公式
转轴公式
( y + b)( z + a)dA
A
I y1 = I y + 2aS y + a2 A Iz1 = Iz + 2bSz + b2 A
⎫ ⎪⎪ ⎬
I y1z1 = I yz + bS y + aSz + abA⎪⎪⎭
§II.3 平行移轴公式
平行移轴公式
已知： Iy、Iz、Iyz 如果y、z轴通过图形形心
A
xdA
=
FNx
σx
=
FNx A
扭转:
τ
=
Gγ
=
G
dϕ
dx
ρ
∫A(τ dA) ρ = T
∫ τ = T ρ IP
IP =
ρ 2dA
A
y
弯曲: σ x = Cy
∫ σ x
=
My Iz
Iz =
y 2dA
A
∫A(σxdA) y = M
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第II.1节
II.1 静矩和形心
定义
∫ S y =
zdA
A
—图形对于 y 轴的静矩
z
y
dA
∑ I z = ∑ I y =
n
⎫
i=1 n
i=1
(I z )i (I y )i
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
A
ρz
y O
¾ 惯性矩与极惯性矩的关系：I P = I y + I z
§II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
惯性积
z
∫ I yz =
yzdA > 0
A
,<0
,=0
y
－图形对 y, z 轴的惯性积
已知： Iy、Iz、Iyz 求： Iy1、Iz1、Iy1z1
z1 z
y
∫ I y1 = A z12dA ∫ I z1 = A y12dA
y1 = ycosα + zsinα z1 = zcosα − ysinα
α
y1
dA
z
z1
α
y1 y
∫ I y1z1 = A y1 z1dA
O
I y1
=
Iy
+ 2
Iz
yCC00 ，zCC00 轴是图形的形心主惯性 轴图形对于yCC00 ，zCC00 轴的惯性矩称 为形心主惯性矩
对于任意一点（图形内或图形外）都 有主轴， 通过形心的主轴称为形心主惯性轴，图 形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性 矩。 工程计算中有意义的是形心主轴与形心 主矩。
zC0 zC
α0
C
y C0
n
Ai zCi
i =1 n
⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪
Ai
i =1
⎪ ⎪⎭
第II.2节
§II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
惯性矩和极惯性矩
z
∫ I y =
z2dA ＞ 0
A
－图形对 y 轴的惯性矩
y
dA
∫ Iz =
y2dA ＞ 0
A
A
ρz
－图形对 z轴的惯性矩
O
y
∫ IP =
ρ2dA ＞ 0
A
－图形对 O 点的极惯性矩
∫ yC
=
Sz A
=
ydA
A
A
z
∫ zC
=
Sy A
=
zdA
A
A
y
dA
C(yC zC) z
O
y
¾ 截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。 z
静矩的数值可正、可负、可为零。 A
zC
量纲为长度的三次方。 ¾ 截面图形对形心轴的静矩等于零。
C O
yC
y
S yC = 0, SzC = 0
II.1 静矩和形心
组合图形的形心坐标
¾确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z 轴的夹角。
¾计算形心主惯性矩IyC和IzC。
例题II.3
例 求图示截面对z轴的惯性矩。
R
(1)
z
Iz
=
1 × π (2R)4
2 64
=
πR 4
8
a
a
(3)
z
Iz
=
a4 12
+ ⎜⎛ ⎝
a 2
⎟⎞2 ⎠
⋅a2
=
1 3
r2
(2πr )dr
=
πd 4
20
64
IP
=
πd 4 32
例题II.2
z
dA
dz
已知：矩形截面b× h
dA z
h
求：Iy， Iz
C y dy
y
Iy
=
bh3 12
Iz
=
hb3 12
b
第II.3节
§II.3 平行移轴公式
平行移轴公式
移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积 之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯 性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。
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引言
实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载 能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将涉及不同的几
何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形
状有关。
z τ dA
σ dA
∫ 拉伸：σx = const.
σ
∑ S z ∑ S y
= =
A1 yC1 A1 zC1
+ +
A2 A2
yC2 zC2
+ +
⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+
An yCn An zCn
= =
i
n
i =1 n
=1
Ai yCi Ai zCi
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
n
⎫
∑ yC ∑∑∑ zC
= Sz A
= Sy A
= =
Ai yCi ⎪
i =1
⎪
n
Ai
i =1
iy =
Iy A
－图形对 y 轴的惯性半径
iz =
I z －图形对 z 轴的惯性半径 A
§II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
惯性矩和极惯性矩性质
∫ ∫ ∫ I y =
z 2dA
A
Iz =
y2dA
A
IP =
ρ 2dA
A
¾ 截面图形对不同坐标轴的惯性矩是 不同的，但惯性矩恒为正。量纲：L4
¾ 组合截面对某一轴的惯性矩等于各部 分对该轴的惯性矩之代数和。
+ 2
Iz
±
⎛ ⎜ ⎝
Iy
− 2
Iz
⎞2 ⎟ ⎠
+
I
2 yz
I y1
=
Iy
+ 2
Iz
+
Iy
− 2
Iz
cos2α
−
I yzsin2α
Iz1
=
Iy
+ 2
Iz
−
Iy
− 2
Iz
cos2α
+
I yzsin2α
II.4.2 主惯性轴和主惯性矩
形心主惯性轴和形心主惯性矩
∫ I = yC0zC0 A yC0zC0dA = 0
已知： Iy、Iz、Iyz
求： Iy1、Iz1、Iy1z1
∫ I y1 = A z12d A
∫ I z1 =
A
y
2 1
d
A
∫ I y1 z1 = A y1 z1d A
y1=y＋b , z1=z＋a
z1
z
y1
y
dA
z
O
z1
a O´
b
A
y
y1
§II.3 平行移轴公式
平行移轴公式
已知： Iy、Iz、Iyz
z0 z
y
α0
y0
O
dA
z
z0
α0
y0 y
y00，z00 轴是图形的主惯性轴，简称主轴 图形对于主轴的惯性矩I y0 , I z0 称为主惯性矩
II.4.2 主惯性轴和主惯性矩
主惯性轴和主惯性矩 任意平面图形上的任意点 O（图形内或图形外）都 有主轴，即过该点存在坐 标系y0 Oz0，满足
∫ I = y0 z0 A y 0 z 0 d A = 0
主惯性轴和主惯性矩
dI y1 = 0，
dα
dI z1 = 0
dα
α = α0
当α 改变时，Iyl、 Izl的数值也发 生变化，而当α =α0时，二者分别为
极大值和极小值。
z z 01
y
α0
y01
dA
z
z01
α0
y 01
O
y
Iy0、Iz0－主惯性矩
I y0 Iz0
= =
Imax Imin
⎫ ⎬ ⎭
=
Iy
A
y2 + z2
dA =
ρ 2dA
A
=
IP
II.4.2 主惯性轴和主惯性矩
主惯性轴和主惯性矩
特例 z
y1
∫ I yz = A yzd A ＞ 0,
∫ I y z = 11
A y1z1dA ＜ 0 ,
O
y z
z1 O
y0
过点O存在坐标 系y0 Oz0 ，满足 z 0
α0
O
∫ I y z = 00
A y0z0dA = 0
z z0
y
α0
y0
dA
z
z0
α0
y0
O
y
主轴的方位由α0确定，α0满足下式
I y0z0
=
Iy
− Iz 2
sin2α0
+
I yzcos2α0＝0
⎛ ⎜ I y1z1 ⎝
=
Iy − 2
I z sin2α
+
I
yz c o s 2 α
⎞ ⎟
⎠
tan2α 0
=
−
2I yz Iy − Iz
II.4.2 主惯性轴和主惯性矩
求： Iy1、Iz1、Iy1z1
∫ I y1 = A z12dA ∫ I z1 = A y12dA ∫ I y1z1 = A y1 z1dA
y1=y＋b z1=z＋a
z1
z
y1
y
dA
z
O
z1
a O´
b
A
y
y1
∫ I y1 =
( z + a)2 dA
A
∫ Iz1 =
( y + b)2 dA
A
∫ I y1z1 =
⎫ ⎪⎪ ⎬
I y1z1 = I yz + abA⎪⎪⎭
§II.3 平行移轴公式
平行移轴公式
z
zC
I y = I yc + a2 A Iz = Izc + b2 A I yz = I yczc + abA b
A
¾ 因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故
C
yC
自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩
a
总是增加的。
II.4.3 组合图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩
确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法
¾ 将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形的形心位 置。
¾ 以形心为坐标原点，设Oyz坐标系y、z 轴 一般与简单图形的
形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移
轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对y、z轴的惯 性矩，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz 。
O
y
平面图形对形心轴的惯性矩最小。
¾ a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的
正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。
移轴后惯性积有可能增加，也可能减少。
第II.4节
II.4.1 转轴公式
转轴公式
所谓转轴定理（rotation-axis theorem）是研究坐标轴绕原点 转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
α0 yC
II.4.2 主惯性轴和主惯性矩
有对称轴截面的惯性主轴
y
-z z
dA
dA
y
y
C
Iyz=Σ (yizidA- yizidA)=0
当图形有一根对称 轴时，对称轴及与之 z 垂直的任意轴即为过 二者交点的主轴。
II.4.3 组合图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩
确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法
求： Iy1、Iz1、Iy1z1
I y1 = I y + 2aS y + a2 A Iz1 = Iz + 2bSz + b2 A
⎫ ⎪⎪ ⎬
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
I y1z1 = I yz + bS y + aSz + abA⎪⎪⎭
z1
a
a
O'
z
y1
z
y
y
dA
C
z
z
O
b b
A
y
z1
y
y1
Sy=0 Sz=0
I y1 = I y + a2 A Iz1 = Iz + b2 A
附录II
附录II 平面图形的几何性质
为什么要研究截面图形的几何性质 静矩和形心及其相互关系 惯性矩 极惯性矩 惯性积 平行移轴公式 转轴公式、主惯性轴与主惯性矩 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的
方法
结论与讨论
第13.3节
引言
研究杆件的应力与变形，研究失效问题 以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到 与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、 惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主 轴等。
工程计算中应用最广泛的是组合图形 的形心主惯性矩，即图形对于通过其形 心主轴之惯性矩。为此，必须首先确定 图形的形心以及形心主轴的位置。
因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方 形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形 心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的 几何性质以及移轴和转轴定理。
+
Iy
− 2
Iz
cos2α
−
I yzsin2α
Iz1
=
Iy
+ 2
Iz
−
Iy
− 2
Iz
cos2α
+
I yzsin2α
I y1z1
=
Iy
− 2
Iz
sin2α
+
I yzcos2α
图形对过同一点的任意一 对垂直轴的惯性矩之和为 常数。即在轴转动时，其 惯性矩和保持不变。
∫ ( ) ∫ I y1 + I z1 = I y + I z =