拉格朗日多项式插值
三次拉格朗日插值多项式公式
三次拉格朗日插值多项式公式拉格朗日插值多项式公式，这可真是个有点“烧脑”但又超级有趣的数学概念！咱先来说说啥是拉格朗日插值多项式公式。
简单来讲，就是当我们知道一些离散的点的坐标，然后想通过这些点找到一个能大概描述它们规律的多项式函数。
比如说，有三个点 (1, 2)，(3, 4)，(5, 6)，那拉格朗日插值多项式公式就能帮我们找到一个多项式函数，让这三个点都在这个函数上。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，那场面真是有趣极了。
有个小家伙，瞪着大眼睛，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这怎么比做游戏还难啊！”我笑着跟他说：“别急，咱们一步步来，就像搭积木一样，一块一块地拼起来。
”咱们先来看这公式的形式：\[L(x) = y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} +y_2\frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}\]这里的 \(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\) 是已知点的横坐标，\(y_1\)，\(y_2\)，\(y_3\) 是对应的纵坐标。
看起来是不是有点复杂？其实啊，咱们把它拆开看，就没那么可怕了。
比如说，先看第一项 \(y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 -x_3)}\) 。
它其实就是根据第一个点来构造的一个部分。
咱们再回到最开始的那三个点 (1, 2)，(3, 4)，(5, 6) 。
用这个公式来算一下，先算第一项：\[y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} = 2\frac{(x - 3)(x - 5)}{(1 - 3)(1 - 5)}\]这一项就表示了第一个点对整个多项式的贡献。
拉格朗日插值法计算插值方法与流程
拉格朗日插值法计算插值方法与流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法是通过构造一个多项式函数来逼近原函
数的一种方法。
它的基本思想是，给定一个函数在不同点上的取值，通过构造一个多项式函数，使其在这些点上与原函数取值相同，从而得到一个逼近函数。
具体地，拉格朗日多项式插值法的步骤如下：
1. 给定一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，其中$x_i$为自变量，$y_i$为因变量。
2. 构造拉格朗日基函数$L_i(x)$，定义为：
$$L_i(x)=prod_{j=1,j
eq i}^nfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
其中，$i=1,2,...,n$。
这里的基函数$L_i(x)$可以看作是在每个数据点处都为1，而在其他点处都为0的一个函数，具有良好的插值性质。
3. 构造拉格朗日插值多项式$p(x)$，定义为：
$$p(x)=sum_{i=1}^n y_iL_i(x)$$
这个多项式函数就是通过拉格朗日基函数和数据点的取值所构
造出来的逼近函数，它在每个数据点处都与原函数取值相同。
4. 利用插值多项式$p(x)$进行求解。
拉格朗日多项式插值法是一种简单而有效的插值方法，它可以用于求解函数值、导数、积分等问题，并被广泛应用于科学、工程等领域。
- 1 -。
52第二节 拉格朗日插值多项式
数学学院 信息与计算科学系
( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
由式
n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x )
O
l1 ( x) x1 x
O
x0
x0
x1 x
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n=2时的二次基函数及图形为 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
可知：x0 , x1, , xn 和x 是(t)在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! ( n 1) f ( ) 所以 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x )
1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8 1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
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例4 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487 有6位有效数字。 (1) 用线性插值求sin0.33的近似值； (2) 证明在区间[0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx时 至少有4位有效数字. 解 （1）用线性插值 0.33 0.34 sin 0.33 L1 (0.33) 0.314567 0.32 0.34 0.33 0.32 1 0.333487 (0.314567 0.333487) 0.34 0.32 2 0.324027
拉格朗日 插值 区间误差限
拉格朗日插值区间误差限拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。
然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。
一、拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。
具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。
二、插值误差限的计算尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。
在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。
三、拉格朗日插值法的应用示例为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。
假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。
已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。
首先，我们可以根据已知数据点构造拉格朗日插值多项式P(x)，并计算出未知值的近似值。
拉格朗日插值计算
拉格朗日插值计算
拉格朗日插值法是一种用于给定一些点的函数值的方法，通过该
方法可以构建出一个多项式，从而得到一个对于任意自变量值都有良
好表现的函数。
下面是拉格朗日插值计算的步骤：
1. 确定给定数据点中的n个点，其中n为奇数。
2. 根据给定数据点中的自变量x值，构造拉格朗日基函数，并
定义L_i(x)为第i个点在x处的基函数。
3. 定义拉格朗日插值多项式为L(x)，它是n个基函数的线性组合，并通过将每个基函数的因子乘以相应的函数值来计算每个基函数。
4. 计算插值多项式L(x)。
具体来说，L(x)的表达式如下：
L(x)=∑(i=0~n-1){y_i×L_i(x)}/∑(i=0~n-
1){L_i(x)×∏(j=0~n-1, j≠i){(x-x_j)/(x_i-x_j)}}
其中x_i为给定数据点中自变量的第i个值，y_i为给定数据点
中因变量的第i个值。
通过以上步骤，可以得到任意自变量值处的插值函数的值，从而
可以用拉格朗日插值法求解各种问题。
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
拉格朗日插值法理论及误差分析
拉格朗日插值法理论及误差分析首先，我们先来了解一下拉格朗日多项式的基本概念。
对于给定的n个不同的点(xi, yi)，其中xi是x轴上的点，yi是对应的函数值。
拉格朗日多项式的一般形式可以表示为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + y2 * l2(x) + ... + yn *ln(x)其中，li(x)是拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)使用拉格朗日插值法，我们可以根据已知数据点构造出一个多项式L(x)，该多项式在给定数据点上与原始函数的值完全相同。
求解出多项式L(x)后，我们可以通过求解L(x)的值得到在x处的近似值。
然而，在实际应用中，我们常常关注的是拉格朗日插值法的误差分析。
即，我们需要评估插值多项式与原始函数之间的误差有多大。
f(x) - L(x)，≤ M / (n + 1)! * ，(x - x0)(x - x1)...(x - xn)其中，M是在给定区间上的最大值函数M = max，f^(n+1)(x)。
需要注意的是，这个误差上界取决于插值节点的选择，并且对于特定的节点，可以找到与原始函数完全匹配的插值多项式。
进一步地，如果对于给定的k>n，求得插值多项式L(x)的k阶导数，则该导数也可以与原始函数f(x)的k阶导数具有很大的相似性，从而提供了在估计导数时的一种方法。
总的来说，拉格朗日插值法是一种简单而有效的插值方法，可以对给定数据进行插值和近似，而误差分析能够帮助我们评估插值结果的准确程度。
当然，拉格朗日插值法也有其局限性，例如在大数据集上计算困难，并且在边界条件不明确或节点选择不当时会出现振荡。
因此，在具体应用中，我们需要根据实际情况选择合适的插值方法。
拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用
拉格朗⽇插值多项式的原理介绍及其应⽤ 插值，不论在数学中的数值分析中，还是在我们实际⽣产⽣活中，都不难发现它的⾝影，⽐如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。
那么，什么是插值呢？我们可以先看⼀下插值的定义，如下： （定义）如果对于每个1≤i≤n,P(x i)=y i,则称函数y=P(x)插值数据点(x1,y1),...,(x n,y n). 插值的定义⽆疑是清楚明了的，⽽在众多的数学函数中，多项式⽆疑是最简单，最常见的函数，关于它的理论研究也最为透彻。
因此，我们可以不妨先考虑利⽤多项式来进⾏插值。
那么，这样的多项式是否总是存在呢？答案是肯定的，因为我们有如下定理： （多项式插值定理）令(x1,y1),...,(x n,y n)是平⾯中的n个点，各x i互不相同。
则有且仅有⼀个n−1次或者更低的多项式P满⾜P(x i)=y i,i=1,2,...,n. 证明:先⽤归纳法证明存在性，再证明唯⼀性。
当n=1时，常函数(0次)P1(x)=y1即符合要求。
假设当n−1时存在⼀个次数≤n−2的多项式P n−1,使得P n−1(x i)=y i,i=1,2,...,n−1.则令P n(x)=P n−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−x n−1)(x−x n)，其中c为待定系数，利⽤P n(x n)=y n即可求出待定系数c.此时，P n(x i)=y i,i=1,2,...,n,且P n(x)的次数≤n−1.这样就证明了存在性。
其次证明唯⼀性。
假设存在两个这样的多项式，设为P(x)和Q(x)，它们次数≤n−1且都插值经过n个点，即P(x i)=Q(x i)=y i,i=1,2,...,n.令H(x)=P(x)−Q(x),H的次数也≤n−1，且有n个不同的根x1,x2,...,x n.因此，由多项式基本定理可知，H(x)为0多项式，即恒等于0，故有P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。
证毕。
拉格朗日多项式插值
拉格朗日多项式插值法浅析摘要拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。
“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。
下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。
【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。
但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。
例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。
这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。
应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。
一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。
当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。
一、拉格朗日多项式插值算法基本原理函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足)()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1）则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。
拉格朗日求值法
拉格朗日插值法是一种在多个点上逼近某函数的方法，它能够找到一个多项式，使其在给定的点上与原函数相等。
以下是使用拉格朗日插值法的步骤：
1. 定义插值节点：选择一组已知的点（x0, y0），（x1, y1），…，（xn, yn）作为插值节点。
2. 构造拉格朗日插值多项式：对于每个点（xi, yi），构造一个拉格朗日基本多项式Gi（x）。
每个Gi（x）可以表示为：
Gi(x) = (yi - y0) / (xi - x0) * Gi-1(x) + (x - xi) / (xi - x0) * Gj(x)
其中，Gi-1(x)是Gi(x)的差分，Gj(x)是与Gi(x)相邻的另一个拉格朗日基本多项式。
3. 计算拉格朗日插值多项式：将所有Gi（x）相加，得到拉格朗日插值多项式L(x)：
L(x) = Gi(x) + Gi-1(x) + … + G0(x)
其中，G0(x)是第一个拉格朗日基本多项式。
4. 使用拉格朗日插值多项式进行计算：在给定的插值节点上，L(x)应该与原函数相等。
因此，可以使用L(x)来估计原函数在任意点的值。
以上是使用拉格朗日插值法的一般步骤，它可以在数值分析、计算机图形学、物理模拟等领域得到广泛应用。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于根据给定的一些数据点，推断出未知点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过一个多项式函数来拟合已知的数据点，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
拉格朗日插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] yi * Li(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = ∏[j=0 to n, j≠i] (x-xj) / (xi-xj)拉格朗日插值公式的优点是简单易懂，计算方便。
但是随着数据点的增多，计算量也会增大，且插值函数的阶数较高时容易产生龙格现象，导致插值结果不稳定。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿在17世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过差商的形式来表示插值多项式，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
牛顿插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] fi(x) * wi(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，fi(x)是牛顿插值基函数，定义为：fi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj)wi(x)是差商，定义为：wi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj) / (xi-xj)牛顿插值公式的优点是计算效率高，且插值函数的阶数较高时也能保持较好的精度。
拉格朗日插值法
01
收敛性分析是研究拉格朗日插值法的一个重要方面，它涉及到该方法在何种条 件下能够准确地逼近未知函数。
02
在理论上，如果已知数据点足够多且分布均匀，那么拉格朗日插值多项式就能 够很好地逼近未知函数。
03
然而，在实际应用中，由于计算复杂度和数据可获取性的限制，我们通常只能 使用有限数量的数据点进行插值。因此，收敛性分析对于确定拉格朗日插值法 的精度和适用范围具有重要意义。
拉格朗日插值法的几何意义
从几何意义上讲，拉格朗日插值 法是通过在已知数据点上放置一 个多项式曲线，使得该曲线尽可
能接近原始数据点。
这意味着，拉格朗日插值多项式 在每个已知数据点上取值为零， 而在其他点上取值与原函数相近。
这种几何意义有助于我们更好地 理解拉格朗日插值法的原理和应
用。
拉格朗日插值法的收敛性分析
在实际应用方面，可以考虑如何 优化拉格朗日插值法的计算效率 和存储需求，以适应大规模数据 处理的需要。此外，可以探索拉 格朗日插值法在其他领域的应用， 例如金融、生物信息学和环境科 学等。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的不断发展，可以考虑如何 利用这些技术来改进拉格朗日插 值法，例如通过神经网络或其他 机器学习方法来自动选择合适的 插值模型和参数。这将有助于提 高插值精度和泛化能力，并减少 人工干预和主观判断的误差。
03
拉格朗日插值法还有一些局限性，例如对于非线性数据的 插值效果较差，且容易受到数据异常值的影响。为了解决 这些问题，研究者们提出了许多改进的方法，如样条插值 、克里格插值和局部加权散点平滑插值等。
对未来研究的建议和展望
未来研究可以进一步探讨拉格朗 日插值法的理论性质，例如其收 敛性和稳定性等。此外，可以研 究如何将拉格朗日插值法与其他 数学方法或机器学习方法相结合， 以提高其预测精度和泛化能力。
excel 拉格朗日插值公式 ilint
excel拉格朗日插值公式ilint 在Excel中使用拉格朗日插值公式ilint进行数据插值是一种常见的方法，可以通过这种方法来估算未知数据点的值。
拉格朗日插值是一种多项式插值方法，利用已知数据点的函数值来构造一个多项式，通过插值计算出其他点的值。
在Excel中，我们可以通过逐步计算插值多项式的方式来实现拉格朗日插值。
首先，我们需要准备已知的数据点，通常包括自变量和因变量。
然后，我们可以通过以下步骤来计算插值多项式：
1.计算拉格朗日插值基函数
在Excel中，我们可以通过编写公式来计算拉格朗日插值基函数。
基函数的公式为：
L(x)=∏(x-xi)/∏(xi-xj)，其中i≠j
2.计算插值多项式的系数
根据已知数据点和基函数，我们可以计算出插值多项式的系数。
系数的计算需要将基函数代入多项式的形式，然后利用线性代数的方法解方程组得到。
3.插值计算
通过插值多项式的系数，我们可以得到未知数据点的估算值，从而完成数据的插值计算。
在Excel中，我们可以通过使用函数和公式的方式来实现拉格朗日插值计算，这样可以节省时间并提高工作效率。
同时，也可以通过插值结果来进行数据分析和预测，帮助我们更好地了解数据之间的关系。
总的来说，Excel中的拉格朗日插值方法可以帮助我们方便、快速地进行数据插值计算，是一种实用的数据分析工具。
如果我们掌握了这种方法，就能更好地应对数据处理和分析的挑战，提高工作效率和准确性。
希望以上内容能对你有所帮助。
内插法的计算公式
内插法的计算公式内插法是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点之间估计未知数据点的值。
内插法通过构造合理的插值函数，在插值区间内进行计算。
本文将介绍两种常见的内插法，分别是线性插值和拉格朗日多项式插值。
一、线性插值线性插值是一种简单且直观的内插法，适用于数据点较少的情况。
它基于线性函数的特性进行计算，公式如下：设已知数据点为 (x0, y0) 和 (x1, y1)，要估计在 x0 和 x1 之间的某个点 x 的值 y，则线性插值公式为：y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) （1）其中，y0 和 y1 分别是已知数据点 x0 和 x1 对应的函数值。
使用线性插值时需要注意两点：首先，x 的取值范围必须在 x0 和 x1 之间；其次，线性插值的准确性受到数据点的分布和函数曲线变化的影响。
二、拉格朗日多项式插值拉格朗日多项式插值是一种更为精确的内插方法，适用于数据点较多且分布不规则的情况。
它利用多个数据点构造一个多项式函数，并根据插值点的位置进行计算。
拉格朗日多项式插值的计算公式如下：假设已知的 n+1 个数据点为 (x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn)，要估计在 x0 至 xn 之间某个点 x 的值 y，则拉格朗日插值多项式的计算公式为：y = L0(x)*y0 + L1(x)*y1 + ... + Ln(x)*yn （2）其中，Ln(x) 是拉格朗日基函数，由以下公式给出：Ln(x) = Π(j=0;j≠i)ⁿ (x - xj) / (xi - xj) （3）公式（3）中，i 表示基函数 Ln(x) 对应的数据点的索引。
拉格朗日多项式插值具有较高的精度和稳定性，但当数据点数量较大时，计算量会增加，同时插值函数的高次项可能引发数值计算的误差。
综上所述，线性插值和拉格朗日多项式插值是常见的两种内插法，可用于估计已知数据点之间的未知数据点的值。
5 多项式插值的拉格朗日方法
j 0 j i
n
x xj xi x j
在[ , ]上反复使用罗尔定理
( , )
( n1)
( ) 0
即R( n1) ( ) ( x)(n 1)! 0
即f
( ) ( x)(n 1)! 1 ( n 1) ( x) f ( ) (n 1)!
( n 1)
简略记号
若记 则 wn 1 ( x) ( x xi )
i 0 n
wn 1 ( x) li ( x) ( x xi ) w'n 1 ( xi )
n
Pn ( x) Ln ( x) f ( xi )li ( x)
i 0
Ln (x)称为拉格朗日插值多项 式
拉格朗日插值多项式余项估计
定理2.1设f ( x)在[a, b]n阶可微，f ( n 1) ( x), xi [a, b], f ( xi ) yi (i 0,1 n), Pn ( x)为插值多项式 Rn ( x) f ( x) Pn ( x) 则x [a, b], (min{x0 , xn }, max{x0 , xn }) ( , )
记 l0 ( x0 ) l0 ( x1 ) C l (x ) 0 n ln ( x0 ) ln ( x1 ) l n ( xn )
分析（一）
若C为单位阵，则 k f ( xk )，k 0,1n a
拉格朗日插值法
Lagrange polynomial 维基百科，自由的百科全书
定义
对某个多项式函数，已知有给定的 个取值点：
其中 对应着自变量的位置，而 对应着函数在这个位置(每一个y值都不等于0)的取 值。 假设任意两个不同的 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗 日插值多项式为：
其中每个
几何性质
拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式 （由某一组 确定）可以看做是由次数不超过 n 的多项式所组成的线性空 间： 的一组基底。首先，如果存在一组系数： 使得， ， 那么，一方面多项式P是满足 的拉格 朗日插值多项式，另一方面P是零多项式，所以取值永远是0。所以 。 这证明了 是线性无关的。同时它一共包含 个多项式，恰好等于 的维数。所以 构成了 的一组基底。 拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是 n 次多项 式）。
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。在拉格朗日插值法中，运用 多项式 可以将拉格朗日基本多项式重新写为：
定义重心权
上面的表达式可以简化为：
于是拉格朗日插值多项式变为：
即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。它的优点 是当插值点的个数增加一个时，将每个 都除以 ，就可以得到新的重 心权 ，计算复杂度为 ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度 降了一个量级。 将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数 插值，可以得到：
优点与缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中， 当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整 个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代 替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因 此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在 附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙 格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
matlab 拉格朗日插值多项式
matlab 拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值多项式是一种基于差商的插值方法，它可以用于生
成通过给定数据点的曲线。
该方法的实现依赖于 MATLAB 的插值函数。
以下是一个简单的分步骤的过程来解释如何使用 MATLAB 来使用拉格
朗日插值多项式进行插值。
第一步是定义数据点。
要使用拉格朗日插值多项式，需要有一组
完整的数据点。
可以使用 MATLAB 预定义的数据或手动定义自己的数据。
第二步是创建插值函数。
可以使用 MATLAB 的 interp1 函数来
定义插值函数。
该函数需要数据点和插值点作为输入，以及插值函数
类型（在此处选择拉格朗日插值多项式）。
第三步是绘制数据和插值曲线。
可以使用 plot 函数来对数据和
插值曲线进行绘图。
这使得您可以可视化数据点和插值过程，并检查
结果的准确性。
第四步是调整插值精度。
可以使用 MATLAB 的 interp1 函数来
调整插值的精度。
通常，较高的精度会导致更准确的结果，但也会增
加计算时间。
最后一步是验证和测试。
最后一步是验证和测试已生成的拉格朗
日插值多项式。
可以使用 MATLAB 的测试函数和可视化工具来检查曲
线的准确性和精度。
总之，使用 MATLAB 进行拉格朗日插值多项式插值是一种灵活、
快速、易用的方法。
使用该方法，可以快速生成插值曲线，使您能够
更好地理解数据，做出更明智的决策。
是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数
是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数n次拉格朗日插值多项式是一个基于数据集合X=[x_0,x_1,...,x_n]和Y=[y_0,y_1,...,y_n]利用n+1个各自有不同x值的点之间的插值多项式方法，通过求解可是构造出一个精确拟合数据点y值的多项式表达函数。
1. 简介n次拉格朗日插值多项式是基于拉格朗日插值得出的曲线，拉格朗日插值在拟合Y值的曲线上的点的X值并不相等，而是分别为x_0，x_1...x_n的n+1个点，然后通过反推出拟合度更高的曲线，在拉格朗日插值的基础上使用了n+1次多项式来拟合原始数据，从而得出n次拉格朗日插值多项式。
2. 公式n次拉格朗日插值多项式的插值表达式为：P_n(x)=∑_(i=1)^n▒L_i(x)y_i其中，L_i是拉格朗日插值基函数：L_i(x)=∏_(j=0,j≠i)^n▒(x-x_j) / (x_i-x_j)3. 特点（1）n次拉格朗日插值多项式的拟合精度比一般的拉格朗日插值要高。
（2）在拉格朗日插值的基础上，使用较高的多项式对原始数据进行插值并得出精确的拟合曲线，在保证拟合能力的前提下，由于多项式的次数少，可以极大简化算法。
（3）n次拉格朗日插值多项式可以用多种数值方法求解。
（4）n次拉格朗日插值多项式具有浮点数误差约束，在计算拟合曲线时不容易出现“走样”现象。
4. 应用（1）n次拉格朗日插值多项式的应用比较广泛，广泛应用于工程、物理和统计数据分析中。
（2）n次拉格朗日插值多项式在拟合曲线时具有较高的精度，可以用于曲线的更精细拟合，如在能量谱线拟合、测量实验等多项偏差曲线拟合中有很强的性能。
（3）n次拉格朗日插值多项式可以用于任意类型的变量插值，如在递推法计算中，n次拉格朗日插值多项式可以在递推过程中进行优化，从而提高计算效率。
拉格朗日多项式的使用条件
拉格朗日多项式的使用条件
拉格朗日多项式主要用于插值问题，即已知一些点的函数值，求解通过这些点的函数值的多项式函数。
使用拉格朗日多项式，需要满足以下条件：
1.已知点的个数n必须大于等于1，并且点的横坐标不能重复；
2.求解的多项式函数次数不能超过n-1次；
3.这些点必须满足唯一确定性的条件，例如不能有两个点在同一条垂直线上，否则无法唯一地求解出对应的函数值。
使用拉格朗日多项式能够求解出所有满足以上条件的插值问题。
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拉格朗日多项式插值法浅析摘要拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。
“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。
下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。
【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。
但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。
例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。
这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。
应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。
一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。
当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。
一、拉格朗日多项式插值算法基本原理函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足)()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1）则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。
即是求一个不超过N 次多项式0111...)(a x a x a x a x P N N N N N ++++=-- (N i ...1,0=)满足 )()(i i N x f x P = (N i ...1,0=)则)(x P N 成为)(x f 的N 次拉格朗日插值多项式。
二、拉格朗日插值多项式的构造1、线性插值当 n = 1时即为线性插值, 这也是代数插值最简单的形式。
根据给定函数)(x f 在两个互异节点1x 、2x 的值)(1x f 、)(2x f ，用线性函数b ax x P +=)(来近似代替)(x f 。
由点斜式直线方程可得:10010)()(x x x x y y y x P ---+= （2） 公式（1）可整理写成：1011011)(x x x x y x x x x y x P --+--= （3） 式（2）的右端的每一项都包含了一个线性因子，记 1010,1)(x x x x x L --=101,1)(x x x x x L --= （4） 很容易看出来，1)()(11,100,1==x L x L ，0)()(01,110,1==x L x L ，因此式（3）中的多项式)(1x p 也给定两个定点：01001)0()(y y y x P =+= 11011)0()(y y y x P =+= （5）式（3）中的项)(0,1x L 和)(1,1x L 称为基于节点0x 和1x 的拉格朗日系数多项式（线性插值基函数）。
利用这种记法，式（2）可以记为和式: )()(,111x L yx P k k k∑== （6）也可以写成如下的矩阵：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111)(0100110110101x x x x x x x x x x x y y x P （7） 2、二次插值当 n = 1时即为线性插值, 这也是常用代数插值。
根据给定函数)(x f 在两个互异节点1x 、2x 、3x 的值)(1x f 、)(2x f 、)(3x f ，构造次数不超过二次的多项式 c bx ax x P ++=22)(来近似代替)(x f 。
使满足二次插值条件)()(2i i x f x P =（2,1,0=i ）。
)(2x p 的参数直接由插值条件决定，并满足下面方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21221121020yc bx ax y c bx ax y c bx ax （6） 仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。
求二次式1)(00=x L ，0)(10=x L ，0)(20=x L ，因1x 、2x 是)(0x L 的两个零点，因此设))(()(210x x x x m x L --=，又1)(00=x L ，确定系数c=))((12010x x x x --，从而导出:))(())(()(2010210x x x x x x x x x L ----=(7)同理，构造出条件满足0)(01=x L ，1)(11=x L ，0)(21=x L 的插值多项式))(())(()(2112010x x x x x x x x x L ----=（8）构造出条件满足0)(02=x L ，0)(12=x L ，1)(22=x L 的插值多项式))(())(()(1221020x x x x x x x x x L ----=（9）式（7）（8）（9）中的项)(0x L 、)(1x L 和)(2x L 称为基于节点0x 、1x 和3x 的拉格朗日系数多项式（二次插值基函数）。
利用这种记法，相应的有： )()(,122x L yx P k k k∑== （10）也可以写成如下的矩阵：()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------+-------+---=1))(())(())((1))(())(())((1))(()2)(())((12120210120210120221012021012021*******1010212010212x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y P3、N 次插值当插值点增加到 N+ 1个时, 就可以通过 N+ 1个不同的已知点(i i y x ,) 来构造一个次数为n 的代数多项式 P (x)。
类似二次插值, 先构造一个特殊的 n 次多项式)(x L i ，使其各点满足=)(0x L k 0)(...)(11====k k k x L x L ，1)(=k k x L ，0)(...)(11===++n k k k x L x L ，因1x 、2x …n x 是)(x L k 的N 个零点，因此设))...()()...()(()(1121n k k k k x x x x x x x x x x m x L -----=+-，又1)(=k k x L ，确定系数))((12010x x x x m k --=，从而导出:))...()()...()(())...()()...()(()(11211121,n k k k k k k n k k k N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L ----------=+-+- (12)相应的有：)()(,10x L yx P k Nk kN ∑== (13)也可以写成如下的矩阵：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+++------+++------+++--=------1)()()()()()(1)()()()()()(1)()()()()()(1 (1101101012110)1012010120101010210102101010M ΛΛΛΛΛM ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛN N N N N N N N N N N N N N NN N N n N N N N N N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y P4、Lagrange 插值余项设],[1b a C f N +∈，且0x ，1x ，2x ，...,N x ∈[a,b]为N+1个节点。
如果x ∈[a,b],则)()()(x E x P x f N N += (14)其中)(x P N 是可以用来逼近)(x f 的多项式：)()()()(,0x L x f x P x f k N Nk k N ∑==≈ (15)误差项)(x E N 形如)!1()())...()(()(110+---=+N c fx x x x x x x E N N N (16)C 为区间],[b a 内的某个值。
三、拉格朗日多项式插值实现流程1、根据初始数据X 的取值求出相应的Y 值；2、建立W*W 的矩阵；3、利用卷积公式计算基于节点的Lagrange 系数矩阵；4、求)()(0,x L y x P Nk k N k N ∑==四、MATLAB 程序代码Lagrange 多项式逼近程序function [C,L]=lagran(X,Y) w=length(X); n=w-1;L=zeros(w,w); for k=1: n+1 V=1;for j=1: n+1 if k~=jV=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); end endL(k,:)=V; end C=Y*L;五、实验结果考虑[0.0,1.2]上的曲线)cos()(x x f y ==。
（1）利用节点0x =0.0和1x =1.2构造线性插值多项式)(1x P ； （2）利用节点0x =0.0,1x =0.8和2x =1.8构造线性插值多项式)(2x P ； （3）利用节点0x =0.0,1x =0.4，2x =0.8和3x =1.2构造线性插值多项式)(3x P 。
解答： （1）输入X=[0.0,1.2]; Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)输出 C =-0.5314 1.0000L =-0.8333 1.0000 0.8333 0 则一次逼近函数为15314.0)(1+-=x x P 误差函数为)cos(15314.0)(1x x x E -+-= 函数图像和误差函数图像00.51 1.50.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51 1.5-0.16-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02(2) 输入X=[0.0, 0.6,1.2]; Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)输出 C =-0.4004 -0.0508 1.0000 L =1.3889 -2.5000 1.0000 -2.77783.3333 0 1.3889 -0.8333 0则一次逼近函数为10508.04004.0)(22+--=x x x P 误差函数为)cos(10508.04004.0)(22x x x x E -+--= 函数图像和误差函数图像0.510.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95100.51-8-6-4-20246810-3(3) 输入X=[0.0,0.4,0.8 1.2]; Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)输出 C =0.0922 -0.5651 0.0139 1.0000L =-2.6042 6.2500 -4.5833 1.00007.8125 -15.6250 7.5000 0 -7.8125 12.5000 -3.7500 0 2.6042 -3.1250 0.8333 0 则一次逼近函数为10139.05651.00922.0)(231++-=x x x x P 误差函数为)cos(10139.05651.00922.0)(233x x x x x E -++-=函数图像和误差函数图像0.50.60.70.80.911.11.20.0020.0040.0060.0080.010.0120.014六、实验分析拉格朗日多项式插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。