高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列、排列数公式课件 苏教版选修2-3

[小组合作型]
排列的概念 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回 的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组；
(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信． 【精彩点拨】 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否 与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 【自主解答】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的， 不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd， bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb， 共有 24 个．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方 式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为 分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变 的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完 成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
阶
阶
段
段
一
三
1.2 排列
第 1 课时 排列 排列数公式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所 有排列．(重点)
2．掌握排列数公式及其推导方法，并能运用排列数公式进行运算或 证明．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 1 排列的概念 阅读教材 P11“例 1”以上部分，完成下列问题． 一般地，从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的__顺__序__排成 一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．
[再练一题] 3．求 3A8x＝4Ax9－1中的 x. 【导学号：29440004】 【解】 原方程 3A8x＝4Ax9－1可化为38×－8x！！＝140×－9x！！， 即38×－8x！！＝10－x4×99－×x8！8－x！，化简， 得 x2－19x＋78＝0，解得 x1＝6，x2＝13. 由题意知xx－≤18≤，9， 解得 x≤8. 所以原方程的解为 x＝6.
种数就是排列数 A2n.由分步计数原理知完成上述填空共有 n(n－1)种填法，所以 A2n＝n(n－1)．
探究 3 你能写出 Anm的值吗？有什么特征？若 m＝n 呢？ 【提示】 Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)． (1)公式特征：第一个因数是 n，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一 个因数是 n－m＋1，共有 m 个因数； (2)全排列：当 n＝m 时，即 n 个不同元素全部取出的一个排列． 全排列数：Ann＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做 n 的阶乘)． 另外，我们规定 0！＝1. 所以 Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n－n！m！＝AAnn－ －nnmm.
(2)证明：∵Amn＋1－Amn ＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！
＝n－n！m！·n＋n＋1－1 m－1 ＝n－n！m！·n＋1m－m
＝m·n＋1n－！m！
∴Amn＋1－Amn
＝mAmn －1， ＝mAmn －1.
排列数的计算方法 1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用 时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排 列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这 是排列数公式的逆用． 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
探究 2 由探究 1 知 A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出 A2n的意 义和 A2n的值？
【提示】 A2n的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n 个元素 a1，a2，…， an 中任取 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列； 反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的
教材整理 2 排列数与排列数公式
阅读教材 P13～P14，完成下列问题. 排列数定 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_排__列__的__个__数__，叫 义及表示 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示 全排列的
概念 n 个不同元素_全__部__取__出__的一个排列
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序 问题，属于排列问题．
(6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问 题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二 是“与顺序有关”．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( ) (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 属于排列问题．( ) (3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于 排列问题．( ) (4)从 3,5,7,9 中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问 题．( ) (5)从 1,2,3,4 中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问 题．( )
所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA， CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA 共 14 种． 【答案】 (1)12 (2)14
[探究共研型]
排列数公式的推导及应用 探究 1 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数字游戏． 从这 4 个数字中选出 2 个或 3 个分别能构成多少个无重复数字的两位数或 三位数？ 【提示】 从这 4 个数字中选出 2 个能构成 A24＝4×3＝12 个无重复数字的 两位数；若选出 3 个能构成 A34＝4×3×2＝24 个无重复数字的三位数．
(1)计算：AA16590－＋AA14950； (2)证明：Amn＋1－Anm＝mAmn －1. 【精彩点拨】 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题 首先分析各项的关系，利用 Anm＝n－n！m！进行变形推导． 【自主解答】 (1)法一：AA61590＋－AA49150＝505AA4949－＋1A049A49＝550＋ －110＝230. 法二：AA16590－＋AA14950＝14940！！ ！ ！＋ －9515！ ！ 0！！＝55××190！ ！＋ －91！ 0！＝46××190！！＝230.
Байду номын сангаас
排列的列举问题 写出下列问题的所有排列． (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位 数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列． 【精彩点拨】 (1)直接列举数字． (2)先画树形图，再结合树形图写出．
【自主解答】 (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有 12 个不同的两位数．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排 列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素 的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决 定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不 是排列问题．
[再练一题] 1．判断下列问题是否是排列问题． (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可 得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方 法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来， 不同的出入方式共有多少种？
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州 →北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州， 天津→南京，共 12 种．
(2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B，C，D 中任选一人排)， 而此时兼顾分析 B 的排法，列树形图如图．
【解析】 (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序” 有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同、结果不同．结 果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
特殊情况 Ann＝__n_！，A0n＝_1__,0！＝1__
1．A24＝________，A33＝________. 【解析】 A24＝4×3＝12；
A33＝3×2×1＝6.
【答案】 12 6
2.5A！34 ＝________. 【解析】 5A！34 ＝5×44× ×33× ×22×1＝15.
【答案】
1 5
3．由 1,2,3 这三个数字组成的三位数分别是________． 【解析】 用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个． 【答案】 123,132,213,231,312,321
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________