(精选3份合集)2020届北京市第一七一中学高考数学模拟试卷

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【6套合集】北京市第一七一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析

中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（3分）如图所示，m和n的大小关系是（）A．m＝n B．m＝1.5n C．m＞n D．m＜n3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正方形4．（3分）据有关部门统计，2019年春节期间，广东各大景点的游客总数约25200000人次，将数25200000用科学记数法表示为（）A．2.52×107B．2.52×108C．0.252×107D．0.252×108 5．（3分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．20°6．（3分）某公司销售部有7个职员，他们5月份的工资分别是5300元、5800元、5300元、5500元、5800元、6500元和5800元，那么他们5月份工资的众数是（）A．5300元B．5500元C．5800元D．6500元7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（）A．B．C．D．9．（3分）已知代数式a﹣2b+7的值是13，那么代数式2a﹣4b的值是（）A．6 B．12 C．15 D．2610．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2y﹣y3＝．12．（4分）81的平方根等于．13．（4分）不等式组的解集是．14．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣1，0）、C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为．15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝4，菱形ABCD的面积为4，E 为AD的中点，则OE的长为．16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（，0）、B（0，），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2019+sin45°）0+﹣118．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8．（1）作△ABC的内角∠CAB的平分线，与边BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若AD＝BD，求CD的长度．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）某旅游团于早上8：00从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有100千米，导游张某因有事情，于8：30从该旅行社自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前20分钟到达“珠海长隆”．（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远？21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．22．（7分）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：请根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）这一调查属于（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为名；（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的%（精确到小数点后一位）；（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k 为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．（1）求k的值；（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．25．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，直线l垂直BC，分别交BD、BC于点P、Q．直线l从AB出发，以每秒1cm的速度沿BC方向匀速运动到CD为止；点M沿线段DA以每秒1cm的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，直线1与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝；（2）连接PM和QN，当四边形MPQN为平行四边形时，求t的值；（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解答】解：∵﹣2×（﹣）＝1，∴﹣的倒数是﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．2．（3分）如图所示，m和n的大小关系是（）A．m＝n B．m＝1.5n C．m＞n D．m＜n【分析】根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，可得：m＞n．【解答】解：根据图示，可得：m＞0＞n，∴m＞n．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正方形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）据有关部门统计，2019年春节期间，广东各大景点的游客总数约25200000人次，将数25200000用科学记数法表示为（）A．2.52×107B．2.52×108C．0.252×107D．0.252×108【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：25200000＝2.52×107．故选：A．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．5．（3分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．20°【分析】过点B作BD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠ABD＝∠β．根据平行线的传递性可得BD∥l2，从而得到∠DBC＝∠α＝35°．再根据等边△ABC可得到∠ABC＝60°，就可求出∠DBC，从而解决问题．【解答】解：过点B作BD∥l1，如图，则∠ABD＝∠β．∵l1∥l2，∴BD∥l2，∵∠DBC＝∠α＝35°．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠β＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣25°＝35°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．6．（3分）某公司销售部有7个职员，他们5月份的工资分别是5300元、5800元、5300元、5500元、5800元、6500元和5800元，那么他们5月份工资的众数是（）A．5300元B．5500元C．5800元D．6500元【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数．【解答】解：他们5月份工资的众数是5800元，故选：C．【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（，2），∴OH＝，MH＝2，∴OM＝＝3，∴cosα＝＝，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（3分）已知代数式a﹣2b+7的值是13，那么代数式2a﹣4b的值是（）A．6 B．12 C．15 D．26【分析】首先根据a﹣2b+7＝13，求出a﹣2b的值是多少；然后把求出的a﹣2b的值代入，求出代数式2a﹣4b的值是多少即可．【解答】解：∵a﹣2b+7＝13，∴a﹣2b＝13﹣7＝6，∴2a﹣4b＝2（a﹣2b）＝2×6＝12．故选：B．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），y＝BQ×BP sin B＝x2，当x＝6时，y ＝9；②6＜t＜8，y为常数；③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣t＝14﹣t，QC＝t﹣8，则PQ＝22﹣2t，而△BPQ的高常数，即可求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD为等腰梯形，如下图，分别过点A、D作梯形的高AM、DN交BC于点M、N，则MN＝AD＝2，BM＝NC＝（BC﹣AD）＝3，则AB＝2BM＝6，①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），y＝BQ×BP sin B＝x2，当x＝6时，y＝9，图象中符合条件的有B、D；②6＜t＜8，y为常数；③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣t＝14﹣t，QC＝t﹣8，则PQ＝22﹣2t，而△BPQ的高常数，故y的表达式为一次函数，故在B、D中符合条件的为B，故选：B．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为y（x+y）（x﹣y）【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，属于中考常考题型、12．（4分）81的平方根等于±9 ．【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此求解即可．【解答】解：81的平方根等于：±＝±9．故答案为：±9．【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．13．（4分）不等式组的解集是2＜x≤3 ．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式x﹣1＞1，得：x＞2，解不等式3+2x≥4x﹣3，得：x≤3，所以不等式组的解集为2＜x≤3，故答案为：2＜x≤3．【点评】本题考查了不等式组的解法，求不等式组中每个不等式的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣1，0）、C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为（2，1）．【分析】正确画出图形解决问题即可．【解答】解：观察图象可知：点A1的坐标为（2，1）．故答案为（2，1）．【点评】本题考查坐标与图形变化的性质，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形解决问题．15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝4，菱形ABCD的面积为4，E 为AD的中点，则OE的长为．【分析】直接利用菱形的面积和性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝4，菱形ABCD的面积为4，∴AO＝2，DO＝，∠AOD＝90°，∴AD＝3，∵E为AD的中点，∴OE的长为：AD＝．故答案为：【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AD的长是解题关键．16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（，0）、B（0，），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为27（3+）．【分析】利用相似三角形的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：由题意：A1B1∥A2B2，∴∠AA1B1＝∠A1A2B2，∵∠AB1A1＝∠A1B2A2＝90°，∴△AB1C1∽△A1B2C2，∴＝，∵△AB1A1的周长为3+，△A1B2A2的周长为（3+）•，△A2B3A3的周长为（3+）•（）2，…，△AB n+1A n+1的周长为（3+）•（）n，n∴△A6B7A7的周长为（3+）•（）6＝27（3+）．故答案为：27（3+）．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，规律型问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2019+sin45°）0+﹣1【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3﹣1﹣3＝﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝2x，当x＝时，原式＝2（﹣1）＝2﹣2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8．（1）作△ABC的内角∠CAB的平分线，与边BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若AD＝BD，求CD的长度．【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD＝∠B＝30°，在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝4，然后在Rt△ACD中求CD．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠B，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠DAB＝∠CAD＝∠B，而∠DAB+∠CAD+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B＝30°，在Rt△ACB中，AC＝AB＝4，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，∴CD＝4tan30°＝4×＝．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）某旅游团于早上8：00从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有100千米，导游张某因有事情，于8：30从该旅行社自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前20分钟到达“珠海长隆”．（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远？【分析】（1）设大巴的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，根据题意列出方程，求出方程的解得到结果；（2）设导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程为y千米，根据题意列出方程，求出方程的解得到结果．【解答】解：（1）设大巴的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，根据题意得：＝++，解得：x＝40，经检验x＝40是分式方程的解，且1.5×40＝60，则大巴与小车的平均速度各是40千米/时，60千米/时；（2）设导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程为y千米，由题意得：＝+，解得：y＝40，经检验y＝40是分式方程的解，且符合题意，则导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有40千米．【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．【分析】（1）易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE＝EA＝CE＝AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F＝∠5＝∠1＝∠2，即∠FAE＝∠AEC，由此可证得AF∥EC，即可得出结论；（2）证出AC＝CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE＝AE，FD∥AC．∴BD＝CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE＝AE＝AF．∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．∴∠FAE＝∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF＝EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．22．（7分）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：请根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）这一调查属于抽样调查（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为300 名；（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的35.3 %（精确到小数点后一位）；（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？【分析】（1）男女生所有人数之和；（2）听品三国的学生生人数除以总人数．（3）求出抽取的样本中收听品红楼梦的女学生所占的比例，乘1800即可求解；【解答】解：（1）这一调查属于抽样调查，抽查的人数为：20+10+30+15+30+38+64+42+6+45＝300人；故答案为：抽样调查，300；（2）（64+42）÷300≈35.3%；故答案为：35.3；（3）×1800＝540人该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有540名．【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体以及从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k 为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．（1）求k的值；（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t ﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，∵点A的坐标为（m，3），∴OD＝3，∵tan∠AOC＝．∴＝，即＝，∴AD＝1，∴A（﹣1，3），∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，∴k＝﹣1×3＝﹣3；（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，∴B（3，﹣1），∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；（3）连接OC，由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，∵P是y轴上一点，∴设P（0，t），∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，∵S△PBC＝2S△AOB，∴|t﹣2|＝2×4，∴t＝或t＝﹣，∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，利用待定系数法是解题关键．24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．【分析】（1）过点O作OF⊥AB，由角平分线到性质可得OC＝OF，即可证AB是⊙O的切线；（2）通过证明△ACE∽△ADC，可得＝＝，即可求tan∠D的值；（3）由相似三角形的性质可得，即可求AD＝18，AC＝12＝AF，通过证明△OBF ∽△ABC，可得，可得关于OB，BF的方程组，即可求BF的长，即可求AB 的长．【解答】证明：（1）如图，过点O作OF⊥AB，∵AO平分∠BAC，OF⊥AB，∠ACB＝90°∴OC＝OF，∴OF为⊙O半径，且OF⊥AB∴AB是⊙O切线．（2）连接CE∵DE是直径∴∠DCE＝90°∵∠ACB＝90°∴∠DCE＝∠ACB∴∠DCO＝∠ACE∵OC＝OD∴∠D＝∠DCO∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A∴△ACE∽△ADC∴＝＝∴tan∠D＝（3）∵△ACE∽△ADC∴∴AC2＝AD（AD﹣10），且AC＝AD∴AD＝18∴AC＝12∵AO＝AO，OC＝OF∴Rt△AOF≌Rt△AOC（HL）∴AF＝AC＝12∵∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°∴△OBF∽△ABC∴即∴∴BF＝∴AB＝FA+BF＝12+【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用方程的思想求BF的长度是本题的关键．25．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，直线l垂直BC，分别交BD、BC于点P、Q．直线l从AB出发，以每秒1cm的速度沿BC方向匀速运动到CD为止；点M沿线段DA以每秒1cm的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，直线1与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝；（2）连接PM和QN，当四边形MPQN为平行四边形时，求t的值；（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理可求BD的长，由三角形的面积公式可求CN的长；（2）由勾股定理可求DN的长，通过证明△DMN∽△DAB，可得，可得DM的值，即可求t的值；（3）分两种情况讨论，利用三角形面积公式列出△PMN的面积与t的关系式，可求△PMN 的面积的最大值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴BC＝AD＝4cm，∠BCD＝90°＝∠A，∴BD＝＝5cm，∵S△BCD＝BC×CD＝×BD×CN∴CN＝故答案为：（2）在Rt△CDN中，DN＝＝∵四边形MPQN为平行四边形时∴PQ∥MN，且PQ⊥BC，AD∥BC∴MN⊥AD∴MN∥AB∴△DMN∽△DAB∴即∴DM＝cm∴t＝s（3）∵BD＝5，DN＝∴BN＝如图，过点M作MH⊥BD于点H，∵sin∠MDH＝sin∠BDA＝∴∴MH＝t当0＜t＜∵BQ＝t，∴BP＝t，∴PN＝BD﹣BP﹣DN＝5﹣﹣t＝﹣t∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（﹣t）＝﹣t2+t∴当t＝s时，S△PMN有最大值，且最大值为，当t＝s时，点P与点N重合，点P，点N，点M不构成三角形；当＜t≤4时，如图，∴PN＝BP﹣BN＝t﹣∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（t﹣）＝t2﹣t当＜t≤4时，S△PMN随t的增大而增大，∴当t＝4时，S△PMN最大值为，∵＞∴综上所述：t＝4时，△PMN的面积取得最大值，最大值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题关键．中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.2的算术平方根是（）A. B. C. D. 22.下列运算正确的是（）A. B. C. D.3.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A. B. C. D.5.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法正确的是（）A. 中位数是2B. 众数是17C. 平均数是2D. 方差是26.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A. B. C. D.7.如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（）A.B.C.D.8.如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.-5的相反数是______．10.分解因式：4a2-4a+1=______．11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．13.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．14.同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为______℃．15.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．16.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．三、计算题（本大题共3小题，共20分）17.计算|-6|+（-2）3+（）018.化简：19.小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．四、解答题（本大题共8小题，共82分）20.解不等式组21.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？22.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．23.某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？24.如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：=1.41，=1.73）25.如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，-），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．27.正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在。

2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案

高考模拟试卷参考答案第 7 页共 7 页
高考模拟试卷参考答案第 3 页共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案第 6 页共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分

2020-2021学年北京市高考数学理科模拟试题及答案解析高考模拟题

1
.
4
所以在棱 PA 上存在点 M 使得 BM ∥ 平面 PCD ，此时 AM
1
.
AP 4
（ 18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）因为 f ( x) xea x bx ，所以 f ( x) (1 x)ea x b .
f (2) 2e 2, 2ea 2 2b 2e 2,
依题设，
即
f (2) e 1,
ea 2 b e 1,
4x0 y0 4x0 8y0 8 x0 y0 x0 2 y0 2
4.
当 x0 0 时， y0 1 ， BM 2, AN 2,
所以 AN BM 4 .
综上， AN BM 为定值 .
（ 20）（共 13 分）
解：（Ⅰ） G ( A) 的元素为 2 和 5 .
（Ⅱ）因为存在 an 使得 an a1 ，所以 i N 2 i N , ai a1
3
（Ⅲ） 1
0.
40 8
（ 17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）因为平面 PAD 平面 ABCD ， AB AD ，
所以 AB 平面 PAD .
所以 AB PD .
又因为 PA PD ，
所以 PD 平面 PAB .
（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 PO,CO .
因为 PA PD ，所以 PO AD . 又因为 PO 平面 PAD ，平面 PAD 平面 ABCD ，所以 PO 平面 ABCD . 因为 CO 平面 ABCD ，所以 PO CO . 因为 AC CD ，所以 CO AD . 如图建立空间直角坐标系 O xyz .由题意得，
普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

2020届北京市高考数学理科模拟试题(有答案)(Word版)

普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟检测试卷数学理科

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟检测试卷数学理科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =A ．}1,21{B ．)1,1(-C ．]21,1[-D ．)1,21( 2．复数ii i z )1)(1(-+=在复平面上所对应的点Z 位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 3．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则=7S A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 4．执行右边的程序框图，则输出的S 值等于 A ．91817161+++B ． 9181716151++++ C ． 10191817161++++ D ． 1019181716151+++++5. 正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=A ． 221B ．215C ．213D ．296．右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A ． 3B ．34 C ． 1 D ． 327．同时具有性质“①最小正周期是π，②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是 A．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ． )62sin(π-=x y D ． )62cos(π-=x y左视图视图俯视图APB CO8．对于函数x e x f ax ln )(-=，（a 是实常数），下列结论正确的一个是 A ． 1=a 时， )(x f 有极大值，且极大值点)1,21(0∈x B ． 2=a 时， )(x f 有极小值，且极小值点)41,0(0∈xC ． 21=a 时， )(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈x D ． 0<a 时， )(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y xm -=的一个焦点，则m =．10．圆O 的半径为3，P 是圆O 外一点，5=PO ，PC 是圆O 的切线，C 是切点，则=PC ．11．甲从点O 出发先向东行走了km 3，又向北行走了km 1到达点P ，乙从点O 出发向北偏西︒60方向行走了km 4到达点Q ，则Q P ,两点间的距离为．12．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．13．若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则A 的面积为；当a 的值从2-连续变化到1时，动直线a y x l =+:扫过的A 中的那部分区域的面积为．14．已知条件:p ABC ∆不是等边三角形，给出下列条件：①ABC ∆的三个内角不全是︒60②ABC ∆的三个内角全不是︒60 ③ABC ∆至多有一个内角为︒60④ABC ∆至少有两个内角不为︒60则其中是p 的充要条件的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积． 16．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2==AD PA ，F E ，分别是棱PC AD ,的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAB ；（Ⅱ）求证：⊥EF 平面PBC ；（Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．P17．（本小题满分13分）对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，列出乙的得分统计表如下：（Ⅰ）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在乙所进行的100场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛，再从这10场比赛中随机选出2场作进一步分析，记这2场比赛中得分不低于30分的场数为ξ，求ξ的分布列．18．（本小题满分13分）已知函数b ax x x f +-=3)(3，),(R b a ∈．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为023=-+a y ax ，且)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点，求a 的取值范围． 19．（本小题满分14分）已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值． 20．（本小题满分13分）对于项数为m 的有穷数列}{n a ，记,,max {21k a a b =中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的“控制数列”，如5,5,2,3,1（Ⅰ）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为5,5,4,3,2，写出所有的}{n a ；（Ⅱ）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C C b a k m k (1=++-为常数m k ,,2,1 =），求证：k k a b =；（Ⅲ）设100=m ，常数)1,21(∈a ，若n an a n n n ⋅--=+2)1(2)1(，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- 的值．答案一、选择题：)0485('=⨯'D B C C B A C C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．16 10．4 11．72 12．3213．2 ；47 14．①③④三、解答题：)0365('=⨯' 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 53cos =B ， ∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A += ……………………2分C B C B sin cos cos sin += ……………………4分102722532254=⨯+⨯= ……………………6分（Ⅱ）A aB b sin sin = ……………………8分 1027254=∴b ， 728=∴b ……………………10分 C ab S ABC sin 21=∴∆， ……………………11分78= ………………………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设G 是PB 的中点，连接GF AG ,∵F E ,分别是PC AD ,的中点， ∴BC GF 21//， BC AE 21// ∴AE GF //，∴AEFG 是平行四边形，∴AG EF // ………………2分∵⊄EF 平面PAB ⊂AG 平面PAB ，∴//EF 平面PAB ………………3分（Ⅱ）∵AB PA =， ∴PB AG ⊥， ………………4分∵ABCD PA ⊥， ∴BC PA ⊥，又∵AB BC ⊥， ∴⊥BC 平面PAB ，∴AG BC ⊥， ………………6分 ∵PB 与BC 相交， ∴⊥AG 平面PBC ， ∴⊥EF 平面PBC ． ………………7分（Ⅲ）以AP AD AB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -， ………………8分∵2==AD PA ， ∴)0,1,0(E ，)0,2,2(C ，)2,0,0(P ，)1,1,1(F 设H 是PD 的中点，连接AH ∵⊥AG 平面PBC ， ∴同理可证⊥AH 平面PCD ，∴是平面PCD 的法向量，)1,1,0(= ………………9分)0,1,2(=，)2,1,0(-=EP设平面PEC 的法向量),,(z y x m = ，则0,0=⋅=⋅m∴02,02=+-=+z y y x 令2=y ，则1,1=-=z x∴)1,2,1(-=m………………12分∴23263||||,cos =⋅=>=<AH m m． ………………13分 ∴二面角D PC E --的大小为︒30 ………………14分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）72.0………………2分（Ⅱ）甲更稳定，………………5分（Ⅲ）按照分层抽样法，在),10,0[),20,10[),30,20[),40,30[ 内抽出的比赛场数分别为3,4,2,1， ………………6分ξ的取值为2,1,0，………………7分1574521)0(21027====C C P ξ， ………………9分1574521)1(2101317==⋅==C C C P ξ， ………………10分 151453)2(21023====C C P ξ ， ………………11分ξ的分布列为：18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）a x x f 33)(2-='， ………………1分（1）当0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，此时)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，……2分（2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x ±=；令0)(>'x f ，得a x -<或a x >令0)(<'x f ，得a x a <<-∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数，在],[a a -上是减函数． ………………5 分（Ⅱ）∵a f 3)0(-='， b f =)0(，∴曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为ax b y 3-=-，即03=-+b y ax ，∴a b 2=，∴a ax x x f 23)(3+-= ………………7 分由（Ⅰ）知，（1）当0≤a 时，)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增，所以题设成立………………8 分（2）当0>a 时，)(x f 在a x -=处达到极大值，在a x =处达到极小值，此时题设成立等价条件是0)(<-a f 或0)(>a f ，即：02)(3)(3<+---a a a a 或02)(3)(3>+-a a a a即：023<++-a a a a a 或023>+-a a a a a ………………11 分解得：10<<a ………………12 分由（1）（2）可知a 的取值范围是)1,(-∞． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）．椭圆 C 的方程为1422=+y x ． ………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ， ………………4分从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ， ………………7分设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=， ………………8分从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-， ………………9分又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -， ………………11分故kk MN 216||+=， ………………12分又∵0>k ， ∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ， ………………13分当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32． ……………………14分 20．（本小题满分13分）（1）数列}{n a 为：2， 3， 4， 5， 1；2， 3， 4， 5， 2；2， 3， 4， 5， 3； 2， 3， 4， 5， 4；2， 3， 4， 5， 5． …………3分（2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1． …………4分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1． …………6分因此，k k a b =． …………8分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=．比较大小，可得3424-->k k a a ．因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a ．又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=．因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -． ………………13分。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷文科11

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷文科创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1.（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A.{1，2，5，6}B.{1}C.{2}D.{1，2，3，4}2.（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A.3+3iB.﹣1+3iC.3+iD.﹣1+i3.（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx5.（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A.﹣1B.﹣2C.﹣5D.16.（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A.x2﹣=1B.﹣y2=1C.x2﹣=1D.﹣y2=17.（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A.3B.4C.5D.68.（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A.﹣2或12B.2或﹣12C.﹣2或﹣12D.2或129.（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A.1+B.1+2C.2+D.210.（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A.a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B.a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C.a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D.a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11.（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=.12.（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=.13.（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于.14.（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为.15.（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥.三、解答题16.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x.（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率.18.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n.19.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°.（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值.20.设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为.（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.21.已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值.参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1.（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A.{1，2，5，6}B.{1}C.{2}D.{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可.【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}.故选：B.【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合.2.（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A.3+3iB.﹣1+3iC.3+iD.﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可.【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i.故选：C.【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查.3.（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可.【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件.故选：C.【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查.4.（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答.【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D.【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f （x）的关系.5.（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A.﹣1B.﹣2C.﹣5D.1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值.【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A.【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键.6.（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A.x2﹣=1B.﹣y2=1C.x2﹣=1D.﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案.【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x.故选：A.【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.7.（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A.3B.4C.5D.6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4.【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4.故选：B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题.8.（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A.﹣2或12B.2或﹣12C.﹣2或﹣12D.2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值.【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12.故选：D.【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题.9.（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A.1+B.1+2C.2+D.2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可.【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C.【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力.10.（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A.a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B.a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C.a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D.a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可.【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键.二、填空题11.（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1= ﹣1 .【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可.【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1.故答案为﹣1.【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础.12.（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 2 .【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC.【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2.故答案为：2.【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题.13.（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于 27 .【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论.【解答】解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27.【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题.14.（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为.【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a.【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：.【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数.15.（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤.（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥.【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择.【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确.故答案为：①④⑤.【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系.三、解答题16.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x.（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值.【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1.…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目.17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率.【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答.【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=.【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率.18.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n.【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n.【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8.∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8.解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣.【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键.19.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°.（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值.【分析】（1）利用V P=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；﹣ABC（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值.【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S==.△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，所以V P=•S△ABC•PA=；﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN.因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=.由MN∥PA得==.【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20.设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为.（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论.【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB.【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题.21.已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值.【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可.【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）.又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100.【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷文科高考模拟卷高考模拟卷

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷文科高考模拟卷高考模拟卷创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B ∩∁A=（）∪A.{2}B.{3，4}C.{1，4，5}D.{2，3，4，5}2.（5分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等3.（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A.（￢p）∨（￢q）B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.p∨q4.（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578.其中一定不正确的结论的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④5.（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（）A. B.C. D.6.（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.7.（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.8.（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数9.（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为（）A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元10.（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，0）B.（0，）C.（0，1）D.（0，+∞）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=.12.（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为.13.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m的值为2，则输出的结果i=.14.（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）.设圆O 上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k=.15.（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=.16.（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17.（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值.19.（13分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n≥？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.20.（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S.中（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算.已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.21.（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=.（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数.（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f （）；（ii）a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数，记为H.若H≤f （x）≤G，求x的取值范围.22.（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B ∩∁A=（）∪A.{2}B.{3，4}C.{1，4，5}D.{2，3，4，5}【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B的交集即可【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则C U A={3，4，5}，又因为B={2，3，4}，则（C U A）∩B={3，4}.故选：B.【点评】此题考查了补集及交集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围.2.（5分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论.【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；所以两条双曲线的焦距相等.故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.3.（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A.（￢p）∨（￢q）B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.p∨q【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）.故选：A.【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题.4.（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578.其中一定不正确的结论的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项.【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且.此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征.综上判断知，①④是一定不正确的故选：D.【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易5.（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（）A. B.C. D.【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确.故选：C.【点评】本题考查函数的表示方法﹣﹣图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征6.（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值.【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin （x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为.故选：B.【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键.7.（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案.【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A.【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键.8.（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案.【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数.故选：D.【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题.9.（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为（）A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元.可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低.由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800.【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z 元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值故选：C.【点评】题给出实际应用问题，要求我们建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题. 10.（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，0）B.（0，）C.（0，1）D.（0，+∞）【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象.由图可求得实数a的取值范围.【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点.则实数a的取值范围是（0，）.故选：B.【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=﹣2+3i.【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2.【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反，z1=2﹣3i，所以z2=﹣2+3i.故答案为：﹣2+3i.【点评】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用. 12.（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为7；（Ⅱ）命中环数的标准差为2.【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案.【解答】解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是=（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，（II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=[（7﹣7）2+（8﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4.故答案为：7，2.【点评】本题以求两人射击命中环数的平均数和方差为载体，考查了样本平均数、方差的计算公式和对特征数的处理等知识，属于基础题.13.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m的值为2，则输出的结果i=4.【分析】框图输入m的值后，根据对A，B，i的赋值执行运算i=i+1，A=A×m，B=B×i，然后判断A＜B是否成立不成立继续执行循环，成立则跳出循环，输出i的值.【解答】解：框图首先给累积变量A，B赋值1，1，给循环变量i赋值0.若输入m的值为2，执行i=1+1，A=1×2=2，B=1×1=1；判断2＜1不成立，执行i=1+1=2，A=2×2=4，B=1×2=2；判断4＜2不成立，执行i=2+1=3，A=4×2=8，B=2×3=6；判断8＜6不成立，执行i=3+1=4，A=8×2=16，B=6×4=24；判断16＜24成立，跳出循环，输出i的值为4.故答案为4.【点评】本题考查了循环结构中的直到型结构，即先执行后判断，不满足条件执行循环，直到满足条件跳出循环，算法结束，是基础题.14.（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）.设圆O 上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k=4.【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O 到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断.【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4.故答案为：4【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键.15.（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=3.【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可.【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3.故答案为：3.【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键.16.（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是3寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案.【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.因为积水深9寸，所以水面半径为寸.则盆中水的体积为（立方寸）.所以则平地降雨量等于（寸）.故答案为3.【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题.17.（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是3，1，6；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=79（用数值作答）.【分析】（Ⅰ）利用新定义，观察图形，即可求得结论；（Ⅱ）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S.【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得∴，∴S=N+﹣1将N=71，L=18代入可得S=79.故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79.【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是关键.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值.【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20.又b=5，解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a.又由正弦定理得即可得到即可得出.【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）.因为0＜A＜π，所以.（Ⅱ）由S===，得到bc=20.又b=5，解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故.又由正弦定理得.【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键.19.（13分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n≥？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q 的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1﹣（﹣2）n≥，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案.【解答】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，显然q≠1，由题意得，由，解得q=﹣2，a3=12，故数列{a n}的通项公式为a n=a3•q n﹣3=12×（﹣2）n﹣3=3×（﹣2）n﹣1.（Ⅱ）由（Ⅰ）有a n=（﹣）×（﹣2）n.若存在正整数n，使得S n≥，则S n==1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥，当n为偶数时，2n≤﹣，上式不成立；当n为奇数时，1+2n≥，即2n≥，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}.【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题.20.（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面.积记为S中（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算.已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.【分析】（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S与V就能把V估作差后利用d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的估大小关系.【解答】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3.因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形.由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.因此DE=，FG=，而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；＜V.证明：（Ⅱ）V估由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，因此，即.又S=ah，所以.于是=.由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V.【点评】本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题.22.（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由.【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围.【解答】解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，.其中a＞m＞n＞0，＞1.（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以.在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=﹣m，于是.若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得.故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则.（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2.又，所以，即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是.将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得.因为k≠0，所以k2＞0.于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2.【点评】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法.21.（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=.（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数.（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；（ii）a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数，记为H.若H≤f （x）≤G，求x的取值范围.【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；（Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（），f（），根据等比数列的定义，即可得到结论；（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围.【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠﹣1}，∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减.（Ⅱ）（i）计算得f（1）=，f（）=，f（）=.∵∴f（1），f（），f（）成等比数列，∵a＞0，b＞0，∴≤∴f（）≤f（）；（ii）由（i）知f（）=，f（）=，故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）.当a=b时，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤；创作人：百里严守创作日期：202B.03.31当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有≤x ≤，即x的取值范围为≤x ≤.【点评】本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校创作人：百里严守创作日期：202B.03.31。

2020届北京市高考文科数学模拟试卷有答案(Word版)(加精)

普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U=R，集合A{x|x＜或x＞2}，则C U A=(A)(-2,2)(B)(-∞,-2)(2,+∞)(C)[-2,2](D)(-∞,-2][2,+∞)（2）若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(A)(-∞,1)(B)(-∞,-1)(C)(1，+∞)(D) (-1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)2(B)(C)(D)（4）若x,y满足，则x+2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9（5）已知函数=3x+()x,则=3x+()x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30（C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m •n ＜0”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的学&科网上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080. 则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）(A) 1033 (B) 1053 (C) 1073 (D)1093 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=__________.（10）若双曲线221y x m -=m =_______________. （11）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是。

2020年北京市高考数学模拟试卷(4月份) (含答案解析)

2020年北京市高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知复数z=−1i−1，则它的共轭复数z−在复平面内对应的点的坐标为()A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)2.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x<0}，则A∪(∁U B)=()A. [−1,0]B. [1,2]C. [0,1]D. (−∞,1]∪[2,+∞)3.下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递增的是()A. f(x)=−x3B. f(x)=√xC. f(x)=x+1x D. f(x)=ln1−x1+x4.函数y=√x+1的值域为()A. [−1,+∞)B. [0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,−1]5.已知圆(x−2)2+y2=9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为()A. 4B. 6C. 8D. 106.将函数y=sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为()A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()A. 12B. √22C. √32D. 18.已知函数f(x)满足f(2x)=2x2−2x−mln2x，若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B.C. (0,+∞)D.9.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1,a5=9，则a1=()A. 13B. −13C. −19D. 1910.某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是()A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是√34c2，则双曲线C的离心率是______．12.已知向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，若m a⃗+n b⃗ 与a⃗−3b⃗ 共线，则mn=______．13.若点(0,1)到抛物线x2=ay准线的距离为2，则a=______ ．14.如图所示在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为_______。

2020年北京高考模拟试题(二卷)数学试卷

2020年北京高考模拟试题（二卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

)1.已知集合2{log 1}A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =（）A ．(1,2]B ．(1+)∞，C ．(1)2，D ．[1+)∞，2.已知直线过A（0，1），B（3，1AB 的倾斜角是（）A .30︒B .60︒ C.120︒ D.150︒3.若()tan(2)4f x x π=+，则()y f x =的最小正周期是（）A.2πB .πC.2πD.3π4.已知复数11Z =-，2=Z i ，若12,Z Z 在复平面对应的点为A ，B ，已知O 为原点，则cos ∠AOB 的值为（）A.1B .0 C.12D 5.已知m ,n 为不同直线，αβ，为不同平面，以下说法正确的是（）。

A.,//,//;n m n m αα⊂则 B.,,//.m n m n αα⊥⊥则C .,,;m m αβαβ⊥⊂⊥则 D.,,//,//,//m n m n αββαβ⊂则；6.若已知函数()cos(2)3f x x π=-，满足：()y f x =上任意一点B 00(,)x y 关于直=x m 的对称点都落在()y f x =图像上，则满足条件的一个m 的值为（）A.6π-B .3πC.23πD .4π7.已知双曲线2213y x -=的虚轴的上端点为P ，右焦点为F ，右顶点为A ，O 为原点，若λμ=+ PA PF PO ，则λμ+的值为（）A .1B .2C .3D .48.在指数函数()(01)=>≠且x f x a a a 的图像上有n 个点123,,,......,,()n A A A A n N +∈，n A 坐标满足(,())n A n f n ，若过3A 做y 轴的垂线交y 轴于(0,8)点，则这n 个点的纵坐标之和为（）A .122n +-B .42n -C .22n -D .142n +-9.若已知函数()=y f x 的定义域为R ，则“对,()(1)x R f x f x ∀∈<+恒成立”是“()f x 在R 内单调递增”的（）条件。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷文科4

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷文科创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题（每小题5分,共40分）1.（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x﹣1）2+（y﹣1）2=22.（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A.{x|﹣3＜x＜2}B.{x|﹣5＜x＜2}C.{x|﹣3＜x＜3}D.{x|﹣5＜x＜3}3.（5分）下列函数中为偶函数的是（）A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2﹣x4.（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B.100C.180D.3005.（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A.3B.4C.5D.66.（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A.1B.C.D.28.（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）5月1日12350005月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A.6升B.8升C.10升D.12升二、填空题9.（5分）复数i（1+i）的实部为.10.（5分）2﹣3，，log25三个数中最大数的是.11.（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=.12.（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=.13.（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为.14.（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题（共80分）15.（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值.16.（13分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？17.（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18.（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点.（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积.19.（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0.（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点. 20.（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M.（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1.（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程.【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2.故选：D.【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题.2.（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A.{x|﹣3＜x＜2}B.{x|﹣5＜x＜2}C.{x|﹣3＜x＜3}D.{x|﹣5＜x＜3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜2}.故选：A.【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力.3.（5分）下列函数中为偶函数的是（）A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2﹣x【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数.【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选：B.【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数.4.（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B.100C.180D.300【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论.【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C.【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础.5.（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A.3B.4C.5D.6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4.【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4.故选：B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.6.（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项.【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件.故选：A.【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义.7.（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A.1B.C.D.2【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==.PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C.【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8.（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）5月1日12350005月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A.6升B.8升C.10升D.12升【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量.【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B.【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.二、填空题9.（5分）复数i（1+i）的实部为﹣1.【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可.【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1.故答案为：﹣1.【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力.10.（5分）2﹣3，，log25三个数中最大数的是log25.【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数.【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25.故答案为：log25.【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题.11.（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=.【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B.【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB===，由b＜a，则B＜A，可得B=.故答案为：.【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题.12.（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=.【分析】求得双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值.【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题.13.（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为7.【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大.即A（2，1）.此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.14.（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于.【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的.从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学.【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题.三、解答题（共80分）15.（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值.【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解.【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查.16.（13分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d.∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易.17.（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论.【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大.【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题.18.（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点.（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积.【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积.【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，=，∴S△VAB∵OC⊥平面VAB，∴V C=•S△VAB=，﹣VAB=V C﹣VAB=.∴V V﹣ABC【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.19.（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0.（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点.【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况.【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，）（）f'（x）﹣0+f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值.（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=.因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点.当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点.综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点.【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型.20.（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M.（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可.【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，∴椭圆C的标准方程为：+y2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行.证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM=1，又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵k BM﹣1====0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行.【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题.。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷文科高考模拟卷6

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷文科高考模拟卷创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A.{0}B.{0，2}C.{﹣2，0}D.{﹣2，0，2}2.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（﹣1，+∞）B.[﹣1，+∞）C.（﹣1，1）∪（1，+∞）D.[﹣1，1）∪（1，+∞）3.（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A.2B.3C.4D.54.（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A. B. C. D.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A.1B.2C.4D.76.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A. B. C. D.17.（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A. B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.8.（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β9.（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A. B. C. D.10.（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共3小题.每小题5分，满分15分.（一）必做题（11～13题）11.（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=.12.（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=.13.（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为.15.（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=.四、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（12分）已知函数.（1）求的值；（2）若，求.17.（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率.18.（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=.（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG.19.（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列.（1）证明：a2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有.20.（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值.21.（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）.（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A.{0}B.{0，2}C.{﹣2，0}D.{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案.【解答】解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A.【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集.2.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（﹣1，+∞）B.[﹣1，+∞）C.（﹣1，1）∪（1，+∞）D.[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围.【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1.∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）.故选：C.【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题.3.（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A.2B.3C.4D.5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3.再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5.【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3.∴|x+yi|=|4﹣3i|==5.故选：D.【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键.4.（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A. B. C. D.【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值.【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=.故选：C.【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A.1B.2C.4D.7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3.模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值.【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理.6.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A. B. C. D.1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1.据此即可得到体积.【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1.∴.因此V===.故选：B.【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.7.（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A. B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0.根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程.【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A.【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l 的方程.着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.8.（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D.【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B.【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键.9.（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A. B. C. D.【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求.【解答】解：由题意设椭圆的方程为.因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3.所以椭圆的方程为.故选：D.【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题. 10.（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来.【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误.故选：B.【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题.二、填空题：本大题共3小题.每小题5分，满分15分.（一）必做题（11～13题）11.（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=15.【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值.【解答】解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15.【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题.12.（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=.【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值.【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：.【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大.13.（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5.【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值.【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，=1+4=5.由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大故答案为：5.【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）.【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程.【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0.化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1.令，得.所以曲线C的参数方程为.故答案为.【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题.15.（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=.【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长.【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=.故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.四、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（12分）已知函数.（1）求的值；（2）若，求.【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解.（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果.【解答】解：（1）（2）∵，，∴.【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合.17.（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率.【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求.（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数.（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率.【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为.（2）重量在[80，85）的有个.（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1. 重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种.设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想.本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题. 20.（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值.【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值.【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y.（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0.（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=.所以当时，|AF|•|BF|的最小值为.【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性.21.（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）.（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M.【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）.分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值.解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）.【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增.（2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当，即时，f′（x）≥0，f （x）在[k，﹣k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k.（ii）当，即时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，∵，∴f（x）的最小值m=f （k）=k，∵，∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k.综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，故f（x）≥f（k）.f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0.所以，f（x）min=f（k）=k.【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键.18.（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=.（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；.（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF.（2）由条件证得AF⊥CF ①，且.在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF.（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG.再由，运算求得结果.【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且.∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②.又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF.（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG.∴=.【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.19.（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列.（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有.【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式.（3）由（2）可得=.利用“裂项求和”即可证明.【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列.∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列.∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1.（3）由（2）可得式=.∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n 项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键.创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。

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【详解】
由碳架结构可知a为(CH3)2C=CH2，b为C(CH3)4，c为(CH3)3CH，d为环丁烷，①a为(CH3)2C=CH2，属于烯烃，d为环丁烷，属于环烷烃，二者分子式相同，结构不同，互为同分异构体，①正确；②b为C(CH3)4，c为(CH3)3CH，二者都属于烷烃，分子式不同，互为同系物，②正确；③a为(CH3)2C=CH2，含有C=C双键，可以发生加聚反应，d为环丁烷，属于环烷烃，不能发生加聚反应，③错误；④都属于烃，一定条件下都可以发生取代反应，④错误；所以①②正确，故答案为：A。
D．氢气所处的状态不明确，故其物质的量无法计算，则转移的电子数无法计算，故D错误；
答案选B。
【点睛】
不管Mg在空气中完全燃烧生成MgO或者是Mg3N2，镁的化合价都升高到+2价，从化合价的变化，算出电子转移的数目。
6．短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加。A是元素Y的单质。常温下，甲的浓溶液具有脱水性，和A发生钝化。丙、丁、戊是由这些元素组成的二元化合物，且丙是无色刺激性气味气体。上述物质的转化关系如图所示。下列说法正确的是（）
3．无法实现的反应是
A．酸和酸反应生成酸B．只有氧化剂的氧化还原反应
C．盐和盐反应生成碱D．一种碱通过化合反应生成一种新的碱
【答案】B
【解析】
【详解】
A．强酸制弱酸是得到新酸和盐，可以实现，A正确；
B．氧化剂得到电子，必须有失去电子的物质，B错误；
C．生成碱需要氢氧根，碱式盐和盐反应可能能生成碱，如Mg(OH)Cl和Na2CO3反应可生产NaOH，C正确；
2021届新高考化学模拟试卷
一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．萜类化合物广泛存在于动植物体内，某萜类化合物如下图所示，下列说法正确的是
A．此萜类化合物的化学式为C10H14O
B．该有机物属于芳香烃
C．分子中所有碳原子均处于同一平面上
D．在浓硫酸、加热条件下，可生成两种芳香烯烃
【答案】B
【解析】
【详解】
A．由于镁反应后变为+2价，故1mol镁反应转移2NA个电子，故A错误；
B．CnH2n的最简式为CH2，故14g此链烃中含有的CH2的物质的量为1mol,则含2NA个C−H键，故B正确；
C．pH=13的氢氧化钡溶液中氢氧根浓度为0.1mol/L，故1L溶液中含有的氢氧根的物质的量为0.1mol，个数为0.1NA个，故C错误；
故选A。
【点睛】
判断分子中共线、共面原子数的技巧
1.任何两个直接相连的原子在同一直线上。
2.任何满足炔烃结构的分子，其所有4个原子在同一直线上。
3.苯环对位上的2个碳原子及与之相连的2个氢原子共4个原子一定在一条直线上。
4.典型所有的原子一定共平面的有：CH2=CH2、CH CH、苯；可能共平面的有：CH2=CH—CH=CH2、。
【详解】
A．丁和戊分别为H2O、H2O2，所含元素种类相同，A正确；
B．简单离子半径：O2->Al3+，B不正确；
C．气态氢化物的还原性：H2O<H2S，C不正确；
D．一种碱通过化合反应可生成一种新的碱，例如氢氧化亚铁、氧气和水化合生成氢氧化铁，D正确。
故选B。
4．X、Y、Z、W为四种短周期主族元素，其中X、Z同族，Y、Z同周期，W是短周期主族元素中原子半径最大的，X原子最外层电子数是其电子层数的3倍，Y的最高正价与最低负价代数和为6。下列说法正确的是
A．Y元素的最高价氧化物的水化物化学式为H2YO4
A．丁和戊中所含元素种类相同
B．简单离子半径大小：X＜Y
C．气态氢化物的还原性：X＞Z
D．Y的简单离子与Z的简单离子在水溶液中可大量共存
【浓溶液具有脱水性，则甲为硫酸；常温下，和A发生钝化，则A为铝(Al)；丙、丁、戊是由这些元素组成的二元化合物，且丙是无色刺激性气味气体，结合转化关系图，可得出丙为SO2，丁为H2O，乙为Al2(SO4)3；SO2与戊反应生成H2SO4，则戊为H2O2。从而得出W、X、Y、Z分别为H、O、Al、S。
B．它们形成的简单离子半径:X>W
C．X、Z两种元素的气态氢化物稳定性:Z>X
D．X与W形成的化合物中阴、阳离子个数比为1:1或1:2
【答案】B
【解析】
【详解】
X原子最外层电子数是核外电子层数的3倍，由于最外层电子数不能超过8个，所以X是O，则Z是S。Y的最高正价与最低负价的代数和为6，说明Y属于第ⅦA，Y、Z同周期，则Y是Cl。W是短周期主族元素中原子半径最大的，所以W是Na。A. Y为氯元素，其最高价氧化物的水化物化学式为HClO4，选项A错误；B、X与W形成的简单离子具有相同电子层结构，核电荷数越大半径越小，则简单离子半径:X>W，选项B正确；C、X（Cl）的非金属性强于Z（S）的，所以HCl的稳定性强于H2S的，选项C错误；D、X与W形成的化合物Na2O、Na2O2中阴、阳离子个数比均为1:2，选项D错误。答案选B。
5．设NA为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）
A．1molMg在空气中完全燃烧生成MgO和Mg3N2，转移的电子数为NA
B．14g分子式为CnH2n的链烃中含有的C—H键的数目为2NA
C．室温时，1.0LpH=13的Ba(OH)2溶液中含有OH-的数目为0.2NA
D．Fe与水蒸汽反应生成22.4L氢气，转移电子数为2NA
【答案】A
【解析】
【详解】
A.由萜类化合物的结构简式可知分子式为C10H14O，故A正确；
B.萜类化合物中含有氧元素，属于芳香化合物，不属于芳香烃，故B错误；
C.萜类化合物中含有4个饱和碳原子，所有碳原子不可能处于同一平面上，故C错误；
D.萜类化合物含有羟基，与羟基相连的碳原子上含有的两个甲基是等效的，在浓硫酸、加热条件下，只能生成一种芳香烯烃，故D错误；
5.只要出现CH4、—CH3或—CX3等，即只要出现饱和碳原子，所有原子肯定不能都在同一平面上。
2．有4种碳骨架如下的烃，下列说法正确的是（）
a． b． c． d．
①a和d是同分异构体②b和c是同系物
③a和d都能发生加聚反应④只有b和c能发生取代反应
A．①②B．①④C．②③D．①②③
【答案】A
【解析】