基本积分公式

⑹ cosxdx six nC; 零常幂幂对，指无指有对；
⑺ sinx dx cox sC ;三角有三对，原反只一对.
微积分 五②
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二、直接积分法
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2.1、直接积分法
利用基本积分公式、不定积分的基本性质，并结合被
积函数的恒等变形可求积分的方法称为直接积分法。
例1 求积分 x2 xdx. 5
dx cos2x
dx sin 2x
se2cxdxtaxnC; cs2cxdxcoxtC;
secxtanxdx sexcC;
cscxcot xdx csx cC ;
⑷ e xdx ex C; ⑸ axdx a x C ;
ln a
⑿
1
1 x
2dx
arcxtaC;n
⒀
1 1x2 dx arcxsC i;n
例1. 求 (2 x)xdx 解：原积分= (2xx3/2)dx
2xdx x3/2dx
x2x13/2 C 13/2
x22x5/2C 5
微积分 五②
二、直接积分法
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例2. 求
t3
3t t
1dt
解：原积分
(t2
31)dt t
t2dt3dt1tdt
t33tlnt C
3
x2 x3x12dx(xx1)(x12)dx x d 2 d x x 2 /2 2 x C
微积分 五②
二、直接积分法
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1
x
4
x
2
dx
x14 1x2 1dx
(x21)dx 1 dxx2
x3/3xarc x tC an
⑶ 利用三角公式分项
例5.求 tan2 xdx 解：原积分= (se2x c1)dx
se2c xdx dx
ta x x n C
微积分 五②
二、直接积分法
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C(x)xx.
微积分 五②
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二、直接积分法
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x dx
dx x
3 x 3 dx d ( )
dx
x2
du
u
dx
x
2 2
(4 )ax d x ax/ln a C
2 x dx x 2 dx e 2 x dx
微积分 五②
二、直接积分法
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2.2、具体分项法
将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.
⑴ 利用乘除法分项
微积分 五②
二、直接积分法
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⑵ 分子、分母加减同一个代数式，然后分项
例3. 求
x 2 dx
1
x2
解：原积分= x12 1x2 1dxdx11x2dx
ห้องสมุดไป่ตู้
dx
例4. 求 x2 (1 x2 )
x arx c C tan
解：原积分= 1x2(x12xx22)dxx12dx1 dxx2
1arctxaC n x
例6. 求 cos2 2xdx
解：原积分= 1c2osxdx12dx12coxsdx
1(xsinx)C
2
sin2
dx xcos2
x(ssi2nixn 2xccoo22ssxx)dx
cdo2xsxsdin 2xx
tx a c n x o C t
微积分 五②
二、直接积分法
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例7 求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
(13x2
12x2)dx311x2d x2
1 dx 1x2
3arcx t a2n arcxsiCn
例8 设生产某产品 x 单位时的边际成本函数为
C( x)
且解固C(定x)成本(是5x00)d0元x，x求dx总成 本x函d数xC(xx). x C
由 C ( ) 代 入 ,可 上 C 求 式 ,得 故
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式⑵
x dx
x 1
1
C
x 5 2
51 2
1
C
2
7
x2
C.
7
判断积分结果是否正确,只要对结果求导,看导数是否
等于被积函数,相等时,结果是正确的,否则是错误的。
验证 2x7 2： C ） （ x5 2x2 x 7
说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系
微积分 五②
§5.2 基本积分公式
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一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
微积分 五②
一、基本积分公式
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1.1、积分法
x1 x xdx x1 C . ( 1)
1
1
启示: 能否根据求导公式得出积分公式？
结论: 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
比如: (arcxs)in 1 1x2
dxarcxsiC n. x
微积分 五②
一、基本积分公式
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1.2、基本积分公式
⑴ 0dx=C (k是常数
⑵
xdx
x);1 1
C
(
⑶ dx ln x C;
x
⑻
⑼
1);
⑽ ⑾