4.2混凝土受弯计算

Cs=s’As’
M
x
Cc =a1 fcbx
T=fyAs
◆ 双筋截面在满足构造要求的条件下，截面达到Mu的标
志仍然是受压边缘混凝土达到cu。
◆ 在受压边缘混凝土应变达到cu前，如受拉钢筋先屈服
，则其破坏形态与适筋梁类似，具有较大延性。
◆ 在截面受弯承载力计算时，受压区混凝土的应力仍可
按等效矩形应力图方法考虑。
ì ¼ Ô Û
Ü Ô × ì ¼ Û ì Ä » ý Í Á Ö ¸
经济配筋率
梁： =（0.6~1.5）%

­ ¼ ¾ Ã Å ä ½ î Â Ê
板： =（0.3~0.8）%
x 2 M f y As (h0 ) f ybh0 (1 0.5 ) 2
M 1 M (1.05 ~ 1.1) h0 f yb f yb 1 0.5
◆ 受压钢筋强度的利用
Ü Ñ Ê ¹ ¸ Ö ½ î
s¡ Ü 15d£ ¬ 400mm
A s'
â Õ · ±¹ ¿ ½ î ¡ Ý 1d 4
d
As
配置受压钢筋后，为防止受压钢筋压曲而导致受压区混凝 土保护层过早崩落影响承载力，必须配置封闭箍筋。 当受压钢筋多于3根时，应设复合箍筋。
cu
a’ A s’ h0 As a >y s
对于适筋梁，受拉钢筋应力s=fy。
fy As a1 f c bh0 a1 f c
4.3.4 适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率
cu
xnb h0
xnb
cu y
cu
h0
y
b1 cu xb b1 xnb b cu y h0 h0
b1
选定材料强度 fy、fc，截面尺寸b、h(h0)后，未知数就
只有x，As，基本公式可解
问题？ M a1 f cbh02 (1 0.5 ) a s a1 f cbh02
a s a s ,max max b
x xb
增加截面尺寸或 fc
？
★截面设计
As<minbh，？
4.4.3. 正截面受弯承载力的计算系数与计算方法 由公式：
a1 fcbh0=Asfy
M = a1 fcbh02 (1－0.5)
或
M = As fy h0(1－ 0.5)
令 as = (10.5) 截面抵抗矩系数
s = 10.5
内力臂系数
M = as α1 fcbh02 =As fy s h0
4.3 正截面受弯承载力计算原理
4.3.1 基本假定 Basic Assumptions
(1) 截面应变保持平面； (2) 不考虑混凝土的抗拉强度；
(3) 混凝土的受压应力-应变关系；
(4) 钢筋的应力-应变关系，受拉钢筋的极限拉应变取0.01。
根据以上四个基本假定，从理论上来说钢筋混凝土构件 的正截面承载力（单向和双向受弯、受压弯、受拉弯）的 计算已不存在问题 但由于混凝土应力-应变关系的复杂性，在实用上还很不 方便。
◆基本公式 Basic Formulae
a1fc
a1 f cbx f y As
C=a1fcbx
M
x=b1xn
x x M M u a1 f cbx(h0 ) f y As (h0 ) 2 2
a1 f cb h0 f y As
M M u a1 f cbh02 (1 0.5 ) a s a1 f cbh02
未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu
基本公式：
a1 f cbx f y A
x x M u a1 f c bx(h0 ) f y As (h0 ) 2 2
x≥bh0时， Mu=？
2 Mu,max as,max a1 fcbh0
这种情况在施工质量出现问题，混凝土没有达到设计强度 时会产生。

fc

fy
0
0
砼
cu
0
y
钢筋

4.3.3 等效矩形应力图Equivalent Rectangular Stress Block
xn
D
xn
D Mu
x
D
Mu
Asfy
Mu
Asfy
Asfy
实际应力图
理想应力图
计算应力图
受压砼的应力图形从实际应力图
理想应力图
等效矩形应力图
x 令 －相对受压区高度 xn— 实际受压区高度 h0 x — 计算受压区高度，x = βxn。
已知：弯矩设计值M 求：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度fy、fc 未知数：受压区高度x、 b，h(h0)、As、fy、fc
基本公式：两个
没有唯一解
设计人员应根据受力性能、材料供应、施工条件、使用
要求等因素综合分析，确定较为经济合理的设计。
★截面复核
已知：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度fy、fc 求：截面的受弯承载力 Mu>M
x h0
—— 相对受压区高度
N 0, M 0,
fy
a1 f cb h0 s As
M u a1 f cbh02 (1 0.5 )
相对受压区高度 不仅反映了
钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ），也反映了钢筋与混凝土的材 料强度比，是反映构件中两种材 料配比本质的参数。
a1fc
M
x=b1xn
C=a1fcbx
基本方程
N 0,
M 0,
Ts=sAs
a1 f cbx s As
x M u a1 f cbx(h0 ) 2
x h0
—— 相对受压区高度
N 0, M 0,
a1 f cb h0 s As
M u a1 f cbh02 (1 0.5 )
1 1 2a s
1 1 2a s s 2
s = 10.5
, as, s之间存在一一对应的关系, 可预先制
成表待查, 因此对于设计题：
M as 2 a1 f cbh0 As

a1 f cbh0
fy
对于校核题：

As f y
a1 f cbh0
as (1 0.5 )
ftk /fyk=1.4ft/1.1fy=1.273ft/fy
min
As ft 0.45 bh fy
◆ 同时不应小于0.2% ◆ 对于现浇板和基础底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋
率不应小于0.15%。
4.4单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 单筋矩形截面 Singly Reinforced Section
cu
a’ A s’ h0 As a >y s
Cs=s’As’
M
x
Cc =a1 fcbx
T=fyAs
当相对受压区高度 ≤b时，截面受力的平衡方程为，
M u a1 fcbh0 as
2
4.5 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
双筋矩形截面
Doubly Reinforced Section
双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。
Ü Ñ Ê ¹ ¸ Ö ½ î
A s'
As
一般来说采用双筋是不经济的，工程中通常仅在以下 情况下采用： ◆ 当截面尺寸和材料强度受建筑使用和施工条件（或 整个工程）限制而不能增加，而计算又不满足适筋截 面条件时，可采用双筋截面，即在受压区配置钢筋以 补充混凝土受压能力的不足。 ◆ 另一方面，由于荷载有多种组合情况，在某一组合 情况下截面承受正弯矩，另一种组合情况下承受负弯 矩，这时也出现双筋截面。 ◆ 此外，由于受压钢筋可以提高截面的延性，因此， 在抗震结构中要求框架梁必须必须配置一定比例的受 压钢筋。
防止少筋脆性破坏
minh / h0
As minbh
◆材料选用：
● 适筋梁的Mu主要取决于fyAs，
因此RC受弯构件的 fc 不宜较高。
现浇梁板：常用C15~C25级混凝土 预制梁板：常用C20~C30级混凝土
● 另一方面，RC受弯构件是带裂缝工作的，
由于裂缝宽度和挠度变形的限制，高强钢筋的强度也不能得 到充分利用。
fc C
a1fc
M
xn
yc
M z
x=b1xn
C
yc
z
Ts
Ts
M = C· z
M = C· z
在极限弯矩的计算中，仅需知道 C 的大小和作用位置yc 就足够了。
可取等效矩形应力图形来代换受压区混凝土应力图
等效矩形应力图的合力大小等于C，形心位置与yc一致
4.3.3 等效矩形应力图Equivalent Rectangular Stress Block
2 0 b
2 0
a s,max b (1 0.5b )
★适筋梁的判别条件
b max b
af c
fy
max b x xb
2 M Mu,max as,max afcbh0 2 as M / afcbh0 as,max asb
这几个判别条件 是等价的 本质是
tu
a1fc
ft
C=a1fcbx
M u f yk As (h0 0.5 x) 2 f ykbh0 (1 0.5 )
近似取1-0.5 =0.98 h=1.1h0
M
x=b1xn
Ts=sAs
As f tk min 0.36 bh f yk
As f tk min 0.36 bh f yk
4.3.3 等效矩形应力图Equivalent Rectangular Stress Block
fc C
a1fc
M
xn
yc
M z
x=b1xn
C
yc
z
Ts
Ts
M = C· z
M = C· z
在极限弯矩的计算中，仅需知道 C 的大小和作用位置yc 就足够了。
4.3.3 等效矩形应力图Equivalent Rectangular Stress Block
C55 0.99 0.79
C60 0.98 0.78
C65 0.97 0.77
C70 0.96 0.76
C75 0.95 0.73
C80 0.94 0.74
a1fc
M
x=b1xn
C=a1fcbx
基本方程
N 0,
M 0,
Ts=sAs
a1 f cbx s As
x M u a1 f cbx(h0 ) 2
fc C
a1fc
M
xn
yc
M z
x=b1xn
C
yc
z
Ts
Ts
M = C· z
C a1 f cbx k1 f cbxn
M = C· z
α1β1等效矩形应 力图系数
x 2( xn yc ) 2(1 k2 ) xn
ห้องสมุดไป่ตู้
表 4-5 混凝土受压区等效矩形应力图系数
a1 b1
≤C50 1.0 0.8
梁常用Ⅱ~Ⅲ级钢筋，板常用Ⅰ~Ⅱ级钢筋。
给定M时
越小， 但混凝土用量和模板费用增加，并影响使用净空高度； ● 反之，b、h(h0)越小，所需的As就越大， 增大。
ì ¼ Ô Û
● 截面尺寸b、h(h0)越大，所需的As就越少，
Ü Ô × ì ¼ Û ì Ä » ý Í Á Ö ¸

­ ¼ ¾ Ã Å ä ½ î Â Ê
C70 0.512 0.381 0.481 0.365
C80 0.493 0.372 0.462 0.356
HRB335 钢筋 HRB400 钢筋
b as,max b as,max
达到界限破坏时的受弯承载力为适筋梁Mu的上限
Mu,max afcbh (1 0.5b ) as,max afcbh
b
★超筋梁的判别条件 本质是
b
> max > b, x > xb a > asb
M > Mmax
这几个判别条件是等价的
4.3.5 最小配筋率
c c =Ecc
h/3 h/4
Mcr=Mu
hh h 7 M cr f tk b f tk bh2 2 4 3 24
Ts=sAs
f y As h0 (1 0.5 ) f y As s h0
截面抵抗矩系数
a s (1 0.5 )
◆适用条件
防止超筋脆性破坏
x b h0 或 b As a1 f c max b bh0 fy M M u ,max a s ,max a1 f cbh02 或 a s a s ,max
fy
相对界限受压区高度仅与材 料性能有关，而与截面尺寸 无关
b1 cu b cu y
1
cu Es
表 5-3 相对界限受压区高度b 和as,max
混凝土强度等级
≤C50 0.550 0.399 0.518 0.384
C60 0.531 0.390 0.499 0.375