流体力学：第5章势流理论-上
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内边界条件：小球表面方程为
F (x x0 )2 y2 z 2 a2
y
o Ｖ(t)
x
x0
(x
x0 )V (t) (x
x0 )
x
y
y
z
z
0
外边界条件：大球面方程为 F x 2 y 2 ，z 2得 R 2
x y z 0
x y z
5.1.4 势流问题的求解方法
定解问题： 2 0 （in fluid）
方法：利用已知流动的特征，“凑”。
V0
m
M
5.3.1 均匀流 (uniform stream)
≠ 0 时：
V V0ei u V0 cos , v V0 sin
u d x v d y V0 x cos V0 y sin
v d x u d y V0 x sin V0 y cos
——速度势在流体域边界面上满足的条件
1)物面边界条件：物面不可穿透
v b — 物面运动速度
v — 流体质点的速度
n — 物面的单位外法向量
n
V0
S ： F(x, y, z,t) 0
vn vb n
（on S）
n
vb
n
n F F
F i F j F k x y z
F x
2
F y
2
n
vb
n
（on S）
寻求速度势满足边界条件 和初始条件的Laplace 方程
的解 (x, y,。z;t)
0 (R )
v
pF
解析解：简单边界问题。 奇点叠加法；保角变换法（平面流）。
数值解：复杂边界问题。
CFD — Computational Fluid Dynamics
5.2 复势（complex potential ）
F F 0
t
若物面静止不动： vb ，0则物面边界条件简化为
0
n
F F F 0 （ on S ）
x x y y z z
2) 无穷远边界条件
（1）大地坐标系：
v0
0 (R )
（2）随体坐标系：若物体以V0 运动，则问题转化为物体不动，
而流体从无穷远处以-V0 流来 —— 绕流问题。
流体力学
第5章 势流理论 (Chapter 5. Potential Flow Theory)
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的 速度分布、压力分布及作用于物体上的力。
Background：
Aviation, ship & ocean eng. water waves.
5.1 势流问题的基本方程和边界条件
F z
2
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
vn vb n
F vb F （on S）
若物面运动：对 F(x, y, z,求t)全（0物质）导数
dF dt
F t
F x
dx dt
F y
dy dt
F z
dz dt
F t
vb
F
0
F F F F 0 t x x y y z z
m arcg y y0
2
x x0
W (z)
m
2
ln( z
z0 )
5.3.3 平面偶极 (dipole)
偶极强度：设强度为m 的源和汇相距 x0
lim m
x0Baidu Nhomakorabea0
x0
M
x +m -m
这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源。
偶极既有大小，又有方向。
位于(x0，y0），沿 -x 轴方向：点源 (x0 , y0，) 点汇 (x0 x0 , y0 )
m
4
ln{(x
x0 )2
(y
y0 )2}
m
4
ln{[x
( x0
x0 )]2
(y
y0 )2}
M
c1
c2
5.2.1 复势的可叠加性 解析函数 W1(z) 1 i1 W2 (的z) 线性2 组i合2 ,
W (z) W1(z) W2 (z)
仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单 流动组合成复杂流动——叠加法
5.3 平面势流的基本解
目的：求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础。 内容：均匀流、点源、点涡、偶极。
势流问题的数学描述—— Mathematical Model
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
v 0
v
0
v
2 0 （in fluid）
Laplace方程是线性方程。要使 解唯一，需给出边界条件、初
v
p(x, y, z,t)
始条件。
R( M )
5.1.2 边界条件(Boundary Condition)
vr
m
2 r
,
v 0
vr
dr
v r
d
m
2
ln
r
v
dr
vrr d
m
2
W (z) m ln r i m m ln z
2
2 2
y
r
x
ψ=const
φ=const
5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink)
点源位于（x0，y0）：
m ln 2
(x x0 )2 ( y y0 )2
借助复变函数数学工具解平面势流问题。
平面势流:φ和ψ都是调和函数， 2 0, ，且2满足0
x y
y x
(C-R 条件)
5.2.1 复势与复速度（复平面）
1)复势函数：W (z) (x, y) i (x, y)
解析函数
平面势流
2)复速度（导数）与流体速度的关系：
z x iy
dW W W i i u iv Vei
d z x (iy) x x y y
dW u iv dz
dW u2 v2 v V dz
5.2.1 复势与复速度（复平面）
3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：
l
dwdz dz
dw
l
l d id l iQl
l
Re
dw l dz
Ql
I
m
l
dw dz
dz
4) W (z) c1 ic2
v 0 (R )
5.1.3 初始条件（initial condition)
初始时刻 t0速度势 (或 )在流 体域内
或边界上满足的条件。
例5-1 半径为R 的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为a
的小球以速度V(t) 在其中运动。试建立速度势定解问题。
解 : 取静坐标系o - xyz
z
2 0 （在流体中）
W (z) V0 z cos iV0 z sin V0 ze i
=0 时：
V0x, V0 y, W (z) V0z
y 平板
V0
o
x
5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink)
源强：源点注入流场的体积流量 m。 m 点0源， m点汇 。0
点源位于（0，0）： m 2 rvr
F (x x0 )2 y2 z 2 a2
y
o Ｖ(t)
x
x0
(x
x0 )V (t) (x
x0 )
x
y
y
z
z
0
外边界条件：大球面方程为 F x 2 y 2 ，z 2得 R 2
x y z 0
x y z
5.1.4 势流问题的求解方法
定解问题： 2 0 （in fluid）
方法：利用已知流动的特征，“凑”。
V0
m
M
5.3.1 均匀流 (uniform stream)
≠ 0 时：
V V0ei u V0 cos , v V0 sin
u d x v d y V0 x cos V0 y sin
v d x u d y V0 x sin V0 y cos
——速度势在流体域边界面上满足的条件
1)物面边界条件：物面不可穿透
v b — 物面运动速度
v — 流体质点的速度
n — 物面的单位外法向量
n
V0
S ： F(x, y, z,t) 0
vn vb n
（on S）
n
vb
n
n F F
F i F j F k x y z
F x
2
F y
2
n
vb
n
（on S）
寻求速度势满足边界条件 和初始条件的Laplace 方程
的解 (x, y,。z;t)
0 (R )
v
pF
解析解：简单边界问题。 奇点叠加法；保角变换法（平面流）。
数值解：复杂边界问题。
CFD — Computational Fluid Dynamics
5.2 复势（complex potential ）
F F 0
t
若物面静止不动： vb ，0则物面边界条件简化为
0
n
F F F 0 （ on S ）
x x y y z z
2) 无穷远边界条件
（1）大地坐标系：
v0
0 (R )
（2）随体坐标系：若物体以V0 运动，则问题转化为物体不动，
而流体从无穷远处以-V0 流来 —— 绕流问题。
流体力学
第5章 势流理论 (Chapter 5. Potential Flow Theory)
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的 速度分布、压力分布及作用于物体上的力。
Background：
Aviation, ship & ocean eng. water waves.
5.1 势流问题的基本方程和边界条件
F z
2
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
vn vb n
F vb F （on S）
若物面运动：对 F(x, y, z,求t)全（0物质）导数
dF dt
F t
F x
dx dt
F y
dy dt
F z
dz dt
F t
vb
F
0
F F F F 0 t x x y y z z
m arcg y y0
2
x x0
W (z)
m
2
ln( z
z0 )
5.3.3 平面偶极 (dipole)
偶极强度：设强度为m 的源和汇相距 x0
lim m
x0Baidu Nhomakorabea0
x0
M
x +m -m
这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源。
偶极既有大小，又有方向。
位于(x0，y0），沿 -x 轴方向：点源 (x0 , y0，) 点汇 (x0 x0 , y0 )
m
4
ln{(x
x0 )2
(y
y0 )2}
m
4
ln{[x
( x0
x0 )]2
(y
y0 )2}
M
c1
c2
5.2.1 复势的可叠加性 解析函数 W1(z) 1 i1 W2 (的z) 线性2 组i合2 ,
W (z) W1(z) W2 (z)
仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单 流动组合成复杂流动——叠加法
5.3 平面势流的基本解
目的：求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础。 内容：均匀流、点源、点涡、偶极。
势流问题的数学描述—— Mathematical Model
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
v 0
v
0
v
2 0 （in fluid）
Laplace方程是线性方程。要使 解唯一，需给出边界条件、初
v
p(x, y, z,t)
始条件。
R( M )
5.1.2 边界条件(Boundary Condition)
vr
m
2 r
,
v 0
vr
dr
v r
d
m
2
ln
r
v
dr
vrr d
m
2
W (z) m ln r i m m ln z
2
2 2
y
r
x
ψ=const
φ=const
5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink)
点源位于（x0，y0）：
m ln 2
(x x0 )2 ( y y0 )2
借助复变函数数学工具解平面势流问题。
平面势流:φ和ψ都是调和函数， 2 0, ，且2满足0
x y
y x
(C-R 条件)
5.2.1 复势与复速度（复平面）
1)复势函数：W (z) (x, y) i (x, y)
解析函数
平面势流
2)复速度（导数）与流体速度的关系：
z x iy
dW W W i i u iv Vei
d z x (iy) x x y y
dW u iv dz
dW u2 v2 v V dz
5.2.1 复势与复速度（复平面）
3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：
l
dwdz dz
dw
l
l d id l iQl
l
Re
dw l dz
Ql
I
m
l
dw dz
dz
4) W (z) c1 ic2
v 0 (R )
5.1.3 初始条件（initial condition)
初始时刻 t0速度势 (或 )在流 体域内
或边界上满足的条件。
例5-1 半径为R 的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为a
的小球以速度V(t) 在其中运动。试建立速度势定解问题。
解 : 取静坐标系o - xyz
z
2 0 （在流体中）
W (z) V0 z cos iV0 z sin V0 ze i
=0 时：
V0x, V0 y, W (z) V0z
y 平板
V0
o
x
5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink)
源强：源点注入流场的体积流量 m。 m 点0源， m点汇 。0
点源位于（0，0）： m 2 rvr