【2013朝阳一模】北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习-理科数学

【2013朝阳一模】北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习-理科数学北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12B ．12-C ．1i 2- D . 1i 2 【答案】A111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A.（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]-- D. [1,3)-【答案】D{}lg(2)0{21}{1}N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以{13}M N x x =-≤<，选D.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC，则实数m 的值为 A ．3- B ．17-C ．35-D ．35【答案】A(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选A.（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为A ．3πB ．2πC ．32πD ．65π 【答案】C直线1cos 2ρθ=对应的直角方程为12x =，由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222xy x+=，即22(1)1x y -+=。

所以圆心为(1,0)C ，半径为1，所以3OCA π∠=，所以223AOB OCA π∠=∠=，选C.（5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P pξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是A ．②B ．③C ．②③D ．①③【答案】C①由sin 1α=，得2,2k k Z παπ=+∈，所以①错误。

②展开式的通项公式为34412414411()()()22k k k k k kk x T C C xx ---+==，由1240k -=得，3k =，所以常数项为341()22C =，所以②正确。

③因为(1)(1)P P pξξ≥=≤-=，所以1(1)(1)1(10)22P P P pξξξ-≥-≤--<<==-，所以③正确。

选C.（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. 42C.62D. 8【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为 2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为122482⨯⨯⨯=。

（7）抛物线22ypx=（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.33B. 1C. 233D. 2 【答案】A（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个C .3个D .4个 【答案】B由题意知0000212(1)12()1(1)(21)63x x x n n x n ++++++++=+++=，因为0,x n N∈，所以12n +≥，021+1xn n ++>。

因为79=321=63⨯⨯，所以当13n +=时，00212321xn x ++=+=，此时解得02,9n x ==，生成点为(9,2)。

当17n +=时，0021279x n x ++=+=，此时解得06,1n x==，生成点为(1,6)。

所以函数()f x 的“生成点”共有2个，选B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）在等比数列{}na 中，32420aa a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 . 【答案】2，10在等比数列中232433220aa a a a -=-=，解得32a =。

在等差数列中332b a ==，所以153535()525521022b b b S b +⨯====⨯=。

（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A为锐角，且3sin b a B =,则tan A =.【答案】24由3sin b a B=得sin 3sin sin B A B=，所以1sin 3A =,22cos 3A =，即2tan 4A =.（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .【答案】20第一次循环，0,1,i S ==-；第二次循环，2,12212,i S ==-+⨯-=；第三次循环，4,22419,i S ==+⨯-=；第四次循环，6,926120i S ==+⨯-=；此时满足条件输出，20S =.（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若3CD =，2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 .DBCOA【答案】1,2，设AD x =，则2CDDA DB=⋅，即2(3)(2)3x x =+=，所以2230xx +-=，解得1x =，即1AD =.所以三角形CDA 为直角三角形，且//,OC BD 所以60OCA CAD ∠=∠=,所以三角形AOC 为正三角形，所以半径2OC AC ==.（13）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .【答案】22(,)53由(2)()f x f x +=得函数的周期是 2.由2()0ax a f x +-=得()2f x ax a =+，设(),2y f x y ax a ==+，作出函数(),2y f x y ax a==+的图象，如图，要使方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则直线2(2)y ax a a x =+=+的斜率满足AHAGk a k <<，由题意可知，(1,2)(32)(2,0)G H A -，，，，所以22=53AHAG k k =，，所以2253a <<，即22(,)53a ∈。

（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】[5,5]-由图象可知，当点A位于点B 时，点C 的纵坐标最大。

当点A 位于点D 时，点C 的纵坐标最小由图象可知(22)B ，,(22)D -，。

当点A 位于点B时，OB =20OA OC OA OC ⋅=⋅=，所以此时52OC =由相似性可知CBM OBy OC=，解得5Cy =，同理当点A 位于点D 时，解得5Cy =-，所以点C 的纵坐标的取值范围是55Cy -≤≤，即[5,5]-。

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数21()sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. （16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ． （17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F分别为侧棱,PB PC上的点，且 PE PFPB PCλ==．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由． （18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x xa x a x a =-++++，其中2a ≤．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.PDA BCFE（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求EM FN ⋅的取值范围. （20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|kk k S xx τ+==-∑，其中111xx =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4一、选择题：二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1cos 1()22x f x x ωω-=-+ 1cos 2x x ωω=+sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. (6)分所以()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， (10)分所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分 （Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以0041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分（Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯． 所以随机变量X 的分布列为所以1171111()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==， 所以 EF BC ．因为BC AD，所以EF AD．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥， 所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥， 所以,,PA AB AD两两垂直． ……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==，所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点，所以11(,,1)22F , 所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-． 设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|3BF CD θ-⋅-=〈〉==，所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为9分（Ⅲ）设0(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y zPC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以0(,,2)(1,1,2)x y zλ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1zλ=，得1(22,0,)λλn=-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0.y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x=，则2(1,1,1)=n．若平面AFD ⊥平面PCD ，则12n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=． 所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD．…………………………………………14分（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为{}0x x >， 且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x --'=-++=…………2分①当0a ≤，即02a ≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞.令()0f x '<，得12ax <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a .③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增.所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e ea a f =--+=--+>，要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点， 需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-.②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增； 且48414(e )20,(2)22ln 20e e f f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a 上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e)e [e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增，从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，依题意得22222,21314a b c c a ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a=，21b=.所以椭圆C的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --.所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为2k >，所以21644k+>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857k k k S x x τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()Sτ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x=，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x=时，使()Sτ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()Sτ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。