六年级上册数学讲义-小升初培优：第04讲 横式数字谜 (解析版)全国通用

第四讲横式数字谜
1、熟练掌握乘除法计算的应用；
2、学会运用不同的数字谜解题技巧解决问题；
3、通过较复杂的数字谜的学习，培养学员验算和探究思索的习惯。

横式数字谜问题是指算式是横式形式，并且只给出了部分运算符号和数字，有些数字或运算符号“残缺”，只要我们根据运算法则，进行判断、推理，从而把算式补充完整。

1、要仔细审题；
2、寻找突破口，缩小选择范围；
3、分情况讨论，试验求解；
4、有时可以将横式问题，转化成我们熟悉的竖式问题来分析。

在下列各式的□里填上合适的数字
(1)237÷□□＝□；(2)368÷□□＝□。

【解析】(1)将除法变为乘法，可以转化为“在237＝□□×□中填入合适的数字”的问题。

因为 237＝237×1＝79×3，所以只有一种填法：237÷79＝3。

(2)问题可以转化为“在368＝□□×□□中填入合适的数字”的问题。

因为368＝368×1＝184×2＝92×4＝46×8＝23×16，其中只有368＝23×16是两个两位数之积。

因而有如下两种填法：368÷23＝16；368÷16＝23。

解答：（1）237÷79＝3；
（2）368÷23＝16；368÷16＝23。

将0、1、2、3、4、5、6七个数字分别填入下式的七个□里，使算式成立。

□□÷□＝□×□＝□□
【解析】为了方便，我们将原式分成两个等式，并在□里填上字母，以示区别：
其中字母A，B，C，D，E，F，G分别代表0～6这七个数字。

由①式看出，E不能是0，否则B也是0，不合题意。

再由②式看出，F，G既不能是0，也不能是1。

F，G只能是 2，3，4，5或6，考虑到E≠0，再除去有重复数字的情形，满足②式的数字填法只有3×4＝12。

此时，还剩下0，5，6三个数字未填。

因为在①式中A，C都不能是0，所以B是0，由60÷5＝12。

解答：60÷5＝3×4＝12。

讲演者：
得分：讲演者：得分：
在下式的□中填入合适的数字，并要求等式中没有重复的数字。

756＝□×□□□
【解析】将乘法式子改写成除法式子：756÷□＝□□□。

因为被除数与商都是三位数，所以除数不能大于被除数的百位数7。

又因为题目要求没有重复数字，所以除数只可能是2，3，4。

逐一试除，得到756÷2＝378，756÷3＝252，756÷4＝189。

只有756÷4＝189没有重复数字。

解答：756＝4×189。

在乘法算式ABC ABC ABDBD
⨯=中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：最后的乘积是多少？
【解析】发现首位数字全是A，首先，要满足两个相同的三位数相乘，乘积是五位数，而400×400＝160000是个六位数，所以A最大是3。

100×100＝10000，200×200＝40000，300×300＝90000，所以A的只能是1。

从个位数字也没办法再分析，我们不妨列竖式来看看，
1 B C 1 0 C
× 1 B C × 1 0 C
□□□□□□
□□□□□□
1 B C 1 0 C
1 B D B D 1 0 D 0 D
为了保证乘积的第二位是B，那么算式中第四行的首位一定是0，即1BC×B最多是两位数。

由此可以推出，B肯定是0 。

为了保证乘积的倒数第二位也是0，那么C只能是2或者3。

若C＝2，则102×102＝10404，满足要求；若C＝2，则103×103＝10609，不满足要求。

解答：最后的乘积是10404。

已知A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、L 、K 分别代表0-9中的不同数字，且有下列4个等式成立：
D －K ×L ＝F ，
E ×E ＝HE ，C ÷K ＝G ，K H H H B ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个H ，求A ＋C 。

【解析】本题中字母很多，四个算式的形式也比较复杂，要从最有特点的算式分析。

D －K ×L ＝F 中只能看到D 比较大；E ×E ＝HE 中看出E 可能是5或者6；C ÷K ＝G 看出C 比较大，且K 和G 都不是1，那么C 可能是6或者8。

K H H H B ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个H 中可以看出B 比较大。

最特殊的是K H H H B ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个H
，K 个一位数
相乘的结果还是一位数，又不能是1，那么当H ＝2时，K 是3；当H ＝3时，K 是2。

因此分两种情况讨论。

（1）当H ＝2，K ＝3时；则C ÷3＝G 。

由于G 不可能是1,2或者3，所以G 至少是4，因此C 会是两位数，不满足条件。

（2）当H ＝3，K ＝2时；则C ÷2＝G ，满足条件的只有8÷2＝4，此时C ＝8，H ＝3，G ＝4，那么就可以得到B ＝8。

在E ×E ＝HE 中满足的只有6×6＝36，因此E ＝6；最后把K ＝2放在D －K ×L ＝F 中考虑：D －2×L ＝F ，由于数字只有0,1,5,7中选择，满足条件的只有7－2×1＝5，因此D ＝7，L ＝1，F ＝5；剩下的数字只有0没有出现，于是A ＝0。

解答：A ＋C ＝0＋8＝8。

在算式+=2000⨯小山羊小山小羊中，“小”、“山”、“羊”各代表一个不同的数字，那么“小山羊”所代表的三位数是什么呢？
【解析】首先观察到一个三位数“小山羊”乘以一个两位数“小山”，得到的数比2000小，因200×20＝4000，已经比2000大，所以“小”只能是1，算式变为+=2000⨯1山羊1山1羊。

因为“1羊”是一个10至20之间的数，则“⨯1山羊1山”应该是一个1980到1990之间的数。

估计“山”的取值：因为140×14＝1960比1980小，150×15＝2250比1980大，所以“山”只能是4。

此时变成了+=2000⨯14羊141羊，将0-9代入，分析左边的尾数，得到“羊”只能是2。

解答：“小山羊”所代表的三位数是142。

在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

那么“至慧学堂”所代表的四位数是多少？
精×慧×精慧＋学＋堂堂＝2008
至×慧＋至慧＝55
【解析】题目中第一个等式未知的汉字多，第二个等式未知的汉字少，因此我们从第二个等式开始解题。

经估算，“至”只能是3或者4，经过试验可得，第二个等式是4×3＋43＝55，所以至＝4，慧＝3；因此第一个算式就可以变成：精×3×精3＋学＋堂堂＝2008，由于“学＋堂堂”最大可能是8＋99＝107，最小可能是0＋11＝11；所以“精×3×精3”的最大可能是1901，最小可能是1997，由此可对首位进行大小估计，只能是“精＝8”时，才符合这个大小的范围，所以精＝8。

将“精＝8”代入第一个算式中得到：8×3×83＋学＋堂堂＝2008，即学＋堂堂＝16，因此，堂＝1，学＝5。

解答：“至慧学堂”所代表的四位数是4351。

把1、2、3、4、8、9这六个数字分别填入□内，使所得的三个三位数之和等于1989。

5□□＋6□□＋7□□＝1989
【解析】先从个位数字分析：和的个位数字是9，那么在1、2、3、4、8、9这六个数字中，三个数字相加等于9或19的数字有：2＋3＋4＝9；2＋8＋9＝19；所以个位上的数字可以填2，3，4，或2，8，9;由此即可展开讨论：（1）当个位数字是2、3、4时，十位数字是：1、8、9；（2）当个位数字是2、8、9时，
个位数字是：1、3、4；由此即可解决问题。

根据题干分析可得：个位上的数字可以填2，3，4，或2，8，9；（1）当个位上的数字分别为2、3、4时：十位上的数字只能填：1、8、9；则三个三位数的和为：500＋600＋700＋10＋80＋90＋2＋3＋4＝1989，正好符合题意；（2）当个位上的数字分别是2、8、9时，十位上数字只能填：1、3、4；则这三个三位数的和为：500＋600＋700＋10＋30＋40＋2＋8＋9＝1899，不符合题意；
解答：答案不唯一，例如512＋683＋794＝1989；或者582＋614＋793＝1989。

下面两个算式是由1-9这9个数字组成的，其中数字5已经填好，请将其余的数字填入□中，使得各等式成立。

□×□＝5□
□□×□÷□＝□
【解析】对于数字谜中除法是很难直接分析的，因此除法可以改写乘法来分析，改写成□□×□＝□×□。

第一个算式中，积的十位数字已确定是5，两个一位数相乘只有6×9＝54和7×8＝56两种可能。

（1）6×9＝54，还剩1、2、3、7、8，其中，最小的数字是1肯定不能填在右边，考虑1在的不同的位置，但是发现都不符合题目要求。

（2）7×8＝56，还剩1、2、3、4、9，同样的，分析1所在的位子，发现符合要求的填法是12×3＝4×9。

解答：原来算式填法是：7×8＝56；12×3÷4＝9或者12×3÷9＝4。

在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

那么“至＋慧＋兔”等于多少？
至＋慧×慧＝至慧
（至＋兔）×（至＋兔）＝至兔
【解析】这个题目中有两个等式，很容易发现第二个等式是很特殊的等式，可以表示两个数和的平方正好
是这个数的本身。

可以两位数是平方数做一下尝试，发现9×9＝81符合题目的要求，所以至＝8，兔＝1；那么第一个算式就可以转化为：8＋慧×慧＝8慧，等式右边至少是80，慧×慧＞80－8＞72，所以慧＝9。

解答：至＋慧＋兔＝8＋9＋1＝18。

高斯的故事
1796年的一天，德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的数学题。

正常情况下，青年总是在两个小时内完成这项特殊作业。

像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。

第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。

青年没有在意，像做前两道题一样开始做起来。

然而，做着做着，青年感到越来越吃力。

困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题。

当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题。

作业交给导师后，导师当即惊呆了。

他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。

”
多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。

”
这个青年就是数学王子高斯。