《徐翠微计算方法引论》

第二章 插值法

知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。

实际问题中，时常不能给出f （x ）的解析表达式或f （x ）解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些f （x ）的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n )。因之，考虑近似方法成为自然之选。

定义：设f （x ）为定义在区间[a ，b]上的函数，x0,x1,…,xn 为[a ，b]上的互异点，yi=f （xi ）。若存在一个简单函数ϕ（x ），满足

（插值条件）ϕ（xi ）=f （xi ），i=0，1，…，n 。

则称 ϕ（x ）为f （x ）插值函数，f （x ）为被插函数,点x0,x1,…,xn 为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n 为插值点。

于是计算f （x ）的问题就转换为计算 ϕ（x ）。

构造插值函数需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造(L 插值)；插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。

对插值函数 ϕ（x ）类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。

P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n 次插值多项式p n (x )。但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。

插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）等分别给出了不同的解决方法。

拉格朗日插值

拉格朗日（Lagrange ）插值的基本思想：把插值多项式p n (x )的构造问题转化为n+1个插值基函数l i (x)(i=0,1,…,n)的构造。 (1)线性插值 ①构造插值函数

已知函数y =f (x )的两个插值点(x 0,y 0)，(x 1,y 1)，构造多项式y =p 1(x )，使p 1(x 0)=y 0,p 1(x 1)=y 1。

p n (x )≈f (x )

由直线两点式可知，通过A ，B 的直线方程为 变形为 记 则

p 1(x )=l 0(x )y 0+l 1(x )y 1

插值完毕！

注意性质：l 0(x 0)=l 1(x 1)=1，l 0(x 1)=l 1(x 0)=0，p 1(x 0)=y 0，p 1(x 1)=y 1。

称l 0(x )，l 1(x )为点x 0、x 1的线性插值基函数。插值函数p 1(x )是这两个插值基函数的线性组合，这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange ）插值，相应多项式称拉格朗日线性插值多项式，记作L 1（x ）。 ②误差

设L 1（x ）为插值点(x 0,y 0)，(x 1,y 1)的插值函数,f(x0)= y 0,f(x0)=y 1,f(x)一阶连续可导,二导数存在.则对任意给

定的x ∈[a,b],存在一点ξ∈[a,b],使

引进辅助函数,利用洛尔定理即证，见P17定理2.1。 (2)二次插值 ①构造插值函数

给定三个点{xi,f(xi)}, i=0,1,2,其中xi 互不相同，构造函数f （x ）的二次插值多项式L 2（x ），满足：L

2

(x 0)=y 0,L 2(x 1)=y 1,L 2(x 2)=y 2。

通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。仿线性插值，用插值基函数构造插值多项式。令

L 2（x ）=l 0(x )y 0+l 1(x )y 1+l 2(x )y 2

待定函数l i (x )应是二次函数，满足约束条件

l i (xi )=1，l i (xj )=0（i ≠j ），i ，j =0，1，2。

此设l 0(x )=A(x-x1)(x-x2)，l 1(x )=B(x-x0)(x-x2)，l 2(x )=C(x-x0)(x-x1)。根据约束条件确定系数 由此得 ②误差

( ) ) ( 1 0 0

1 0 1 0 x p x x x x y y y y = - - - = +

1

A = (x 0-x 1)(x 0-x 2)

1

C = (x 2-x 0)(x 2-x 1)

1

B = (x 1-x 0)(x 1-x 2)

L 2(x) =

(x-x 1)(x-x 2) (x 0-x 1)(x 0-x 2) f(x 0) (x-x 0)(x-x 2) (x 1-x 0)(x 0-x 2) 1) (x-x 0)(x-x 1) (x 2-x 0)(x 2-x 1)

2)

+ + R 2(x) =

(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) f (ξ) （3）

,ξ∈[Min{x 0,x 1, x 2,x}, Min{x 0,x 1, x 2,x}] R 1(x) =

(x-x 0)(x-x 1) f (ξ) （2）

2！

,ξ∈[a,b] f(x)-L 1(x) = x-x 1

p 1(x )

= x 0-x 1 + x-x 0 x 1-x 0 y 0 y 1 x-x 1

l 0(x ) =

x 0-x 1

x-x 0

l 1(x )

= x 1-x 0

证明见P22定理2.2。

例 设sin11°=0.190809,sin12°=0.207912。用线性插值计算sin11°30ˊ. 解

L 1(11.5)=0.199361

例 设sin11°=0.190809,sin12°=0.207912，sin13°=0.224951。用二次插值计算sin11°30ˊ 解

L 2(11.5)=0.199369.

(3)一般情况

两个插值点可求出一次插值多项式L 1(x )，而三个插值点可求出二次插值多项式L 2(x )。当插值点增加到n +1个时，利用Lagrange 插值方法写出n 次插值多项式L n (x )。

详细说明见P22-24，（2.20），（2.21）至（2.24）。

关于Langrange 插值的几点说明

L n (x )仅与已知数据(x i ,y i ),(i =0,1,…,n) 有关，与f(x)的原来形式无关，但余式与f(x)密切相关。

若f(x)本身是一个不超过n 次多项式，则

内插（x 位于x0,x1,…,xn 之间）误差较小，外插有可能误差变大，慎用!插值点的增减,基函数要重新计算,很不方便!插值节点过多其精度不一定很好；limL n (x )=f (x ),x ∈[a,b]一般不成立.

k

n

k n

k n

k

j j j

k j

k

k n y x x x x x l y x L ) ( ) ( ) ( 0

∑ ∑ ∏

= = ≠ = - - = =

x-12 L 1(x ) =

11-12 x-11

0.190809 + 12-11

0.207912 R 1(x) = (x-x 0)(x-x 1) f (ξ) （2）

2！

=

(x-11)(x-12) -Sin(ξ) 2！ |R 1(11.5)| ≢

|(11.5-11)(11.5-12)|=0.125 1

2

L 2(x) = (x-12)(x-13) (11-12)(11-13) (x-11)(x-13) (12-11)(12-13) 0.207912 (x-11)(x-x 12) (13-11)13-12)

0.224951 + +

) ( ) ( , 0 ) ( x f x L x R n

n ≡ = 即