《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

合集下载

【高等数学】概率论与数理统计-随机变量及其分布专项试卷及答案解析

+ +c (4）在一元二次方程 x2 Bx
= 0中， B,C 分别是将一枚假子接连掷两次先后出现
的两个点数．试求：
< I ）该方程有实根的概率ρ；
( 11)该方程有重根的概率 q.
(5）设随机变盘X服从参数为1的指数分布．试求：
< I )Y1 = I XI的分布函数F1 (y);
+ ( JI )Y2 = 3X 2的概率密度f2 (y).
lb=+·
( 1a
＝
1’ 言
CD）斗
． ll b
一一一
－3 2
.
(2）设随机变量X满足XJ ～N(l, 7勺，记标准正态分布函数为φ（叫，则P{l<X<Z}
的值为
(A）φ（ 2 ）一 φCl). (B）φ（;fi）一 φ(1). (C）φ(1 ）一0. 5.
．．
CD）φ（；／3）一φ（;fi).
t 若 P{X ζ2} = ，则 P{X =3} =
(3）设某时间段内通过路口的车流盐X服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为土，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为
(4 ）设随机变:Lt 草在 (1,6 ）上服从均匀分布，则方程x2 十位＋ l=O 有实根的概率是
3. 解答题 (1）设随机变量X服从参数为 λ 以＞ 0 ）的指数分布，且 P{X ζ1} ＝÷，试求：
＝巾巧l}= F（乎）
!2 (y) ＝川＝叫乎）＝ ti（平）
号l> O,
「O,
与气。，
3 ' y> 2,
即！2 (y) = 斗 3
lO,
yζ2.
随机变量及其分布
【答案】

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第六章随机变量数字特征一．填空题1. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.01.02.043211pX-，则=≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P .2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413≈--e.3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=⋅==-k c k X P k则=c1516. 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB6．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（13） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（12） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.（k 33(=,0,1,2k!P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为140000λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000）10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2+∞<<-∞+=x xa x f ，则=a π1；=>)0(X P ；==)0(X P 0 .12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1(1,1)()2x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它13.若随机变量)4(~e X ，则=≥)4(X P ；=<<)53(X P .14.．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , ,，则()E X =15．设X 为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 916.已知X ～B （n,p ），且E （X ）=8，D （X ）=，则n= 。

《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X xdy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ.8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π 解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数:))2,(m i n (1))2,(m i n ()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m i n (1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m i n (1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m i n(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====P P A P A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p13101311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dxX P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时⎰⎰∞--=-==xdt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤= 当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。

(完整版)概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第2章随机变量及其分布

第2章随机变量及其分布1，解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ，（Λ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。

2，解：X 只能取值0，1，2。

设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。

则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515Λ=⨯⨯==-k C k X P k k k 。

（1）,2501.08.02.0)3(123315=⨯⨯==C X P（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P0611.0)0()1(==-=-X P X P4，解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。

而系统中正常工作的元件个数X 服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553=⨯⨯==∑∑=-=k k k k k Ck X P5，解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以∑=-⨯=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k k kC X P X P3134.0!8!)001.08000(6860001.08000==⨯≈∑∑=-=⨯-k k k k k e k e （查表得）。

概率论与数理统计第二章测习题

第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。

概率论与数理统计随机变量及其分布习题课

2
01 排列及其逆序数
解以X表示此人外出时电话铃响的次数, 由题意知X~π(2t), t表示外出的总时间，则X的的分布律为
当t=10/60=1/6时，（1）
，故所求概率为
（2）设外出最长时间为t（单位：h），因为X~π(2t)，
3
01 排列及其逆序数
因此无电话打进的概率为
，
要使
即
，
解之得
0.3466小时约为21分钟，因此，某人应控制外出时间小
16
01 排列及其逆序数
ꢀ例8 设随机变量
,记
，则A. p随着 μ的增加而增加
C. p随着μ的增加而减少
B. p随着 σ的增加而增加 D. p随着σ的增加而减少
解
因为为单调增函数, p σ
,
所以随着的增加而增加
应选B.
17
01 排列及其逆序数
ꢀ例9 测量某距离时,随机误差X(单位:cm)具有密度函数：
则性。
6
01 排列及其逆序数 ꢀ例3 设随机变量X的概率密度为为X的分布函数, 求解由题意知,X的分布函数为
因此，
F(x)
7
01 排列及其逆序数 ꢀ例4 设某加油站每周补给一次油,如果这个加油站每周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为
试问该加油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概率控制在5%以下?
，求
解当y≤0时,Y的密度函数为当y>0时,Y的分布函数为
的分布. ；
对上式两边关于y求导，得
20
01 排列及其逆序数即
这是伽玛分布
的概率密度函数.
21
01 排列及其逆序数
ꢀ例11 设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A 之间.若此电流通过2Ω的电阻,在其上消耗的功率W=2I2, 求W的概率密度.

概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题答案

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章随机变量及其分布一、填空题 10.712设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p = 0.0003 ．3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0 }{)(x x x x x X x F P 4{}12525.032)05.0()02(25.0=-=---=<≤F F X P ．例2.11设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】例2.13 设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ . 【24310】例2.14若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 【4】2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln 221)(+∞<<--=y y Y I e y y f π〖选择题〗1 [ C ]2 [ C ]3 [ C ]例2.1 【C 】例2.2 【A 】例2.3 【B 】例2.5 【A 】例2.16设随机变量X ,Y 相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则(A)1,2==b a(B) 2,1==b a(C) 1,2=-=b a(D) 2,1-==b a 【A 】例2.18 设X 为随机变量, 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数的概率为0.5, 则(A)X 服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X 服从二项分布B(2, 0.5) (C) X 服从参数为1的指数分布 (D) X 服从标准正态分布【A 】2.23 （1）A ；（2）B ；（3）C ；（4）C ；（5）B 解答题〗〖解答题〗例2.30解不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：{}0==X A ，即事件A 表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 61)(=A P ．从而，{}61===)(0A X P P．对于任意x ＜0，显然()=x F ０；而()610=F ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意)75.0,0(∈x ，有(){}{}．641646100xx x X X x F +=+=≤<+≤=P P 该式中4x 表示容器的四个侧面x 以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．对于任意x ≥0.75，显然()1=x F．于是，最后得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=．若若若 75.0 , 1 , 75.00 , 641, 0 , 0 x x x x x F例2.31（分布函数）解因X 服从指数分布，且21==λX E (百小时)，故分布参数λ=0.5，故X的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．，若；，若0 0 0 e 15.0x x x G x 易见，{}1.0min ，X Y=．设)(y F 是Y 的分布函数，则对于y <0，)(y F =0；对于y >0.1，)(y F =1；对于1.00≤≤y ,有{}{}．，y y G y X y X y Y y F 5.0e 1)(}1.0 min{}{)(--==≤=≤=≤=P P P 于是，{}.10 min ，X Y=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-．，若，若，，若 1.0 1 , 1.00 e 1 0 0 5.0y y y y F y例2.33解试验次数X 是一随机变量．为求X 的概率分布，引进事件：j B ={第j 次试验成功}（j =1,2,…,n ）．显然P(j B ) = p ．而由于试验的独立性，知事件n B B B ,,,21 …相互独立．设试验进行到成功或n 次为止，则X 的可能值为1,2,…,n 且1}1{B X==；对于2≤k ≤n－1，．；；；，111111112111)(}{ )(}1{)12()(}{}{ }{------======-≤≤=======k n k k k n k k q B B n X p B X n k pq B B B k X B B B n X B B B k X P P P P P P于是，X 的概率分布为有限几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1121321~n n q pq pq pq pn n X ．例2.35解以ν表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为（30，0.02）的二项分布：．；；4545.0}0{1}1{3340.002.098.030}1{5455.098.0}0{2930==-=≥=⨯⨯=====ννννP P P P1) 不合格品不少于两件的概率．1205.002.098.03098.01}1{}0{1}2{2930=⨯⨯--==-=-=≥=ννναP P P2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率{}．2652.0}1{}2{}1{}2,1{12≈≥≥=≥≥≥=≥≥=νννννννβP P P P P 例2.36解由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以ν表示10台设备中同时出现故障的台数，则ν服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k 应满足条件：95.0}{≥≤k νP ．需要对不同的k 进行试算．首先，设k =１和k ＝２，相应得{}{}{}{}{}{}．，95.09599.008.092.008.092.01092.021281.008.092.01092.010128210910910≥≈⨯⨯+⨯⨯+==+≤=≤≈⨯⨯+==+==≤C ννννννP P P P P P因此，至少需要安排2个人值班．例2.37解设X ——一周5个工作日停用的天数；Y ——一周所创利润．X 服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有．，，，057.0205.0410.0328.01}3{205.08.02.010}2{410.08.02.05}1{328.08.0}0{3245=---=≥=⨯⨯===⨯⨯=====X X X X P P P P一周所创利润Y 是X 的函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-====３．，若２，，若１，，若，，若X X X X Y 2 2 7 0 10 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-328.0410.0205.0057.010722~Y ．例2.38(二项分布)解设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件产品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件．， 0729.29899.0ln 05.0ln 95.099.01}0{1}1{≈≥≥-==-=≥n nn n ννP P 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3≈895分，将近14小时55分．例3.41解由条件知X +Y 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为λ的泊松分布．设X ——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有n 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为{}()．；),2,1,0(1m n m p p C n Y X m X mn m m n ≥=-==+=- P由全概率公式可见，对于m =0,1,2,…，有{}{}{}()[]()()()()[]()()[]()()()．p mp mk km m n mn m mn nmn mm nmn n mn mm nmn m p m p p k m p p m n m p n p p C n p p Cn Y X n Y X m Xm X λλλλλλλλλλλλλλλ---∞=-∞=--∞=--∞=--∞===-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+===∑∑∑∑∑e ! e e ! 1!1e!1!1e!!1ee ! 110P P P于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X 服从参数为p λ的泊松分布．同理，Y 服从参数为)1(p -λ的泊松分布．例2.44 解以()t ν表示t =90天内售出的电冰箱台数．可以假设()t ν服从参数为t λ的泊松分布．由条件知()λν77E ==56，从而λ=8（台）．这样，()t ν服从参数为t λ=8t 的泊松分布： (){}()() ,2,1,0 e !88===-k k t k t tkνP ．随机变量X 的可能值为自然数m =0,1,2,…．记t a λ=．由全概率公式，有{}(){}(){}()()()()()()()()，　pa m pa a a m k k a m m n mn ammn a n m n m m nmn m pa m pa k qa m pa m n qa m pan a q p C n a n a m X m X ---∞=-∞=--∞=--∞====-=======∑∑∑∑e !e e ! ! e!! e ! e ! 0ννP P P 其中6.390805.0=⨯⨯==t p pa λ．因此返修件数X 服从参数为3.6的泊松分布：{}() ,2,1,0 e !6.36.3===-m m m X m P ．例2.47解由条件知{}{}{}{}，⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=≤-≤--=≤--=>-=310821)36(310821310823108310812011 1 025.0a a a X a X a a X a a a X a a X ΦΦΦP P P P P其中()x Φ是标准正态分布函数．由熟知的事实()975.096.1=Φ，可见．；；94.5696.131082 0.975031082≈≈-≈⎪⎭⎫⎝⎛-a a a Φ 例2.48 解由条件知()210,0~N X．设ν为100次独立重复测量中事件{}6.19 >X 出现的次数，则{}05.096.1106.19 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X X p P P ．易见ν服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此{}{}{}{}{}()．87.05.125115.125105.095.0299100 05.095.010095.012101313555529899100≈++-=---≈⨯⨯⨯-⨯⨯--==-=-=-=<-=≥=----e e e e ννννναP P P P P 〖证明题〗例2.52（分布函数）证明只需验证)()()(21x bF x aF x F +=满足分布函数的三条基本性质．由条件知a 和b 非负且a +b =1．由于)(1x F 和)(2x F 都是分布函数，可见对于任意，有1)()()(021=+≤+=≤b a x bF x aF x F对于任意实数21x x <，由于)2,1)(()(21=≤i x F x F i i ，可见，)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=即)(x F 单调不减．由)(1x F 和)(2x F 的右连续性，可见)(x F 也右连续．最后，．；1)(lim )(lim )(lim 0)(lim )(lim )(lim 2121=+==+=+∞→+∞→+∞→-∞→-∞→-∞→x F b x F a x F x F b x F a x F x x x x x x于是)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数．例2.53（分布函数）证明指数分布函数为)0(e 1)(≥-=-x x F x λ设}{P )(y Y y G ≤=为Y=)(X F 的分布函数．由于分布函数)(x F 的值域为(0,1)，可见当0≤y时0)(=y G ；当1≥y 时1)(=y G ．设10<<y ，有．y y F y X y y Y y G X =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=≤=-)1ln(1)1ln(1}e 1{}{)(λλλP P P 于是，)(y G 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=例2.4 【π2=C ；5)arctan 2(πe】例2.6 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.【（1）π1,21==B A ；（2）21；（3）)1(12x +π】例2.7 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P (3) ))(1(2)|(|a F a X P -=>问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)例2.8 一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题

1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。

2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。

3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。

4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。

5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。

6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。

以Y表示中途下车的人数。

（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。

7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。

（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。

为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。

12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。

13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。

15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。

为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。

二、随机变量及其分布(答案)

概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。

现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。

《概率论与数理统计》前三章习题解答

11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由

f ( x, y)dxdy 1可解得c 1.
返回主目录
第三章多维随机变量及其分布
第一章概率论的基本概念
解:
令事件Ai分别表示输入AAAA，输入BBBB, 输入CCCC, i 1，， . 令事件A 表示输出ABCA. 23
由已知条件及独立性知
1 P( A | A2 ) P( A | A3 ) . 2
3
1 P( A | A1 ) , 2
2 2
返回主目录
第一章概率论的基本概念
由贝叶斯公式知
P( A1 A) P( A1 | A) P( A)
P( A1 ) P( A | A1 ) P( A1 ) P( A | A1 ) P( A2 ) P( A | A2 ) P( A3 ) P( A | A3 )
2p1 . (3 1) p1 1
返回主目录
第二章随机变量及其分布
2.将一颗骰子抛掷n次,将所得的n个点
数的最小值记为X,最大值记为Y.分别求出X与Y的分布律. 解 : 以Yi 记第i次投掷时骰子出现的点 , 数
i 1,2,, n.则X minYi , Y maxYi .
1i n 1i n
X与Y的所有可能值均为 1,2,3,4,5, 6.
14

k
返回主目录
第三章多维随机变量及其分布
பைடு நூலகம்
(2)当m 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{ X n | Y m} P{Y m}

概率论与数理统计随机变量及其分布问题

随机变量及其分布问题1、假设随机变量X 的绝对值不大于1，1(1),8P X =-=1(1).4P X ==在事件(11)X -<<出现的条件下，X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。

试求X 的分布函数()()F x P X x =≤解：当1x <-时，()0F x =。

当1x =-时，()()(1)(1)F x P X x P X P x x =≤=≤-+-<≤ 1(1)8P X x =+-<≤ 而 5(11)1(1)(1)8P X P X P X -<<=-=--==，因此 (1)(1,11)P X x P X x X -<≤=-<≤-<<(11)(111)P X P X x X =-<<-<<-<<51558216x x ++=⋅=，于是，得 5155()8216x x F x ++=⋅=当1x ≥-时，()1F x =。

故所求分布函数为0, 155(), 11161, 1x x F x x x <-⎧⎪+⎪=-≤≤⎨⎪≥⎪⎩评述分由函数可以完整地描述任何类型随机变量的取值规律，这里的随机变量包括离散型、连续型和混合型在类。

2、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿号灯的路口，每个路口的信号灯为红或绿与其他路口的信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。

以X 表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

解设i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”（i =1，2，3）。

依题意，1A ，2A ，3A 相互独立。

X 的可能取值是0，1，2，3。

于是，得X 的概率分布为11(0)(),2P X P A ===112221(1)()()(),2P X P A A P A P A ====11223331(2)()()()()2P X P A A A P A P A P A ====11223331(3)()()()()2P X P A A A P A P A P A ====。

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论与数理统计第二章随机变量及其概率分布练习题答案详解

第二章随机变量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题答案与提示（答案在最后）1．一盒零件中有9个合格品和3个废品，现从中任取一个零件，如果是废品不再放回，而从其余剩下的零件中另取一个，如此继续下去，直到取得合格品为止，求取出的废品个数ξ的分布律．2．在汽车行进路上有四个十字路口设有红绿灯，假定在第一．第三个路口汽车遇绿灯通行的概率为6.0，在第二．第四个路口通行的概率为5.0，并且各十字路口红绿灯信号是相互独立的．求该汽车在停下时，已通过的十字路口数的概率分布．3．把4个球任意放到3个盒中，每个球都以同样的概率31落到任一个盒中，用ξ表示落到第一个盒中的球的个数，求ξ的分布律．4．设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是01.0，且一台设备的故障能由一个人处理，考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小．5．设在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里每个人死亡的概率为002.0，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司领取赔付费2000元．试问：(1) 一年内保险公司亏本的概率是多少？(2) 一年内保险公司获利不少于10000元的概率是多少？ 6．某盒产品中有8件正品，2件次品，每次从中任取一件进行检查，直到取得正品为止．分别按不放回抽样和有放回抽样，求所需抽取次数的分布律．7．从一批有90个正品和10个次品的产品中任取5个，求抽得的次品数ξ的概率分布．8．通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为0001.0=p ，假设在某段时间内有1000辆汽车通过此路口，求在此时间内发生两次以上事故的概率．9．设某种晶体管的寿命ξ（单位：小时）的概率密度函数为=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>,100,0,100,1002x x x (1) 若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间少于200小时的概率是多少？(2) 若一个电子仪器中装有三个独立工作的这种晶体管，在使用150小时之后恰有一个管子损坏的概率是多少？10．设随机变量ξ在)6,0(上服从均匀分布，求方程04522=-++ξξx x有实根的概率．11．以下哪个可以是随机变量的分布函数：(1) =)(x F 211x+， (2) =)(x F arctgx π2143+ (3) =)(x F x －e ， (4) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<．，，，，，1 1112121 03x x xx12．设随机变量ξ的概率分布为==)(k P ξk a2， ,3,2,1=k ，求：(1) 常数a ； (2) )(为偶数ξP ； (3) )5(≥ξP ．13．已知ξ的分布律为==)(k P ξkck 6.0， ,3,2,1=k ，求常数c ．14．设随机变量ξ的分布律为ξ 0 1 2 P31 61 21 求ξ的分布函数，并求：(1) )21(≤ξP ；(2) )231(≤<ξP ；(3) )231(≤≤ξP .15．设随机变量ξ的分布律为ξ 2- 0 2 3P71 73 72 71求ξ的分布函数．16．一个靶子是一个半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比，并假设每次射击都能中靶，以ξ表示弹着点与圆心的距离，求随机变量ξ的分布函数．17．已知一本书中每页上的印刷错误ξ服从参数为2.0的泊松分布，试求(1) ξ的概率分布；(2) 求每页上印刷错误不多于一个的概率．18．设随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=，，，，，，，　，41415.0112.010)(x x x x x F求ξ的分布律．19．下列哪一个函数可能成为随机变量ξ的密度函数： (1) =)(x f x-e， +∞<<∞-x ；(2) =)(x f )1(12x +π， +∞<<∞-x ；(3) =)(x f ⎩⎨⎧≤其它；，，，011x(4) =)(x f ⎩⎨⎧<<其它．，，，00sin πx x20．若)(x f ，)(x g 均在同一区间],[b a 上是概率密度函数，证明： (1) )(x f +)(x g 不是这区间上的概率密度函数；(2) 对任一数k (10<<k )，)()1()(x g k x kf -+是这个区间上的概率密度函数．21．已知连续型随机变量ξ的分布函数为⎩⎨⎧<≥+=-000e )(x x B A x F x ，，，λ (0>λ为常数)，求：(1) 常数A ，B ；(2) 密度函数)(x f ．22．设连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-，，，，000e )(22x x B A x F x 求:(1) 常数A ，B ；(2) )21(<<ξP ；(3) ξ的密度函数)(x f ．23．设随机变量ξ的密度函数为)(x f xc λλ-=e(0>λ为常数)，求：(1) 常数c ；(2) ξ的分布函数；(3) )21(<ξP ．24．某加油站每周补充油料一次，如果它的周出售量ξ（单位：千加仑）是一个随机变量，密度函数为=)(x f ⎩⎨⎧<<-其它，，，，010)1(54x x 要使在给定的一周内油库被吸光的概率是01.0，这个油库的容量应该是多少千加仑？25．设随机变量ξ的概率密度为=)(x f ，其它，，，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<0211102x x x ax 求:(1) 常数a ；(2) 分布函数)(x F ；(3) )35.0(<<ξP ．26．某商店出售某种商品，据历史记录分析，每月销售量服从参数为5的泊松分布，问该商店月初应库存多少件此种商品，才能以999.0的概率满足顾客的需要？27．已知某自动车床生产的零件，其长度ξ（单位：厘米）服从正态分布)75.0,50(~2N ξ，如果规定零件长度在5.150±厘米之间的为合格品，求：(1) 零件的合格率；(2) 生产三只零件，至少有一只是不合格的概率． 28．某数学竞赛中的数学成绩)10,65(~2N ξ，若85分以上者为优秀，试问数学成绩优秀的学生占总人数的百分之几？29．某地抽样调查考生的英语成绩近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数%3.2，求考生的英语成绩在60分到84分之间的概率．30．设随机变量ξ服从参数为2，p 的二项分布，即),2(~p B ξ，随机变量η),3(~p B ，若95)1(=≥ξP ，求)1(≥ηP ． 31．已知ξ服从参数为λ的Poisson 分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP ．32．已知离散型随机变量ξ的分布律为ξ 1 2 3 4 5P 51 51 51 51 51 求：(1) 12+=ξη；(2) 2)2(-=ξη的分布律．33．设随机变量ξ的分布律为ξ 2π-2ππP 2.0 3.0 4.0 1.0求：(1) 2ξη=；(2) ξηcos =的分布律．34．设某球直径的测量值为随机变量ξ，若已知ξ在],[b a 上服从均匀分布，求该球体积36ξπη=的概率密度．35．设)1,0(~N ξ，求ξη=的概率分布密度． 36．设随机变量ξ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，求随机变量ξηsin =的分布密度)(x f ．答案详解1． ξ 0 1 2 3P 43 4492209 22012． ξ 0 1 2 3 4P 4.0 3.0 12.0 09.0 09.0 3．把一个球放入盒中看作一次试验，每个球落到第一个盒中的概率都为31，4个球放入（3个）盒中可以看作4重贝努里试验，所以落入第一个盒中的球数)31,4(~B ξ，即ξ的分布律为:)(k P =ξ=kk k C -44)32()31(，4,3,2,1,0=k4．按第一种方案，每人负责20台，设每个工人需维修的设备数为ξ，则)01.020(~，B ξ．这里设备发生故障时不能及时维修的事件，也就是一个工人负责的20台设备中至少有两台发生了故障，其概率为)2(≥ξP -=-=)0(1ξP )1(=ξP20002099.001.01⋅⋅-=C 1912099.001.0⋅⋅-C 2.00!02.01--≈e 2.01!12.0--e =-=-2.02.11e 0175231.0．上述近似计算是用了泊松定理，其中参数2.0==np λ.按第二种方案，3名维修工人共同维护80台设备，设需要维修的设备数为η，则)01.080(~，B η，这里设备发生故障时不能及时维修的事件，就是80台中至少有4台发生故障，其概率为)4(≥ηP =∑=--30808099.001.0C 1k k k k∑=--≈308.0!8.01k k e k 00908.0≈，比较计算结果，可见第二种方案发挥团队精神，既能节省人力，又能把设备管理得更好．5．(1) 000069.0， (2) 986305.06．不放回抽样，所需抽取次数的分布律为:ξ 1 2 3P 54 458 451放回抽样，所需抽取次数的分布律为:==P )(k ξ54)51(1⋅-k ， ,3,2,1=k7．==)(k P ξ510059010C C C k k -⋅， 5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0=k 8．0045.09．(1) 41， (2) 9410．5.011．(4)12．(1) 1=a ， (2) 31， (3) 16113．由分布律的性质可知:∑∞====1)(1k k P ξ∑∞=16.0k kk c ，为了求级数∑∞=16.0k kk 的和，令)(x f =∑∞=1k k k x ，逐项求导，得)(x f '=∑∞=-11k k x =x -11，从而 ⎰'xx x f 0d )(=⎰-x x 0d x 11，即)(x f －)0(f =)1ln(x --，又因)0(f =0，从而)(x f =)1ln(x --，令6.0=x ，得=)6.0(f 25ln 4.0ln =-，从而1)2ln 5(ln --=c14．=)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<212121103100x x x x ，，，，，，， (1) 31； (2) 0； (3) 6115．=)(x F ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<3 ,1,32,76,20,74,02,71,2,0x x x x x 16．=)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<2,1,20,4,0,02x x xx 17．(1) ==)(k P ξ2.0e !2.0-k k ， ,2,1,0=k ， (2) 983.0)1(=≤ξP 18． ξ 1- 1 4P 2.0 3.0 0.5 19．(2) 20．略21．(1) 1=A ，1-=B (2) =)(x f ⎩⎨⎧<≥-0,0,0 ,e x x x λλ22．(1) 1=A ，1-=B ， (2) 4712.0， (3) =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0 ,0,0,e 22x x x x23．(1) 21， (2) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-,0,e 211,0 ,e 21x x x xλλ (3) 2e 1λ--24．设油库的容量为x 千加仑，据题意，01.0)(=>x P ξ，即99.0)(=≤x P ξ，=≤)(x P ξ⎰-xdx 04x )(15=--=5)1(1x 99.0，从而01.0)1(5=-x ，3981.01=-x ，解得6019.0=x （千加仑）25．(1) 1， (2) =)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<,2,1,21,123,10,2,0,02x x x x x x (3) 875.026．1327．(1) 9545.0， (2) 1304.0 28．%3.229．设考生的英语成绩为ξ，则ξ),72(~2σN ，由题意知，=≥)96(ξP 023.0)729672(=-≥-σσξP ，故977.0)24()2472(=Φ=<-P σσσξ，查表得，224=σ，所以12=σ，因此，)12,72(~2N ξ，从而所求概率为=≤≤)8460(ξP )1272841272127260(-≤-≤-ξP )1()1(-Φ-Φ=6824.0= 30．=<)1(ξP 94951=-，即94)1(C )0(2002=-==p p P ξ，解得31=p ，从而=≥)1(ηP )1(1<-ηP )0(1=-=ηP =--=3003)1(1p p C 271931．2e 32-32．(1) η 3 5 7 9 11 (2) η 0 1 4 9P 51 51 51 51 51 P 51 52 51 5133．(1) η 0 42π 2πP 3.0 0.6 0.1(2) η 1- 0 1P 1.0 6.0 3.034．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其它－,0,66,92133323b y a y a b πππ 35．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,e 222y2y y －π36．ξ的密度函数为=)(x f ξ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,,0,22,1其它πππx由于x y sin =在]2,2[ππ-内严格单调增加，因此存在反函数y x arcsin =，其导数为:211y x y -='，x y sin =在]2,2[ππ-上的最大值为1，最小值为1-，利用随机变量的单调函数的分布密度的公式，得η的密度函数为:=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<-',,0,11)(arcsin )(arcsin 其它，y y y f ξ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它,0,11,112y yπ。

(完整版)概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第六章随机变量数字特征一．填空题1. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.01.02.043211pX-，则=≤)2(X P 0.6 ；=>)3(X P 0.1 ；=>=)04(X X P 0.125 .2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413≈--e.3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=⋅==-k c k X P k则=c1516. 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=0.3，P (B )=0.4,则()P AB =____________.（0.18）5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 0.16．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（13） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（12） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.（k 33(=,0,1,2k!P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为140000λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000）10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2+∞<<-∞+=x x a x f ，则=a π1；=>)0(X P 0.5 ；==)0(X P 0 .12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1(1,1)()2x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它13.若随机变量)4(~e X ，则=≥)4(X P ；=<<)53(X P .14.．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 ,0.1，则()E X = 0.515．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 916.已知X ～B （n,p ），且E （X ）=8，D （X ）=4.8，则n= 。

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。

解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >，解得，29a =。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。

解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-；（2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞；（3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。

3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。

解：由(,)X Y 的分布律，得（1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=；（2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。

概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章随机变量及其分布一、填空题1．假设X 是在区间（0,1）内取值的连续型随机变量，而X Y -=1，已知{}75.029.0=≤X P ，则满足{}25.0=≤K Y P 的常数k= ．2．设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p= ．3．设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地抽出产品直到抽到合格品为止，则最后抽出产品件数X 的分布函数为．4．设随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=，，若；，若；，若；，若3 131 210 20 0x x x x x x F ，则P {}25.0<≤X = ．5．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 .6．设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ .7．若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 8 ．设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ .9．若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 10．已知离散型随机变量X 的可能取值为5202，，，-，相应的概率依次为a 1，a 23，a45，a87，求)0|2|(|≥≤X X P = . 11．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x f ，Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则)2(=Y P = . 12．已知随机变量X 服从正态分布)4,2(N ，则2/X e Y =的概率密度)(y f Y ＝ .二、选择题1．设随机变量X 和Y 相互独立，其分布函数相应为)(1x F 和)(2y F ，则随机变量{}Y X U ,max =的分布函数为=)(u F （）． (A) {})(),(max 21u F u F ； (B) {})(1),(1min 21u F u F --； (C) )()(21u F u F ； (D) ()[]()[]u F u F 211 11---．2．设随机变量),(~2σμN X ，则随σ的增大，概率{}σμ≤-X P （）． (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定．3．假设X 是只有两个可能值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，且X 和Y 相互独立，则随机变量Y X +的分布函数（）．(A) 是阶梯函数； (B) 恰好有一个间断点；(C) 是连续函数； (D) 恰好有两个间断点． 4．下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是（）． (A)211)(x x F +=； (B)x x F arctan 2143)(π+=；(C)⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0,10,0)(x x x x x F ； (D) x x F arctan 21)(π+=．5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110200)(x x xx x F ，则)(x F （）．（A ）是随机变量的分布函数；（B ）不是随机变量的分布函数；（C ）是离散型随机变量的分布函数；（D ）是连续型随机变量的分布函数．6．已知随机变量X 的分布列为： ,2,1,0,!2)(===k k Ck X P k ，则常数C 等于（）．（A ）1-e ；（B ）2-e ；（C ）3-e ；（D ）4-e ．7．设21,X X 是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为)(),(21x f x f ，分布函数分别为)(),(21x F x F ，则（）．（A ）)(32)(3121x f x f +必为某一随机变量的概率密度；（B ）)()(21x f x f 必为某一随机变量的概率密度；（C ）)()(21x F x F +必为某一随机变量的分布函数；（D ）)()(21x F x F -必为某一随机变量的分布函数.8．设随机变量Y X ,相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则（）．(A)1,2==b a ； (B) 2,1==b a ； (C) 1,2=-=b a ； (D) 2,1-==b a ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数9．设X 为随机变量, 若矩阵的概率为0.5, 则（）．(A) X 服从区间[0,2]上的均匀分布； (B) X 服从二项分布B(2, 0.5)； (C) X 服从参数为1的指数分布； (D) X 服从标准正态分布．10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110200)(x x xx x F ，则)(x F （）．（A ）是随机变量的分布函数；（B ）不是随机变量的分布函数；（C ）是离散型随机变量的分布函数；（D ）是连续型随机变量的分布函数．11．已知随机变量X 的分布列为： ,2,1,0,!2)(===k k Ck X P k ，则常数C 等于（）．（A ）1-e ；（B ）2-e ；（C ）3-e ；（D ）4-e ．12．设随机变量X 服从参数为0>λ的泊松分布, 设8.0)11(=≤=X X P ，则λ等于（）．（A ） 0.8；（B ） 2 ；（C ） 4 ；（D ） 0.25．13．已知)7,1(~23N X ，则)21(<<X P 等于（）．（A ）)1()2(Φ-Φ；（B ）)1()2(3Φ-Φ；（C ）21)1(-Φ；（D ）)2()3(33Φ-Φ．14．设随机变量X 的任一线性函数0,≠+=a b aX Y 则下面命题不成立的是（）． (A) 如果X 是连续型随机变量, 则Y 也是连续型随机变量； (B) 如果X 是泊松分布, 则Y 也是泊松分布； (C) 如果X 是均匀分布, 则Y 也是均匀分布；(D) 如果X 是正态分布, 则Y 也是正态分布．三、解答题1．一个正立方体容器盛有3/4的液体, 假设在其6个侧面（含上、下两个底面）的随机部位出现了一个小孔，液体经此小孔流出．求剩余液体液面的高度X 的分布函数)(x F ．2．假设一装置启动后无故障工作的时间X （小时）服从指数分布，平均无故障工作的时间为2百小时；每次启动（在无故障的情形下）只需工作10小时便自行关机．试求该装置每次启动无故障工作的时间Y 的分布函数．3．设试验E 是一伯努利试验，其成功的概率为p, 而失败的概率为q=1－p ．现在将E 独立地一次接一次地进行直到成功或完成n 次试验为止，其中n ≥2是给定的自然数．试求所作试验次数X 的概率分布．4．假设某自动生产线上产品的不合格品率为0.02，试求随意抽取的30件中， (1) 不合格品不少于两件的概率α；(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的概率β．5．假设有10台设备，每台的可靠性（无故障工作的概率）为0.92，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？6．假设一部机器在一个工作日因故停用的概率为0.2．一周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3天及多于3天亏损2万元．求所创利润的概率分布．7．某生产线平均每三分钟生产一件产品，假设不合格品率为0.01．问为使至少出现一件不合格品的概率超过95%最少需要多长时间？8．假设一日内到过某商店的顾客数服从参数为λ的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为p ．分别以X 和Y 表示一日内到过该商店的顾客中购货和未购货的人数，分别求X 和Y 的概率分布．9．假设一商店每周（7天）平均售出56台电冰箱，其中因为质量问题要求返修的占5‰ ．试求一个季度（90天）售出的电冰箱中返修件数X 的概率分布．10．假设随机变量X 服从正态分布)9 108(，N ，求满足{}01.0 =≥-a a X P 的常数a ． 11．假设随机测量的误差()210,0~N X ，求在100次独立重复测量中，至少三次测量的绝对误差大于19.6的概率α的近似值．12．设)(1x F 和)(2x F 都是随机变量的分布函数，a 和b 是非负常数且1=+b a ，证明)()()(21x bF x aF x F +=具有随机变量的分布函数的基本性质．13．假设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，)(x F 是其分布函数，证明随机变量Y =)(X F 在区间(0,1)上服从均匀分布．14．设随机变量X 的概率密度函数为xx e e Cx f -+=)(试求：（1）常数C ；（2）在对X 进行的5次独立观察中，X 的取值都小于1的概率． 15．连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.16．设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P （3）))(1(2)|(|a F a X P -=>17．一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4．从中任意取2个球，以X 记取出的球中小的号码．求X 的分布列与分布函数.18．使用了t 小时的计算机，在以后t ∆小时内损坏的概率等于)(t o t ∆+λ，其中λ为不依赖于t 的常数，假设在不相重叠的时间内，计算机损坏与否相互独立，求计算机在T 小时内损坏的概率.19．过平面上一点)1,0(任作一直线L 与x 轴的夹角为α，设α服从区间),0(π上的均匀分布，求（1）此直线在x 轴上的截距Z 的概率密度；（2）截距Z 在1到2之间的概率.20．设离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,0,)(===n ap n X P n ，而且X 取奇数值的概率为73，试求常数a, p 的值. 21．设随机变量t 服从数学期望为21的指数分布，求方程042=++tx x 有实根的概率. 22.设随机变量X 的概率密度为∞<<∞-=-+-x e x f x x,1)(122π试求：（1）2X Y =的概率密度；（2）)211(+<<X P 23．设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x e x f x ,21)(||, 求（1）||X Y =的分布函数)(y F Y ；（2）证明对任意的实数0,0>>b a ，均有 )()|(b Y P a Y b a Y P ≥=≥+≥. 24．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他08131)(32x x x f()x F 是X 的分布函数，求随机变量()x F Y =的分布函数.25．假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间为5小时, 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而无故障的情况下工作2小时便关机, (1)试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数)(y F Y ，(2) 求Ye Z =的分布函数，并判断Z 是否为连续型随机变量.26．设随机变量X 的可能取值为 ,,,2,1k ，且 ,2,1,21)(===k k X P k ，令 ⎩⎨⎧-=是奇数如果是偶数如果X 1X 1Y试求二次方程022=++Y t t 无实根的概率.27．连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x ，试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度. 28．设随机变量X 的概率密度函数为xx ee Cx f -+=)( 试求：（1）常数C ；（2）在对X 进行的5次独立观察中，X 的取值都小于1的概率；（3）求)0(>X P ．29．过平面上一点)1,0(任作一直线L 与x 轴的夹角为α，设α服从区间),0(π上的均匀分布，求（1）此直线在x 轴上的截距Z 的概率密度；（2）截距Z 在1到2之间的概率.30．设X X 1n ,, 为i.i.d. ~ 0-1分布（即贝努利分布），参数为p. 试对固定正整数k ≤ n ，求（1）P X k i i n ()==∑1；（2）P X k X i n i n(,)===∑11；（3）P( min{n: )},2,1,0k n X n ==≠. 31．设X 为只取正整数值的随机变量，则下列命题等价： (1)X 服从几何分布．(2) ,1,0,)()|(=>=>+>n m m X P n X n m X P ． (3) ,1,0,,2,1)()|(====>+=n m m X P n X n m X P ．。

《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

【高等数学】概率论与数理统计-随机变量及其分布专项试卷及答案解析

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

(完整版)概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第2章随机变量及其分布

概率论与数理统计第二章测习题

概率论与数理统计随机变量及其分布习题课

概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题答案

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

二、随机变量及其分布(答案)

《概率论与数理统计》前三章习题解答

概率论与数理统计随机变量及其分布问题

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 练习题 答案详解

(完整版)概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题

概率论与数理统计第二章随机变量及其概率分布练习题答案详解