《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布

一. 填空题

1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =9

5

, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 9

4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2

=

-p , 3

1=p 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c

c c c 162

,

85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=

c c

c c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:

P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.

P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.

解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)

4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442

=+++k kx x 有实根的概率为_____.

解. k 的分布密度为⎪⎩⎪

⎨⎧=0

51

)(k f 其它50≤≤k

P{02442

=+++k kx x 有实根} = P{03216162

≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =5

3

515

2=⎰dk 5. 已知2}{,}{k

b

k Y P k a k X P =-==

=(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++

a a a a . 49

36

,194=

=++b b b b (X, Y)

P

24α 66α 251α 126α 72α

ab = 216α, 539

1=

α 6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)

sin(),(y x c y x ϕ 其它

4,0π

≤≤y x , 则c = ______, Y 的边

缘概率密度=)(y Y ϕ______.

解.

12,

1)sin(4/0

4

/0

+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ

所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它

4,0π

≤

≤y x

当 4

0π≤

≤y 时

所以

⎪⎩⎪⎨⎧

+-+=0

))

4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y

7. 设平面区域D 由曲线2,1,01

e x x y x

y ====

及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =

21

21

=⎰

e dx x

. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: 下面求X 的边沿密度: 当x < 1或x > e 2时 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰

⎰

===

∞+∞

-x X x dy dy y x x 10

2121),()(ϕϕ, 所以4

1)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则

)(1

21n X X X n

X +++=

Λ服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.

μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, n

X D n

X n D n

i i

n i i 2

1

2

1)(11σ=

=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==

所以 ),

(~2

n

N X σμ

9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,

且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.

解.

两式相除得βαβα

=++18

191

, 解得 βα2=, 92,91==αβ.

10. 设(X, Y)则 i. Z = X + Y iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.

二. 单项选择题

1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数

(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221

)(x F 0022≥<≤--

(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤

⎪⎨⎧+=1310

)(x x F 2

12100≥<≤