中雅培粹学校2019-2020学年度九年级第一学期入学考试数学试卷
2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是正比例函数的是( )D. y=−6xA. y=4x−1B. y=5x2C. y=20x2.抛物线y=−(x+4)2−3的对称轴是( )A. 直线x=−4B. 直线x=4C. 直线x=3D. 直线x=−33.一次函数y=kx+b如图，则下列结论正确的是( )A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<04.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是( )A. AC⊥BDB. AC=BDC. OB=ODD. ∠ABC=∠BAC5.从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S2甲=3，S2乙=2.6，S2丙=2，S2丁=3.6，派谁去参赛更合适( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.关于x的方程2x2−mx−1=0的根的情况是( )A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根C. 无实数根D. 由于不知道m的值，无法确定7.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是( )A. (x+4)4=23B. (x+4)2=9C. (x+8)2=71D. (x+8)2=578.受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是( )A. 100(1+2x)=144B. 100(1+x)2=144C. 100(1+x2)=144D. 100(1+2x)2=1449.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB=6cm，BC=8cm.则EF的长是( )A. 2.2cmB. 2.3cmC. 2.4cmD. 2.5cm10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(−4,0)两点，下列说法正确的是( )A. c<0B. 抛物线的对称轴是直线x=−2C. 当x>−1时，y的值随x值的增大而减小D. 4a−2b+c<0二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
湘郡培粹学校(长培)2019-2020学年度九年级第一学期入学考试数学试卷(PDF版)
湘郡培粹学校2019-2020学年度第一学期入学考试初三数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（）A.AC ⊥BDB.∠ABD=∠ADBC.AB=CDD.AB=BC 2.如果函数y kx b =+（k ，b 是常数）的图象不经过第二象限，那么k ，b 应满足的条件是（）A.0b 0k ≥≤且B.0b 0k >≤且C.0b 0k ≥<且D.00k b ><且3.“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水最变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度。
人们根据壶中水面的位置让算时间，用t 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y 与x 的对应关系的是（）4.若一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图象经过点A （0，1-），B （1，1），则不等式1kx b +>的解为（）A.x<0B.x>0C.1x <D.x>15.已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（）A.平均数是8B.众数是8C.中位数是8D.方差是86.某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）A.中位数和众数B.平均数和众数C.平均数和中位数D.平均数和极差7.若1x ，2x 是一元二次方程2450x x --=的两个根，则12x x 的值为（）A.5- B.5C.4-D.48.将抛物线()213y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）A.()21y x =- B.()226 y x =-+ C.2y x = D.26y x =+9.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A.()11362x x -=B.()11362x x +=C.()136x x -=D.()136x x +=10.若1x ，2x 是关于x 的方程()()2221590x k x k k -++++=的两个实数根，且221239x x +=，则k 的值为（）A.7B.4-C.7或4-D.7-或411.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的重宜平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ；若BE=3，AF=5，则AC 的长为（）A.45B.43C.10D.812.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①0ac >；②24b ac >；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13.函数21x y x +=-中自变量x 的取值范围是.14.a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是.15.如图所示，往Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC的中点，若EF=1，则AB=.第11题图第12题图第15题图16.从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是2=2.83S 甲，2=1.71S 乙，2=3.52S 丙，你认为适合参加决赛的选手是.17.一次函数()10y kx k =-≠的图像与两坐标轴围成的图形面积是4，则k 的值为.18.己知二次函数()2y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的y 的最大值为1-.则h=.三、解答题（本大题共8个小题，共66分）19.解下列方程：(每小题4分，共8分）(1)22x x -=；(2)()()222110x x --+=.20.（6分）为了更好地开展体育运动，增强学生体质，学校准备购买一批运动鞋，供学生借用，为配合学校工作，学校体育部从全校各个年级随机抽查了若干名学生的鞋号，用表格整理数据（如下)：鞋号34353637383940合计频数48131521百分比8％26％30％14％4％2％100％请根据相关信息，解答下列问题：（1)将表格补充完整；（2）在所抽查的鞋号组成的数据中，众数是，中位数是.（3）若该校计划购买300双运动鞋，根据样本数据，鞋号37的运动鞋应购买多少双？21、(6分）二次函数22y ax bx =++与x 轴交于点(1-，0)、(3，0).（1）求二次函数解析式；（2）求二次函数的对称轴与顶点坐标.22.(8分)如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处.（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由。
湖南四大名校内部资料2019-2020-2中雅九上入学考试-数学试卷
中雅培粹学校2020年九年级上学期入学考试卷数 学时量：120分 总分：120分一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分)1.2-的相反数是( )A.2-B.12-C.2D.122.据国家旅游局统计，2020年寒假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为( )A.60.82610⨯B.78.2610⨯C.682.610⨯D.88.2610⨯3.下列各式中，计算正确的是( )A.835a b ab -=B.()325a a =C.842a a a ÷=D.23a a a ⋅=4.对于任意的矩形，下列说法一定正确的是( )A.对角线垂直且相等B.四边都互相垂直C.四个角都相等D.是轴对称图形，但不是中心对称图形5.如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=o ，则C ∠的度数是( )A.20oB.25oC.30oD.50o6.下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是( )A. B. C. D.7.如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为( )A.1B.3C.2D.238.下列说法正确的是( )A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D.“a 是实数，0a ≥”是不可能事件9.如图，在ABCD □中，3AB =，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则四边形ABEF 的周长为( ) A.12 B.14 C.16D.18 10.如图，一架无人机航拍过程中在C 处测得地面上A ，B 两个目标点的俯角分别为30o 和60o .若A ，B 两个目标点之间的距离是120米，则此时无人机与目标点A 之间的距离(即AC 的长)为( )A.120米B.米C.60米D.第9题图 第10题图 第12题图11.某出租车起步价所包含的路程为02km ～，超过2km 的部分按每千米另收费.津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元.设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( )A.7161328x y x y +=⎧⎨+=⎩B.()72161328x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C.()71613228x y x y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ D.()()721613228x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 12.如图，P 为反比例函数()0k y k x=>在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交一次函数4y x =--的图象于点A 、B .若135AOB ∠=o ，则k 的值是( )A.2B.4C.6D.8二、填空题(每小题3分，共6小题，共18分)13.已知函数关系式：1y x =+，则自变量x 的取值范围是_________. 14.因式分解：228a -=_________.15.方程22044x x x--=--的解为_________. 16.在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是_________.17.如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得2AB =米，18BC =米，则旗杆CD 的高度是_________米.18.如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为_________.三、计算解答题(共8小题，共66分)19.(本小题6分)计算：()0312cos 603π+----o .20.(本小题6分)先化简，再求值：22111121x x x x x ⎛⎫+÷⎪+-++⎝⎭，其中2x =.21.(本小题8分)“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，解答下列问题：(1)统计图共统计了________天的空气质量情况；(2)请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数；(3)从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22.(本小题8分)如图，ABC ∆中，以AB 为直径的O e 交AC 于点D ，DBC BAC ∠=∠.(1)求证：BC 是O e 的切线；(2)若O e 的半径为2，30BAC ∠=o ，求图中阴影部分的面积.23.(本小题9分)某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售.经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w (元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，求出每天的销售量至少应为多少件？24.(本小题9分)已知二次函数2432y x x a =-++(a 为实数)，(1)若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，①已知()1,0A -，求B 的坐标； ②若2AB =，求a 的值；(2)若二次函数的图象在5x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围.25.(本小题10分)在ABC ∆中，90ABC ∠=o ，AB n BC =，M 是BC 上一点，连接AM . (1)如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =.(2)过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q .①如图2，若1n =，求证：CP BM PQ BQ=. ②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值.(用含n 的式子表示)26.(本小题10分)如图，已知二次函数2()40y ax bx a =+->的图象与x 轴交于A 、B 两点，(A 在B 左侧，且OA OB <)，与y 轴交于点C .(1)求C 点坐标，并判断b 的正负性；(2)设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC 相交于点D ，已知:1:2DC CA =，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC .①若BCE ∆的面积为8，求二次函数的解析式；②若BCD ∆为锐角三角形，求出OA 的取值范围.。
湖南省长沙市中雅培粹学校 2019-2020学年九年级下学期中考第二次全真模拟考试 数学试卷(无答案)
中雅培粹学校2020届初三中考第二次全真模拟考试数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题，共36分)1.下列实数中，为无理数的是( )A.227 C.3.142.下列运算正确的是( )5= B.()2239t t -=-C.()222424ab a b -=D.22x x x ⋅= 3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.已知函数y =x 的取值范围是( ) A.2x <B.2x <且0x ≠C.2x ≤D.2x ≤且0x ≠ 5.在ABC ∆中，不能判断ABC ∆是直角三角形的是( )A.222b a c =-B.::3:4:5A B C ∠∠∠=C.C A B ∠=∠-∠D.::a b c =6.下列事件中，是必然事件的是( )A.射击运动员射击一次，命中靶心B.一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 C.雨后见彩虹 D.任意画一个三角形，其外角和是3607.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是( )A. B. C. D.8.如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，32C ∠=，则BED ∠的度数是( )A.32B.16C.49D.649.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，8BD =，则OE 长为( )A.2.5B.3C.4D.5第8题图 第9题图 第11题图10.能说明命题“若a b ≥，则0a >”是假命题的反例是( )A.2a =-，3b =-B.2a =-，1b =C.2a =-，1c =-D.2a =，1b =11.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度1200m AC =，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30α=，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1200mB. C. D.2400m12.如图，在ABC ∆中，P 为边上一点.若M 为CP 的中点，PBM ACP ∠=∠，3AB =，2AC =，则BP 的长为( ) A.3 B.94 C.5 D.103二、填空题(每小题3分，共18分)13.若分式21x x x -+的值为零，则x 的值是____________.14.不等式组391102x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集是____________. 15.边长为6的正六边形的边心距是____________.16.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，相似比为3:1，将ABC∆放大为DEF ∆，已知()1,2C ，则点F 的坐标为____________.17.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________.18.如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于()1,A m ，()4,B n 两点.则不等式40kx b x+-≥的解集为____________. 三、解答题(共8个小题，共66分)19.(6分)计算：()10120204cos302273π-⎛⎫++---- ⎪⎝⎭.20.(6分)先化简，再求值：()()()2222x y x y x y y y ⎡⎤÷⎣--+⎦--，其1x =-中，2y =-.21.(8分)某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)请求出该校随机抽取了_________名学生成绩进行统计；(2)表中a =_________，b =_________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段6070x ≤<对应扇形圆心角度数是_______；(4)若该校学生共有8000人，请估计该校分数在80100x ≤<的学生有多少人？22.(8分)如图，在四边形ABCD 中，5OD OB ==，//AB CD . 成绩/x 分 频数 频率 5060x ≤< 4 0.1 6070x ≤< 8 b 7080x ≤< a 0.3 8090x ≤< 10 0.25 90100x ≤< 60.15(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若12AD =，26AC =，求四边形ABCD 的面积.23.(9分)学校为了让师生更好的养成垃圾分类的习惯，决定在校园内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍.(1)求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，问有多少种购买方案.24.(9分)如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F .(1)若40ABC ∠=，80C ∠=，求CBD ∠的度数；(2)求证：DB DE =；(3)若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长.25.(10分)定义：若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-满足a b b c -=-，则称2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“等差”函数.(1)判断y x b =+和3y x=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； (2)若5y x b =+和c y x =-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与c y x=-的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；(3)若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-(其中a 、b 、c 为常数，且0a >，0c >，32a b =)存在“等差”函数，且y ax b =+与“等差”函数有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点(),P x y (其中12x x x <<)，使得ABP ∆的面积最大？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.26.(10分)如图1，二次函数23y ax ax b =-+(a 、b 为参数，其中0a <)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)若10b a =-，求tan CBA ∠的值(结果用含a 的式子表示)；(2)若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =.求抛物线的解析式；(3)如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值.。
湖南省长沙市中学雅培粹中学2025届九上数学开学综合测试模拟试题【含答案】
湖南省长沙市中学雅培粹中学2025届九上数学开学综合测试模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为AD 的中点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为F .连接CF ，则CF 的长为（）A ．B ．5C ．2D ．52、（4分）下列计算结果正确的是()A +=B ．2=C =D ．=3、（4分）如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x =>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k y k x =>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．324、（4分）下列计算过程中，结果是2的是()A ．1(2)--B ．0(2)-C ．()2--D ．2--5、（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．6，8，11D ．7，24，256、（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∠BAC 的角平分线AF 与AB 的垂直平分线DF 交于点F ，连接CF ，BF ，则∠BCF 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．45°7、（4分）如图,正方形ABCD 的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为()cm 2A ．4B ．16C ．12D ．88、（4分）下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（）①y ＝﹣2x+1；②y ＝6﹣x ；③y ＝-13x +；④y ＝（1）x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在△ABC 中，∠B ＝32°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分AB ，则∠C 的度数为_____．10、（4分）将直线y=2x ﹣2向右平移1个单位长度后所得直线的解析式为y=_____．11、（4分）一组数据5,8，x ,10,4的平均数是2x ，则这组数据的中位数是___________.12、（4分）如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且∠AED ＝∠ABC ，若DE ＝3，BC ＝6，AB ＝8，则AE 的长为____．13、（4分）在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．请你添加一个条件，使得四边形ABCD 成为菱形，这个条件可以是_____．（写出一种情况即可）三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝60︒．（1）求证：AB ⊥AC ；（2）若DC ＝2，求梯形ABCD 的面积．15、（8分）学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员和团支部书记的得分情况：假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3∶3∶4，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部。
中雅培粹学校2019-2020学年度九年级第一学期入学考试数学试卷答案解析
第1页共6页中雅培粹学校2019-2020学年度第一学期入学考试初三数学试卷答案解析一．选择题（共12小题）1．A ．2．A ．3．B ．4．B ．5．D ．6．D ．7．A ．8．C ．9．D ．10．D ．11．A ．12．D ．【解答】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a ≠0）和直线y ＝﹣x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a ≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m +1，∴＝m +1，∴x 2+x 3＝2m +2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣上，∴m ＝﹣x 1，∴x 1＝﹣2m ，∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m +2m +2＝2，故选：D．二．填空题（共6小题）13．y ＝180﹣2x （0＜x ＜90）．14．84．15．40cm ．16．﹣5≤y ≤13．17．a ＞且a ≠0．18．①③④【解答】解：①∵ABCD 为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB（SAS），故本选项正确；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故本选项错误；③过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴CN＝CM，∵CG＝CG，∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），∴∠DGC＝∠BGC，∴CG平分∠BGD；故本选项正确；④过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本选项正确；⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，1∴点B 、C 、D 、G 四点共圆，∴∠BGC ＝∠BDC ＝60°，∠DGC ＝∠DBC ＝60°，∴∠BGC ＝∠DGC ＝60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N （如图1），则△CBM ≌△CDN （AAS ），∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN ＝2S △CMG ，∵∠CGM ＝60°，∴GM ＝CG ，CM ＝CG ，∴S 四边形CMGN ＝2S △CMG ＝2××CG ×CG ＝CG 2，故本选项错误；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故答案为①③④．三．解答题（共7小题）x 119.【解答】=1,x 2=220.【解答】解：（1）直线l 2的解析式为：y ＝﹣x +2，（2）kx ＞mx +n 的解集为x ＞1．21.【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，m %＝＝25%，故答案为：40，25；（Ⅱ）800×＝720（人），答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．22．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．23．【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800化简得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307∵a＝＜0∴当m＝9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，平均每天的总利润最大，最大是1307元．62+42222(x-2)+(x-3)=524.【解答】解：（1）SAS证明略222（2）设AB=x，则DE=x-2，CF=5-2=3，DF=x-3，由DE+DF=EF得，解得x=6，故AB=6（3）将军饮马：(PG+PC)min=EC==225．【解答】解：（1）由题意得：∠A+2∠B＝90°，∠A＝50°，则：∠B＝20°，（2）①是．②CD=1.5（3）D的横坐标为，而点B横坐标为，即D是线段BC的中点，则：S△BOC＝2S△OCD＝c2×2＝＝BO•CO＝•BO•c，则：BO＝c，而OC＝c，tan ∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，若∠CBO＝30°＝α，由2α+β＝90°得：β＝30°，即：∠CAB＝30°，若∠CAB＝30°＝α，由2α+β＝90°得：β＝30°，即：∠CBO＝30°，即∠CAB＝∠CBA＝30°，则：OA＝OB＝2，OC＝2，即：点A 、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0）、（0，-2），设：抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），把点A、B坐标代入上式得：y ＝a（x +2）（x﹣2），把点C坐标代入上式，解得：a ＝，则抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2-2．26．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝2x ﹣1；（2）存在，理由：13二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝DH（x C﹣x A）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或5（舍去5），故点D（﹣1，5）；（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1，故点P（1，2）或（1﹣，2）；综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．。
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(下)第一次段考数学试卷(解析版) (1)
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第一次段考数学试卷一．选择题（共12小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣22．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣54．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝25．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．49．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD ＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．311．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1二．填空题（共6小题）13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是．14．分解因式：m2﹣4m+4＝．15．不等式组的解集是．16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD 的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为cm2．18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为．三．解答题（共8小题）19．计算：20．化简求值：，其中x＝．21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为人，a＝，b＝．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．故选：C．4．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝2【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；【解答】解：2a+3a＝5a，A错误；（﹣3a）2＝9a2，B错误；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误；＝2，D正确；故选：D．5．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，故选：B．7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C．8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．9．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．【分析】根据“购买2个排球和3个实心球共需95元，购买5个排球和7个实心球共需230元”可得．【解答】解：设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得：，故选：B．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD ＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．3【分析】由作图过程可得DN是AB的垂直平分线，AD＝BD＝6，再根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半即可求解．【解答】解：由作图过程可知：DN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6∵∠B＝30°∴∠DAB＝30°∴∠C＝90°，∴∠CAB＝60°∴∠CAD＝30°∴CD＝AD＝3．故选：D．11．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA ＝OB，利用三角函数解答即可．【解答】解：∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵AB∥x轴，∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，∵OB+OA+AB＝60km，∵OB＝OA＝AB，∴AB＝，故选：B．12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得a、b的值，从而可以得到a和b的关系，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，∴a＝2；∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，∴b＝1；当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，∴b＝2；由上可得，a＝b+1或a＝b，故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是．【分析】二次根式有意义，则被开方数大于等于0，从而得关于x的不等式，解得x范围，则可得答案．【解答】解：∵二次根式有意义∴3﹣4x≥0∴x≤∴满足条件的x的最大值是．故答案为：．14．分解因式：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（m﹣2）2，故答案为：（m﹣2）215．不等式组的解集是x≤﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，则不等式组的解集为x≤﹣2，故答案为：x≤﹣2．16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．【解答】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是＝；故答案为．17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD 的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为πcm2．【分析】贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．【解答】解：S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝π（cm2）．故答案是：π18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为5﹣2．【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝＝5，∴OM＝＝5，∵OF+MF≥OM，∴OF≥5﹣2，∴线段OF长的最小值为5﹣2．故答案为：5﹣2．三．解答题（共8小题）19．计算：【分析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式＝﹣2+﹣2×﹣（2﹣）＝﹣2+2﹣﹣2+＝﹣2．20．化简求值：，其中x＝．【分析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．【解答】解：原式＝•＝＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x当x＝时，原式＝﹣2﹣．21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为100人，a＝0.25，b＝15．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”求解可得；（2）根据频数分布表即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．【解答】解：（1）总人数为40÷0.4＝100人，a＝25÷100＝0.25、b＝100×0.15＝15，故答案为：100、0.25、15；（2）补全条形图如下：（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15＝90人．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．【分析】（1）首先确定A、B、C点关于原点对称的点的位置，再连接即可；（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，再代入B′点坐标即可得到k的值，进而可得函数解析式；（3）首先确定点P坐标，根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案．【解答】解：（1）如图：（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，∵B′（2，﹣3），∴﹣3＝，∴k＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；（3）∵A′（4，﹣1），B′（2，﹣3）∴A′B′的中点P坐标为（3，﹣2），∵3×（﹣2）＝﹣6，∴点P在（2）的函数图象上．23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【分析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入﹣成本＝利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得：＝1.5×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；（2）连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，证明∠DCH＝∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到＝，根据余弦的概念求出EK，计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴＝5，∠AEB＝∠DAF，在△ABE和△AFD中，，∴△ABE≌△AFD；（2）连接DE交CF于点H．∵△ABE≌△DF A，∴DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，∴EF＝CE＝2．∴DE⊥CF．∴∠DCH+∠HDC＝∠DEC+∠HDC＝90°．∴∠DCH＝∠DEC．在Rt△DCE中，CD＝4，CE＝2，∴DE＝2，∴sin∠DCF＝sin∠DEC＝＝．（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．∴＝．在Rt△CEK中，EK＝CE•cos∠CEK＝CE•cos∠AEB＝2×＝．∴FK＝FE+EK＝．∴＝＝．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．【分析】（1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C1：y＝x2﹣2x是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，结合顶点坐标（﹣，）知＝，据此求解可得；（3）由（2）中b2﹣4ac＝12知c＝，结合等边抛物线过（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依据对称轴位置得b＝﹣6，联立，求得x＝1或x＝6，从而得出答案．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）．理由如下：由y＝x2﹣2x＝x•（x﹣2）知，该抛物线与x轴的交点是（0，0），（4，0）．又因为y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，所以其顶点坐标是（2，﹣2）．∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，∴抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax2+bx+c＝0，∴x＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝||．又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴＝．∵4﹣4ac≠0，∴||＝，∴ac＝﹣2；（3）由（2）得b2﹣4ac＝12，∴c＝，∴C3：y＝x2+bx+，∵1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1），∴该等边抛物线过（1，1），∴1+b+＝1，解得b＝﹣6或b＝2，又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，∴b＜﹣2，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x+6，联立，解得x＝1或x＝6，∴m的最大值为6．26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式求出C点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式；（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．证明AB'＝CB'便可得结论；（3）过M点ME∥y轴，交AC于点E，设M点的横坐标为m，用m表示MD，再根据二次函数的性质求得MD的最大值，最后根据圆的面积公式便可求得结果．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝2mx2+5mx﹣12m＝﹣12m，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：y＝﹣3mx﹣12m；（2）∠CBA＝2∠CAB．理由如下：如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．∴CB＝CB'，∴∠CBA＝∠CB'O，∵m＝﹣时，抛物线的解析式为：，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0，得＝0，解得x＝﹣4或，∴A（﹣4，0），B（，0），∴B'（﹣（，0），∴AB'＝，CB'＝∴AB'＝CB'，∴∠CAB＝∠ACB'，∵∠CB'O＝∠CAB+∠ACB'＝2∠CAB，∴∠CBA＝2∠CAB；（3）如图2，以MD为半径做圆，过M点ME∥y轴，交AC于点E，则∠MEC＝∠ACO，∵A（﹣4，0），以（0，2）∴直线AC的解析式为y＝，设M（m，）（﹣4＜m＜0），则E（m，），∴，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，由勾股定理可得AC＝2，∴sin∠MED＝，∴，由二次函数的性质知，当m＝﹣2时，DE有最大值为：，∴，∴∴⊙M面积的最大值为：π×（）2＝，∴⊙M面积的取值范围为：0＜S⊙M≤，。
湖南省长沙市中雅培粹学校 2019-2020 学年 上 学期入学考试 卷九年级数学试题(含答案)
中雅培粹学校九年级数学入学考试答案及评分标准一.选择题（每题3分，共36分）1-6CBDCBB 7-12ACABDD二．填空题（每题3分，共18分）13.1->x 14.)a )(a (222+-15.无解16.1017.1818.5三．计算解答题19.（6分）原式=2132132--+……4′=0.5……2′20.（6分）11-+=x x 原式，……4′代入得原式=223+……2′21.（8分=2′+4′+2′）解：（1）70÷70%＝100（天），故答案是：100；……2′（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%＝72°……2′；如图所示：……2′（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．……2′22．（8分=4′+5′）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC ＝∠BAC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积．证明题按得分点给分，过程中没有相应的得分点，则扣除相应的分数。
（下同）【解答】（1）证明：法一∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∴∠BAC+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC+∠ABD＝90°，∴AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′法二：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∵∠DBC=∠BAC，∠C=∠C∴△BCD∽△ACB∴∠ABC=∠ADB=90°即AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°，……1′∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝BD＝OD＝2，∴BM＝DM＝1，由勾股定理得：OM＝，﹣S△DOB＝﹣×2×＝π﹣．……3′∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB23.（9分=3′+3′+3′）解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；……3′（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）=-2x2+220x-4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，……1′∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，……1′故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；……1′（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＞800，解得：40＜x＜70，……1′∵30≤x≤50解得：40＜x≤50，……1′在y＝﹣2x+160中，∵-2<0∴y随x的增大而减小当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60∴每天的销售量最少应为60件．……1′24.（9分=3′+3′+3′）解：（1）法一：由题得，对称轴为x＝2．……1′∴B（5,0）……2′法二：A （-1,0）带入解析式求得1′∴y=x 2-4x-5∴B （5,0）……2′（2）设A 、B 的横坐标分别是x 1、x 2由韦达定理得x 1+x 2=4,x 1·x 2=3a+2……1′∴()()212212214x x x x x x -+=-……2′此时△>0,符合题意。
湖南省长沙市中雅培粹学校2019-2020学年九年级下学期中考第二次全真模拟考试数学试卷
中雅培粹学校2020届初三中考第二次全真模拟考试数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题，共36分)1.下列实数中，为无理数的是()A.227 C.3.14 2.下列运算正确的是( )5÷= B.()2239t t -=-C.()222424ab a b -=D.22x x x ⋅= 3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.已知函数y =x 的取值范围是( ) A.2x <B.2x <且0x ≠C.2x ≤D.2x ≤且0x ≠ 5.在ABC ∆中，不能判断ABC ∆是直角三角形的是( )A.222b a c =-B.::3:4:5A B C ∠∠∠=C.C A B ∠=∠-∠D.::a b c =6.下列事件中，是必然事件的是( )A.射击运动员射击一次，命中靶心B.一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 C.雨后见彩虹D.任意画一个三角形，其外角和是3607.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是( )A. B. C. D.8.如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，32C ∠=，则BED ∠的度数是( )A.32B.16C.49D.649.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，8BD =，则OE 长为( )A.2.5B.3C.4D.5第8题图 第9题图 第11题图10.能说明命题“若a b ≥，则0a >”是假命题的反例是( )A.2a =-，3b =-B.2a =-，1b =C.2a =-，1c =-D.2a =，1b =11.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度1200m AC =，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30α=，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1200mB.12002mC.12003mD.2400m12.如图，在ABC ∆中，P 为边上一点.若M 为CP 的中点，PBM ACP ∠=∠，3AB =，2AC =，则BP 的长为( )A.3B.94C.5D.103二、填空题(每小题3分，共18分)13.若分式21x x x -+的值为零，则x 的值是____________.14.不等式组391102x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集是____________. 15.边长为6的正六边形的边心距是____________.16.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，相似比为3:1，将ABC∆放大为DEF ∆，已知()1,2C ，则点F 的坐标为____________.17.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________.18.如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于()1,A m ，()4,B n 两点.则不等式40kx b x+-≥的解集为____________. 三、解答题(共8个小题，共66分)19.(6分)计算：()10120204cos302273π-⎛⎫++---- ⎪⎝⎭.20.(6分)先化简，再求值：()()()2222x y x y x y y y ⎡⎤÷⎣--+⎦--，其1x =-中，2y =-.21.(8分)某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)请求出该校随机抽取了_________名学生成绩进行统计；(2)表中a =_________，b =_________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段6070x ≤<对应扇形圆心角度数是_______；(4)若该校学生共有8000人，请估计该校分数在80100x ≤<的学生有多少人？成绩/x 分 频数 频率 5060x ≤< 4 0.1 6070x ≤< 8 b 7080x ≤< a 0.3 8090x ≤< 10 0.25 90100x ≤< 60.1522.(8分)如图，在四边形ABCD 中，5OD OB ==，//AB CD .(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若12AD =，26AC =，求四边形ABCD 的面积.23.(9分)学校为了让师生更好的养成垃圾分类的习惯，决定在校园内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍.(1)求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，问有多少种购买方案.24.(9分)如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F .(1)若40ABC ∠=，80C ∠=，求CBD ∠的度数；(2)求证：DB DE =；(3)若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长.25.(10分)定义：若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-满足a b b c -=-，则称2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“等差”函数.(1)判断y x b =+和3y x=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； (2)若5y x b =+和c y x =-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与c y x=-的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；(3)若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-(其中a 、b 、c 为常数，且0a >，0c >，32a b =)存在“等差”函数，且y ax b =+与“等差”函数有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点(),P x y (其中12x x x <<)，使得ABP ∆的面积最大？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.26.(10分)如图1，二次函数23y ax ax b =-+(a 、b 为参数，其中0a <)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)若10b a =-，求tan CBA ∠的值(结果用含a 的式子表示)；(2)若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =.求抛物线的解析式；(3)如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值.。
2025届湖南省长沙市中学雅培粹学校数学九上开学学业水平测试模拟试题【含答案】
2025届湖南省长沙市中学雅培粹学校数学九上开学学业水平测试模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）将方程x 2+4x +1＝0配方后，原方程变形为（）A ．（x +2）2＝3B ．（x +4）2＝3C ．（x +2）2＝﹣3D ．（x +2）2＝﹣52、（4分）在一幅长200cm ，宽160cm 的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%，设装饰纹边的宽度为xcm ，则可列方程为（）A ．()()20016078%200160x x ++⨯=⨯B ．(2002)(1602)78%200160x x ++⨯=⨯C ．(2002)(160)78%200160x x ++⨯=⨯D ．(200)(1602)78%200160x x ++⨯=⨯3、（4分）道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为()A ．B ．C ．D ．4、（4分）菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，若6AC =，菱形的周长为20，则对角线BD 的长为（）A ．4B ．C ．8D ．5、（4分）如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点,P 是线段AB 上任意一点(不包括端点),过点P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为10,则该直线的函数表达式是()A ．y=x+5B ．y=x+10C ．y=-x+5D ．y=-x+106、（4分）到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的（）．A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点7、（4分）张浩调查统计了他们家5月份每次打电话的通话时长，并将统计结果进行分组（每组含量最小值，不含最大值），将分组后的结果绘制成如图所示的频数分布直方图，则下列说法中不正确的是（）A ．张浩家5月份打电话的总频数为80次B ．张浩家5月份每次打电话的通话时长在5﹣10分钟的频数为15次C ．张浩家5月份每次打电话的通话时长在10﹣15分钟的频数最多D ．张浩家5月份每次打电话的通话时长在20﹣25分钟的频率为6%8、（4分）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点P 从点B 出发，沿B C D →→向终点D 匀速运动，设点P 走过的路程为x ，ABP ∆的面积为S ，能正确反映S 与x 之间函数关系的图象是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）八年级（4）班有男生24人，女生16人，从中任选1人恰是男生的事件是_______事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）.10、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作AP 射线，交边CD 于点Q ，若DQ ＝2QC ，BC ＝3，则平行四边形ABCD 周长为_____．11、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD=5，AP=8，则△APB 的周长是．12、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣4x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线y ＝上；将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a 的值是_____．13、（4分）一个小区大门的栏杆如图所示，BA 垂直地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，那么ABC BCD ∠+∠=_________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且∠EAC =90°，AE 2=EB •EC ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长DB 、AE 交于点F ，若AF =AC ，求证：AE =BF ．15、（8分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 边上的点，且∠1=∠1．求证：四边形AECF 是平行四边形．16、（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长1都是，图中标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 共7个格点(每个小格的顶点叫做格点)(1)从7个格点中选4个点为顶点，在所给网格图中各画出-一个平行四边形：(2)在(1)所画的平行四边形中任选-一个，求出其面积.17、（10分）某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5:4:1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元／kg、20元／kg、27元／kg．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．18、（10分）已知△ABC的三条边长分别为2，5，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分成两个三角形，使其中一个三角形为等腰三角形.（1）这样的直线最多可以画条；（2）请在三个备用图中分别画出符合条件的一条直线，要求每个图中得到的等腰三角形腰长不同，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）直线y＝3x﹣1向上平移4个单位得到的直线的解析式为：_____．20、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.21、（4分）如图，将三个边长都为a 的正方形一个顶点重合放置，则∠1＋∠2＋∠3＝_______．22、（4分）如图，E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，以AE 为折痕翻折，使得点B 的对应点落在矩形内部点B '处，连接B D '，若5AB =，8BC =，当AB D '∆是以AD 为底的等腰三角形时， BE =___________．23、（4分）如图.△ABC 中,AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D ．F,BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E,已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是_____二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F.若AE 4,AF 6==，平行四边形ABCD 周长为40，求平行四边形ABCD 的面积.25、（10分）已知,90ABC A ∆∠<（如图），点D E F 、、分别在边AB BC AC 、、上，且四边形ADEF 是菱形（1）请使用直尺与圆规，分别确定点D E F 、、的具体位置（不写作法，保留画图痕迹）；（2）如果=604A AD ∠=，，点M 在边AB 上，且满足EM ED =，求四边形AFEM 的面积；（3）当=AB AC 时，求DE AC 的值。
2021-2022学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(上)入学数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）入学数学试卷1.牛郎织女戴口罩相会！这个七夕，地铁2号线里上演“长沙式浪漫”，长沙地铁2号线单日最大客流量约为1040000人次，其中数据1040000用科学记数法表示为( )A. 10.4×105B. 1.04×106C. 1.04×107D. 0.104×1072.若点A(3,m)在正比例函数y=13x的图象上，则m的值是( )A. 1B. −1C. 19D. −193.一次函数y=2x−4的图象不经过的是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.下列运算正确的是( )A. (a3)4=a7B. (a−b)2=a2−b2C. a10÷a2=a5D. a3⋅a4=a75.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( )A. (−2,−3)B. (2,3)C. (−2,3)D. (2,−3)6.一元二次方程2x2−3x+1=0的根的情况为( )A. 没有实数根B. 只有一个实数C. 两个相等实数根D. 两个不相等实数根7.平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A. 相等B. 互相平分C. 互相垂直D. 互相垂直且相等8.数据10，3，3，7，6的中位数是( )A. 3B. 6C. 7D. 109.y=−x2+4x+c图象过点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(6,y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y1<y3<y2D. y3<y1<y210.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A. a>0B. a−b+c<0C. b2−4ac>0D. c>011.分解因式：a2−b2=______ .12.已知一元二次方程x2−3x−4=0的两根是m、n，则m+n=______.13. 如图，△ABC 中，AC =5，BC =12，AB =13，CD是AB 边上的中线．则CD =______.14. 如图，已知菱形ABCD 的边长为1，∠DAB =60∘，则对角线BD 的长是______.15. 甲、乙两射击运动员10次射击训练的平均成绩恰好都是9环，方差分别是S 甲2=0.7，S 乙2=1.4，则在本次测试中，______运动员的成绩更稳定(填“甲”或“乙”).16. 将抛物线y =−14x 2+1向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y 轴交点的坐标为______.17. 计算：(−1)2021−√83+|√2−1|+(13)−1. 18. 先化简，再求值：(1−1x+2)÷x 2+2x+1x+2，其中x =√3.19. 已知直线AB 经过点A(−4,0)，B(−1,3).(1)求直线AB 的表达式；(2)求直线AB 与两坐标轴围成的三角形面积．20. 为庆祝中国共产党诞辰100周年，中雅培粹学校举行“青春心向党，筑梦新时代”艺术节活动，分为A 朗诵、B 合唱、C 舞蹈、D 小品剧一共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加其中的一项，小明随机调查了部分学生的报名情况，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次调查的学生人数为______人，并将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中“C ”部分的圆心角是______∘；(3)若全校共有2000名学生，请估计该校报名参加小品剧比赛的学生有多少人？ 21. 在矩形ABCD 中，连接AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点O ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF.(1)求证：四边形AECF 为菱形；(2)若AB =4，BC =8，求菱形AECF 的面积．22.人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前n行的点数计算进行了探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点．第n行有n个点..容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．n(n+1))(提示：1+2+3+4+....+(n−1)+n=12(1)求三角形点阵中前10行的点数和；(2)若三角形点阵中前a行的点数之和为136，求a的值；(3)三角形点阵中前b行的点数之和能是500吗？若能，求出b的值；若不能，请说明理由．23.2021年是中国“十四五”开局之年，站在“两个一百年”奋斗目标的历史交汇点上，优先发展农业农村、全面推进乡村振兴是重中之重．湖南为了落实党的“中央一号”文件，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A，B两城共有肥料1000吨，其中B城肥料比A城肥料多200吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为10元/吨和18元/吨．现C乡需要肥料480吨，D乡需要肥料520吨．(1)A城和B城各有多少吨肥料？(2)设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式，并写出x的取值范围，并求出最少总运费．24.已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P(t,2t)，则称点P为函数图象上的“雅美点”，例如：y=x−1上存在“雅美点”P(−1,−2).(1)求直线y=x+1上的“雅美点”；(2)直线y=mx−n(其中m，n为常数)上存在“雅美点”吗？若存在，请求出所有的“雅美点”，若不存在，说明理由；(3)若抛物线y=ax2+(b+2)x+1(a、b是常数，且a>0)上有“雅美点”，且“雅美点”为A(x1,y1)和B(x2,y2)，且|x1−x2|=1，令t=12a−b2试求t的最大值．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点B(4,0)，C(0,−2)，对称轴为直线x=1，与x轴的另一个交点为点A.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；(3)点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：1040000=1.04×106.故选：B.用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点A(3,m)在正比例函数y=13x的图象上，∴m=13×3=1.故选：A.直接把点A(3,m)代入正比例函数y=13x，求出m的值即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵一次函数y=2x−4中，k=2>0，b=−4<0，∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B.根据一次函数的性质可求出函数图象所经过的象限．本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．4.【答案】D【解析】解：(a3)4=a12，A不符合题意；(a−b)2=a2−2ab+b2，B不符合题意；a10÷a2=a8，C不符合题意；a3⋅a4=a7，D符合题意；故选：D.根据完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法法则，解题关键在于正确的计算．5.【答案】C【解析】解：抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是(−2,3).故选：C.根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵Δ=(−3)2−4×2×1=1>0，∴方程有两个不相等实数根．故选：D.先计算根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．7.【答案】B【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B.根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．8.【答案】B【解析】解：把数据10，3，3，7，6从小到大排列为：3、3、6、7、10，排在中间的数是6，所以中位数是6.故选：B.根据中位数的定义解答即可．本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.【答案】C【解析】解：∵y=−x2+4x+c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x=−4=2，2×(−1)∴C(6,y3)关于直线x=2的对称点是(−2,y3)，∵−3<−2<−1，∴y1<y3<y2，故选：C.根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=2，根据x<2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，选项A正确．由图象可得x=−1时，y=a−b+c>0，∴选项B不正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2−4ac>0，选项C正确．∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c>0.选项D正确．故选：B.由抛物线开口方向可得a的符号，由图象可得x=−1时y>0，由抛物线与x轴交点个数可判断b2−4ac的符号，由抛物线与y轴交点可判断c的符号．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．11.【答案】(a+b)(a−b)【解析】解：a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为：(a+b)(a−b).直接利用平方差公式因式分解即可．本题考查了运用公式法因式分解的知识，解题的关键是能够牢记平方差公式，难度不大．12.【答案】3【解析】解：∵一元二次方程x2−3x−4=0的两根是m、n，∴m+n=−−31=3.故答案为：3.根据根与系数的关系进行求解即可．本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟练掌握根与系数的关系并灵活运用．13.【答案】6.5【解析】解：∵在△ABC 中，AC =5，BC =12，AB =13， ∴AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90∘， ∵CD 是AB 边上的中线， ∴CD =6.5； 故答案为：6.5.先根据勾股定理的逆定理判定△ABC 为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC 为直角三角形是解题的关键．14.【答案】1【解析】解：∵菱形ABCD 的边长为1， ∴AD =AB =1， 又∵∠DAB =60∘， ∴△DAB 是等边三角形， ∴BD =AB =1， 则对角线BD 的长是1. 故答案为：1.由菱形的性质得AD =AB =1，再证△DAB 是等边三角形，即可得出结论．本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．15.【答案】甲【解析】解：因为S 甲2=0.7<S 乙2=1.4，方差小的为甲，所以本题中甲运动员的成绩更稳定． 故答案为：甲．根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．16.【答案】(0,3)【解析】解：∵将抛物线y =−14x 2+1向上平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式为：y =−14x 2+3， ∴当x =0，则y =3，故得到的新抛物线图象与y 轴的交点坐标为：(0,3). 故答案为：(0,3).先得到抛物线的平移后的解析式，进而得出x =0时y 的值，即可得出图象与y 轴的交点坐标．此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练应用平移规律是解题关键．17.【答案】解：(−1)2021−√83+|√2−1|+(13)−1.=−1−2+√2−1+3=√2−1.【解析】先计算乘方、开立方、绝对值和负整数指数幂，再计算乘法，后计算加减． 此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．18.【答案】解：原式=x+1x+2⋅x+2(x+1)2=1x+1，当x =√3时，原式=1√3+1=√3−12. 【解析】先算括号里面的，再算除法，最后把x 的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．19.【答案】解：(1)设直线AB 表达式为：y =kx +b ，将A(−4,0)，B(−1,3)代入得： {−4k +b =0−k +b =3， 解得{k =1b =4，∴直线AB 表达式为y =x +4； (2)设直线AB 交y 轴于C ，如图>在y =x +4中，令x =0得y =4，∴C(0,4)，∴直线AB与两坐标轴围成的三角形面积为12OA⋅OC=12×4×4=8.【解析】(1)用待定系数法即可得答案；(2)求出图象与y轴交点，即可得到答案．本题考查待定系数法求一次函数解析式及三角形面积，解题的关键是掌握待定系数法．20.【答案】200 36【解析】解：(1)本次调查的学生总人数是120÷60%=200(人)，故答案为：200；B合唱人数为：200×26%=52(人)，C舞蹈人数为：200−120−52−8=20(人)，补全条形统计图如下：(2)扇形统计图中C部分的圆心角是：360∘×20200=36∘，故答案为：36；(4)2000×8200=80(人)，答：估计该校报名参加小品剧比赛的学生共有80人．(1)根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数；由总人数及图中的数据可以计算出选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(2)再根据选择C的人数，即可计算出扇形统计图中C部分的圆心角的度数；(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校报名参加小品剧比赛的学生有多少人．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】(1)证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴EF⊥AC，AO=CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠EAO=∠FCO，在△EAO和△FCO中{∠EAO=∠FCO AO=CO∠AOE=∠COF，∴△EAO≌△FCO(ASA)，∴AE=CF，∵AE//CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形；(2)解：∵四边形AECF为菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90∘，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即42+(8−x)2=x2，解得：x=5，即CF=AF=5，∵AB=4，∴菱形AECF的面积S=CF×AB=5×4=20.【解析】(1)根据线段的垂直平分线得出EF⊥AC，AO=CO，根据矩形的性质得出AD//BC，求出∠EAO=∠FCO，根据全等三角形的判定定理得出△EAO≌△FCO，求出AE=CF，得出四边形AECF为平行四边形，再得出答案即可；(2)根据菱形的性质得出AF=CF，设AF=CF=x，根据勾股定理求出x，再求出面积即可．本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．22.【答案】解：(1)1+2+3+4+…+9+10=12×10×(10−1)=45.答：三角形点阵中前10行的点数和为45.(2)依题意得：12a(a−1)=136，整理得：a2−a−272=0，解得：a1=17，a2=−16(不符合题意，舍去).答：a的值为17.(3)三角形点阵中前b行的点数之和不能是500，理由如下：依题意得：12b(b −1)=500，整理得：b 2−b −1000=0，解得：b 1=1−√40012(不符合题意，舍去)，b 2=1+√40012，又∵b 为正整数，∴b =1+√40012不符合题意，舍去，∴三角形点阵中前b 行的点数之和不能是500.【解析】(1)将三角形点阵中前10行的点数相加，即可求出结论；(2)根据三角形点阵中前a 行的点数之和为136，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(3)三角形点阵中前b 行的点数之和不能是500，根据三角形点阵中前b 行的点数之和为500，即可得出关于b 的一元二次方程，解之即可得出b 值，再结合b 为正整数，即可得出所求b 值不符合题意，进而可得出三角形点阵中前b 行的点数之和不能是500.本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】解：(1)设A 城有化肥a 吨，B 城有化肥b 吨根据题意，得{a +b =1000a +200=b， 解得{a =400b =600， 答：A 城和B 城分别有400吨和600吨肥料；(2)∵从A 城运往C 乡肥料x 吨，∴从A 城运往D 乡(400−x)吨，从B 城运往C 乡肥料(480−x)吨，则从B 城运往D 乡(120+x)吨，根据题意，得：y =15x +20(400−x)+10(480−x)+18(120+x)=3x +14960， ∵{x ≥0400−x ≥0480−x ≥0，解得：0≤x ≤400，∵y =3x +14960是一次函数，k =3>0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x =0时，运费最少，最少运费是14960元，∴当从A 城运往D 乡400吨，从B 城运往C 乡肥料480吨，则从B 城运往D 乡120吨时总运费最少，最少运费是14960元．【解析】(1)根据A 、B 两城共有肥料500吨，其中A 城肥料比B 城少100吨，列方程或方程组得答案；(2)设从A 城运往C 乡肥料x 吨，用含x 的代数式分别表示出从A 运往运往D 乡的肥料吨数，从B 城运往C 乡肥料吨数，及从B 城运往D 乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式；并求出自变量x 的取值范围；再利用一次函数的性质求最值．本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．24.【答案】解：(1)设点P(t,2t)是直线y =x +1上的“雅美点”，∴t +1=2t ，∴t =1，∴直线y =x +1上的“雅美点”为(1,2)；(2)存在“雅美点”，理由如下：设点P(t,2t)是直线y =mx −n 上的“雅美点”，∴mt −n =2t ，∴(m −2)t =n ，当m =2，n =0时，此时y =2x 上有无数个“雅美点”；当m ≠2，n =0时，此时y =mx 上有“雅美点”为(0,0)；当m ≠2，n ≠0时，t =n m−2，此时y =mx −n 上的“雅美点”为(n m−2,2n m−2)；(3)∵“雅美点”为A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)，∴A(x 1,2x 1)和B(x 2,2x 2)，∴A 、B 两点在直线y =2x 上，联立方程组{y =ax 2+(b +2)x +1y =2x， 整理得ax 2+bx +1=0，∴x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=1a ， ∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，∴4a −b 2=−a 2，∴t =12a −b 2=12a −(4a +a 2)=−a 2+8a =−(a −4)2+16，当a =4时，t 有最大值16.【解析】(1)设点P(t,2t)是直线y =x +1上的“雅美点”，将P 点代入y =x +1中，求出t 即可求P 点坐标；(2)设点P(t,2t)是直线y =mx −n 上的“雅美点”，则mt −n =2t ，当m =2，n =0时，此时y =2x 上有无数个“雅美点”；当m ≠2，n =0时，此时y =mx 上有“雅美点”为(0,0)；当m ≠2，n ≠0时，此时y =mx −n 上的“雅美点”为(n m−2,2n m−2)；(3)由题意可知A 、B 两点在直线y =2x 上，联立方程组{y =ax 2+(b +2)x +1y =2x，由根与系数的关系可得x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=1a ，再由|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，得到4a −b 2=−a 2，则t =−(a −4)2+16，当a =4时，t 有最大值16.本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，灵活应用根与系数的关系是解题的关键．25.【答案】解：(1)依题意，将B(4,0)，C(0,−2)代入抛物线解析式，得{16a +4b +c =0c =−2−b 2a =1， 解得：{a =14b =−12c =−2， ∴抛物线的解析式为：y =14x 2−12x −2；(2)∵对称轴为直线x =1，B(4,0).∴A(−2,0)，则AB =6，当点N 运动t 秒时，BN =2t ，则AN =6−2t ，如图1，过点M 作MD ⊥x 轴于点D.∵OA =OC =2，∴△OAC 是等腰直角三角形，∴∠OAC =45∘.又∵DM ⊥OA ，∴△DAM 是等腰直角三角形，AD =DM ，当点M 运动t 秒时，AM =t ，∴MD 2+AD 2=AM 2=t 2，∴DM =√22t ， ∴S =(6−2t)⋅√22t ⋅12=−√22(x −32)2+98√2，∴由二次函数的图象及性质可知，当t =32时，S 最大值为9√28；(3)存在，理由如下： ①当四边形CBQP 为平行四边形时，CB 与PQ 平行且相等，∵B(4,0)，C(0,−2)，∴y B −y C =y Q −y P =2，x B −x C =x Q −x P =4，∵y P =0，∴y Q =2，将y =2代入y =14x 2−12x −2，得x 1=1+√17，x 2=1−√17，∴当x Q =1+√17时，x P =−3+√17；当x Q =1−√17时，x P =−3−√17，∴P1(−3+√17,0)，P2(−3−√17,0)；②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，∵y P=y B=0，∴y Q=y C=−2，将y=−2代入y=14x2−12x−2，得x1=0(舍去)，x2=2，∴x Q=2时，∴x P−x B=x Q−x C=2，∴x P=6，∴P3(6,0)；③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，由②知，x Q=2，∴x B−x P=x Q−x C=2，∴x P=2，∴P4(2,0)；综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1(−3+√17,0)，P2(−3−√17,0)，P3(6,0)，P4(2,0).【解析】(1)利用待定系数法确定函数解析式；(2)由抛物线的对称性质求得A(−2,0)，则AB=6；当点N运动t秒时，BN=2t，则AN= 6−2t，过点M作MD⊥x轴于点D，构造直角三角形，由三角形的面积公式列出函数关系式，利用配方法求得最大值；(3)需要分三种情况讨论，用平移的知识先求出点Q的横坐标，然后推出点P的坐标．主要考查了待定系数法求解析式与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
湖南省长沙市雨花区长沙市中雅培粹学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
湖南省长沙市雨花区长沙市中雅培粹学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()2481612430x x x -+-=B ．()1626218x x x +-=C ．248(8)(6)430x x x x x -----=D ．()()826230x x --=9．如图，已知A ∠，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，与A ∠的两边分别交于点B ，D ；②分别以点B ，D 为圆心，AD 长为半径作弧，两弧相交于点C ；③分别连接DC ，BC ，则四边形ABCD 为菱形．其依据是（）A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．四条边相等的四边形是菱形10．如图，当某运动员以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205h t t =-．下列结论不正确的是（）A ．小球从飞出到落地要用4sB ．小球飞行的最大高度为20mC ．当小球飞出时间从1s 到2s 时，飞行的高度随时间的增大而减小D ．当小球飞出时间从3s 到3.8s 时，飞行的高度随时间的增大而减小二、填空题15．如图，把一张长方形纸片ED'与BC交于G点，若16．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：浅水流．流水浅洲沙宿雁，数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为数”，例如11，343等．下列几个命题中：（1）2222是“回文数”；（2）所有两位数中，有9（3）任意四位数的“回文数（4）如果一个“回文数”m个千位数字为1的四位数的其中，真命题有三、解答题形统计图和扇形统计图．(1)本次调查的样本容量是___________；(2)补全条形统计图；(3)调查数据的中位数落在___________组；(4)若每天的睡眠时间未达到9小时的学生需要加强睡眠管理，求该校学生需要加强睡眠管理的学生大约有多少人？21．已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m ++++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两根，且2212210x x x x ⋅+⋅=，求m 的值．22．某校为开展劳动教育实践活动需要购买喷水壶和铲子，已知一个喷水壶比一个铲子贵2元，购买喷水壶的费用和购买铲子的费用分别是3500元和2500元．(1)若喷水壶和铲子购买的数量相同，求铲子的单价；(2)若喷水壶和铲子共购买1100个，且购买喷水壶和铲子的总费用不超过6000元，其中喷水壶至少购买200个，根据（1）中喷水壶和铲子的单价，该校最少花费为多少元？23．如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，E 是BC 的中点，AD BC ∥，AE DC ∥，EF CD ⊥于点F ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若6AB =，8AC =，求EF 的长．24．如图，抛物线()2430y mx mx m m =-+>与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 左侧），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD 、BD 、AC 、AD ，延长AD 交y 轴于点E ．(1)若OA OC =，求m 的值；(2)若对任意0m >，C 、(3)当点D 运动到某一位置时，恰好使得点时对于该抛物线上任意一点的最小值．25．我们约定：若关于x 21a c =，12a c =，1b b =-下列问题：(1)若关于x 的二次函数的顶点坐标；(2)对于任意非零实数r 、21y x rx s =++的图象上运动，函数①求函数2y 的图象的对称轴；②函数2y 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，的图象顶点分别为点A ，点象与x 轴交于不同两点E 为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不能，请说明理由．。
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(下)第一次段考数学试卷-教师用卷
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第一次段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−12的绝对值是()A. −12B. 12C. 2D. −2【答案】B【解析】【分析】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|−12|=12，故选：B．2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为()A. 46×10−7B. 4.6×10−7C. 4.6×10−6D. 0.46×10−5【答案】C【解析】【分析】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046=4.6×10−6．故选：C．4.下列计算正确的是()A. 2a+3a=6aB. (−3a)2=6a2C. (x−y)2=x2−y2D. 3√2−√2=2√2【答案】D【解析】【分析】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可．【解答】解：2a+3a=5a，A错误；(−3a)2=9a2，B错误；(x−y)2=x2−2xy+y2，C错误；3√2−√2=2√2，D正确；故选D．5.如图，AB//CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为()A. 45°B. 48°C. 50°D. 58°【答案】B【解析】【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．根据平行线的性质解答即可．【解答】解：如图，∵AB//CD，∴∠B=∠1，∵∠1=∠D+∠E，∴∠D=∠B−∠E=75°−27°=48°，故选：B．6.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是()．A. 9.7m，9.9mB. 9.7m，9.8mC. 9.8m，9.7mD. 9.8m，9.9m【答案】B【解析】【分析】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平．将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：(9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2)÷7=9.8m，故选B．7.如图是一个几何体的三视图，该几何体是()A. 球B. 圆锥C. 圆柱D. 棱柱【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，难度适中．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为矩形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C．8.已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为()A. −2B. −4C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．根据(−2,n)和(4,n)可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴是x=b即可求解b，最后代入坐标求出n．2【解答】解：抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，可知函数的对称轴x=1，∴b=1，2∴b=2；∴y =−x 2+2x +4，将点(−2,n)代入函数解析式，可得n =−4；故选B ．9. 为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得( )A. {3x +2y =955x +7y =230B. {2x +3y =955x +7y =230 C. {3x +2y =957x +5y =230 D. {2x +3y =957x +5y =230 【答案】B【解析】解：设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得：{2x +3y =955x +7y =230， 故选：B ．根据“购买2个排球和3个实心球共需95元，购买5个排球和7个实心球共需230元”可得．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．10. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若BD =6，则CD 的长为( )A. 2B. 4C. 6D. 3【答案】D【解析】解：由作图过程可知：DN 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD =6∵∠B =30°∴∠DAB =30°∴∠C =90°，∴∠CAB =60°∴∠CAD =30°∴CD =12AD =3．故选：D ．由作图过程可得DN 是AB 的垂直平分线，AD =BD =6，再根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半即可求解．本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．11.如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/ℎ，则A，B之间的距离是()A. 60−30√2B. 60√2−60C. 120−60√2D. 120√2−120【答案】B【解析】解：∵∠AOD=45°，∠BOD=45°，∴∠AOD=90°，∵AB//x轴，∴∠BAO=∠AOC=45°，∠ABO=∠BOD=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，OA=OB，∵OB+OA+AB=60km，AB，∵OB=OA=√22∴AB=60√2−60，故选：B．根据∠AOD=45°，∠BOD=45°，AB//x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA=OB，利用三角函数解答即可．本题考查了等腰直角三角形，解决本题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质．12.在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是()A. a=bB. a=b−1C. a=b或a=b+1D. a=b或a=b−1【答案】C【解析】解：∵函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，∴(m+n)2−4mn=(m−n)2>0，∴a=2；∵函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，∴当mn=0时，该函数为y=(m+n)x+1与x轴有一个交点，∴b=1；当mn≠0时，(m+n)2−4mn=(m−n)2>0，∴b=2；由上可得，a=b+1或a=b，故选：C．根据题意，利用分类讨论的方法可以求得a、b的值，从而可以得到a和b的关系，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知二次根式√3−4x有意义，则满足条件的x的最大值是______．【答案】34【解析】解：∵二次根式√3−4x有意义∴3−4x≥0∴x≤3 4∴满足条件的x的最大值是34．故答案为：34．二次根式有意义，则被开方数大于等于0，从而得关于x的不等式，解得x范围，则可得答案．本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式意义的条件，是解题的关键．14.分解因式：m2−4m+4=______．【答案】(m−2)2【解析】解：原式=(m−2)2，故答案为：(m−2)2原式利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15.不等式组{x2≤−1−x+7>4的解集是______．【答案】x≤−2【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x2≤−1，得：x≤−2，解不等式−x+7>4，得：x<3，则不等式组的解集为x≤−2，故答案为：x≤−2．16.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于______．【答案】13【解析】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有8种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是26=13；故答案为13．首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．17.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为______cm2．【答案】4054π【解析】解：S=S扇形BAC −S扇形DAE=150⋅π⋅182360−150⋅π⋅92360=4054π(cm2).故答案是：4054π贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．本题考查了扇形面积的计算．解题的关键是把求不规则的图形的面积，转化为几个规则图形的面积的和或差来求．18.如图，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为______．【答案】5√2【解析】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM，∵DE=DF，DO=DM，∴△EDO≌△FDM(SAS)，∴FM =OE =2，∵正方形ABCD 中，AB =2√5，O 是BC 边的中点，∴OC =√5，∴OD =√(2√5)2+(√5)2=5，∴OM =√52+52=5√2，∵OF +MF ≥OM ，∴OF ≥5√2，∴线段OF 长的最小值为5√2．故答案为：5√2．连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明△EDO≌△FDM ，可得FM =OE =2，由条件可得OM =5√2，根据OF +MF ≥OM ，即可得出OF 的最小值．本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. 化简求值：(2x−1x+1−x +1)÷x−2x 2+2x+1，其中x =√2．【答案】解：原式=2x−1−x 2+1x+1⋅(x+1)2x−2=x(2−x)1⋅x +1x −2=−x(x +1)=−x 2−x 当x =√2时，原式=−2−√2．【解析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简．四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20. 计算：(−12)−1+13√27×√43−2cos30°−|2−√3| 【答案】解：原式=−2+13√27×43−2×√32−(2−√3) =−2+2−√3−2+√3=−2．【解析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21.艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：(1)总人数为______人，a=______，b=______．(2)请你补全条形统计图．(3)若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？【答案】(1)100；0.25；15 ；(2)补全条形图如下：(3)估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．答：全校喜欢艺术类学生的人数有90人．【解析】【分析】此题主要考查了条形统计图的应用以及利用样本估计总体，根据题意求出样本总人数是解题关键．(1)根据“频率=频数÷总数”求解可得；(2)根据频数分布表即可补全条形图；(3)用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．【解答】解：(1)总人数为40÷0.4=100人，a=25÷100=0.25、b=100×0.15=15，故答案为：100、0.25、15；(2)补全条形图如下：(3)估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(−4,1)，B(−2,3)，C(−1,2)．(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．(2)求过点B′的反比例函数解析式．(3)判断A′B′的中点P是否在(2)的函数图象上．【答案】解：(1)如图：(2)设过点B′的反比例函数解析式为y=k，x∵B′(2,−3)，∴−3=k，2∴k=−6，∴反比例函数解析式为y=−6；x(3)∵A′(4,−1)，B′(2,−3)∴A′B′的中点P坐标为(3,−2)，∵3×(−2)=−6，∴点P在(2)的函数图象上．【解析】(1)首先确定A、B、C点关于原点对称的点的位置，再连接即可；(2)设过点B′的反比例函数解析式为y=kx，再代入B′点坐标即可得到k的值，进而可得函数解析式；(3)首先确定点P坐标，根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及关于原点对称的点的坐标，反比例函数图象上的点的坐标特点，关键是掌握用待定系数法求反比例函数的解析式的步骤：(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx，(k为常数，k≠0)；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．23.东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元；(2)如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【答案】解：(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元，根据题意得：900x+5=1.5×500x，解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．(2)设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×(1+1.5)y−500−900≥(500+900)×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．【解析】(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入−成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3，连接AE，DF⊥AE交于点F．(1)求证：△ABE≌△DFA；(2)连接CF，求sin∠DCF的值；(3)连接AC交DF于点G，求AGGC的值．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD//BC，∴√AB2+BE2=5，∠AEB=∠DAF，在△ABE和△AFD中，{∠AEB=∠DAF ∠B=∠AFDAE=AD，∴△ABE≌△AFD；(2)连接DE交CF于点H．∵△ABE≌△DFA，∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，∴EF=CE=2．∴DE⊥CF．∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°．∴∠DCH=∠DEC．在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，∴DE=2√5，∴sin∠DCF=sin∠DEC=CDDE =2√55．(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．∴AGGC =AFFK．在Rt△CEK中，EK=CE⋅cos∠CEK=CE⋅cos∠AEB=2×35=65．∴FK=FE+EK=165．∴AGGC =AFFK=1516．【解析】(1)根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；(2)连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF=AB=CD=4，AF=BE=3，证明∠DCH=∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到AGGC =AFFK，根据余弦的概念求出EK，计算即可．本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的应用，掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25.若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．(1)判断抛物线C1：y=√32x2−2√3x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．(2)若抛物线C2：y=ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；(3)对于“等边抛物线”C3：y=x2+bx+c，当1<x<m时，二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求m的最大值．【答案】解：(1)抛物线y=√32x2−2√3x是“等边抛物线”.对称轴x=2，顶点坐标为(2,−2√3).理由如下：由y=√32x2−2√3x=√3x⋅(12x−2)知，该抛物线与x轴的交点是(0,0)，(4,0)．又因为y=√32x2−2√3x=√32(x−2)2−2√3，所以其顶点坐标是(2,−2√3).∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，∴抛物线y=√32x2−2√3x是“等边抛物线”．对称轴x=2，顶点坐标为(2,−2√3)；(2)设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，B(x2,0)，令y=ax2+bx+c=0，∴x=−2±√22−4ac2a，∴AB=|x1−x2|=|−2+√22−4ac2a−−2−√22−4ac2a|=|√22−4aca|=|√4−4aca|=|2√1−aca|.又∵抛物线的顶点坐标为(−1a ,ac−1a)，∴|ac−1 a||2√1−aca |=√32．∵4−4ac≠0，∴|√1−ac2|=√32，∴ac=−2；(3)由(2)得b2−4ac=12，∴c=b2−124，∴C3：y=x2+bx+b2−124，∵1<x<m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y=x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为(1,1)，∴该等边抛物线过(1,1)，∴1+b+b2−124=1，解得b=−6或b=2，又对称轴x=−b2a =−b2>1，∴b<−2，∴b=−6，∴y =x 2−6x +6，联立{y =x 2−6x +6y =x， 解得x =1或x =6，∴m 的最大值为6．【解析】(1)根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C 1：y =√32x 2−2√3x 是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；(2)设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0)，B(x 2,0)，知AB =|x 1−x 2|=|−b+√b2−4ac 2a −−b−√b 2−4ac2a |=|√b 2−4aca |，结合顶点坐标(−1a ,ac−1a )知|ac−1a ||2√1−ac a |=√32，据此求解可得； (3)由(2)中b 2−4ac =12知c =b 2−124，结合等边抛物线过(1,1)求得b =−6或b =2，依据对称轴位置得b =−6，联立{y =x 2−6x +6y =x，求得x =1或x =6，从而得出答案． 本题是二次函数的综合问题，解题的关键是理解等边抛物线的概念和等边三角形的性质、抛物线与x 轴的交点问题及抛物线与直线的交点问题等知识点．26. 如图，二次函数y =2mx 2+5mx −12m(m 为参数，且m <0)的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(−4,0)．(1)求直线AC 的解析式(用含m 的式子表示)．(2)若m =−16，连接BC ，判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系，并说明理由．(3)在(2)的条件下，设点M 为AC 上方的抛物线上一动点(与点A ，C 不重合)，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，求⊙M 面积的取值范围．【答案】解：(1)令x =0，得y =2mx 2+5mx −12m =−12m ，设直线AC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，则{−4k +b =0b =−12m， ∴{k =−3m b =−12m ， ∴直线AC 的解析式为：y =−3mx −12m ；(2)∠CBA =2∠CAB ．理由如下：如图1，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′．∴CB =CB′，∴∠CBA =∠CB′O ，∵m =−16时，抛物线的解析式为：y =−13x 2−56x +2， ∴C(0,2)，∴OC =2，当y =0，得y =−13x 2−56x +2=0，解得x =−4或32，∴A(−4,0)，B(32,0)，∴B′(−(32,0)，∴AB′=52，CB′=√OB′2+OC 2=52∴AB′=CB′，∴∠CAB =∠ACB′，∵∠CB′O =∠CAB +∠ACB′=2∠CAB ，∴∠CBA =2∠CAB ；(3)如图2，以MD 为半径做圆，过M 点ME//y 轴，交AC 于点E ，则∠MEC =∠ACO ，∵A(−4,0)，以(0,2)∴直线AC 的解析式为y =12x +2，设M(m,−13m 2−56m +2)(−4<m <0)，则E(m,12m +2)，∴ME =−13m 2−43m ，在Rt △AOC 中，OC =2，OA =4，由勾股定理可得AC =2√5，∴sin∠MED =MD ME =sin∠ACO =AO AC =2√5=2√55， ∴DE =−2√515m 2−8√515m ， 由二次函数的性质知，当m =−2时，DE 有最大值为：8√515， ∴0<DE ≤8√515， ∴∴⊙M 面积的最大值为：π×(8√515)2=6445π， ∴⊙M 面积的取值范围为：0<S ⊙M ≤6445π，【解析】(1)由抛物线的解析式求出C 点坐标，再用待定系数法求直线AC 的解析式；(2)作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′.证明AB′=CB′便可得结论；(3)过M 点ME//y 轴，交AC 于点E ，设M 点的横坐标为m ，用m 表示MD ，再根据二次函数的性质求得MD 的最大值，最后根据圆的面积公式便可求得结果．本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质，二次函数的图象与性质，圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，第三题关键是求出DE 的最大值．。
湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题一、单选题1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）AB C D 2．下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．14 C ．7 D ．7或25 4．在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为( )A ．81、82、81B ．81、81、76.5C ．83、81、77D ．81、81、815．直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 6．如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE ＝5，BF ＝3，则CD 的长是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．107．抛物线22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点为()5,0，则它与x 轴的另一个交点的坐标为（ ） A ．()3,0B ．()3,0-C ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．不能确定，与a 的值有关8．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( ) A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对 9．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是（ ）A ．12米B ．13米C ．14米D ．15米10．对称轴为直线x ＝1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc ＜0；②b 2＞4ac ；③4a +2b +c ＞0；④a +b ≤m （am +b ）（m 为任意实数）；⑤当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．将直线=5y x --向上平移5个单位长度，得到直线．12．甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x 甲＝x 乙，方差S 2甲＜S 2乙，则成绩较稳定的是（填甲或乙）13．如图，平行四边形ABCD 中，3AD =，5AB =，90ADB ∠=︒，则平行四边形ABCD 的面积为．14．如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,5)A m ，则不等式24x ax <+的解集为．15．设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x -7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝．16．已知二次函数y=x 2﹣2ax （a 为常数）．当﹣1≤x≤4时，y 的最小值是﹣12，则a 的值为三、解答题17．解方程： （1）2650x x -+=；（2） 22310x x --=．18．如图，一次函数y kx b =＋的图象与正比例函数2y x =的图象交于点(),2A m ，与y 轴的交点为C ，与x 轴的交点为D ．(1)若一次函数图象经过点()2,1B --，求一次函数的解析式；(2)在（1）的条件下，求AOD △的面积．19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=11，求k 的值．20．学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目（每个项目按百分制计分）．若按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．李颖和张明两位同学的各项成绩如表所示：（1）计算李颖同学的总成绩；（2）若张明同学要在总成绩上超过李颖同学，求x的范围．21．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．22．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF 与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；AB的长．（2）若23．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少?24．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点(13),，()26,，,)3，……，都是“一中点”．例如：抛物线24y x =-上存在两个“一中点”()P 1412，，)(P --213，． (1)在下列函数中，若函数图像上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图像上不存在“一中点”的打“×”．①21y x =-________；②21y x =-________；③24y x =+________．(2)若抛物线()y x m x m m =-++--+2212231239上存在“一中点”，且与直线3y x =相交于点11(,)A x y 和22(,)B x y ，令t x x =+2122，求t 的最小值；(3)若函数()y x b c x a c =+-+++-21324的图像上存在唯一的一个“一中点”，且当12b -≤≤时，a 的最小值为c ，求c 的值．25．定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P （x ，y ）的纵坐标y 与其横坐标x 的差y-x 称为点P 的“坐标差”，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”（1）点A（2，6）的“坐标差”为________；（2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”；（3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO 是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值.。
2020-2021-2中雅九上入学考试-数学试卷
(1)求二次函数的表达式及 点坐标；
(2) 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点 到直线 的距离的最大值，并求出此时点 的坐标；
(3) 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 .使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点 的坐标(不写求解过程).
6.下列四个备选项所列的方程中，其中有两个不相等实数根的方程是( )
A. B.
C. D.
7.一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排 场比赛，设本次比赛共有 个参赛棋手，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.下列说法中，错误的是( )
A.菱形的对角线互相垂直B.对角线互相垂直的四边形是菱形
中雅培粹学校2020年九年级下学期暑假作业检测试卷
数学
时量：120分钟满分：120分
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
2.下列各点在函数 的图象上的是( )
A. B. C. D.
3.某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
(1)这 条鱼质量的Байду номын сангаас位数是________ ，众数是________ ；
(2)求这 条鱼质量的平均数；
(3)经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克 元，请利用这个样本的平均数.估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
21.(8分)已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求 的取值范围；
湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校2019-2020学年九年级下学期第一次段考数学试题(word无答案)
湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校2019-2020学年九年级下学期第一次段考数学试题(word无答案)一、单选题(★) 1 . ﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣2D．2(★★) 2 . 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．(★) 3 . 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．B．C．D．(★) 4 . 下列计算正确的是（）A．B．C．D．(★) 5 . 如图，，，，则的度数为（）A．B．C．D．(★★) 6 . 在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7，9.9B．9.7，9.8C．9.8，9.7D．9.8，9.9(★) 7 . 如图是一个几何体的三视图，该几何体是( )A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱(★★★★) 8 . 已知抛物线经过和两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4(★★) 9 . 为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球 x元，每个实心球 y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．(★) 10 . 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．3(★★) 11 . 如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．(★★) 12 . 在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x 2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx 2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1二、填空题(★) 13 . 已知二次根式有意义，则满足条件的的最大值是______．(★) 14 . 分解因式：_____．(★) 15 . 不等式组的解集是_____．(★)16 . 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于_____．(★) 17 . 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB， AC夹角为150°， AB的长为18 cm，BD的长为9 cm，则纸面部分 BDEC的面积为_____ cm 2．(★★) 18 . 如图，正方形 ABCD中， AB＝2 ， O是 BC边的中点，点 E是正方形内一动点，OE＝2，连接 DE，将线段 DE绕点 D逆时针旋转90°得 DF，连接 AE、 CF．则线段 OF长的最小值为_____．三、解答题(★) 19 . 计算：(★) 20 . 化简求值：，其中．(★★) 21 . 某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为人，a= ，b= ．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？(★★) 22 . 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的顶点坐标为 A（﹣4，1）， B（﹣2，3）， C （﹣1，2）．（1）画出△ ABC关于原点 O成中心对称的△ A′ B′ C′，点A′，B′，C′分别是点 A， B， C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′ B′的中点 P是否在（2）的函数图象上．(★★) 23 . 东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？(★★) 24 . 如图，在矩形ABCD中，，，点E是BC边上的点，，连接AE，交于点A．求证：≌；连接CF，求的值；连接AC交DF于点G，求的值．(★★★★) 25 . 若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C 1：y＝x 2﹣2 x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C 2：y＝ax 2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C 3：y＝x 2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C 3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．(★★★★) 26 . 如图，二次函数y＝2mx 2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．。
2019-2020-1雅实九上入学考试-数学试卷
2019年下学期初三入学检测试卷数学科目命题人：刘芸 审题人：黄伟考生注意：本试卷共3道题，26道小题，满分120分，时量120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1.下列各图所示能表示y 是x 的函数是（ ）A. B. C. D.2.将直线1y x =+向右平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ） A.3y x =-B.1y x =-C.3y x =+D.1y x =+3.一次函数1y x =--的图象不经过（ ）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 4. 某校九年级（1）班全体学生初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A.该班一共有40名同学 B.该班学生这次考试成绩的平均数是45 C.该班学生这次考试成绩的中位数是45 D.该班学生这次考试成绩的众数是45 5. 抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点是(4,0)-，(6,0)，则抛物线的对称轴是（ ） A.1 B.直线1x = C.2D.直线2x = 6.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ） A.21000(1)440x += B.21000(1)1000440x +=+ C.2440(1)1000x +=D.1000(12)440x +=7.在平面直角坐标系中，对于二次函数2(2)1y x =-+，下列说法中错误的是（ ） A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线2x =C.当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D.图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得 8.如图，如图，菱形ABCD 中，2AC =，4BD =，这个菱形的周长是（ ）第8题图 第11题图 第15题图 第16题图第18题图A.B.C.D.9.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A.当AC BD =时，它是矩形 B.当AC BD ⊥时，它是菱形 C.当60A ∠=时，它是菱形D.当AB BC =，AC BD =时，它是正方形10.关于x 的一元二次方程22(2)40a x x a -++-=的一个根为0，则a 的值为（ ） A.2B.0C.2或2-D. 2-11.如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，下列说法中：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；③0a b c ++>；④当1x <时，y 的值随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，11x <-，23x >，其中，正确的说法有（ ） A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤12.抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =，关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A. 211t ≤< B. 2t ≥ C. 611t << D. 26t ≤<二、填空题（每小题3分，共18分） 13.函数y =x 的取值范围是 .14.某公司要招聘职员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李丽的三项成绩百分制依次是70分，90分，80分，其中计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作测试能力成绩占20%，则李丽最终成绩是 分.15.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，60AOB ︒∠=，10AB =，E F 、分别为AO AD 、的中点，则EF 的长是 . 16.如图，函数3122y x =--和23y x =+的图象交于点P ，则根据图象可得，二元一次方程组233122y x y x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩的解是 .17.,αβ是关于x 的方程220x x m -+=的两实数根，且1123αβ+=-，则m 的值为 .18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线282(0)3y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点，若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 . 三、解答题（共8大题，共66分）19.（6分）解方程：（1）(1)(3)12x x -+= （2）235(21)0x x ++=20. （6分）某中学举行演讲比赛，七年级(1)班、(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班所选出的5名选手的复赛成绩如下面条形统计图所示． （1）根据条形统计图中的信息，求上表中,,a b c 的值； （2）请你分析说明哪个班级的复赛成绩较好.21.（8分）已知：y 与2x +成正比例，且1x =时，6y =-. （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当0y <时，求x 的取值范围.22.（8分）关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）设1x ，2x 是方程的两根且221212170x x x x ++-=，求m 的值.23.（9分）如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE BD ，OE CD =. （1）求证，四边形ABCD 是菱形；（2）若2AD =，当四边形ABCD 是 形时，四边形AOBE 的面积取得最大值，说明理由，并求出四边形AOBE 面积的最大值.24.（9分）长沙绿色度假村组织20辆汽车装运完A B C 、、三种脐橙共100吨到外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满.设装运A 种脐橙的x y（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？（3）设销售利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式；若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.25.（10分）用(1)f 表示以x 为自变量的函数.如一次函数21y x =-，可表示为()21f x x =-，且(1)2111f =⨯-=，()21f a a =-，定义：若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，例如：()21f x x =-，令21x x -=，得1x =，那么()f x 的不动点是1.（1）已知函数2()f x x x =-，求()f x 的不动点.（2）函数()1f x mx n =-+（,m n 是常数）的图象上存在不动点吗？若存在，请求出不动点；若不存在，请说明理由.（3）已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =++++≠.当03a <<时，若一次函数y x =与二次函数()y f x =的交点为,A B ，即,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线1y x a =-+-对称，求b 的取值范围.26.（10分）如图，二次函数21322y x bx =+-与x 轴交于点(3,0)A -和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过P 作DP 的垂线与y 轴交于点E .（1）试求出二次函数的表达式和点B 的坐标；（2）当点P 在线段AO （点P 不与A O 、重合）运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值.（3）是否存在这样的点P ，使PED ∆是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标及此时PED ∆与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.。
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(下)第二次月考数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在实数−1、−2、0、√3中，绝对值最小的实数是()3D. √3A. −2B. 0C. −132.截至北京时间4月17日6时38分，全球新冠病毒确诊人数突破215万例，数据215万用科学记数法表示为()A. 2.15×105B. 2.15×106C. 21.5×105D. 0.215×1073.下列运算正确的是()A. x2+x4=x6B. x2⋅x3=x6C. (x2)3=x6D. 3√5−√5=34.下列说法正确的是()A. 一个游戏的中奖概率是1，则做10次这样的游戏一定会中奖10B. 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C. 一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D. 若甲组数据的方差S甲2=0.01，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定5.不等式组{−x+2≤1x<2的解集在数轴上可以表示为()A. B.C. D.6.下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是()A. ①③B. ②③C. ③④D. ②④7.已知关于x的一元二次方程x2−4x+c=0的一个根为1，则另一个根是()A. 5B. 4C. 3D. 28.已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是()A. 216°B. 270°C. 288°D. 300°9.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是()A. SSSB. SASC. AASD. ASA10.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为()A. 7B. 9C. 12D. 9或1211.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于()A. 45B. 35C. 34D. √101012.如图，AB是半圆O的直径，AB=5cm，AC=4cm.D是弧BC上的一个动点(含端点B，不含端点C)，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是()A. √13−2<BE≤95B. √13−2≤BE<3C. 95≤BE<3 D. √13−95≤BE<3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.分解因式：ab2−a=____________．14.函数y=√x−5中自变量x的取值范围是______．15.抛掷一枚均匀的硬币，前5次都正面朝上，则第6次正面朝上的概率是______．16.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为______．17.如图，已知AB//CD，BE平分∠ABD，∠BED=25°，则∠D=______°.18.已知点A(a,b)是反比例函数y=8x(x>0)图象上的动点，AB//x轴，AC//y轴，分别交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且AC=3CD，连接BC.现有以下四个结论：①k=2；②在点A运动过程中，△ABC的面积始终不变；③连接DE，则BC//DE；④不存在点A，使得△ABC∽△OED.其中正确的结论的序号是______．三、解答题（本大题共8小题，共65.0分）19.计算：|√3−2|+20200+(−13)−1+3tan30°20.先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x=3．21.某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的．类别频数频率助人为乐美德少年a0.20自强自立美德少年3b孝老爱亲美德少年70.35诚实守信美德少年60.32根据以上信息，解答下列问题：(1)统计表中的a=______，b______；(2)统计表后两行错误的数据是______，该数据的正确值是______；(3)校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．22.四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．23.2020年疫情期间，长沙市教育局出台《长沙市中小学线上教学工作实施意见》，长沙市推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生4万人次，第三批公益课受益学生4.84万人次．(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE⏜上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF⋅DB；(3)在(2)的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．25.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上，则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的中雅函数，如：y=x2+ 1是y=x+1的中雅函数．x−3的中雅函数，并说(1)判断二次函数y=2x2−4x−3是否为一次函数y=−12明理由；(2)若关于x的一次函数y=mx−3(m≠0)的中雅函数y=x2+nx+5与x轴两个交点间的距离为4，求直线y=mx−3与坐标轴所围三角形的面积；k(k>0)的中雅函数为y=kx2+kx+(3)已知关于x的一次函数l1：y=mx+2144k，与l1平行的直线l2：y=nx+7k交中雅函数y=kx2+kx+4k的图象于A、B 两点，若x轴上有且仅有一个点C，使得∠ACB=90°，求k的值．26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)(0<m<√2)，B(2√2,0)，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点，连接BE与AD相交于点F．(1)求证：BF=DO；(2)若AE⏜=DE⏜，试求经过B，F，O三点的抛物线C的解析式；(3)在(2)的条件下，将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线BE向上平移t个单位与新图象只有两个公共点，试求t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵|−13|=13，|−2|=2，|0|=0，|√3|=√3，∴绝对值最小的实数是0．故选：B．根据题目中的数据可以求出它们的绝对值，从而可以找出绝对值最小的数，本题得以解决．本题考查实数大小比较，解答本题的关键是求出题目中各个数据的绝对值．2.【答案】B【解析】解：215万用科学记数法表示为：2.15×106，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：A、x2与x4不是同类项，无法合并，故此选项错误；B、x2⋅x3=x5，故此选项错误；C、(x2)3=x6，正确；D、3√5−√5=2√5，故此选项错误；故选：C．直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】C【解析】解：A、概率即是在多次重复试验中，比较接近的一个数，所以一个游戏的中，则做10次这样的游戏不一定会中奖，故选项错误；奖概率是110B、容量太大，只能抽样调查，故选项错误；C、数据8出现3次，次数最多，所以8是众数；数据从小到大排列为6，7，8，8，8，9，10，所以中位数是8，故选项正确；D、方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故选项错误．故选：C．根据中位数、众数、方差的概念对选项一一分析，选择正确答案即可．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不易采集到的数据的调查方式应采用抽样调查的方式；一组数据中出现次数最多的数为众数；一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数；一组数据的方差越小，稳定性越好．5.【答案】D【解析】解：解不等式−x+2≤1，得：x≥1，又x<2，∴不等式组的解集为1≤x<2，故选：D．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图，考查了学生的空间想象能力．分别分析四个几何体的三视图，从中找出只有两个视图相同的几何体，可得出结论．【解答】解：①正方形的主、左和俯视图都是正方形；②圆锥的主、左视图是三角形，俯视图是圆；③球体的主、左和俯视图都是圆形；④圆柱的主、左视图是长方形，俯视图是圆；只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱．故选D．7.【答案】C【解析】解：设方程的另一个根为m，则1+m=4，∴m=3，故选：C．根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根．本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是灵活运用一元二次方程根与系数的关系求方程的另外一个根．8.【答案】A【解析】解：设其侧面展开图的圆心角为n°，∵圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，=2π×3，∴nπ×5180解得：n=216，∴其侧面展开图的圆心角为：216°，故选：A．=2π×3，继而求得答首先设其侧面展开图的圆心角为n°，然后由弧长公式可得：nπ×5180案．此题考查了圆锥的有关计算以及弧长公式．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．9.【答案】A【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C′O′D′，故选：A．由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理．10.【答案】C【解析】解：当腰为5时，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故选：C．题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵AB=5，BC=√32+42=5，AC=√12+32=√10，∴BA=BC，∴∠ACB=∠CAB，∴cos∠ACB=cos∠CAB=√10=√1010，故选：D．求出AB，BC，可得AB=BC，推出∠ACB=∠CAB，由此即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．12.【答案】B【解析】解：如图，由题意知，∠AEC=90°，∴E在以AC为直径的⊙M的CN⏜上(不含点C、可含点N)，∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中E′点)，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=5，AC=4，∴BC=3，CM=2，则BM=√CM2+BC2=√22+32=√13，∴BE长度的最小值BE′=BM−ME′=√13−2，当BE最长时，即E与C重合，∵BC=3，且点E与点C不重合，∴BE<3，综上，√13−2≤BE<3，故选：B．由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的CN⏜上(不含点C、可含点N)，从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中E′点)，在Rt△BCM中利用勾股定理求得BM=√13，从而得BE长度的最小值BE′=BM−ME′=√13−2；由BE最长时即E与C重合，根据BC=3且点E与点C不重合，得BE<3，从而得出答案．本题主要考查圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出BE最短时，即为连接BM 与⊙M的交点是解题的关键．13.【答案】a(b+1)(b−1)【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．首先将原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a(b2−1)=a(b+1)(b−1)，故答案为a(b+1)(b−1)．14.【答案】x≥5【解析】解：由题意得，x−5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥5．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15.【答案】12【解析】【试题解析】解：∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能发生的，∴第6次正面朝上的概率是1，2．故答案为：12根据概率的意义解答．本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本题的关键．16.【答案】5【解析】【分析】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=12CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=12CD=12×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB−BE=x−1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+(x−1)2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．17.【答案】130【解析】解：∵AB//CD，∠BED=25°，∴∠ABE=∠BED=25°，∠ABD+∠D=180°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=50°，∴∠D=180°−∠ABD=180°−50°=130°，故答案为130．根据平行线的性质可求∠ABE=25°，∠ABD+∠D=180°，再利用角平分线的定义可求解∠ABD的度数，进而可求解．本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．18.【答案】①②③【解析】解：∵A(a,b)，且A在反比例函数y=8x(x>0)的图象上，∴b=8a，∵AC//y轴，且C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴C(a,k a ).又∵AC=3CD，∴AD=4CD，即8a =4⋅ka，∴k=2，故①正确．∵A(a,8a )，C(a,2a).∵AB//x轴，∴B点的纵坐标为8a，∵点B在反比例函数y=2x的函数图象上，∴8a =2x，解得：x=a4，∴点B(a4,8a )，∴AB=a−a4=3a4，AC=8a−2a=6a，∴S=12AB⋅AC=12⋅3a4⋅6a=94，∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于94，故②正确，连接DE，如图所示．∵由已知可知：∠BAC=∠DOE=90°，∵ABAE =34aa=34，ACAD=6a8a=34，∴ABAE =ACAD，∴BC//DE，故③正确，若△ABC∽△OED．则有ABOE =ACOD，∴3a48a=6aa，∴a=2√2，∴在点A的运动过程中，当a=2√2时，△ABC∽△OED，故④错误，故答案为①②③．①正确．由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C 坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．②正确．根据(1)得出A、C的坐标，由AB//x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论．③正确，证明ABAE =ACAD即可．④错误，假设△ABC∽△OED，根据相似三角形的性质，构建方程求出a即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：(1)根据线段间的关系找出关于k的一元一次方程；(2)用含a 的代数式表示出线段AB、AC；(3)根据线段间的关系找出三角形是否相似．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据对应线段成比例来证出三角形相似是难点，在日常练习中应加强该方面的练习．19.【答案】解：原式=2−√3+1−3+3×√33=2−√3+1−3+√3=0．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=(x+2)(x−2)(x−2)2×x+1x+2−xx−2=x+1x−2−xx−2=1x−2，当x=3时，原式=13−2=1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=3代入进行解答即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．21.【答案】(1)4，0.15；(2)0.32，0.30；(3)列表得：A B CA AB ACB BA BCC CA CB∵共有6种等可能的结果，A、B都被选中的情况有2种，∴P(A,B都被采访到)=26=13．【解析】解：(1)由题意得：a=20×0.20=4，b=3÷20=0.15；故答案为：4，0.15；(2)∵6÷20=0.3≠0.32，∴最后一行数据错误，正确的值为0.30；故答案为：0.32，0.30；(3)见答案．【分析】(1)根据频率=频数样本总数直接求得a、b的值即可；(2)用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可；(3)列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了频数分布表及列表或树形图求概率的知识，解题的关键是能够正确的列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中{AD=AB∠D=∠ABF DE=BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)；(2)解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE=√AD2+DE2=10，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90 度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=12AE2=12×100=50(平方单位)．【解析】(1)根据SAS只要证明AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF即可；(2)只要证明△AEF是等腰直角三角形即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积．等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)设这个增长率为x，依题意，得：4(1+x)2=4.84，解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意，舍去)．答：这个增长率为10%．(2)4.84×(1+10%)=5.324(万人次)．答：第四批公益课受益学生将达到5.324万人次．【解析】(1)设这个增长率为x，根据第一批及第三批公益课受益学生人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据第四批公益课受益学生人次数=第三批公益课受益学生人次数×(1+增长率)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；(2)证明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，AD⏜=DE⏜，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴DEDB =DFDE，∴DE2=DF⋅DB；(3)解：连接DA、DO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠EBD=∠OBD，∴∠EBD=∠ODB，∴OD//BE，∴PDPE =POPB，∵PA=AO，∴PA=AO=OB，∴PO PB=23∴PDPE =23，∴PDPD+DE =23，∵DE=2，∴PD=4，∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE，∵OD//BE，∴∠AOD=∠ABE，∴∠PDA=∠AOD，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△POD，∴PDPO =PAPD，设OA=x，∴PA=x，PO=2x，∴42x =x4，∴2x2=16，x=2√2，∴OA=2√2，即⊙O的半径为2√2．【解析】(1)根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；(2)通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．(3)连接DA、DO，先证得OD//BE，得出PDPE =POPB，然后根据已知条件得出POPB=PDPE=PD PD+DE =23，求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出PDPO=PAPD，设OA=x，则PA=x，PO=2x，得出42x =x4，解得OA=2√2．本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．25.【答案】解：(1)二次函数y=2x2−4x−3不是一次函数y=−12x−3的中雅函数．理由如下：∵y=2x2−4x−3=2(x−1)2−5，∴抛物线y=2x2−4x−3的顶点坐标为(1,−5)，当x=1时，y=−12x−3=−12×1−3=−312≠−5，∴点(1,−5)不在直线y=−12x−3上，∴二次函数y=2x2−4x−3不是一次函数y=−12x−3的中雅函数；(2)设函数y=x2+nx+5与x轴两个交点为(x1,0)，(x2,0)，∴x1+x2=−n，x1x2=5，∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=n 2−20， ∵函数y =x 2+nx +5与x 轴两个交点间的距离为4， ∴|x 1−x 2|=4，∴(x 1−x 2)2=16，即n 2−20=16， ∴n =±6，∵y =x 2+nx +5=(x +n2)2−14n 2+5，∴函数y =x 2+nx +5的顶点坐标为(−n2,−14n 2+5)， ∵y =x 2+nx +5是一次函数y =mx −3(m ≠0)的中雅函数， ∴−14n 2+5=−12mn −3，∴m =n 2−322n，当n =6时，m =13， 当n =−6时，m =−13，①当m =13时，直线y =mx −3为y =13x −3，直线y =13x −3与x 轴的交点为(9,0)，与y 轴的交点为(0,−3)， ∴直线y =mx −3与坐标轴所围三角形的面积为12×9×|−3|=272，②当m =−13时，直线y =mx −3为y =−13x −3，直线y =−13x −3与x 轴的交点为(−9,0)，与y 轴的交点为(0,−3)， ∴直线y =mx −3与坐标轴所围三角形的面积为12×|−9|×|−3|=272，综上，直线y =mx −3与坐标轴所围三角形的面积为272． (3)∵y =kx 2+kx +4k =k(x +12)2+154k ，∴函数为y =kx 2+kx +4k 的顶点坐标为(−12,154k)，∵函数为y =kx 2+kx +4k 是y =mx +214k(k >0)的中雅函数，∴154k =−12m +214k ，∴m =3k ， ∵l 1//l 2， ∴n =m ，∴直线l 2：y =nx +7k 可化为y =3kx +7k ， 联立方程组{y =3kx +7ky =kx 2+kx +4k ，解得，{x 1=3y 1=16k ，{x 2=−1y =4k ，不妨令A(3,16k)，则B(−1,4k)，∵当以AB 为直径的圆与x 轴相切时，x 轴上有且仅有一个点C ，使得∠ACB =90°， ∴以AB 为直径的圆的圆心到x 轴的距离等于12AB 时，x 轴上有且仅有一个点C ，使得∠ACB =90°，且C 为切点， 设AB 的中点为点P ，则P(1,10k)， 过P 作PC ⊥x 轴于点C ，则PC =10k ，∴12AB =10k ，即12√(3+1)2+(16k −4k)2=10k ， 解得，k =14，或k =−14(舍)， 故k =14．【解析】(1)先求出抛物线数y =2x 2−4x −3的顶点坐标，再检验其顶点坐标是否在直线y =−12x −3上，进而根据定义得出结论；(2)根据y =x 2+nx +5与x 轴两个交点间的距离为4，运用根与系数的关系列出n 的方程求得n 的值，再根据中雅函数定义求得m 的值，进而直线y =mx −3与坐标轴的交点坐标，根据三角形面积公式求得结果； (3)由一次函数l 1：y =mx +214k(k >0)的中雅函数为y =kx 2+kx +4k ，根据中雅函数的定义求出m 、k 的关系，再由平行直线的函数的一次项系数相等，把n 换成k ，再求出l 2与y =kx 2+kx +4k 的交点A 、B 的坐标，当以AB 为直径的圆与x 轴相切时，x 轴上有且仅有一个点C ，使得∠ACB =90°，此时C 点刚好为切点，由此根据AB 的中点到x 轴的距离等于圆的半径，列出k 的方程进行解答便可．本题是一个新定义阅读题，主要考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，求一次函数与坐标轴的交点，求二次函数与x 轴的交点，三角形的面积，根与系数的关系，关键是根据新定义，求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数中便可得结果．26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAF =∠DAO =90°在△ABF和△ADO中{∠ABF=∠ADO AB=AD∠BAF=∠DAO∴△ABF≌△ADO(ASA)，∴BF=DO；(2)∵A(m,0)，B(2√2,0)，∴AO=m，BO=2√2，AB=2√2−m，∵AE⏜=DE⏜，∴∠EBO=∠EBD，∵∠DAB=90°，∴BD为直径∴∠BEO=∠BED=90°，又∵BE=BE，∴△BEO≌△BED，∴BD=BO=2√2，在Rt△BCD中BD=√2AB，∴2√2=√2(2√2−m)，∴m=2√2−2，∵△ABF≌△ADO，∴AF=AO=m=2√2−2，∴F点的坐标为(2√2−2,2−2√2)，∵抛物线C经过O(0,0)，B(2√2,0)，设C的解析式为y=ax(x−2√2)，将F(2√2−2,2−2√2)代入得：a=12，∴抛物线l的解析式为y=12x2−√2x；(3)①如图，设直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点．∴0<t<OG，设直线BE的解析式为y=kx+m，将B(2√2,0)，F(2√2−2,2−2√2)代入易求出：y=(√2−1)x−4+2√2，当x=0时，y=−4+2√2，∴OG=4−2√2，此时t的取值范围是：0<t<4−2√2．②如图，当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为y=(√2−1)x+b，则方程组{y=−12x2+√2xy=(√2−1)x+b有一个解，于是方程−12x2−√2x=(√2−1)x+b有两个相等的实数根，即△=0，解得b=12，此时直线BE的解析式为y=(√2−1)x+12，直线BE与y轴的交点为(0,12)，∴OG=12+(4−2√2)=92−2√2，∴此时t的取值范围是：t>92−2√2．综上所述：t的取值范围为：0<t<4−2√2或t>92−2√2．【解析】(1)本题可通过全等三角形来证简单的线段相等，三角形ABF和ADO中，根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一组直角和AB=AD，因此两三角形全等，即可得出BF=OD的结论；(2)如果G是三角形BDO的外心，根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2√2，AB=OB−OA=2√2+m，因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值，即可得出OA的长，而在(1)得出的全等三角形中，可得出OA=FG，据此可求出F点坐标．已知B、F、O三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；(3)当直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点，并且0<t<OG，利用已知条件求出OG的长即可求出t的取值范围；当直线BE 向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为y=(√2−1)x+b，求出方程组的解，进而求出t的取值范围．本题考查了二次函数的性质，二次函数和圆的交点问题，以及正方形的性质和全等三角形的判定和全等三角形的性质，本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难．。
2020-2021学年湖南省长沙市中雅培粹学校、南雅中学九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市中雅培粹学校、南雅中学九年级（上）第一次月考数学试卷1.3的相反数是()A. −3B. 3C. −13D. 132.下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.下列运算正确的是()A. (a3)4=a12B. a3⋅a4=a12C. a2+a2=a4D. (ab)2=ab24.已知x=1是方程x2−2x+c=0的一个根，则实数c的值是()A. −1B. 0C. 1D. 25.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是()A. 把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B. 木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C. 将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D. 将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理6.以原点为中心，将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为()A. (−4,5)B. (4,−5)C. (−5,4)D. (5,−4)7.一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是()A. 4B. 92C. 5 D. 1128.如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=()A. 55°B. 110°C. 120°D. 125°9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(1,0)，对称轴是直线x=−1，则方程ax2+bx+c=0的解是()A. x1=−3，x2=1B. x1=3，x2=1C. x=−3D. x=−210.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于()A. 10°B. 14°C. 16°D. 26°11.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为()A. (√3,√3)B. (√3,1)C. (2,1)D. (2,√3)12.如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O−C−D−O路线作匀速运动，设运动时间为t(s).∠APB=y(°)，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A.B.C.D.13.因式分解：x2y−y=______．14.某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分．15.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠APB=60°，OA=2cm，则OP=______．16.如图，已知△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．(1)若AD=4，则EF的长为______．(2)若∠ABC=45°，AB=2√2，则EF的最小值为______．)−2−|1−√3|−(π+1)017.计算：√12+(1318.先化简，再求值(2x+3)(2x−3)−4x(x−1)+(x−2)2，其中x=−√319.如图，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC=OA；④连接AC．若AC=3，求⊙O的半径．20.在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x(单位：次)进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表请根据图表中所给出的信息解答下列问题：组别成绩x(单位：次)人数A70≤x<904B90≤x<11015C110≤x<13018D130≤x<15012E150≤x<170mF170≤x<1905(1)本次测试随机抽取的人数是______人；m=______；(2)求C等级所在扇形的圆心角的度数；(3)若该校七年级学生共有600人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．22.某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件，设销售价为每件x元(50≤x≤60)，月销量为y件，月销售利润为w元．(1)写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；(2)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=8，DE=5，求BC的长．24.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．(1)互补四边形ABCD中，若∠B：∠C：∠D=2：3：4，求∠A的度数；(2)如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD=CD，BC>BA.求证：四边形ABCD是互补四边形；(3)如图2，互补四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD=2√3，点E，F分∠BAD=60°，△CEF周长是否变化？若不变，别是边BC，CD的动点，且∠EAF=12请求出不变的值；若有变化，说明理由；(4)如图3，互补四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，求CD的长．25.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(x−5)2+k，它的顶点为E，(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG//y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任是否意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N.请问AP−BPPN 为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据相反数的含义，可得3的相反数是：−3．故选：A．根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”，据此解答即可．此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．根据中心对称图形，轴对称图形的定义逐项进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．3.【答案】A【解析】解：A、(a3)4=a12，故原题计算正确；B、a3⋅a4=a7，故原题计算错误；C、a2+a2=2a2，故原题计算错误；D、(ab)2=a2b2，故原题计算错误；故选：A．利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．4.【答案】C【解析】解：根据题意，将x=1代入x2−2x+c=0，得：1−2+c=0，解得：c=1，故选：C．将x=1代入x2−2x+c=0得到关于c的方程，解之可得．本题主要考查了方程的解的定义，正确求解c的值是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，所以A选项说法正确；B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，所以B选项的说法错误；C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，所以C选项说法正确；D、将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理，所以D选项说法正确．故选：B．利用两点之间线段最短、两点确定一条直线、三角形的稳定性和圆的性质可对四种生活现象进行解释．本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了线段的性质．6.【答案】C【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为(−5,4)．故选：C．建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可．此题主要考查了坐标与图形变换−旋转，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．根据题意由众数是4，可知x=4，然后根据中位数的定义求解即可．【解答】解：∵这组数据的众数4，∴x=4，将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9则中位数为：4+52=92．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．此题考查了圆周角定理，注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．【解答】解：根据圆周角定理，得∠ACB=180°−1∠AOB=180°−55°=125°．2故选：D．9.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1,0)，对称轴为直线x=−1，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是(−3,0)，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=−3，x2=1．故选：A．直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1,0)，得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可计算出∠BDC=16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．【解答】解：连接BD，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=106°−90°=16°，∴∠CAB=∠BDC=16°．故选：C．11.【答案】B【解析】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD=30°，OA，∴AD=12∵C为OA的中点，∴AD=AC=OC=BC=1，∴OA=2，∴OD=√3，则点A的坐标为：(√3,1)．故选：B．根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．12.【答案】C【解析】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在CD⏜上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．故选：C．本题考查动点函数图象的问题．本题主要考查学生对圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．13.【答案】y(x+1)(x−1)【解析】解：原式=y(x2−1)=y(x+1)(x−1)，故答案为：y(x+1)(x−1)．首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是掌握提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．14.【答案】85【解析】解：90×22+3+5+90×32+3+5+80×52+3+5=85(分)，故答案为：85．根据加权平均数的计算方法进行计算即可．本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．15.【答案】4cm【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，根据切线长定理可知：∠APO=12∠APB=30°，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴OP=2OA=4cm．故答案为：4cm．由PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∠APB=60°，根据切线长定理，即可得∠APO=30°，又由三角函数，即可求得答案．此题考查了切线长定理以及三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16.【答案】2√3√3【解析】解：(1)作直径EP，连接PF，如图1：∵EP为⊙O的直径，∴∠EFP=90°，∵∠P=∠BAC=60°，∴∠PEF=30°，∴PF=12PE，EF=√3PF=√32PE，∵PE=AD=4，∴EF=√32×4=2√3；故答案为：2√3；(2)∵EF=√32PE=√32AD，∴当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，如图2，：∵∠ABC=45°，AB=2√2，∴AD=√22AB=2，∴EF=√32×2=√3．故答案为：√3．(1)作直径EP，连接PF，由圆周角定理可得∠EFP=90°，解直角三角形PEF即可；(2)当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，解直角三角形ABD，求得AD的长，即直径的长，再根据EF与直径AD的数量关系即可求得答案．本题考查了圆周角定理、解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．)−2−|1−√3|−(π+1)0，17.【答案】解：√12+(13=2√3+9−(√3−1)−1，=2√3+9−√3+1−1，=√3+9．【解析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的意义计算，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．18.【答案】解：原式=4x2−9−4x2+4x+x2−4x+4=x2−5，当x=−√3时，原式=(−√3)2−5=3−5=−2．【解析】利用平方差公式、单项式乘多项式及完全平方公式去括号，再合并同类项化简后，再将x的值代入计算可得．本题主要考查整式的混合运算−化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．19.【答案】解：如图，连接AB．由作法得OA=OB=AB=BC，∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB=∠OBA=60°，∵AB=BC，∴∠C=∠BAC，∵∠OBA=∠C+∠BAC，∴∠C=∠BAC=30°，∴∠OAC=90°，在Rt△OAC中，OA=√33AC=√33×3=√3．即⊙O的半径为√3．【解析】如图，连接AB.证明△AOB是等边三角形，解直角三角形求出OA即可．本题考查作图−基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】60 6【解析】解：(1)因为成绩在90≤x<110的人数是15人，占抽样人数的25%，所以本次测试随机抽取的人数为：15÷25%=60(人)．m=60−4−15−18−12−5=6(人)．故答案为：60，6；(2)C等级占抽取人数的百分比为：1860×100%=30%，所以C等级所在扇形的圆心角的度数为：360°×30%=108°；(3)该校七年级学生能够达到优秀的人数为：600×12+6+560=230(人)．(1)根据90≤x<110的人数和该成绩段的百分比，计算抽样人数；根据各个成绩段的人数和等于抽查人数，计算m的值；(2)先算C等的百分比，再计算圆心角的度数；(3)计算成绩不低于130所占的百分比，再估计七年级的优秀人数．本题考查了频数表和扇形图，看懂图表，并从图表中抽取有用信息是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，AD=5；∴OE=AE=12由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．AD，推【解析】(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；AD=5；由(1)知，(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)由题意得：y=500−10(x−50)=1000−10x，w=(x−40)(1000−10x)=−10x2+1400x−40000；∴y与x的函数解析式和w与x的函数解析式分别为：y=1000−10x，w=−10x2+ 1400x−40000；(2)∵w=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，当50≤x≤60时，w随x的增大而增大∴当x=60时，w取最大值8000，∴销售价定为每件60元时会获得最大利润8000元．【解析】(1)根据月销售量y等于500减去10(x−50)、月销售利润w等于每件的利润乘以月销售量列出函数关系式并化简即可；(2)将(1)中所得的利润函数写成顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义可求得答案．本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．(2)解：连接CD ．∵∠ADE =∠A ，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =5，∴AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102， ∴x 2+62=(x +8)2−102，解得x =92，∴BC =√62+(92)2=152．【解析】【试题解析】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)根据∠ADE +∠BDO =90°，∠A +∠B =90°，即可解决问题；(2)首先证明AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102，可得x 2+62=(x +8)2−102，解方程即可解决问题．24.【答案】(1)解：∵四边形ABCD 是互补四边形，∴∠B +∠D =180°，∵∠B ：∠C ：∠D =2：3：4，∴∠B =60°，∠C =90°，又∵∠A +∠B +∠C +∠D =360°，∴∠A =180°−∠C =90°；(2)证明：在BC 上截取BE =BA ，连接DE ，如图1所示：在△BAD 和△BED 中，{BA =BE∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△BAD≌△BED(SAS)，∴∠A =∠DEB ，AD =DE ．∵AD =CD ，∴DE =DC ．∴∠C =∠DEC ．∵∠BED +∠DEC =180°，∴∠A +∠C =180°，∴四边形ABCD 是互补四边形；(3)解：不变．理由如下：延长CB 到G ，使BG =DF ，连接AG ，AC ，如图2所示：∵∠EAF =12∠BAD =60°，∴∠BAD =120°，∵四边形ABCD 是互补四边形，∠B =∠D =90°，∴∠BCD =180°−∠BAD =60°，在Rt △ACD 和Rt △ACB 中，{AC =AC AD =AB， ∴Rt △ACD≌Rt △ACB(HL)，∴∠ACD =∠ACB =30°，CD =BC =√3AB =6，∵∠ABE =∠D =90°，∴∠ABG=∠D=90°，在△ABG和△ADF中，{AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAF=∠EAG，在△AEF和△AEG中，{AF=AG∠EAF=∠EAG AE=AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．∴EF+CE+CF=BC+CD=6+6=12，即△CEF的周长为12；(4)解：分两种情况：①如图3所示：四边形BMDN是平行四边形，∴BM//AD，∴∠MBD=∠NDB，同(3)得：Rt△BCD≌Rt△BAD(HL)，∴∠MDB=∠NDB，∴∠MBD=∠MDB，∴BM=DM，∴四边形BMDN是菱形，∴BN=BM=DM，∠MBN=∠ADC=30°，设BM=BN=DM=2x，作NH⊥BM于H，则NH=12BN=x，∵菱形BMDN的面积=BM⋅NH=2x⋅x=2，解得：x=1，或x=−1(舍去)，∴BM=DM=2，∵∠BMC=∠ADC=30°，∠BCD=90°，BM=1，CM=√3BC=√3，∴BC=12∴CD=DM+CM=2+√3；②如图4所示：同①得：△BAD≌△BCD，四边形ABCE是菱形，AB=AE=2，∴AD=CD，∠ABD=∠AEB=75°，∴∠BAE=30°，∵∠BAD=90°，∴∠DAE=60°，作EF⊥CE交AD于F，则∠CFE=30°，∴CF=2CE=4，∴EF=√3AE=2√3，由三角形的外角性质得：∠FED=∠FDE=15°，∴DF=EF=2√3，∴CD=AD=AF+DF=4+2√3；综上所述：CD的长为2+√3或4+2√3．【解析】(1)由互补四边形和四边形内角和定理即可求出∠A的度数；(2)在BC上截取BE=BA，连接DE，证△BAD≌△BED.得∠A=∠DEB，AD=DE.证出DE=DC.由等腰三角形的性质得出∠C=∠DEC，即可得出结论；(3)延长CB到G，使BG=DF，连接AG、AC，证Rt△ACD≌Rt△ACB(HL)，得∠ACD=∠ACB=30°，CD=BC=√3AB=6，由SAS证明△ABG≌△ADF，得∠BAG=∠DAF，AG=AF，由SAS证明△AEF≌△AEG，得EF=EG=EB+BG=EB+DF，进而得出答案；(4)分两种情况：①证明四边形BMDN 是菱形，设BM =BN =DM =2x ，作NH ⊥BM 于H ，则NH =12BN =x ，由菱形面积得x =1，求出BM =DM =2，BC =1，CM =√3，即可得出CD 的长；②同①得：△BAD≌△BCD ，四边形ABCE 是菱形，AB =AE =2，求出∠BAE =30°，作EF ⊥AE 交AD 于F ，则∠AFE =30°，则AF =2AE =4，EF =2√3，证出DF =EF =2√3，即可求出CD 的长．本题是四边形综合题目，考查了互补四边形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)如图1，连接CM 、AM ，连接ME 交x 轴于点D ，则ME ⊥x 轴，∵⊙M 与y 轴相切于点C ，点M 的坐标是(5,4)，∴CM ⊥y 轴，即C(0,4)，⊙M 的半径为5， ∴AM =5，DM =4，∴AD =DB =√AM 2−DM 2=√52−42=3，∴OA =5−3=2，∴A(2,0)，B(8,0)；(2)证明：将A(2,0)代入y =14(x −5)2+k 中，可得k =−94，∴E(5,−94)，∴DE =94，∴ME =DE +MD =94+4=254， 则AE 2=32+(94)2=22516，MA 2+AE 2=52+22516=62516，ME 2=(254)2=62516，∴MA2+AE2=AE2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP−BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP−BPPN =AQ+PQ−BPPN=BP+PN+PQ−BPPN=2PNPN=2．【解析】(1)连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，由圆的性质求出AM=5，DM=4，由勾股定理求出AD=BD=3，可求出答案；(2)求出E点坐标，证得MA2+AE2=AE2，则MA⊥AE，可得出结论；(3)连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，证明Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，得出PQ=PN，证明Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，得出AQ=BN，则可得出答案．本题为二次函数的综合应用，考查了切线的判定与性质，垂径定理，待定系数法，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．。
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25.如果三角形的两个内角 α 与 β 满足 2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三 角形”．
（1）若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，则∠B═
°；
（2）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若 AD 是∠BAC 的平分线，
A．有两个相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
12. 在抛物线 y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线 y＝﹣ x 的图象上有三点（x1，m）、（x2，
m）、（x3，m），则 x1+x2+x3 的结果是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分）
A．m＜n
B．m＞n
C．m＝n
D．无法确定
3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，CE⊥AB 且 E 为垂足．如果∠A＝125°，则∠BCE＝（ ）
A．55°
B．35°
C．25°
D．30°
第3题
第 10 题
第 11 题
4. 老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为 90
D．0＜a＜3
A．开口向上
B．顶点（2，﹣1）
C．与 y 轴交点为（0，﹣1）
D． 对 称 轴 为 直 线 x＝﹣2
7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每次降价 的百分率为（ ）
A．20%
B．40%
C．18%
第1页共7页
D．36%
8. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如下表所示：
计该校每天在校体育活动时间大于 1h 的学生人数．
22.如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延 长到点 E，使 OE＝OD，连接 AE，BE．
（1）求证：四边形 AEBD 是矩形． （2）当△ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由．
第3页共7页
21.某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学 生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中 m 的值为
；
（Ⅱ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有 800 名初中学生，估
小会发生变化；③CG 平分∠BGD；④若 AF＝2DF，BG＝6GF；⑤S 四边形 BCDG＝
．其
中正确的结论有
（填序号）．
第 15 题 三．解答题（共 7 小题，6+6+8+8+9+9+10+10） 19. 解下列方程2x2 3x 1
第 18 题
20. 如图：直线 l1：y＝kx 与直线 l2：y＝mx+n 相交于点 P（1，1），且直线 l2 与 x 轴，y 轴分别相 较于 A，B 两点，△POA 的面积是 1． （1） 求 l2 的解析式； （2） 直接写出 kx＞mx+n 的解集．
①判断：△ABD
（填“是”或“不是”）“准互余三角形”．
②求 CD 的长． （3）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若
△ABC 为“准互余三角形”，且∠ACB＞90°，AB＝4 ，D 为 BC 一点，满足以下条件：
D 的横坐标为 求抛物线的解析式．
分，方差分别是 S2 甲＝51、S2 乙＝12，由此可知（ ）
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
5. 若一次函数 y＝（a﹣3）x﹣a 的图象经过第二、三、四象限，则 k 的取值范围是（ ）
A．a≠3
B．a>0
C．a<3
6．关于函数 y＝﹣（x+2）2﹣1 的图象叙述正确的是（ ）
则四边形 EFGH 的周长是
．
16．抛物线 y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4 时，y 的取值范围是
．
17. 已知关于 x 的方程 ax2+2x﹣3＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是
．
第2页共7页
18. 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝BD，点 E、F 分别是线段 AB、AD 上的动点（不与端点重合）， 且 AE＝DF，BF 与 DE 相交于点 G．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②∠BGE 大
（）
A．4，﹣2
B．﹣4，﹣2
C．4，2
D．﹣4，2
10. 如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，
D 两点，连接 AC，BC，AD，BD，则四边形 ADBC 一定是（ ）
A．正方形ຫໍສະໝຸດ B．矩形C．梯形D．菱形
11. 函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c﹣4＝0 的根的情况是（ ）
成绩/m 1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A．1.65、1.70
B．1.65、1.75
C．1.70、1.75
D．1.70、1.70
9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣8＝0 的一个实数根为 2，则另一实数根及 m 的值分别为
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23.湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品 牌．小亮调查了一家湘潭特产店 A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月 平均每天的销售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元． （1） 求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2） 小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销 量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大 是多少元？
；S△OCD＝ c2；
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26.已知，如图，抛物线 y＝ax2 bx c （a≠0）的顶点为 M（1，9），经过抛物线上的两点 A（﹣3，﹣7）和 B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点 C． （1）求抛物线的解析式和直线 AB 的解析式． （2）在抛物线上 A、M 两点之间的部分（不包含 A、M 两点），是否存在点 D，使得 SDAC＝2SDCM ？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四 边形时，直接写出满足条件的点 P 的坐标．
13. 设等腰三角形的底角为 x 度，顶角为 y 度，则 y 关于 x 的函数表达式为
．
14. 某单位要招聘 1 名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示，若把听、说、读、写的
成绩按 30%，30%，20%，20%计算成绩，则张明的成绩为
．
听说读写
张明 90 80 83 82
15. 如图，任意四边形 ABCD 各边中点分别是 E，F，G，H，若对角线 AC，BD 的长都为 20cm，
中雅培粹学校2019-2020学年度第一学期入学考试 初三 数学试卷
命题人：钟军 审题人：严平
一．选择题（共 12 小题，每小题 3 分） 1. 一元二次方程 2x2+3x﹣5＝0 的常数项是（ ）
A．﹣5
B．2
C．3
D．5
2. 若点 A（﹣1，m），B（﹣4，n）在一次函数 y＝﹣2x+3 图象上，则 m 与 n 的大小关系是（ ）
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24.如图，正方形 ABCD 中，以 B 为顶点的∠EBF=45°交 AD 于点 E，交 CD 于点 F，延长 DC 使得 CG=AE. （1） 证明：△ABE≌△CBG； （2） 若 EF=5，AE=2，求 AB 的长度； （3） 在（2）的条件下，若 P 为线段 BF 上一动点，求 PG+PC 的最小值.