2019-2020学年江苏省泰州二中高三(下)开学数学试题Word版含解析
2016-2017学年江苏省泰州二中高一(下)开学数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省泰州二中高一（下）开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2≥0}，B＝{x|0＜log2x＜2}，则A∩B＝．2．（5分）若幂函数y＝mxα（m，α∈R）的图象经过点，则α＝．3．（5分）扇形的圆心角是72°，半径为20cm，则扇形的面积为cm2．4．（5分）若＝．5．（5分）函数f（x）＝log5（2x+1）的单调增区间是．6．（5分）已知f（+1）＝x+2，则f（x）＝．7．（5分）计算（lg﹣lg25）÷＝．8．（5分）函数的值域是．9．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．10．（5分）若函数f（x）＝lgx+x﹣3的零点在区间（k，k+1），k∈Z内，则k＝．11．（5分）已知的值．12．（5分）设α为锐角，若cos（α+）＝，则sin（2α+）的值为．13．（5分）方程2sinπx﹣lgx2＝0实数解的个数是．14．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中x，y∈R，试求x+y的最大值．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（15分）已知集合A＝{x|f（x）＝lg（x﹣1）+}，集合B＝{y|y＝2x+a，x≤0}．（1）若a＝，求A∪B；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．16．（15分）已知函数f（x）＝log a（x+1），g（x）＝log a（4﹣2x），a＞0且a≠1．（1）求函数y＝f（x）﹣g（x）的定义域；（2）求使不等式f（x）＞g（x）成立的实数x的取值范围；（3）求函数y＝2f（x）﹣g（x）﹣f（1）的零点．17．（15分）已知．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18．（15分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若，求f（x）的值域．19．（15分）如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．20．（15分）已知向量＝（cos，sin），＝（cos，﹣sin），函数f（x）＝•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m＝0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）＝f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省泰州二中高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．【解答】解：因为集合A＝{x|x﹣2≥0}＝{x|x≥2}，由0＜log2x＜2得log21＜log2x＜log24，解得1＜x＜4，则B＝{x|0＜log2x＜2}＝{x|1＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2≤x＜4}，故答案为：{x|2≤x＜4}．2．【解答】解：幂函数y＝mxα（m，α∈R）的图象经过点，则，∴23α＝2﹣2，即3α＝﹣2，解得α＝﹣．故答案为：﹣．3．【解答】解：由题意知扇形的圆心角是72°，半径为20cm，∴扇形的面积是S＝＝＝80π，故答案为：80π．4．【解答】解：由已知得到，所以＝2，所以＝1+2+4＝7，所以；故答案为：5．【解答】解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u＝2x+1为增函数，外函数y＝log5u也为增函数故函数f（x）＝log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）＝log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）6．【解答】解：∵＝x+2+1﹣1＝（+1）2﹣1，∴则f（x）＝x2﹣1，（x≥1）．故填：x2﹣1，（x≥1）．7．【解答】解：（lg﹣lg25）÷100﹣＝（lg）÷10﹣1＝﹣2×10＝﹣20．故答案为﹣20．8．【解答】解：由正弦函数的单调区间知，函数在[﹣，]上是增函数，在[，]上是减函数，故x＝时，y有最大值是1，x＝﹣时，y＝﹣，x＝时，y＝，故函数的值域是[﹣，1]，故答案为[﹣，1]．9．【解答】解：由题意结合向量的运算可得＝＝＝＝＝，又由题意可知若＝λ1+λ2，故可得λ1＝，λ2＝，所以λ1+λ2＝故答案为：10．【解答】解：因为函数y＝lgx与y＝x﹣3都是定义域上的增函数，所以函数f（x）＝lgx+x ﹣3也为定义域上的增函数．因为f（2）＝lg2+2﹣3＜lg10+2﹣3＝0，f（3）＝lg3+3﹣3＞0，所以由零点存在性定理可得函数f（x）＝lgx+x﹣3的近似解在区间（2，3）上，所以k ＝2．故答案为：2．11．【解答】解：因为，所以，所以tanθ＝sin2θ﹣2cos2θ＝＝＝＝所求表达式的值为：﹣12．【解答】解：设β＝α+，∴sinβ＝，sin2β＝2sinβcosβ＝，cos2β＝2cos2β﹣1＝，∴sin（2α+）＝sin（2α+﹣）＝sin（2β﹣）＝sin2βcos﹣cos2βsin＝．故答案为：．13．【解答】解：方程2sinπx﹣lgx2＝0，可化为方程sinπx﹣lg|x|＝0，即求y＝sinπx与y＝lg|x|交点的个数，大致图象，如图所示由图象可得，交点个数为20，故答案为20．14．【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤，…（3分）可得A（1，0），B（﹣，），…（5分）由得，x﹣y＝cosθ，y＝sinθ，…（9分）∴y＝sinθ，∴x+y＝cosθ+sinθ＝2sin（θ+），…（12分）∴x+y的最大值是2．…（14分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．【解答】解：（1）由f（x）＝lg（x﹣1）+可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0，解得1＜x≤2，故A＝{x|1＜x≤2}；…（2分）若a＝，则y＝2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，故B＝{y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B＝{x|1＜x≤}．…（7分）（2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B＝{y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B＝∅，A＝{x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．【解答】解：（1）y＝f（x）﹣g（x）＝log a（x+1）﹣log a（4﹣2x），由题意得：，解得：﹣1＜x＜2，故函数的定义域是（﹣1，2）；（2）不等式f（x）＞g（x），即log a（x+1）＞log a（4﹣2x），0＜a＜1时，x+1＜4﹣2x，解得：x＜1，而﹣1＜x＜2，故不等式的解集是（﹣1，1）；a＞1时，x+1＞4﹣2x，解得：x＞1，而﹣1＜x＜2，故不等式的解集是（1，2）；综上，0＜a＜1时，不等式的解集是（﹣1，1），a＞1时，不等式的解集是（1，2）；（3）令y＝2f（x）﹣g（x）﹣f（1）＝0，即2log a（x+1）＝log a（4﹣2x）+log a（1+1），故（x+1）2＝2（4﹣2x），解得：x＝﹣7或x＝1，而﹣1＜x＜2，故x＝1．17．【解答】解：（1）∵．∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝﹣．（2）∵．∴﹣＜β﹣α＜0，可得：sin（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cosβ＝cos[（β﹣α）+α]＝cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα＝＝．18．【解答】解：（1）f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x＝1×（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x＝cos2x﹣sin2x＝cos（2x+）∴T＝＝π（2）∵﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，∴﹣π+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调增区间为[﹣π+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，（3）由（1）可得f（x）在[0，]上单调递减，在[，]上递增，∴f（x）的最小值为﹣，f（0）＝cos（0+）＝1，f（）＝﹣1，∴f（x）的值域为[﹣，1]．19．【解答】（I）证明：延长AD到A1使得AD＝DA1，连接CA1，A1B，∵D是BC的中点，∴四边形ACA1B是平行四边形，∴＝+，∵；（II）证明：∵＝+，∴•（﹣）＝（+）•（﹣）＝•+•，∵DE⊥BC，∴•＝0，∵•＝（）＝，∴•（﹣）＝（III）解：△ABC中，||＝2，||＝1，cos A＝，，∴||＝＝，同理+＝2，∴•（+）＝•2＝||•||，设||＝x，则||＝﹣x（0），∴•（+）＝2x（﹣x）≤2＝1，当且仅当x＝时取等号，∴•（+）∈[0，1]．20．【解答】解：（1）•＝（cos，sin）•（cos，﹣sin）＝cos cos﹣sin sin＝cos（+）＝cos2x，当m＝0时，f（x）＝•+1＝cos2x+1，则f（）＝cos（2×）+1＝cos+1＝；（2）∵x∈[﹣，]，∴|+|＝＝＝2cos x，则f（x）＝•﹣m|+|+1＝cos2x﹣2m cos x+1＝2cos2x﹣2m cos x，令t＝cos x，则≤t≤1，则y＝2t2﹣2mt，对称轴t＝，①当＜，即m＜1时，当t＝时，函数取得最小值此时最小值y＝﹣m＝﹣1，得m＝（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t＝时，函数取得最小值此时最小值y＝﹣＝﹣1，得m＝，③当＞1，即m＞2时，当t＝1时，函数取得最小值此时最小值y＝2﹣2m＝﹣1，得m＝（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m＝．（3）令g（x）＝2cos2x﹣2m cos x+m2＝0，得cos x＝或，∴方程cos x ＝或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m ＜，即实数m 的取值范围是≤m ＜．第11页（共11页）。
江苏省泰州中学等2019届高三下学期联合调研测试数学试题 含解析
江苏省泰州中学等2019届高三第二学期联合调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.已知集合，，则集合中元素的个数为____.【答案】4【解析】【分析】先求出集合A B，数出其中元素个数即可.【详解】解：因为集合A＝{l，2，3}，B＝{2，3，4}所以A B＝{l，2，3，4}，有4个元素故答案为：4.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于第_______象限．【答案】四【解析】【分析】先对复数进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限.【详解】解：因为所以复数对应的点为，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平面中坐标的关系，属于基础题.3.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_______．【答案】1200【解析】【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.【详解】解：由题意知高三年级抽取了人所以该校学生总人数为人故答案为：1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.4.从集合A＝{0，1，2，3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是_______．【答案】【解析】【分析】先列出一共有多少种取法，再找出其中和为奇数的取法，即可求出其概率.【详解】解：集合A中共有4个元素，任取两个不同的元素有（0,1）、（0,2）、（0,3）、（1,2）、（1,3）（2,3）共6种取法，其中两个元素之和为奇数的有（0,1）、（0,3）、（1,2）、（2,3）共4种取法，所以故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型，当取法总数较少时可以采用穷举法，属于基础题.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的n＝2，x＝1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为_______．【答案】6【解析】【分析】先代入第一次输入的，计算出对应的，判断为否，再代入第二次输入的，计算出对应的，判断仍为否，再代入第三次输入的，计算出对应的，判断为是，得到输出值.【详解】解：第一次输入，得，，判断否；第二次输入，得，，判断否；第三次输入，得，，判断是，输出故答案为：6.【点睛】本题考查了循环结构流程图，要小心每次循环后得到的字母取值，属于基础题.6.若双曲线的离心率为，则实数a的值为_______．【答案】1【解析】【分析】先由双曲线方程求出，再利用列方程求解.【详解】解：因为代表双曲线所以，且，所以解出故答案为：1.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于基础题.7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。
【20套精选试卷合集】江苏省泰州市泰州中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷一、选择题（每小题5分、共12个小题） 1．已知集合A={}2,0,2- {}02|2=--=x xx B 则B A I =A ．φB ．{}2C ．{}0D ．{}2- 2. 已知角α的终边上一点P (x ，-2)，且αcos =31-.则x = A ．21B ．22-C ．22D ．22±3．已知a ρ=（-2，1），b ρ=（x ，21-），且 a ρ//b ρ ，则x =A ．1B ．2C ．3D ．5 4. 在等差数列{}n a 中，21=a，3a +5a =10,则7a =A ．5B ．8C ．10D ．145. 已知)(x f 是奇函数、g （x ）是偶函数，且f （-1）+ g （1）=2，f （1）+g （-1）=4 则g （1）= A ．4 B ．3 C ．2 D ．16. 函数)(x f =sin （2x －4π）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为A ．-1B ．22-C ．0D ．227. 设a =73log ，b=21.1，c=0.83.1，则Ａ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b8. 若将函数)(x f =sin 2x +cos 2x 的图象向右平移ϕ()0>ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是 A ．8π B ．4π C ．83π D ．43π9. 已知数列{}n a 是等比数列，Sn 是其前n 项和,且3a =2, S 3=6,则5a =A ．2或-21 B ．21或-2 C ．2± D ．2或2110. 已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若B=2A, a =1，b=3，则c= A ．23 B ．2 C ．2 D ．1 11.若 )434log b a （+=ab2log 则a +b 的最小值是A ．6+23B ．7+23C ．6+43D ．7+43 12. 奇函数)(x f 的定义域为R,若)2(+x f 为偶函数，且)1(f =1 则)8(f +)9(f =13. 设0＜θ＜2π,向量a ρ=（θθcos 2sin ，）,b ρ=（1，-cos θ）,若a ρ·b ρ=0,则tan θ=14. 若向量OA =(1，-3)，OB OA =， OA ·OB =0，则=AB 15. 已知sin 2α=32，则2cos （α+4π）= 16. 已知数列{}n a 中,1a =1,且1+n a=4n a +3,Sn 是其前n 项和,则6S =三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和Sn,满足3S=0,5S =-5。
江苏省泰州市第二高级中学2019-2020学年高一数学文月考试题含解析
江苏省泰州市第二高级中学2019-2020学年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，它可以绕原点O转动，已知点P的坐标是（3，4），M、N分别是边AB、BC的中点，则?的最大值为（）A． 5 B．C．D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于M、N分别是边AB、BC的中点，且AB⊥BC，则OM⊥ON，运用向量的三角形法则，可得?=﹣?，再由向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域即可得到最大值．解答：由于M、N分别是边AB、BC的中点，且AB⊥BC，则OM⊥ON，?=（﹣）?=?﹣?=0﹣?=﹣?，由四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，即有正方形的边长为，则||=，由||==5，即有﹣?=﹣||?||?cos∠POM=﹣cos∠POM，当OP，OM反向共线时，取得最大值．故选C．点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义，主要考查向量垂直的条件和余弦函数的值域，属于中档题．2. 在函数y＝｜tan x｜，y＝｜sin(x＋)｜，y＝｜sin2x｜，y＝sin(2x－)四个函数中，既是以为周期的偶函数，又是区间(0，)上的增函数个数是( )A.1B.2C.3D.4参考答案：B3. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：A【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD的中点E，连接C1E，CE，根据三垂线定理可知C1E⊥BD，从而∠C1EC为二面角C1﹣BD﹣C的平面角，在三角形C1EC中求出此角即可．【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE∵AB=AD=2，∴AC⊥BD，根据三垂线定理可知C1E⊥BD∴∠C1EC为二面角C1﹣BD﹣C的平面角∴CE=，而CC1=，∴tan∠C1EC==∴二面角C1﹣BD﹣C的大小为30°故选A．4. 直线与圆的位置关系为（）A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不参考答案：D圆心到直线的距离为：，又圆心不在直线上，所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心。
江苏省泰州市2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.2．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r的取值范围是（ ） A ．[0，1] B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D 【解析】 【分析】设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设2m a b =+r r r，则2m =r，[]22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r，，，∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r|m r |2m r =2＝4，所以可得：2182m =r，配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r rr ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，， 又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+rr r r rr 则a ∈r[0，2]． 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】 【分析】首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 4．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用. 5．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b+的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由两圆相外切，得出229a b +=，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】因为两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切3=，即229a b +=()2222222298192499a a a ab a b ⎛⎫--+⎪-⎝⎭==+当292a =时，2222a b a b+取最大值8119494⨯= 故选：A 【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18 B ．17C ．16D ．15【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 8．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，.本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 9．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解 【详解】 因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题10．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 11．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.12．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。
江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试数学试题(附答案解析)
江苏省泰州市2019—2020学年度第二学期调研测试 高三数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A B ＝ ．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 ．5．若双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为 ．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝ ．11．若函数2()1x a x a f x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是 ．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =，AC AF λ=，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=，ED 1=，则实数λ的值为 ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()6f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． （1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞- 12. - 13. 3 14. (1,2]二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分（2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面， 所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥， 又因为AFPA A =，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面，所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-， 所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x 取最大值2，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()6f α=，则)246πα-=，即1sin(2)43πα-=， 因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)πππα-∈-，则cos(2)43πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-1432326=⋅+=……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分 （2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分 则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减， 即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f fθθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k=+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >，令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断，所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1xx f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ， 故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减，所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--，由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e． ……………10分（3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ，因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--， 因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<．所以函数()h x 是“YZ 函数”．……………16分（其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分 （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分 （3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+， 又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 则312n n n n a a a a +++-=-， 即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=， 即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+， 化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分 设1m p Mn q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin coscos sin )44ππρθθ+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离d ==8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分 22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADEABCD AD =平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以,,DA DC DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分 由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-,()0,1,2DF =，则cos ,2AE DF AE DF AE DF⋅<===⋅>,所以AE 和DF 所成角的余弦值为5. ……………5分 （2）()2,2,0DB =,()0,1,2DF =,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ,取1z =,得)1,2,2(-=n , 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯, 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 2．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【详解】当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m”充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题3．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．67 C．182 D．108【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13,22，则小正方形的边长为3122-，小正方形的面积231312S⎫==-⎪⎪⎝⎭则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.1345006711⎛⨯=⨯≈-⨯=⨯=⨯⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.4．在各项均为正数的等比数列{}n a中，若563a a=，则3132310log log loga a a+++=L（）A．31log5+B．6 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算．【详解】由题意313231031210log log log log()a a a a a a+++=L L53563563log()5log()5log35a a a a====．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.6．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】 化简()13sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形【答案】D【解析】【分析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形.【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.2．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 2AB f a f ===+⎝⎭故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．3．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D【解析】【分析】 根据函数图像得到函数的一个解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据平移法则得到答案. 【详解】设函数解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++，根据图像：1,0A b ==，43124T πππ=-=，故T π=，即2ω=， sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,3k k Z πϕπ=+∈，取0k =，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 函数向右平移6π个单位得到sin 2y x =. 故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 4．已知随机变量X 的分布列是 X1 2 3 P 12 13 a则()2E X a +=（ ）A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】C【解析】【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果.【详解】 由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=， 因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 5．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.6．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．7．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( )A ．43πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表，所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =,因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱,所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为 2232=16=333V V ππ=⨯圆柱. 故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.8．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±【答案】D【解析】【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解.【详解】 如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=， 又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴=223a b ∴=，解得3b a= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.9．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =I ( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C【解析】【分析】解不等式得出集合A ，根据交集的定义写出A∩B ．【详解】集合A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x ≤3}， ={x x<2}B ，{|1<2}A B x x ∴⋂=≤﹣故选C ．【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题． 10．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】 () 22112i i i i +=-=-+.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.11．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823【答案】A【解析】【分析】 将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE V 中，计算半径OB 即可.【详解】由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，可得1BE =．又12BC OE ==，故在Rt OBE V 中，2OB = 此即为外接球半径，从而外接球表面积为8π．故选：A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.12．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ） A ．32y x =± B ．y x =± C ．2y x = D ．3y x =【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】Q 双曲线2212y x -=, ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学2019-2020学年高三12月联考数学试题(解析版)
2020届高三三校联考数学试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合(1,3]A =-，{2,3,4}B =则A B I 的子集个数为_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】可根据交集定义和子集个数进行求解【详解】(1,3]A =-，{2,3,4}B =，则{}2,3A B =I ，则A B I 的子集个数为224=个 故答案为：4【点睛】本题考查集合的交集运算和子集个数的求法，属于基础题 2.双曲线x 2-2y 2=1的渐近线方程为______． 【答案】2y x = 【解析】由双曲线的方程知21,2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为22b y x x a =±=±． 考点：双曲线的几何性质．3.函数2()cos 2f x x x =+，若(2)(1)f a f a =-，则实数a 的值为____________. 【答案】1-或13【解析】 【分析】根据()f x 表达式可判断为偶函数，再结合偶函数性质即可求解【详解】由2()cos 2f x x x =+可判断函数为偶函数，又(2)(1)f a f a =-，故21a a =-或()210a a +-=，解得1a =-或13故答案为：1-或13【点睛】本题考查由偶函数的性质求解参数，属于基础题4.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可.【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.5.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型. 6.函数log (1)2a y x =++的图像必过定点_____________. 【答案】()0,2 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则即可求解【详解】由log ay x =根据平移法则向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到log (1)2a y x =++，log a y x =经过()1,0，则log (1)2a y x =++经过()02,故答案为：()02,【点睛】本题考查对数函数过定点问题，属于基础题7.设A ，F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右顶点和右焦点，1B ，2B 为椭圆C 短轴的两个端点，若点F 恰为12AB B ∆的重心，则椭圆C 的离心率的值为__________. 【答案】13【解析】 【分析】结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解 【详解】如图：由题可知，()()()120,,0,,,0B b B b A a -，(),0F c ，则3a c =，即13c e a ==， 故答案为：13【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题8.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】6.π 【解析】试题分析：因为圆柱的表面积为222,1,2r rl r l ππ+==，所以圆柱的表面积为6.π 考点：圆柱的侧面积9.设ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，sin()sin sin a c A C b c A C-+=-+，则角A 为___________. 【答案】3π【解析】 【分析】结合正弦定理的角化边和余弦定理的代换即可求解 【详解】222sin sin sin a c B ba cb bc b c A C a c-==⇒-=-⇒-++ 2222cos 3b c a bc bc A A π+-==⇒=故答案为：3π 【点睛】本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力，一般的，在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角，属于中档题10.已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r 的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r的值为___________.【答案】45【解析】 【分析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u ru u ur u uu r r r r， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==， 可得5sin 5B =，同理可得10 sin C=，由正弦定理可得2sin135510510︒==r r，即有21025,c a==r r，则2102524 ||||cos455525a c c a︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=u u rr r r．故答案为：45．【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．11.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．【答案】9 4【解析】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.考点：1.新定义；2.直线与曲线的位置关系 【此处有视频，请去附件查看】12.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为__________.【答案】2021 【解析】 【分析】可采用“1”的代换，将12019||a a +中的“1”代换成||a b +，同时2019b 可代换成()2019||a b b⋅+，再结合基本不等式特征求解 【详解】||1a b +=Q ，()12019||2019||2019||2019||a a a b a b a b a b+++∴+⇔+⋅+，即20191120192201920192019201920192019a a b a a ab a ⎛⎫++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当222019b a =时取到等号，又111220192201920212019201920192019a a +++≥-+++= 所以120192019||a a b++的最小值为：2021故答案为：2021【点睛】本题考查基本不等式最值的求解，“1”的代换是关键，属于中档题13.已知数列{}n a 满足13a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有n mn ma a a +=，若数列{}nb 满足23log ()1n n b a =+，则数列21{}n n b b +的前n 项和n T 的取值范围是_______. 【答案】12[,)2115【解析】【分析】由任意的m ，n ∈N *，都有n m m a a +=a n ，令m=1，可得113n na a q a +===，可得a n =3n ，求解b n =2n+1，数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++，利用裂项相消求解T n ，即可求解取值范围．【详解】由题意m ，n ∈N *，都有n mma a +=a n ， 令m=1，可得：113n na a q a +===， 可得a n =3n ， ∵b n =log 3（a n ）2+1， ∴b n =2n+1，那么数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++=11121254n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．那么：T n =c 1+c 2+……c n =14（1137-+1159-+11711-+……112123n n --++112125n n -++） =111113523245n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭ =181********154n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭＜， 当n=1时，可得T 1=121， 故得T n 的取值范围为[121，215），故答案为[121，215）．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n++ 1n k n k =+； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=____________. 【答案】2log 5 【解析】 【分析】由题可知，1x =-必为其中一个解，当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，可联立求解得3,2b c ==-，则当1x >-时，可解得对应的23,x x ，进而得解【详解】由题可知，当1x >-时，函数()f x 单调递增，则关于2()()0f x bf x c --=在()1,-+∞至多两解，故1x =-必为其中一个解，即11x =-，即当11x =-时，2()()0f x bf x c --=，此时由()1f x =可得10b c --=①，又关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，则当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，即420b c --=②，联立①②得3,2b c ==-，则当1x >-时，22()()0()3()20f x bf x c f x f x --=⇔-+=， 解得()2221log (1)x x f =+=，此时21x =，()3232log (1)x x f =+=，此时33x =，则()()()1232113324log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==故答案为：2log 5【点睛】本题考查分段函数分类讨论的思想，运算及推导能力，分析解决问题的能力，函数与方程的转化思想，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin 3sin B C =，||5AB AC -=u u u r u u u r52AB AC ⋅=u u u r .（1）求22b c +的值； （2）求sin()A B -的值.【答案】(1)10 (2) 5515- 【解析】 【分析】（1）联立||5AB AC -=u u u r u u u r52AB AC ⋅=u u u r 化简即可求得22b c +；（2）由sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-可知，需分别求出sin cos sin cos A A B B ，，，，先由余弦定理可得a的值，再由三边关系求出cos B ，进而推出sin B ，即可求解【详解】（1）因为5AB AC -=u u u r u u u r所以2225b c AB AC +-⋅=u u u r u u u r，又52AB AC ⋅=u u u r u u u r ，所以2210b c +=.（2）因为sin 3sin B C =，由正弦定理，得3b c =， 又2210b c +=，所以3b =，1c =.由（1）552cos 36AB AC A bc ⋅===u u u r u u u r ，211sin 1cos A A =-=， 2225cos 526b c a A a bc +-==⇒=由余弦定理知222cos 225a cb B ac +-==. 从而211sin 1cos 25B B =-=（也可由正弦定理求sin B ） 所以255sin()sin cos cos sin 15A B A B A B --=-=【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系，运算能力，熟悉公式运用是解题关键，属于中档题16.如图，在四棱锥S ABCD -中，已知SA SB =，四边形ABCD 是平行四边形，且平面SAB ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别是SC ，AB 的中点.（1）求证：//MN 平面SAD ； （2）求证：SN AC ⊥.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）可作SD 的中点E ，连EM ,EA ，通过中位线定理证明四边形EMNA 是平行四边形，即可得证； （2）要证SN AC ⊥，即证SN ⊥平面ABCD ，即证SN AB ⊥，由题设条件平面SAB ⊥平面ABCD 即可求证，按照合理顺序整理思路即可求证 【详解】（1）取SD 的中点E ，连EM ,EAM Q 是中点，//EM CD ∴，且12EM CD =Q 底面ABCD 是矩形，N 为AB 中点//AN CD ∴，且12AN CD =，//,EM AN EM AN ∴=∴四边形EMNA 是平行四边形//MN AE ∴MN ⊄Q 平面SAD ，AE ⊂平面SAD ，所以//MN 平面SAD .（2）SA SB =Q ，N 是AB 中点SN AB ∴⊥Q 平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB I 平面ABCD AB =，SN ⊂平面SABSN ∴⊥平面ABCD AC ⊂Q 平面ABCD SN AC ∴⊥【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的性质定理和判定定理，属于中档题17.如图，三个校区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P （不与点O ，Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB＝3π，记∠APQ＝θrad ，地下电缆管线的总长度为y 千米． （1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．【答案】（1）7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）P 与O 23时，地下电缆管线的总长度最小 【解析】 【分析】（1）首先根据Q 为弧AB 的中点，得到知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π，利用正弦定理得到()sin sinsin 66PA OAOP πππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据OA ＝2，得到PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3sin cos 2θθ-+，根据题意确定出7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）对函数求导，令导数等于零，求得3πθ=，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】（1）因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π， 又∠APO ＝πθ-，∠OAP ＝6πθ-，由正弦定理，得：()sin sinsin 66PAOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，又OA ＝2， 所以，PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3sin cos 2θθ-+， ∠APQ＞∠AOP，所以，6πθ>，∠OAQ ＝∠OQA ＝152612πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以，7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）令()3sin cos 2f θθθ-+=，7,612ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭()212cos '0sin f θθθ-==，得：3πθ=， ()f θ在,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，在7,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 所以，当3πθ=，即OP 23()f θ有唯一的极小值， 即是最小值：()min fθ＝3，答：当工作坑P 与O 23时，地下电缆管线的总长度最小．【点睛】该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.18.如图，椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率是3，左右焦点分别为1F ，2F ，过点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时，2F AB ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）当2PB AP =u u u r u u u r时，求直线l 方程；（3）已知点()0,2Q ，直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k .问是否存在实数λ，使得120k k λ+=恒成立？【答案】(1) 2214x y += (2) 1512y x =+ (3)存在，1λ=【解析】 【分析】（1）由焦点三角形的周长特点可求出a 3，可求出c ，进而求得椭圆标准方程； （2），设直线方程为1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可联立直线方程和椭圆标准方程，得出两根和与积的表达式，再结合2PB AP =u u u r u u u r，代换出1x 与k 的关系式；（3）先用必要性探路，找特殊情况，当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立，根据题意和斜率定义表示出12k k +，结合（2）中韦达定理即可得证 【详解】（1）由椭圆定义知2F AB ∆的周长为4a ，所以48a =，所以2a = 又离心率3c a =，所以3c =1b = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当l x ⊥轴，2PB AP ≠u u u r u u u r所以可设1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y则221214y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2214430k x kx ++-= 所以122122414314k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*) 因为2PB AP =u u u r u u u r，所以2102x x -=-，即212x x =-代入(*)化简得122124143214k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩所以22231424114k k k ⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭ 解得1510k =±所以直线l 方程为：1512y x =+，（3）当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立， 下面证明当1λ=时120k k λ+=恒成立()12121212121212121132222222200kx kx kx x x x y y k k x x x x x x +-+--+--+=+=+=-- 因为()12122233343226402142142k kx x x x k k k k k --⎛⎫⎛⎫-+=-=---= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以120k k +=恒成立即存在1λ=，使得120k k λ+=恒成立.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆中的直线满足某条件求直线方程，椭圆中的直线斜率满足某条件的求法，韦达定理在解析几何中的应用，对运算能力要求高，属于难题 19.设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c ∈R ）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】（1）1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）3（3）见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得()()111g f ''==，又()()11f g =，解方程组可得,a b 的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c 的最小值；(3)先根据零点表示b ，代入要证不等式化简得1222111ln 1x x xx x x -<<-.再构造函数()1ln 1t t tϕ=+-，以及()ln 1m t t t =-+，结合导数研究其单调性，即证得结论试题解析：解：（1）由()ln f x x =，得()10f =，又()1f x x'=，所以()11f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以()2bg x a x-'=，所以()1g a b '=-. 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以()()()()1111f g f g ⎧==''⎪⎨⎪⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）当01x >时，则()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =， 则题意可转化方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ． 即关于x 的方程()()230(0)ax c t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()212120343030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得()()203430a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以()23c a a t >--对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立．因为03a <<，所以（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222b lnx x c x b lnx x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭.要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令()1ln 1t t tϕ=+-，所以()221110t t t t t ϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减， 又()10m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N . （1）用a 表示2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<L .【答案】(1) 2122a a =- (2) 2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）令1n =即可求解；（2）当2n ≥时，通过作差法可求得163n n a a n ++=+，再书写一项2169n n a a n +++=+，通过两式作差可得26n n a a +-=()2n ≥，分类讨论n 的奇偶，即可求解； （3）可结合放缩法公式22111n n <-，()2111nn n <-，分别对化简后的表达式 22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L L 进行放缩， 再结合裂项公式()()21111212n n n =⋅-+-，()11111n n n n =---的特点即可进一步求解【详解】（1）由条件1n =得12112a a a ++=，2122a a =-.（2）由条件213(1)n n S S n ++=+得，213n n S S n -+=()2n ≥两式相减得163n n a a n ++=+()2n ≥， 故2169n n a a n +++=+，两式再相减得26n n a a +-=()2n ≥，246,,a a a ∴L 构成以2a 为首项，公差为6的等差数列； 357,,,a a a L 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；由（1）得2662n a n a =+-；由条件2n =得1231227a a a a a ++++=，得332a a =+， 从而21632n a n a +=-+，,13(62)(1),2n na n a n a n =⎧∴=⎨+--≥⎩ 解法2：设()1(1)n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----则263230x x y x y ⎧-==-⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩∴有()13(1)3n n a n a n +-+=-- 2n ∴≥时，()2236(1)n n a n a --=-⋅-，即23(62)(1)n n a n a -=+-⋅-2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧∴=⎨+--≥⎩（3）证明：当32a =时，且2n ≥，由（2）可知3(1)nn a n ⎡⎤=+-⎣⎦ ①当1n =时，222111912a =< ②当2n ≥时，216(1)n a n -=-Q ，23(21)n a n =+2222232121111n na a a a -∴++⋯++ 2222222423521111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L L 22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L L 11111111361223(1)3612(2)(1)n n n n ⎡⎤⎡⎤<⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥⨯⨯+⨯--⎣⎦⎣⎦L L 1111111111111113622313622321n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯+-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 111112361361n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ 1111112361112n n ⎛⎫=--< ⎪+-⎝⎭. 【点睛】本题主要考查分组讨论法求数列通项公式，放缩法和裂项相消法求证不等式恒成立，对于运算能力，分析转化能力有较高要求，属于难题数学Ⅱ 附加题部分（本部分满分40分，时间30分钟）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1． 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422ab +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y ==所以x ，y 的值分别为0，1．22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线2sin()()4l m m R πρθ-=∈，圆C 的参数方程为13cos 23sin x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．当圆心C 到直线l 的距2时，求m 的值。
解析】江苏省泰州中学2020届高三下学期第五次模拟考试数学试题 Word版含解析
2019—2020学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试数学I 卷一、填空题1. 已知集合{}0A x x =，{}1,0,1,2B =-，则A B ⋂等于 ． 【★答案★】{}1,2 【解析】试题分析：{}{}{}|01,0,1,21,2A B x x ⋂=>⋂-= 考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2. 设i 是虚数单位，复数z 满足 (34)43i z i +=-，则复数z 的虚部为_____． 【★答案★】1- 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得z ，由此求得z 的虚部.【详解】依题意()()()()4334432534343425i i i iz i i i i ----====-++-，所以z 的虚部为1-. 故★答案★为：1-【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题. 3. 执行下图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ．【★答案★】21 【解析】试题分析：由题意，012345621S =++++++=． 考点：程序框图．4. 函数232x x --的定义域是 . 【★答案★】[]3,1- 【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域5. 若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ． 【★答案★】29.【解析】试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，共有33=9⨯种方法，其中在1，2号盒子中各有一个球有21=2⨯种方法，因此所求概率是2.9考点：古典概型概率6. 若x ，y 满足不等式组1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则32x y +的最大值为______.【★答案★】3 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目标函数的最值. 【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数32z x y =+，即322z y x =-+与直线32y x =-平行. 数形结合可知，当且仅当目标函数过点()1,0A 时，取得最大值. 故3max z =. 故★答案★为：3.【点睛】本题考查简单线性规划问题的处理，属基础题. 7. 已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出四个命题：①若//m n ，m α⊥，则n α⊥ ②若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ③若//m α，m β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，//m α，则m β⊥其中正确命题的序号是_____． 【★答案★】①③ 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】对①，由线面垂直的性质以及判定定理可知，①正确； 对②，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 异面或者平行，②错误； 对③，由面面垂直的判定定理可知，③正确；对④，若αβ⊥，//m α，则m 可能在β内或与β平行或与β相交，④错误； 故★答案★为：①③【点睛】本题主要考查了判断直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.8. 等差数列{}n a 的公差为2，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，若2040S =，则135719a a a a a ++++=_________．【★答案★】10 【解析】 【分析】利用等差数列奇数项的和与偶数项的和的关系即可求解. 【详解】等差数列{}n a 的公差为2，2040S =， 则201231920S a a a a a =+++++1351719241820a a a a a a a a a =+++++++++1351719131719a a a a a a d a d a d a d =+++++++++++++()135171921040a a a a a d =+++++=，解得13571910a a a a a ++++=.故★答案★为：10【点睛】本题考查了等差数列的奇数项的和与偶数项的和，掌握等差数列的性质是关键，属于基础题.9. 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为______.【★答案★】2y x =± 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标，结合双曲线标准方程中,,a b c 之间的关系求出b 的值，最后利用双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】因为抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)，所以双曲线22214x y b-=的右焦点也是(3,0)，即3c =，而222294c a b b b =+⇒=+⇒=，所以该双曲线的渐近线方程为y x =.故★答案★为：y x = 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了抛物线的焦点，考查了数学运算能力. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1:40l kx y -+=与直线2:30l x ky +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为__________．【★答案★】92【解析】 【分析】判断出P 点的轨迹，然后根据直线和圆的位置关系，求得P 到直线43100x y -+=的距离的最大值.【详解】设直线1l 与y 轴交于()0,4A ，直线2l 与x 轴交于()3,0B ，5AB ==.当0k =时，直线1l 为4y =，直线2l 为3x =，所以两条直线的交点为()13,4P . 当0k ≠时，两条直线的斜率分别为k 、1k-，斜率乘积为1-，故12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）. 设以AB 为直径的圆的圆心为3,22C ⎛⎫⎪⎝⎭，半径522AB r ==，圆的方程为()22235222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点()13,4P 满足圆的方程.综上所述，点P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）.圆心C 到直线43100x y -+=的距离为2d ==. 所以点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为59222d r +=+=. 故★答案★为：92. 【点睛】本题主要考查直线和直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，属于中档题. 11. 已知点P 在ABC 内，且满足1134AP AB AC =+，设PBC 、PCA 、PAB △的面积依次为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______． 【★答案★】5:4:3 【解析】【详解】因为()()11113434AP AB AC PB PA PC PA =+=-+-， 所以5430PA PB PC ++=，所以123::5:4:3S S S =．12. 已知函数()24,0,{3,0,x x x f x x x-≥=<若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为__________． 【★答案★】1(,6)(,0]4-∞-⋃- 【解析】【求出函数()f x 的解析式，分别画出函数()f x 与3y x b =-的图象，将函数()()3g x f x x b =-+有三个零点转化为函数()f x 与3y x b =-的图象的交点有三个求解即可【详解】3y x b =-与3(0)y x x =-<相切时6b =- （正舍），3y x b =-与()2404y x x x =-≤≤相切时14b =- ， 3y x b =-与24(4)y x x x =->不相切.由图可知实数b 的取值范围为(),6-∞-⋃ 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦.故★答案★为()1,6,04⎛⎤-∞-⋃-⎥⎝⎦. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结13. 已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1212(,0)x x x x π<<<，12sin()x x -=____________．【★答案★】45- 【解析】 【分析】 根据122266x x πππ-+-=，可得2123x x π=-，所以121sin(cos(2)6)x x x π-=--，再根据角的范围和同角公式可得结果.【详解】依题意可知，123sin(2)sin(2)665x x ππ-=-=， 因为120x x π<<<，所以1211226666x x ππππ-<-<-<，所以122266x x πππ-+-=，所以1223x x π+=，所以2123x x π=-， 所以1212sin()sin(2)3x x x π-=-1sin(2)62x ππ=--1cos(2)6x π=--， 因为2123x x π=-1x >，所以103x π<<，所以12(,)662x πππ-∈-，所以14cos(2)65x π-===， 所以124sin()5x x -=-.故★答案★为：45-. 【点睛】本题考查了同角公式和诱导公式，属于基础题.14. 已知1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，若12x x <，则()12f x x 的取值范围为______． 【★答案★】3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先由题得所以12121,2m x x x x +=⋅=，1102x <<.化简得()12f x x =111111)2ln 1x x x x -+--（，再构造函数1)x x -+g()=（1112ln (0)12x x x x -<<-，利用导数求函数的值域即得解. 【详解】由题得函数的定义域为(0,)+∞，21()22(22)m f x x x x m x x'=+-=-+， 所以12,x x 是方程2220x x m -+=的两个实数根， 所以12121,2mx x x x +=⋅=， 因为12x x <，1>0x ， 所以112021x x x <<+=， 所以1102x <<. 所以()2211111121222ln 2(1)2ln 1=f x x m x x x x x x x x x +--+-= =111111)2ln 1x x x x -+--（ 记1111)2ln (0)12x x x x x x -+-<<-g()=（， 所以22211()12ln 2ln()(1)(1)g x x ex x x '=-++-=---由102x <<2201,ln()04eex ex ⇒<<<∴<，所以()0,()g x g x '<∴在1(0)2，单调递减，又由洛必达法则得当0x →时，21ln ln 011xx x x x x x===-→-，即00lim(ln )0,lim ()0x x x x g x →→=∴=1113()ln 2ln 22222g =+-=--， 所以函数g(x)的值域为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭.即()12f x x 的取值范围为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故★答案★为：3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、解答题15. ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求B 的大小；（2）若D 在BC 边上，22BD DC ==，ABC ∆的面积为sin CAD ∠.【★答案★】（1）3B π=（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.（2）利用三角形ABC 的面积求得c ，由余弦定理求得AD ，利用勾股定理证得AD BD ⊥，由此求得AC 进而求得sin CAD ∠的值. 【详解】（1）因为cos cos ()cos b A c B c a B -=-， 所以sin cos sin cos (sin sin )cos B A C B C A B -=-， 所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=， 即sin()2sin cos A B C B +=，因为在ABC ∆中，A B C π+=-，(0,)C π∈， 所以sin 2sin cos C C B =，且sin 0C ≠， 所以1cos 2B =， 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）因为22BD DC ==，所以1BD =，1CD =，3BC =，因为ABC ∆的面积为33，所以13sin3323c π⨯=，解得4c =，由余弦定理得222212cos422422332AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以()2222222316AD BD AB +=+==，即AD BD ⊥，所以2213AC AD BD =+=，所以13sin CD CAD AC ∠==.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想.16. 如图，在四棱锥PABCD 中，M 是PA 上的点，ABD △为正三角形，CB CD =，PA BD ⊥．（1）求证：平面MBD ⊥平面PAC ；（2）若120BCD ∠=︒，//DM 平面BPC ，求证：点M 为线段PA 的中点． 【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 分析】（1）取BD 的中点O ，连结OA ，OC ，可证AC BD ⊥，又由PA BD ⊥，可得BD ⊥平面PAC ，即可得证；（2）取AB 的中点N ，连结MN 和DN ，首先可得AB BC ⊥，DN AB ⊥，所以DN //BC ，即可得到//DN 平面BPC ．又由//DM 平面BPC ，可得平面//DMN 平面BPC ．根据面面平行的性质可得//MN PB ，即可得证；【详解】（1）取BD的中点O，连结OA，OC，∵ABD△为正三角形，∴OA BD⊥．∵CB CD=，∴OC BD⊥．在平面ABCD内，过O点垂直于BD的直线有且只有一条，∴A，O，C三点共线，即AC BD⊥．∵PA BD⊥，AC，PA⊂平面PAC，AC PA A⋂=，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAC．（2）取AB的中点N，连结MN和DN，因为120BCD∠=︒，且BC DC=，所以30CBD∠=︒所以90ABC∠=︒，即AB BC⊥．∵ABD△为正三角形，∴DN AB⊥．又DN，BC，AB共面，∴//DN CB．∵DN⊄平面BPC，CB⊂平面BPC，∴//DN平面BPC．∵//DM平面BPC，DN，DM⊂平面DMN，∴平面//DMN平面BPC．∵MN⊂平面DMN，∴//MN平面BPC．∵MN⊂平面PAB，平面PAB⋂平面BPC=PB，∴//MN PB．∵N是AB的中点，∴M为线段PA的中点．【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面平行以及面面平行的性质定理及判定定理的应用，属于中档题.17. 已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>6，焦距为22斜率为k的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；（2）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点71(,)42Q -共线，求k ． 【★答案★】（1）2213x y +=；（2）2k =. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦距求得,c a ，由此求得b ，进而求得椭圆M 的标准方程.（2）设出直线PA 的方程，联立直线PA 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，进而求得C 点的坐标，同理求得D 点坐标.求得QC 、QD ，结合,,Q C D 三点共线列方程，化简求得k 的值.【详解】（1）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+， 直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得： 2222111(13)121230k x k x k +++-=，则21 13211213k x xk +=-+，即2131211213kx xk=--+，又1112ykx=+，代入①式可得13171247xxx--=+，所以13147yyx=+，所以1111712(,)4747x yCx x--++，同理可得2222712(,)4747x yDx x--++．故3371(,)42QC x y=+-，4471(,)42QD x y=+-，因为,,Q C D三点共线，所以34437171()()()()04242x y x y+--+-=，将点,C D的坐标代入化简可得12122y yx x--=，即2k=．【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.18. 某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区ABCD（如图）．经测量，AB长为2百米，CD 长为6百米，AB与CD相距2百米，田地内有一条笔直的小路EF（E在BC上，F在AD 上）与AB平行且相距0.5百米．现准备从风景区入口处A出发再修一条笔直的小路AN与BC交于N，在小路EF与AN的交点P处拟建一座瞭望塔．（1）若瞭望塔P恰好建在小路AN的中点处，求小路AN的长；（2）两条小路EF与AN将菜花风景区划分为四个区域，若将图中阴影部分规划为观赏区．求观赏区面积S的最小值．【★答案★】（110百米；（2）324）平方百米．【解析】 【分析】（1）过点P 、N 、C 分别做AB 的垂线，垂足分别为Q 、M 、G ，在直角三角形AMN 中，结合勾股定理，即可求解；（2）以直线CD 所在直线为x 轴，边CD 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设13(,) , [0,)22P t t ∈，得出面积2123221t t S t -+=⋅+，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）过点P 、N 、C 分别做AB 的垂线，垂足分别为Q 、M 、G ， 因为P 是AN 的中点，所以21MN PQ ==，由已知条件易知CBG 是等腰直角三角形，所以1BM MN ==， 所以213AM AB BM =+=+=， 在直角三角形AMN 中，由勾股定理得22223110AN AM MN =+=+=，答：小路AN 的长为10百米；（2）以直线CD 所在直线为x 轴，边CD 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设13(,) , [0,)22P t t ∈，则直线1:(1)2(1)AP y x t =++，联立直线:1BC y x =-，得221N y t =+， 所以PEN △的高为21322122(21)tt t --=++， 所以21311332123()()222222(21)221t t t S t t t t --+=⋅+⋅+⋅-⋅=⋅++，令21[1,4)t m +=∈，则213818332444m m S m m m -+⎛⎫=⋅=⋅+-≥ ⎪⎝⎭，所以当22m =即122t =-时，S 的最小值为324-． 答：观赏区面积S 的最小值为（324-）平方百米．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式的应用问题，其中解答中认真审题，建立适当的直角坐标系，求得面积的表达式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 19. 已知函数()2(2)xxf x ae e a x -=++-，（a R ∈，e 是自然对数的底数）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()(2)cos f x a x ≥+，求a 的取值范围． 【★答案★】（1）分类讨论，详见解析；（2）[2,)+∞. 【解析】 【分析】（1）求得()f x '，然后对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间. （2）首先令2x π=，代入()(2)cos f x a x ≥+，求得a 的一个取值范围.构造函数()()(2)cos g x f x a x =-+，利用()g x 的导函数()g x '研究()g x 的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）2(2)2()2(2)x x xxx ae a e f x ae e a e -+--'=-+-=()()21x x x ae e e-+=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在R 上递减；当0a >时，由()0f x '<，解得2ln x a <，故函数()f x 在2(,ln )a-∞上单调递减， 由()0f x '>，解得2lnx a >，故函数()f x 在2(ln ,)a+∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在2(,ln )a-∞上递减，在2(ln ,)a+∞上递增. （2）当2x π=时，()22()2(2)02cos222f ae ea a πππππ-=++-⋅≥=+，即222()02e a e ππππ+≥->，故0a >，令()()(2)cos g x f x a x =-+2(2)c (2s )o x x ae e a x x a -=++--+，则22()(2)(2)sin x xae g x a a x e -'=+-++，若2a ≥，则当[0,]x π∈时，()0g x '≥， 函数()g x 在[0,]π上单调递增， 当(,)x π∈+∞时，()2(2)(2)x x g x ae e a a -'≥-+--+2244404ae e a ππ-≥--≥-->， ∴当[0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，则()(0)0g x g ≥=，符合题意； 若02a <<，则(0)2(2)0g a '=-<，()2(2)(2)24x x x x g x ae e a a ae e --'≥-+--+=--，由240x x ae e ---=得0x =>，故(0g '≥，∴存在02(0,x ln a+∈，使得0()0g x '=，且当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x ∴在0(0,)x x ∈上单调递减，∴当0(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，不合题意，综上，实数a 的取值范围为[2,)+∞．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，且满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*2211()(1)(1)n n n n n n n a b c n N a b a b ++++=∈++，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求证：对任意的*n N ∈，都有413n S <<； （3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nkn k kd T b ==∑，是否存在整数λ，使得对任意的*n N ∈ 都有212nn nd T b λ≤-<成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 【★答案★】（1）12(1)21n a n n =+-=-，1222n nn b -=⋅=；（2）证明见解析；（3）存在整数5λ=，使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差等比数列的基本量表示已知条件，解方程组得到基本量，利用等差等比数列的通项公式得到★答案★；（2）根据（1）的结论得到数列{}n c 的通项公式，利用指数的运算裂项，相消求和后得到n S 的表达式，判定单调性，然后利用不等式的基本性质即可证明；（3）假设存在满足要求的整数λ，取1,2,3n =得到λ的范围，进而求得λ的值为5，然后证明当5λ=时，对任意的*n N ∈，都有212nn nd T b λ≤-<成立．为此先要根据1n n n d d b ++=，利用等比数列的求和公式，求得114=22nn n T T +⎛⎫+- ⎪⎝⎭，结合11114n n n n T T d +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得11152()24nn n n T d +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则1213122327d b qd b q d b q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，所以1212(1)4(1)d b q q d b q q =-⎧⎨=-⎩， 因为1,0q ≠，所以2q．所以11122234278d b d b d b+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得12d b ==所以12(1)21n a n n =+-=-，1222n nn b -=⋅=．（2）因为2211(1)(1)n n n n n n n a b c a b a b ++++=++21(23)2[(21)21][(21)21]n n n n n n +++=-⋅+⋅+⋅+ 1114(21)21(21)21n n n n +⎡⎤=-⎢⎥-⋅++⋅+⎣⎦所以123n n S c c c c =+++122311114()()112132132152⎡=-+-+⎢+⋅+⋅+⋅+⋅⎣111()1(21)21(21)2n n n n +⎤+-⎥+-⋅++⋅⎦ 11114(1121(21)2n n +⎡⎤=-⎢⎥+⋅++⋅⎣⎦11144()31(21)23n n +=-<++⋅又因为对任意的*n N ∈，都有n S 单调递增， 即115840131339n S S c ⨯>===>⨯， 所以对任意的*n N ∈，都有413n S <<成立； （3）假设存在满足要求的整数λ， 令1n =，则112212d d b b λ≤⋅-<，解得59λ≤<； 令2n =，则1222441()2d d d b b b λ≤⋅+-<，解得173355λ≤<； 令3n =，则123324661()2d d d d b b b b λ≤⋅++-<，解得671332323λ≤<； 所以133523λ≤<， 又已知Z λ∈，故若存在，则5λ=．下证：当5λ=时，对任意的*n N ∈，都有212nn nd T b λ≤-<成立． 2312311114444nn n T d d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 231112311111144444nn n n n T d d d d d +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111223111111()()()44444n n n n n T T d d d d d d d +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；即1211122311114()()()444nn n n n T T d d d d d d d ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23231111122224444nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23111111222222nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又11114n n n n T T d +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；所以111152()42nn n n n n T T T d ++⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭则11152()24nn n n T d +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1221152()()24n n n n n n n n d dT d b b +-=--⋅-11112()()()244n n n n n d d +=--⋅-⋅ 1112()()()24n n n n d d +=--⋅+112()()224n n n =--⋅122()2n =-⋅而对任意的*n N ∈，122()2n-⋅单调递增，所以11122()22()222n-⋅≤-⋅<即对任意的*n N ∈都有2152nn nd T b ≤-<成立，得证. 所以，存在整数5λ=，使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立． 【点睛】本题考查等差比数列得综合问题，涉及等差等比数列的通项公式，求和公式，裂项求和法，存在性问题和探索性方法，考查不等式的证明，属难题.2019—2020学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试数学第II 卷21. 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.【★答案★】（1）4805⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）28a =，5b = 【解析】试题分析：（1）根据矩阵乘法得矩阵AB ；（2）根据逆矩阵性质得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，再根据矩阵乘法得结果.试题解析：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【★答案★】（1）40x y --=,2213x y +=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）设N α，sinα），α∈[0，2π）．先求出点P 到直线l 的距离d =再求最大值.【详解】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sinα），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23. 在一次运动会上，某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛. （1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X ，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场，那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 【★答案★】(1)30 11；(2)1?91 【解析】 【分析】（1）由题可知X 服从超几何分布，求得X 的取值，根据概率公式求得对应概率，即可求得其数学期望；（2）根据题意，将问题根据主力分别有3,4,5人上场进行分类，即可容易求得. 【详解】（1）由题可知X 服从超几何分布，X 的可取值为0,1,2,3,4,5，故可得()5551110462C P X C ===；()1465511305146277C C P X C ⋅====； ()236551115025246277C C P X C ⋅====；()326551120030346211C C P X C ⋅====； ()416551175254462154C C P X C ⋅====；()5651161546277C P X C ====. 故()52510025112345777723115477E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=630231. （2）要满足题意，则可以是3名主力2名替补；4名主力1名替补；5名主力. 若是3名主力2名替补，则共有()()312211424323144C C C C C C +⋅⋅+⋅=种； 若是4名主力1名替补，则共有()4131424545C C C C +⋅⋅=种；若是5名主力，则共有41422C C ⋅=种；故要满足题意，共有144452191++=种出场方式.【点睛】本题考查超几何分布的数学期望的求解，以及组合问题的分类分布求解，属综合中档题.24. （1）已知：111mm xn n n C C C ---+=及1m m n y m C C n-=，（2n ≥，*n N ∈，*)m N ∈．求x ；y （结果用m ，n 表示） （2）已知0121111()(1)2342nnn n n n f n C C C C n =-+-+-+，*n N ∈．猜想()f n 的表达式并用数学归纳法证明你的结论．【★答案★】（1）x m =或n m -，1y n =-；（2）猜想1()(1)(2)f n n n =++，证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质以及组合数公式证明即可； （2）根据1(1)6f =，1(2)12f =的值猜想出1()(1)(2)f n n n =++，再由数学归纳法证明即可.【详解】（1）111mm mxn n n n C C C C ---+==，可得x m =或n m -；111!(1)!!()!(1)!()m m m n n y m m n n C C C n n m n m m n m ----=⋅===--- 解得1y n =-；（2）111(1)236f =-=，1211(2)23412f =-+= 猜想1()(1)(2)f n n n =++下面用数学归纳法证明： ①1n =时11(1)623f ==⨯，猜想成立； ②假设(*)n k k N =∈时猜想成立即0121111()(1)2342kk k k k k f k C C C C k =-+-+-+1(1)(2)k k =++则1n k =+时，由111m m m n n n C C C ---=+及11m mn n m C C n--=得 0121111111111(1)(1)2343k k k k k k f k C C C C k +++++++=-+-+-+01021111()()234k k k k k C C C C C =-++++111111(1)()(1)23kk k k k k k k C C C k k -++++-++-++ 01111111()(1)(1)3423kk k k k k k k f k C C C C k k -+=-+++-+-++又11111331m m k k m C C m m k +++=⋅+++1112113m k C k m ++⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ 则1211111222(1)()1111343k k k k f k f k C C C k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=----++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎦{012111111()(1)1k k k k k k f k C C C C k +++++⎡⎤=--+-++-⎣⎦+0111111222(1)233k k k k k C C C k ++++++-+⎫⎡⎤⎬⎢⎣⎭-⎥⎦++2()(1)1f k f k k =-++ 即31(1)()1(1)(2)k f k f k k k k ++==+++ 则1(1)(2)(3)f k k k +=++，则1n k =+猜想成立．由①②知1()(1)(2)f n n n =++．【点睛】本题主要考查了组合公式以及性质的应用，利用数学归纳法证明恒等式，属于中档题.。
江苏省泰州市2019-2020学年度第二学期调研测试高三数学精彩试题含附加题
省市2019—2020学年度第二学期调研测试高三数学试题第I 卷〔必做题，共160分〕一、填空题〔本大题共14小题，每一小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．〕 1．集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，如此AB ＝．2．假如实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i 〔i 是虚数单位〕，如此xy ＝．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，如此样本数据落在区间[6，18)的频数为 ．4．根据如下列图的伪代码，可得输出的S 的值为．5．假如双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，如此该双曲线的离心率为．6．将一颗质地均匀的骰子〔一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具〕先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，如此1x y -=的概率是． 7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，如此点P 的横坐标为． 8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．〞它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是里． 9．假如定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，如此(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，假如圆锥的体积为93π，如此R ＝．11．假如函数2()1x a x af x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，如此实数a 的取值围为．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，如此1212x x y y +++的最小值是．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，假如AB 3AD =，AC AF λ=，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=，ED 1=，如此实数λ的值为．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，如此BDCD的取值围为．二、解答题〔本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕 15．〔本小题总分为14分〕如图，在三棱锥P — ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．〔1〕求证：BC ∥平面PDE ； 〔2〕求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．〔本小题总分为14分〕函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． 〔1〕求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；〔2〕假如()6f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．〔本小题总分为14分〕某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如下列图，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池休息区，设∠MAB ＝θ．〔1〕当4πθ=时，求池休息区的总面积〔III 和IV 两个局部面积的和〕；〔2〕当池休息区的总面积最大时，求AM的长．18．〔本小题总分为16分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB＝3b．〔1〕求椭圆M的标准方程；〔2〕求矩形ABCD面积S的最大值；〔3〕矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．19．〔本小题总分为16分〕定义：假如一个函数存在极大值，且该极大值为负数，如此称这个函数为“YZ 函数〞． 〔1〕判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数〞，并说明理由； 〔2〕假如函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数〞，数m 的取值围；〔3〕32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数〞．20．〔本小题总分为16分〕数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．〔1〕假如数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； 〔2〕假如n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列； 〔3〕假如数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷〔附加题，共40分〕21．【选做题】此题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每一小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分为10分〕如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． 〔1〕求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； 〔2〕求二面角B —DF —C 的余弦值．23．〔本小题总分为10分〕给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．〔1〕假如n ＝3，求3T ；〔2〕假如n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1.{}1,2,4,82.123. 804.8 6.518 7.128.1929.1- 10. 611. (1](0,1]-∞-12.-314. (1,2]二、解答题15.〔此题总分为14分〕证明：〔1〕在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面， 所以//BC PDE 平面．……………6分〔2〕因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面， 所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥， 又因为AFPA A =，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面，所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面．……………14分 16.〔此题总分为14分〕解：〔1〕因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-， 所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =-……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-sin(2)24x π=-……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x 取最大值2，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分〔2〕因为()6f α=，如此sin(2)246πα-=，即1sin(2)43πα-=，因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)422πππα-∈-，如此cos(2)43πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-13=+=……………14分17.〔此题总分为14分〕解：〔1〕在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分〔2〕在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==，24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分 如此池休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ=， 如此当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减，即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+13分答：〔1〕池休息区总面积为2144(2m ；〔2〕池休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.〔此题总分为16分〕解：〔1〕由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 〔2〕显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 如此直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k=+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当2k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 〔3〕假如矩形ABCD 为正方形，如此AB BC =，=，如此322220k k k -+-=(0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不连续， 所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.〔此题总分为16分〕 解：〔1〕函数()1x xf x =-e是“YZ 函数〞，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，如此1()xxf x -'=e， 当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以()1x x f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e， 故函数()1xxf x =-e 是“YZ 函数〞． ……………4分 〔2〕定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-， 当0m ≤时，1()0g x m x'=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x'=->，函数单调递增， 当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减， 所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--， 由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e． ……………10分 〔3〕证明：2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，如此240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ， 因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，如此()h x 单调递增；当12x x x <<时，()0h x '<，如此()h x 单调递减， 所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--， 因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<．所以函数()h x 是“YZ 函数〞．……………16分 〔其他证法相应给分〕20.〔此题总分为16分〕解：〔1〕设等比数列{}n a 的公比为q ，如此122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分 〔2〕因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分 〔3〕因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+，即423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，如此212n n n b b b ++=+， 又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，如此2112n nn n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 如此312n n n n a a a a +++-=-， 即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=， 即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+， 化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 〔其他证法相应给分〕数学Ⅱ〔附加题〕21. A ．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分为10分〕解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，如此34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分 所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分为10分〕解：由题：直线方程即为(sin coscos sin )44ππρθθ+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离d ==，……………8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分为10分〕 证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤．………………10分 22.〔本小题总分为10分〕解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADE ABCD AD =平面平面，DE ∴⊥平面ABCD , 由四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以,,DA DC DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE 为一组基底建立如下列图的空间直角坐标系.………2分 由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴〔1〕()2,0,2AE =-,()0,1,2DF =，如此cos ,2AE DF AE DF AE DF⋅<===⋅>所以AE 和DF ……………5分 〔2〕()2,2,0DB =,()0,1,2DF =,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ,取1z =,得)1,2,2(-=n,平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯, 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.〔本小题总分为10分〕解：〔1〕1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分 〔2〕〔i 〕设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅， 因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii)因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由〔i 〕知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，如此1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-．……………10分。
江苏省泰州市2019-2020学年度第二学期调研测试高三数学试题含附加题
y ⎩江苏省泰州市 2019—2020 学年度第二学期调研测试高三数学试题第I 卷（必做题，共 160 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合 A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则 A B ＝ ． 2. 若实数 x ，y 满足 x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则 xy ＝ ．3. 如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4. 根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为 ．5.若双曲线 x a 2 2- = 1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y = 2x ，则该双曲线的离心率b 2为 ．6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） 先后抛掷 2 次，这两次出现向上的点数分别记为 x ，y ，则 x - y = 1的概率是．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3倍，则点 P 的横坐标为 ．8. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半， 一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x + 4) = f (x ) ， f (1) = 1，则 f (6) ＋ f (7) ＋ f (8)的值为．10. 将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为9 3π，则 R ＝．⎧x + a ，x ≥ a 1. 若函数 f (x ) = ⎨x 2 -1，x < a 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为．22 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( x ， y )，B( x ， y )在圆 O ： x 2 + y 2= 4 上，1122且满足 x 1x 2 + y 1 y 2 = -2 ，则 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 的最小值是．13. 在锐角△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在边 AB ，BC ，CA 上，若AB = 3AD ，AC = λAF ，且BC ⋅ ED = 2EF ⋅ ED = 6 ， ED = 1，则实数λ的值为．14. 在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BD的取CD值范围为 ．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P — ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，AB ＝AC ，点 D ，E ，F 分別是 AB ，AC ， BC 的中点．（1） 求证：BC ∥平面 PDE ； （2） 求证：平面 PAF ⊥平面 PDE ．16．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x ) = sin 2x + sin x cos x - 1，x ∈R ．2（1）求函数 f (x ) 的最大值，并写出相应的 x 的取值集合；π 3π （2）若 f (α) =，α∈( - ， )，求 sin2α的值．6 8 817．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12 米的圆形温泉池，如图所示，M，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM，AN 分别交于点D，E，其中四边形AEBD 为温泉区，I、II 区域为池外休息区，III、IV 区域为池内休息区，设∠MAB＝θ．（1）当θ=π时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；4（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M：xa2y2+= 1(a＞b＞0)的左顶点为A，过点b2A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b，且AB＝3b ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）2定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．（1）判断函数f (x) =xe x-1是否为“YZ函数”，并说明理由；（2）若函数g(x) = ln x -mx (m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；（3）已知h(x) =1x3 +1ax2 +bx -1b ，x∈(0，+∞)，a，b∈R，求证：当a≤﹣2，3 2 3且0＜b＜1时，函数h(x)是“YZ函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足b n=a n+2-a n，c n=2a n+1+a n．（1）若数列{a n}是等比数列，试判断数列{c n}是否为等比数列，并说明理由；（2）若a n恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列{b n}是等差数列；（3）若数列{b n}是各项均为正数的等比数列，数列{c n}是等差数列，求证：数列{a n}是等差数列．第II 卷（附加题，共40 分）2 )+ + = + + ≤ 21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A. 选修 4—2：矩阵与变换已知列向量⎡a ⎤ 在矩阵 M ＝ ⎡3 4⎤ 对应的变换下得到列向量⎡b - 2⎤ ，求M -1 ⎡b ⎤ ．⎢5 ⎥ ⎢1 2 ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢a ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦B. 选修 4—4：坐标系与参数方程⎧⎪x = cos α在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨⎪⎩ y = (α为参数)．以坐标原 3 sin α点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρsin(θ+ π= 4 ， 4点 P 为曲线 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最大值．C. 选修 4—5：不等式选讲已知实数 a ，b ，c 满足 a ＞0，b ＞0，c ＞0，a 2b 2c 23 ，求证：a b c 3 ． b c a【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 是边长为2 的π正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE＝，EF⊥平面ADE，EF＝1．2（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求二面角B—DF—C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n(n≥3，n∈ N*)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P 的前k(k∈ N*，1≤k≤n)项和为Sk ，该排列P 中满足2Sk≤Sn的k 的最大值为kP．记这n 个不同数的所有排列对应的kP 之和为Tn．（1）若n＝3，求T3；（2）若n＝4l＋1，l∈ N*，①证明：对任意的排列P，都不存在k(k∈ N*，1≤k≤n)使得2Sk =Sn；②求Tn(用n 表示)．2 2 2 2 12019～2020 学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题 1. {1, 2, 4,8}2. 12 513. 804. 85.6.7.1828. 192 9. -1 10. 6 11. (-∞ -1] (0,1] 二、解答题12. -2 13. 314. (1, 2]15.（本题满分 14 分）证明：（1）在 ∆ABC 中，因为 D , E 分别是 AB , AC 的中点，所以 DE / / B C ， .............................................................................................................. 2 分 因为 BC ⊄ 平面PDE ， DE ⊂ 平面PDE ，所以 BC / /平面PDE ． ................................................................................................. 6 分 （2）因为 PA ⊥ 平面ABC ， DE ⊂ 平面PDE ，所以 PA ⊥ DE ，在∆ABC 中，因为 AB = AC ， F 分别是 BC 的中点， 所 以 AF ⊥ BC ， ............................................................................................................ 8 分 因为 DE / / BC ，所以 DE ⊥ AF ，又因为 AF PA = A ， AF ⊂ 平面PAF , PA ⊂ 平面PAF ，所以 DE ⊥ 平面PAF ， .............................................................................................. 12 分因为 DE ⊂ 平面PDE ，所以平面PAF ⊥ 平面PDE ． ..................................... 14 分16.（本题满分 14 分）解：（1）因为 f (x ) = sinx + sin x cos x - ， 21- c os 2x 所 以 f (x ) = +1 sin 2x - 1 = 1 (sin 2x - cos 2x )……………2 分2 2 2 2 = (sin 2x cos π- cos 2x sin π = sin(2x - π)……………4 分2 4 4 2 4当 2x - π = 2k π+ π(k ∈ Z) ，即 x = k π+3π(k ∈ Z) 时， f (x ) 取最大值 ， 4 28252)2 2 2 2 1± 3388 ))) ( ) α- ∈ , ) ) ] ) cos ) sin 所以 f (x ) 的最大值为2 ，此时 x 的取值集合为⎧x x = k π+3π,k ∈ ⎫．………7 分⎨Z ⎬ 2⎩ ⎭（2）因为 f (α) =，则 2 sin(2α- π =，即sin(2α- π = 1 ，6 2 46 4 3因为α∈(- π , 3π ) ，所以 2 π (- π π ， 8 8 4 2 2 π π 1 则cos(2α- ) = 1 -sin 2(2α- = 1 - 2 = ， ................................. 10 分4 4 3 3所以sin 2α= sin[(2α- π + π = sin(2α- π π+ cos(2α- π π4 4 4 4 4 4= 1⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 = 4 + 2 . ……………14 分 3 2 3 2 617.（本题满分 14 分）解：（1）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ，θ= π，4所以 MB = AM = 12 ， MD = 24 cos π-12 = 12 4-12 ，所以池内休息区总面积 S = 2 ⋅ 1MB ⋅ DM = 12 2(12 2-12) = 144(2 - 2) ．（2）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ， ∠MAB =θ， ……………4 分所以 MB = 24sin θ, AM = 24 cos θ， MD = 24 cos θ-12 ，由 MB = 24sin θ> 0, MD = 24 c os θ-12 > 0 得θ∈⎛ 0,π⎫ ， .................................... 6 分 3⎪⎝⎭则池内休息区总面积 S = 2 ⋅ 1MB ⋅ DM = 24sin θ(24 cos θ-12) ，θ∈⎛ 0,π⎫； 23 ⎪设 f (θ) = sin θ(2 cos θ-1) ，θ∈⎛ 0,π⎫，因为⎝ ⎭……………9 分3 ⎪ ⎝ ⎭f '(θ) = cos θ(2 cos θ-1) - 2sin 2 θ= 4 cos 2 θ- cos θ- 2 = 0 ⇒ cos θ= ，又cos θ=1+ 33 > 1 ，所以∃θ ∈ ⎛ 0,π⎫，使得cos θ = 1+ 33 ， 8 2 0 3 ⎪ 0 8⎝ ⎭则当 x ∈(0,θ0 ) 时， f '(θ) > 0 ⇒ f (θ) 在(0,θ0 )上单调增， 2 2 2a 2+ b 22 4 1+ k 21+ k 21+ k 22 24 1+ k 2 ⎨ 2 ⎩2 当 x ∈⎛θ,π⎫时， f '(θ) < 0 ⇒ f (θ) 在(0,θ ) 上单调减， 0 3 ⎪ 0⎝ ⎭即 f (θ0 )是极大值，也是最大值，所以 f max (θ) =f (θ0 )，此时 AM = 24 cos θ0 = 3+ 3 ． ................................................................................ 13 分答：（1）池内休息区总面积为144(2 - 2)m 2；（2）池内休息区总面积最大时 AM 的长为 AM = (3 + 3 33)m ．………14 分18.（本题满分 16 分）⎧ = ⎪ 解：（1）由题意： ⎪ 1ab = b ⎪3b ，解得 a = 2, b = c = ，⎪a 2 = b 2 + c 22所以椭圆 M 的标准方程为x+y= 1． ........................................................... 4 分4 2（2） 显然直线 AB 的斜率存在，设为 k 且 k > 0 ，则直线 AB 的方程为 y = k (x + 2)，即 kx - y + 2k = 0 ，⎧ y = k (x + 2) ⎪ 2 2 2 2联立⎨ x 2 + y 2 = ⎩ 4 2得(1+ 2k ) x + 8k x + 8k - 4 = 0 ，解得 x B = 2 - 4k 2 1+ 2k 2 ， y B = 4k 1+ 2k 2 ，所以 AB = = 1+ 2k 2 ，直线CD 的方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，所以 BC ==2k ，4 1 + k 22k 8k88所以矩形 ABCD 面积 S =1+ 2k2⋅= = 1+ 2k 21 + 2k k≤ = 2 ， 2 2所以当且仅当 k =时，矩形 ABCD 面积 S 的最大值为 2 2（3） 若矩形 ABCD 为正方形，则 AB = BC ，． .............. 11 分 即 1+ 2k 22k ，则 2k 1+ k 23 - 2k 2+ k - 2 = 0 (k > 0) ， 33 (x + 2)2 + y 2B B2k 1+ k 22 = 1x 1 2 令 f (k ) = 2k 3 - 2k 2+ k - 2(k > 0) ，因为 f (1) = -1 < 0, f (2) = 8 > 0 ，又 f (k ) = 2k 3- 2k 2+ k - 2(k > 0) 的图象不间断， 所以 f (k ) = 2k 3- 2k 2+ k - 2(k > 0) 有零点，所以存在矩形 ABCD 为正方形．19.（本题满分 16 分）解：（1）函数 f (x ) = -1是“Y Z 函数”，理由如下：e x……………16 分因 为 f (x ) = xe x -1，则f '(x ) =1- x ， e x当 x < 1时， f '(x ) > 0 ；当 x > 1 时， f '(x ) < 0 ，x 1所 以 f (x ) = -1的极大值 f (1) = -1 < 0 ，e x e x故函数 f (x ) = -1是“Y Z 函数”． ............................................................ 4 分e x（2）定义域为(0, +∞) ， g '(x ) = 1- m ，x当 m ≤ 0 时， g '(x ) = 1- m > 0 ，函数单调递增，无极大值，不满足题意；x 当 m > 0 时，当0 < x <1 时， g '(x ) = 1- m > 0 ，函数单调递增， m x 当 x > 1 时， g '(x ) = 1- m < 0 ，函数单调递减，m x1 1 1所以 g ( x ) 的极大值为 g ( ) = ln - m ⋅ = - ln m -1，m m m1 1由题意知 g ( ) = - ln m -1 < 0 ，解得 m > m ． (10)分 e（3）证明： h '(x ) = x 2 + ax + b ，因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，则∆ = a 2 - 4b > 0 ，所以 h '(x ) = x 2+ ax + b = 0 有两个不等实根，设为 x , x ，⎧x 1 + x 2 = -a > 0因为⎨x x = b > 0，所以 x 1 > 0, x 2 > 0 ，不妨设0 < x 1 < x 2 ， ⎩ 1 2当0 < x < x 1 时， h '(x ) > 0 ，则 h (x ) 单调递增； 当 x 1 < x < x 2 时， h '(x ) < 0 ，则 h (x ) 单调递减，1 所以 h (x ) 的极大值为 h (x ) = 1x 3+ 1ax 2+ bx - b ， .......................... 13 分13 12 113由 h '(x ) = x 2 + ax + b = 0 得 x 3 = x (-ax - b ) = -ax 2- bx ，1 1 1因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，所以 h (x ) = 1x 3+ 1ax 2+ bx 1 1 1 1 1- 1b = 1(-ax 2 - bx ) + 1ax 2 + bx - 1b13 12 1 13 31 1 21 1 3 = 1 ax2 + 2 bx - 1 b ≤ - 1 x 2 + 2 bx - 1 b6 1 3 13 3 1 3 1 3= - 1 (x - b )2 + 1b (b -1) < 0 ．3 1 3所以函数 h (x ) 是“Y Z 函数”． ........................................................................ 16 分（其他证法相应给分）20.（本题满分 16 分）解：（1）设等比数列{a n }的公比为 q ，则 c n = 2a n +1 + a n = 2a n q + a n = (2q +1)a n ， 当 q = - 1时， c = 0 ，数列{c }不是等比数列， ............................................. 2 分2n n1c n +1(2q +1)a n +1当 q ≠ - 2时，因为 c n ≠ 0 ，所以 c=(2q +1)a = q ，所以数列{c n }是等比数nn列． .............................................................................................................................. 5 分（2） 因为 a n 恰好是一个等差数列的前 n 项和，设这个等差数列为{d n } ，公差为 d ，因为 a n = d 1 + d 2 + + d n ，所以 a n +1 = d 1 + d 2 + + d n + d n +1 ， 两式相减得 a n +1 - a n = d n +1 ， 因为 a n +2 = a n + b n ，所以b n +1 - b n = (a n +3 - a n +1 ) - (a n +2 - a n ) = (a n +3 - a n +2 ) - (a n +1 - a n ) = d n +3 - d n +1 = 2d ，所以数列{b n }是等差数列． .......................................................................................... 10 分（3） 因为数列{c n }是等差数列，所以c n +3 - c n +2 = c n +1 - c n ，又因为c n = 2a n +1 + a n ，所以 2a n +4 + a n +3 - (2a n +3 + a n +2 ) = 2a n +2 + a n +1 - (2a n +1 + a n ) ，即 2(a n +4 - a n +2 ) = (a n +3 - a n +1) + (a n +2 - a n ) ，则 2b n +2 = b n +1 + b n ，又因为数列{b }是等比数列，所以b= b b，则b = b ⋅ b n +1 + b n ，n即(b n +1 - b n )(2b n +1 + b n ) = 0 ，n +1 n n +2n +1 n 2222 n q 1 2 n q 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎣ 因为数列{b n }各项均为正数，所以b n +1 = b n ， .......................................................... 13 分则 a n +3 - a n +1 = a n +2 - a n ， 即 a n +3 = a n +2 + a n +1 - a n ，又因为数列{c n }是等差数列，所以 c n +2 + c n = 2c n +1 ， 即(2a n +3 + a n +2 ) + (2a n +1 + a n ) = 2(2a n +2 + a n +1) ， 化简得 2a n +3 + a n = 3a n +2 ，将 a n +3 = a n +2 + a n +1 - a n 代入得2(a n +2 + a n +1 - a n ) + a n = 3a n +2 ，化简得 a n +2 + a n = 2a n +1 ，所以数列{a n }是等差数列． .....................................16 分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎡3 解：因为 4⎤⎡a ⎤ = ⎡b - 2⎤ ，所以⎧3a + 20 = b - 2 ，解得⎧a = -6 ， .............. 4 分 ⎢1 2⎥⎢5⎥ ⎢ b ⎥⎨ a +10 = b ⎨ b = 4 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎩设 M -1= ⎡m p ⎤ ，则⎡3 4⎤ ⎡m p ⎤ = ⎡1 0⎤ ，⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎧m = 1⎧3m + 4n = 1 ⎪3 p + 4q = 0 ⎪n = - 1 ⎡ 1 - 2⎤ ⎪ ⎪ 即 ，解得 2 ， 所 以 M -1 = ⎢ 13 ⎥ ， .............................. 8 分 ⎨m + 2n = 0 ⎪⎩ p + 2q = 1 ⎨ p = -2 ⎪q = 3 ⎢⎣- 2 2 ⎥⎦ ⎩ 2⎡b ⎤ ⎡ 1 -2⎤⎡ 4 ⎤ ⎡ 16 ⎤ 所 以 M -1 ⎢ ⎥ = ⎢ 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥10分⎣a ⎦ ⎢-⎥ ⎣-6⎦ ⎣-11⎦ 2 2B.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）ππ解：由题：直线方程即为ρ(sin θcos + cos θsin) = 4 ，4 4由ρcos θ= x ， ρsin θ= y 得直线的直角坐标方程为 x + y - 8 = 0 ， ..................... 4 分设 P 点的坐标为(cos α, 3 sin α)，cos α+ 3 sin α- 812 +122AE ⋅ DF = [( b )2 2sin ⎛α+ π⎫ - 86 ⎪ ∴ 点 P 到直线的距离 d = = ⎝ ⎭ ， 8 分当α+ π = 2k π- π(k ∈ Z ) ，即α= 2k π- 2π(k ∈ Z) 时， d 取得最大值5，6 2 3此时点 P 的坐标为⎛ - 1 , - 3 ⎫10 分2 2 ⎪ ⎝ ⎭C.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）证明：由柯西不等式，得3(a + b + c ) = (b + c + a )( a + b 2 + c b c a)2 ]………………5 分a ⋅ )所以 a + b + c ≤ 3 ． .............................................................................................. 10 分 22.（本小题满分 10 分）π解：因为平面 ADE ⊥ 平面 ABCD ,又∠ADE = ，2即 DE ⊥ AD ，因为 DE ⊂ 平面ADE ，平面ADE 平面ABCD = AD ， ∴ DE ⊥ 平面 ABCD ,由四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形, 所以 DA , DC , DE 两两互相垂直．以 D 为坐标原点，{DA , DC , DE }为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系 ......... 2 分由 EF ⊥ 平面 ADE 且 EF = 1 ,∴ D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), E (0, 0, 2),C (0, 2, 0), B (2, 2, 0), F (0,1, 2),（1） AE = (-2, 0, 2) , DF = (0,1, 2) ，则cos < AE , DF >=AE ⋅ DF = 4 = 10 ,2 2 ⨯ 5 52 ≥ ( b ⋅ 22 )+ ( c )2 + ( a )2][( a )2 + ( b )2 + ( c b c a a + c ⋅ b + b c c 2 a = (a + b + c ) 2⎧ ⋅ n (n +1) m n 所以 AE 和 DF 所成角的余弦值为10 (5)分 5（2） DB = (2, 2, 0) , DF = (0,1, 2) ,设平面 BDF 的一个法向量为n = ( x , y , z ) ，n ⋅ DB = 2x +2 y = 0 由⎨,取 z = 1,得 n = (2,-2,1) , ⎩n ⋅ DF = y + 2z = 0平面 DFC 的一个法向量为 m = (1, 0, 0) ,∴cos < >= m ⋅n = 2 = 2 ,m ,n 3⨯1 32由二面角 B - DF - C 的平面角为锐角,所以二面角 B - DF - C 的余弦值为 3.……10 分23.（本小题满分 10 分）解：（1）1, 2, 3的所有排列为1, 2,3;1,3, 2; 2,1,3; 2,3,1;3,1, 2;3, 2,1，因为 S 3 = 6 ，所以对应的 k P 分别为 2,1, 2,1,1,1，所以T 3 = 8 ； ............................... 3 分（2）（i ）设 n 个不同数的某一个排列 P 为 a 1 , a 2 , ⋅⋅⋅, a n ，因为 n = 4l +1,l ∈ N *，所以 S n == (4l + 1)(2l + 1) 为奇数，2而 2S k 为偶数，所以不存在 k (k ∈ N *,1≤ k ≤ n ) 使得 2S k = S n ； ...........................5 分 (ii) 因为 2S k ≤ S n ，即 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k ≤ a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ， 又由（i ）知不存在 k (k ∈ N *,1≤ k ≤ n ) 使得 2S k = S n ， 所以 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k < a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ；所以满足 2S k ≤ S n 的最大下标 k 即满足 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k < a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ① 且 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k + a k +1 > a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ②， 考虑排列 P 的对应倒序排列 P ' : a n , a n -1, ⋅⋅⋅, a 1 ，①②即 a n + ⋅⋅⋅ + a k +2 < a k +1 + a k + ⋅⋅⋅ + a 2 + a 1 ， a n + ⋅⋅⋅ + a k +2 + a k +1 > a k + ⋅⋅⋅ + a 2 + a 1 , 由题意知 k P ' = n - k -1，则 k P + k P ' = n - 1 ； ..................................................................................................... 8 分 又1, 2, 3,⋅⋅⋅, n ，这 n 个不同数共有 n !个不同的排列，可以构成 n !个对应组合( P , P ') ，2且每组( P , P ') 中 k P + k P ' = n - 1 ，所以T n =n !(n -1) ． .................................... 10 分2。
江苏省泰州市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++= 【答案】A【解析】【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】 AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22AB r ===， 圆方程为22(3)2x y -+=.故选：A .【点睛】 本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.2．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn[g （x ）]＝sgn xB ．sgn[g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn[g （x ）]＝sgn[f （x ）]D ．sgn[g （x ）]＝﹣sgn[f （x ）]【答案】A【解析】【分析】根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn[g （ x ）]＝1， 当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn[g （ x ）]＝0， 当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn[g （ x ）]＝﹣1，综合有：sgn[g （ x ）]＝sgn （x ）；故选：A ．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.3．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ）A ．1B ．2CD ．3【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.4．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）AB ．1C ．2D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】 由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.5．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=v v v （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33 【答案】C【解析】【分析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案.【详解】 因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r .故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．6C ．5D ．34【答案】B【解析】【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB == 所以115,23AP PC AC === 由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯ 所以126sin APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 262AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A【解析】【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.8．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行；当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行.所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件，当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.9．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】【分析】 求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A B ．C D 【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得r =故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.11．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据向量坐标运算求得2a b +r r ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r()//2c a b +r r r Q 24λ∴=-，解得：2λ=- 故选：A【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.12．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【解析】【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-， 所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州市第二职业高级中学2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析
江苏省泰州市第二职业高级中学2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于函数和区间，如果存在，使得，则称是函数与在区间上的“互相接近点”。
现给出两个函数：①；②；③；④。
则在区间上存在唯一“相互接近点”的是（）A.①②B.③④C.②④D.①③参考答案：【知识点】函数的最值及其几何意义；命题的真假判断与应用．B3 A2【答案解析】D 解析：对于①：由f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，显然，当x=1时，取得最小值1，符合题意，显然只有x=1符合“相互接近点”定义，所以①符合题意；对于②：由f（x）﹣g（x）=﹣x﹣2=，则当x＞0时，|f （x）﹣g（x）|恒成立，故x＞0时不存在“相互接近点”，所以②不符合题意；对于③：令h（x）=x﹣lnx，则h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，则x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，所以x=1时，h（x）min=h（1）=1，故当x＞0时，存在唯一的“相互接近点”，故③符合题意；对于④：因为当x＞0时，e﹣x＞0，则e﹣x+1＞1，而此时，故f（x）﹣g（x）＞1当x＞0时恒成立，故在（0，+∞）不存在“相互接近点”，所以④不符合题意．故选D．【思路点拨】由“互相接近点”的概念可知，只要是能找到一个x0，使得|f（x0）﹣g（x0）|≤1即可，因此只需构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），利用单调性求其最大值或最小值和1比较，则问题即可解决．2. 若不等式组表示的区域，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（）A．114 B．10 C．150 D．50参考答案：A试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域内的概率为，所以落在区域中芝麻约为,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.3. 已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．6πC．5πD．8π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：如图：∵AD=2，AB=1，BD=，满足AD2+AB2=SD2∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，∵AB=BC=1，AC=，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱锥的外接球的直径，∵AD=2，AC=，∴CD=，∴三棱锥的外接球的表面积为4π=6π．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径．4. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是奇函数D. 是奇函数参考答案：C设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C.5. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为()（A）18 （B）24 （C） 36 （D） 48参考答案：C6. 已知复数，则“”是“z为纯虚数”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：A7. 若均不为1的实数a、b满足，且，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】举反例说明A,C,D不成立，根据基本不等式证明B成立.【详解】当时; 当时; 当时;因为，，所以，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.8. 已知直线及与函数图象的交点分别是A、B，与函数的交点分别是C、D,则直线AB与CD （▲）A.平行B.相交，且交点在第Ⅱ象限C.相交，且交点在第Ⅲ象限D.相交，且交点在原点参考答案：D略9. 已知中，，，则角等于（）A． B．C． D.参考答案：D略10. 复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知满足约束条件则的最小值是__________．参考答案：试题分析：画出可行域及直线，如图所示.平移直线，当经过点时，其纵截距最大，所以最小，最小值为.考点：简单线性规划.12. 如果对于任意实数表示不小于的最小整数，例如，那么是的条件参考答案：必要不充分略13. 在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=λ+μ，且λ+2μ=2，得到=[λ+（1﹣）]，展开多项式乘多项式，求得=1+，再求出，代入投影公式，对λ分类求解得答案．【解答】解：由=λ+μ，且λ+2μ=2，则=[λ+（1﹣）]=λ+（1﹣），又||=，||=1，∠AOB=45°，∴由余弦定理求得||=1，∴=λ+（1﹣）×=1+，===，故在上的投影=．当λ＜﹣2时，上式=﹣==∈；当λ≥﹣2时，上式=；①λ=0，上式=；②﹣2≤λ＜0，上式=∈；③λ＞0，上式=∈．综上，在上的投影的取值范围是．故答案为：．14. 若不等式的解集是,且的解集是空集,则的取值范围是________。
江苏省泰州市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．100【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．2．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．－2 B ．－4C ．3D ．－3【答案】D 【解析】 【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设AB ：1x my =+，联立方程得到124y y =-，计算22121216y y OA OB y y ⋅=+u u u r u u u r 得到答案.【详解】设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，故22121216y y OA OB y y ⋅=+u u u r u u u r . 易知直线斜率不为0，设AB ：1x my =+，联立方程214x my y x =+⎧⎨=⎩， 得到2440y my --=，故124y y =-，故221212316y y OA OB y y ⋅=+=-u u u r u u u r .故选：D . 【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为1x my =+可以简化运算，是解题的关键 . 3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．4．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.5．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 13B ．4C ．2D 3【答案】A 【解析】 【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒u u u ru u u u r u u u r u u u u r Q .又2245BF AF =Q ，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率13ce a==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．6．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43B ．54C ．65D ．76【答案】D 【解析】 【分析】根据题干得到点A 坐标为()33x x ，代入抛物线得到坐标为()63b b ，再将点代入双曲线得到离心率. 【详解】因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为33y x =，设点A 坐标为()33x x ，代入抛物线得到x=2b,故点A 的坐标为()6,23b b ，代入双曲线得到22221371.366b b e a a =⇒=+=故答案为：D. 【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 7．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为122z i =--，求出z ，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】Q 221sin cos 3322z i i ππ=-+=--，12i z ∴=，则z 在复平面内对应的点的坐标为221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B 【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.8．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-， 所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限 故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 9．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心【答案】A 【解析】 【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：. 【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．2 3B．13C．43D．56【答案】A【解析】【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．11．已知13313711log,(),log245a b c===，则,,a b c的大小关系为A．a b c>>B．b a c>>C．c b a>>D．c a b>>【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log<<，即12a<<，1311144⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b<<，133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 12．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州市2019-2020学年度第二学期调研测试高三数学试题(含答案)
因为 a ≤ −2 ， 0 < b < 1 ，则 ∆= a2 − 4b > 0 ，
所以 h′(x) = x2 + ax + b = 0 有两个不等实根，设为 x1, x2 ，
因为
x1 + x2 x1x2=
=−a b>0
>
0
，所以
x1
>
0,
x2
>
0
，不妨设 0
<
x1
<
x2
，
当 0 < x < x1 时， h′(x) > 0 ，则 h(x) 单调递增；
33
，
8
又= cosθ
1+ 33 8
>
1 2
，所以 ∃θ0
∈
0,
π 3
，使得
cosθ
0
=
1+ 8
33
，
则当 x ∈(0,θ0 ) 时， f ′(θ ) > 0 ⇒ f (θ ) 在 (0,θ0 ) 上单调增，
当
x
∈
θ0
,
π 3
时，
f ′(θ ) < 0 ⇒
f
(θ ) 在 (0,θ0 ) 上单调减，
因为 f (1) =−1 < 0, f (2) =8 > 0 ，又 f (k)= 2k3 − 2k 2 + k − 2(k > 0) 的图象不间断，
所以 f (k)= 2k3 − 2k 2 + k − 2(k > 0) 有零点，所以存在矩形 ABCD 为正方形．
19.（本题满分 16 分）
解：（1）函数 f (x=)
精品解析：江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题(解析版)
2019/2020学年度第二学期高三质量测数学试卷一、填空题：（共14小题，每题5分）1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______【答案】{|12}x x <<【解析】【分析】直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<I .故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.2.已知i 为虚数单位，则复数11z i=-在复平面内对应的点位于第_______象限 【答案】一【解析】【分析】先化简得到z ，即可求出本题答案. 【详解】由题，得11111(1)(1)22i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限. 故答案为：一 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数的几何意义，属基础题.3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.【答案】80【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=考点：频率分布直方图4.袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】3 5【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率. 详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为63105 P==.故答案为3 5 .点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5.在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．答对题数 4 8 9 10人数分布 1 1 2 1【答案】22 5【解析】【分析】根据表中数据计算平均数和方差即可． 【详解】根据表中数据，计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=， 方差为(22222122s [(48)(88)(98)2108)55⎤=⨯-+-+-⨯+-=⎦． 故答案为225． 【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题．6.如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下 2018T <T i 1 5Y 510 Y50 15故2018T <不成立时，25i =.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥；②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n .上述命题中为真命题的是______（填空所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】【分析】由平面与平面垂直的判定定理可知①正确；②中,m n 的关系无法确定垂直；③中两个平面平行，两个平面内的直线可能平行也可能异面；由直线与平面平行的性质定理可得④正确.【详解】对于①，由平面与平面垂直的判定定理可知正确；对于②，若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则,m n 可能平行，也可能相交，垂直；对于③，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则,m n 可能平行，也可能异面；对于④，由直线与平面平行的性质定理可得④正确.故答案为：①④.【点睛】本题主要考查空间直线与平面间的位置关系，借助已知定理和身边的实物模型能方便解决这类问题，侧重考查直观想象的核心素养.8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.(1匹4=丈，1丈10=尺) 【答案】1629【解析】分析：设该女子织布每天增加d 尺，由等差数列前n 项和公式求出d 即可.详解：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知，15a =尺，3010(943)390S =⨯+=尺又由等差数列前n 项和公式得3013029303902S a ⨯=+=，解得1629d =尺 故答案为1629点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用. 9.若πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πtan α8⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】13【解析】【分析】 πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出． 【详解】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ3tanαtan188⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan1π41tan8==-Q，解得πtan218=-．π121tanα83321（）+⎛⎫∴+==⎪-⎝⎭，故答案为213+【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB ODu u u r u u u r⋅=______．【答案】52-【解析】【分析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅u u u r u u u r的值．【详解】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2Q=，OC4=，AC5=，222222a b 25m n 4()()16m a n b ⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn 2+=． 又()OB a m,n =--u u u r ，()OD m,b n u u u r =--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn 422∴⋅=-+-=+-+=-=-u u u r u u u r ． 故答案为52-． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题． 11.已知关于x 的方程()x x a 1-=在()2,∞-+上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______． 【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】分析：将方程问题转换为函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：Q 方程()1x x a -=在()2,-+∞上有3个相异实根， ∴函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点， 在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x ∈-上，函数()y f x =与()y g x =有两个不同的交点，在(0,)x ∈+∞上，函数()y f x =与()y g x =有一个交点 Q 1,0()=1,0x x g x x x⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩， 联立1y x y x a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得210x ax -+=，24a ∆=-∴240(2)(2)a g f ⎧∆=->⎨>⎩，即240122a a ⎧->⎪⎨>--⎪⎩，解得522a -<<-∴实数a 的取值范围为5(,2)2-- 故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力. 12.已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b 3a 2b a ++的最小值等于______． 【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b b a b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：Q111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0a b>， ∴2b a a b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611b a b a++≥+=. ∴32b a b a ++的最小值等于11. 故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.13.如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>，以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>，设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<， BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0u u u u r u u u r ⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=，即为cos βcos αcos βsin αsin β=+，即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=，则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+u u u u r u u u r()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+， 可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为4． 故答案为4．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14.若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______【答案】(,2)-∞-【解析】【分析】 由题，得243a x x x <-+-在[1,3]x ∈恒成立，通过求24()3g x x x x =-+-在[1,3]x ∈的最小值，即可得到本题答案.【详解】关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立,等价于3234x x ax -+<-对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，即243a x x x<-+-在[1,3]x ∈恒成立，设24()3g x x x x =-+-，则()222(2)224()23x x x g x x x x -++'=-++=， 令()0g x '>，得12x <<，令()0g x '<，得23x <<，所以()g x 在(1,2)递增，在(2,3)递减，又4(1)2,(3)3g g =-=-， 所以min ()(1)2g x g ==-，所以2a <-，即a 的取值范围是(,2)-∞-，故答案为：(,2)-∞-【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，参变分离是解决此题的关键，考查学生的转化能力，以及运算求解能力. 二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15.已知ABC V 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）34C π=（2）12【解析】 【分析】()1变形已知条件可得1tanA tanB tanA tanB+=-⋅，代入可得()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+=-+=-=--，可得C 值；()2由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值． 【详解】()()()1112tanA tanB ++=Q1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q ()2ABC QV 的外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2c RsinC ==由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =+(22ab ab ≥+=，当且仅当a=b 时，“=”成立ab ∴≤ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=，B AC ∴V 面积的最大值为：12【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．16.如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值；（2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED .【详解】（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面=ABD AB ， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED .【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.17.如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4=AD .点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323+. 【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF 和ME ，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.详解：解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =FPN θ∠=， 所以3tan NF θ=， 所以()1113tan 322NAP S NA PF θ∆=⋅=+ 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以113tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎡⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦， 所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 31tan tan 3223πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为31tan tan 223S πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3tan 2θ=令1t θ=+，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以243S t t ⎫==+⎪⎝⎭ 2≥=+当且仅当t =时，即tan θ=时等号成立，此时，AN =，min 2S =+答：当3AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为23+. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18.已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；()3若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）[]7,1- （2）见证明；（3）见解析 【解析】 【分析】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F ，设(),K x y ，求出12KF KF ⋅u u u r u u u u r 的表达式，然后求解范围即可．()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，利用点差法转化求解即可．()3直线l 过点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且1.3k ≠设(),P P P x y ，设直线()()0,03ml y k x m m k =-+≠≠：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可．【详解】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F设(),K x y，()1F K x y =+u u u u r，()2F K x y =-u u u u r，()()2221212881KF KF FK F K x y x y x y y ⋅=⋅=+⋅-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，11y -≤≤Q ，12KF KF ∴⋅u u u r u u u u r的范围是[]7,1-()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减， 得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()12121212190y y y y x x x x +-+=+-， 即190OM l k k +⋅=，故19OM l k k ⋅=-； ()3设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，即3m l y kx km =-+：，由()2的结论可知19OM y x k =-：，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+， 由()3m y k x m =-+与19y x k =-，联立得222933,9191m km k m km M k k ⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，49k =．经检验满足题意所以当49k =时，四边形OAPB 为平行四边形. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19.已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y 轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2． （1）求l 1，l 2之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x -成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】（1；（2）()0-∞，；（3）见解析【解析】 【分析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x e x 的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2． 【详解】（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ）， y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0）， 由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =1a， 又∵a ＞0，∴a =1． ∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x -y +1=0，x -y -1=0，.（2）由()x m f x -，得x x me-，故m＜x e x在x∈[0，+∞）有解，令h（x）=x e x，则m＜h（x）max，当x=0时，m＜0；当x＞0时，∵h′（x）=1-e x，∵x＞0，，e x＞1，e x，故h′（x）＜0，即h（x）在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0，即实数m的取值范围为（-∞，0）．（3）解法一：∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=e x-ln x，x∈（0，+∞），∴F′（x）=e x-1x，设x=t为F′（x）=0的解，则当x∈（0，t），F′（x）＜0；当x∈（t，+∞），F′（x）＞0，∴F（x）（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，∴F（x）min=e t-ln t=e t-ln 1t e=e t+t，∵F′（1）=e-1＞0，F′（12）＜0，∴12＜t＜1，故F（x）min=e t+t+12+12=2，即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．解法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=e x-ln x，x∈（0，+∞），令F1（x）=e x-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-ln x，x∈（0，+∞），∵F1′（x）=e x-1，F2′（x）=1-1x=1xx-，∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴F 1（x ）＞F 1（0）=1，F 2（x ）≥F 2（1）=1， ∴F （x ）=e x -ln x =F 1（x ）+F 2（x ）＞2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.(2)①21n b n =-，*n N ∈.②见解析.【解析】分析：（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）①将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；②由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}nc 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论. 详解：解：（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥，对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n L -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥， 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈. ②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n n n n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（*），即()1112212121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥，因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意， 当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（*）式得19r c =， 因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式，求数列的通项公式的方法如下： （1）当1n =时， 11a S =求出1a ； （2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．21.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．23【解析】 【分析】连接OD ,则OD DC ⊥,在Rt OED ∆中,1122OE OB OD ==,则6ODE π∠=,在Rt OCD ∆中,π6DCO ?,由CD =2，求出BC 即可.【详解】解:连接OD ,则OD DC ⊥,在Rt OED ∆中,由E 是OB 的中点，则1122OE OB OD ==, 则6ODE π∠=,在Rt OCD ∆中,π6DCO?, 由CD =2，则23tan 63OD DC π==, 则2223432()3OC =+=, 故432323BC OC OB OC OD =-=-=-=. 【点睛】本题考查了圆的切线问题，重点考查了运算能力，属基础题.22.已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202=B -⎡⎤⎢-⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】【分析】由11001B B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出矩阵B ，再由矩阵的乘法，即可求解.【详解】解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d =⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121*********AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查用待定系数法求逆矩阵，以及矩阵乘法计算，属于基础题.23.已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值． 【答案】87【解析】【分析】直接根据柯西不等式，即可得到本题答案.【详解】由柯西不等式，得()2222222[(2)(3)]1(2)(3)x y z x y z ⎡⎤+-+-+-+-++⎣⎦„， 即()2222(23)14x y z x y z--++„， 即()2221614x y z++„， 所以22287x y z ++≥， 当且仅当23y z x ==--， 即246,,777x y z --===时，222x y z ++取最小值87. 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属基础题.24.已知230123(1)(1)(1)(1)(1),n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-L （其中*n N ∈）（1）求0a 及1nn ii S a ==∑； （2）试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由．【答案】（1）02n a =，32n n n S =-（2）当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,n n N *≥∈时，23(1)22n n n n >-+---7分【解析】试题分析：（1）赋值法求二项展开式的项的系数：令1x =，则02n a =，令2x =，则03n n i i a==∑，∴32n n n S =-；（2）要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，即比较：3n 与2(1)22n n n -+的大小，这需先归纳：当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,5n =时，23(1)22n n n n >-+；再猜想当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+，最后用数学归纳法证明，关键将1n k =+时的式子与(4)n k k =≥情形建立关系：1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+--试题解析：解：（Ⅰ）令1x =，则02n a =，令2x =，则03n n i i a==∑，∴32n n n S =-；（Ⅱ）要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，即比较：3n 与2(1)22n n n -+的大小，---1分当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,5n =时，23(1)22n n n n >-+；猜想：当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，4n =时结论成立，假设当(4)n k k =≥时结论成立，即23(1)22k k k k >-+， 两边同乘以3 得：1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+-- 而22(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>∴1123[(1)1]22(1)k k k k ++>+-++即1n k =+时结论也成立，∴当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+成立.综上得，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+；当4,n n N *≥∈时，23(1)22n n n n >-+---7分 考点：数学归纳法。
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2019-2020学年江苏省泰州二中高三（下）开学数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B= ．2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= ．3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S= ．5．（5分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an }，其前n项和Sn，若Sn=2，S3n=14，则S6n= ．9．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．10．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．11．（5分）已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x ∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．13．（5分）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．14．（5分）已知实数a1，a2，a3不全为零，正数x，y满足x+y=2，设的最大值为M=f（x，y），则M的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．16．（15分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．17．（15分）如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A|+|F 1B|=4． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1•k 2是定值．18．（15分）现有半径为R 、圆心角（∠AOB ）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF ，如图所示．其中E ，F 分别在OA ，OB 上，C ，D 在上，且OE=OF ，EC=FD ，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF 的面积为S ． （1）试求S 关于θ的函数关系式； （2）求S 的最大值．19．（15分）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a+x ）=kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”（1）判断f （x ）=x 2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数f （x ）=sinx ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”； （3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．20．（15分）已知数列{an }，{bn}满足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．（1）若bn =10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若cn =an+2an+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是“数列{cn }为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．2019-2020学年江苏省泰州二中高三（下）开学数学试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B= {2，4，8} ．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= 3﹣4i ．【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12 ．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S= log319 ．【分析】模拟程序的运行，当n=19时满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log319，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1不满足条件n＞3，执行循环体，n=3，不满足条件n＞3，执行循环体，n=19，19．满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log319．故答案为：log3【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．（5分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是．【分析】基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法求出点数和为5包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是5的概率．【解答】解：同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），基本事件总数n=6×6=36，点数和为5，包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），有4个，∴点数之和是5的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6 ．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：6【点评】本题主要考查双曲线截距的求解，根据焦点到其渐近线的距离建立方程关系求出b的值是解决本题的关键．8．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an }，其前n项和Sn，若Sn=2，S3n=14，则S6n= 126 ．【分析】设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于q，利用等比数列的前n项和公式化简已知的两等式，可求出q n与的值，然后再利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子，变形后将求出的q n与的值代入即可求出值．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于q，∵Sn =2，S3n=14，∴=2，=14，解得：q n=2，=﹣2．则S6n=（1﹣q6n）=﹣2（1﹣64）=126．故答案为：126【点评】本题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式的应用，求出q n=2，=﹣2是解题的关键．9．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．【分析】由题意利用勾股定理可得[+22]++22]=+42，由此求得T的值，可得结论．【解答】解：A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，由题意可得∠AOB=，∴由勾股定理可得[+22]++22]=+42，求得T=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和最值，勾股定理的应用，属于基础题．10．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π【点评】本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．11．（5分）已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．【分析】取AC，BC的中点分别为E，F；化简可得2+4=0，从而记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，从而可得=cosA，从而解得．【解答】解：∵+2+3=，∴++2+2=，取AC，BC的中点分别为E，F；∴2+4=0，记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AE|=|EC|=，|EH|=2xcosA，故=cosA，即=2cosA，解得cosA=或cosA=﹣（舍去），故A=，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的化简运算及解三角形的应用，同时考查了数形结合的思想方法应用．12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x ∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2 ．【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．13．（5分）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．【点评】本题考查了圆的方程以及绝对值的定义与应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．14．（5分）已知实数a1，a2，a3不全为零，正数x，y满足x+y=2，设的最大值为M=f（x，y），则M的最小值为．【分析】讨论a2=0，a2≠0，对原分式分子分母同除以a2，运用x≤|x|，然后分子运用柯西不等式，分母运用均值不等式，再化简得到M=，根据条件正数x，y满足x+y=2，消去y，配方求出x2+y2的最小值，从而得到M的最小值．【解答】解：若a2=0，则=0，若a2≠0，则=≤≤=，∴M=，∵正数x，y满足x+y=2，即y=2﹣x，∴x2+y2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4=2（x﹣1）2+2，当x=1时，x2+y2取最小值2，∴M的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查柯西不等式及均值不等式的运用，考查转化思想及配方思想，是一道综合题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．【分析】（1）证明MC1NB为平行四边形，所以C1N∥MB，即可证明MB∥平面AC1N；（2）证明AC⊥平面BCC1B1，即可证明AC⊥MB．【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1M∥BN，C1M=BN．所以MC1NB为平行四边形．所以C1N∥MB．因为C1N⊂平面AC1N，NB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N；（2）因为CC1⊥底面ABC，所以AC⊥CC1．因为AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB．【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（15分）设．（1）求函数f （x ）的最小正周期与值域；（2）设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，，若f （A ）=1，求A ，b ．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f （x ）=sin （2x ﹣）（x∈R ），利用正弦函数的性质即可求解． （2）由题意可得sin （2A ﹣）=1．由A 为锐角，可求2A ﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质可求A 的值，进而利用余弦定理解得b 的值． 【解答】（本题满分14分）解：（1）化简得：f （x ）=sin （2x ﹣）（x ∈R ），所以最小正周期为π，值域为[﹣1，1]．…（7分） （2）因为f （A ）=sin （2A ﹣）=1．因为A 为锐角， 所以2A ﹣∈（﹣，），所以2A ﹣=，所以A=．由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 得b 2﹣4b+4=0．解得b=2．…（14分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，利用正弦函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17．（15分）如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A|+|F 1B|=4． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1•k 2是定值．【分析】（1）动弦AB平行于x轴，|F1B|=|F2A|，且|F1A|+|F1B|=4，可得|F2A|+|F1A|=4=2a，解得a．又2c=2，b2=a2﹣c2，解出即可得出．（2））F1，F2．设A（x，y），B（﹣x，y），P（m，n）（P≠A，B），=1，=1．直线PA方程：y﹣n=（x﹣m），可得：M坐标．同理可得：N坐标．再利用斜率计算公式进而得出．【解答】解：（1）∵动弦AB平行于x轴，∴|F1B|=|F2A|，且|F1A|+|F1B|=4，∴|F2A|+|F1A|=4=2a，解得a=2．又2c=2，解得c=．∴b2=a2﹣c2=2．∴+=1．（2））F1，F2．设A（x0，y），B（﹣x，y），P（m，n）（P≠A，B），=1，=1．直线PA方程：y﹣n=（x﹣m），可得：M．直线PB方程：y﹣n=（x﹣m），可得：N．∴k1=，k2=，∴k1k2=×===﹣1为定值．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（15分）现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．【分析】（1）设M是CD中点，连OM，推出∠COM=∠DOM=，MD=Rsinθ，利用△CEO≌△DFO，转化求解∠DFO=，在△DFO中，利用正弦定理，求解S=S△COD +SODF+SOCE=S△COD+2SODF的解析式即可．（2）利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，∠COM=∠DOM=，，MD=Rsinθ，又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，故∠EOC=∠DOF，可知，…（2分）又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=，在△DFO中，有，可得…（5分）所以S=S△COD +SODF+SOCE=S△COD+2SODF==…（8分）（2）…（10分）=（其中）…（12分）当，即时，sin（2θ+φ）取最大值1．又，所以S的最大值为．…（14分）【点评】本题考查函数与方程的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（15分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（a﹣x）2，化为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，需满足条件，解方程即可判断；（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a﹣x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．【解答】解：（1）由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，需满足条件，解得，故k=1≠0，a存在，所以f（x）=x2∈M．（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，即cos2a=﹣（k+），由于|k+|≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z；k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1）和（nπ，﹣1），n∈Z．（3）因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的函数．若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（x），若2＜x ＜3，则1＜4﹣x ＜2，此时f （x ）=﹣f （4﹣x ）=﹣cos （x ）， 若3＜x ＜4，则0＜4﹣x ＜1，此时f （x ）=﹣f （4﹣x ）=cos （x ），f （x ）=故f （x ）=当2014≤x ≤2016时，函数f （x ）的零点分别为2014，2015，2016．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查函数的周期性和函数的解析式的求法，函数的零点的求法，考查运算能力，属于中档题．20．（15分）已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1﹣a n （n=1，2，3，…）． （1）若b n =10﹣n ，求a 16﹣a 5的值； （2）若且a 1=1，则数列{a 2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n =a n +2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n }为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”．【分析】（1）判断{b n }是等差数列．然后化简a 16﹣a 5=（a 16﹣a 15）+（a 15﹣a 14）+（a 14﹣a 13）+…+（a 6﹣a 5）利用等差数列的性质求和即可．（2）利用a 2n+3﹣a 2n+1=22n+1﹣231﹣2n ，判断a 2n+3＜a 2n+1，求出n ＜7.5，a 2n+3＞a 2n+1求出n ＞7.5，带带数列{a 2n+1}中a 17最小，即第8项最小．． 法二：化简，求出a 2n+1=a 1+b 1+b 2+b 3+…+b 2n =，利用基本不等式求出最小值得到数列{a 2n+1}中的第8项最小．（3）若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，说明数列{c n }为等差数列． 由b n =a n+1﹣a n =d （n=1，2，3，…），推出b n ≤b n+1，若数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n }的公差为D ，转化推出b n+1=b n （n=1，2，3，…），说明数列{a n }为等差数列．得到结果．【解答】解：（1）由b n =10﹣n ，可得b n+1﹣b n =（9﹣n ）﹣（10﹣n ）=﹣1，故{b n }是等差数列． 所以a 16﹣a 5=（a 16﹣a 15）+（a 15﹣a 14）+（a 14﹣a 13）+…+（a 6﹣a 5）=…（4分）（2）a 2n+3﹣a 2n+1=（a 2n+3﹣a 2n+2）+（a 2n+2﹣a 2n+1）=b 2n+2+b 2n+1=（22n+2+231﹣2n ）﹣（22n+1+232﹣2n ）=22n+1﹣231﹣2n…（6分）由a 2n+3＜a 2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n ＜0⇔n ＜7.5，a 2n+3＞a 2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n ＞0⇔n ＞7.5，…（8分） 故有a 3＞a 5＞a 7＞…＞a 15＞a 17＜a 19＜a 20＜…，所以数列{a 2n+1}中a 17最小，即第8项最小． …（10分） 法二：由，…（5分） 可知a 2n+1=a 1+b 1+b 2+b 3+…+b 2n ==…（8分）（当且仅当22n+1=233﹣2n ，即n=8时取等号）所以数列{a 2n+1}中的第8项最小． …（10分） （3）若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，则c n+1﹣c n =（a n+1﹣a n ）+2（a n+2﹣a n+1）=d+2d=3d 为常数，所以数列{c n }为等差数列． …（12分）由b n =a n+1﹣a n =d （n=1，2，3，…），可知b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）． …（13分） 若数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n }的公差为D ， 则c n+1﹣c n =（a n+1﹣a n ）+2（a n+2﹣a n+1）=b n +2b n+1=D （n=1，2，3，…），…（15分） 又b n+1+2b n+2=D ，故（b n+1﹣b n ）+2（b n+2﹣b n+1）=D ﹣D=0，又b n+1﹣b n ≥0，b n+2﹣b n+1≥0，故b n+1﹣b n =b n+2﹣b n+1=0（n=1，2，3，…），…（17分） 所以b n+1=b n （n=1，2，3，…），故有b n =b 1，所以a n+1﹣a n =b 1为常数． 故数列{a n }为等差数列．综上可得，“数列{a n }为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”． …（18分）【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质等比数列的判断，数列求和，转化思想。