含参变量反常积分的几种计算方法

含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。

关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。

本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。

一 积分号下积分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求积分，须验证以下条件：(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),cf x y dx +∞⎰在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；(3) (,)c ady f x y dx +∞+∞⎰⎰及(),a cdx f x y dy +∞+∞⎰⎰至少有一个收敛，则 ()(),,accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰例1 利用20u edu+∞-⎰u=xα令2()0(0)x edx ααα+∞-∀>⎰，求2ed αα+∞-⎰的值。

分析：2x e dx +∞-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。

解：由已知，得()g α=2()0x e dx αα+∞-⎰是取常值的函数，记I=2e d αα+∞-⎰,则 I 2=I 2e d αα+∞-⎰=2Ie d αα+∞-⎰=22()0()x e dx e d αααα+∞+∞--⎰⎰=22(1)x d e dx ααα+∞+∞-+⎰⎰=22(1)x dx e d ααα+∞+∞-+⎰⎰=201121dx x +∞+⎰=4π故二 积分号下微分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求导，须验证以下条件：(1) ()(),,,y f x y f x y 在,x a y I ≥∈上连续（设I 为某个区间）； (2) (),a f x y dx +∞⎰在y I ∈上收敛；(3)(),y af x y dx +∞⎰对y I ∈一致收敛（或内闭一致收敛），则 ()()()()//,,y y aag f x y dx f x y dx +∞+∞==⎰⎰用此法求解含参变量反常积分，常常要通过建立微分方程来求积分值；应用这一方法的基本原则是(),y f x y 能比(,)f x y 较简单，更容易求出。

例1 求()22x jtxt e dx ϕ+∞--∞=⎰ （j 为复数单位） 解：令()22,x jtx f x t -=，显然()22,x jtx f x t -=在,x R t R ∈∈上连续,又()22,x jtx t f x t -=，而2222x x jtx x e--≤，由于222x x edx +∞--∞=⎰，由魏尔斯特拉斯判别法知，(),t f x t dx +∞-∞⎰是一致收敛的，故 ()()2/2,x jtx t t f x t dx dx ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰又()()2/2()0x jtx t t jt j jt x edx ϕϕ+∞--∞+=-=⎰,所以 ()()/0t t jt j ϕϕ+= ()0j ≠通过变量分离求解微分方程得 ()21ln 2t t c ϕ=-+，即()22t t ce ϕ-= （c 为积分常数）而()2201t dt ϕ+∞--∞==⎰1c = ()22t t e ϕ-=例2 求 ()()2sin 1x xtI dt t t +∞=+⎰(0)t ≥ 解：令()()2sin ,1xt f x t t t =+，显然()()2sin ,1xtf x t t t =+在,0x R t ∈≥上连续，且因()()22sin ,11x xtf x t tt t =≤++，故积分在任何有限区间上一致收敛。

为了计算()x I ，采用积分号下微分法，由于()2cos ,1x xtf x t t =+，且20cos 1xt dt t+∞+⎰在x R ∈上一致收敛,故()/2cos 1x xtI dt t +∞=+⎰，但这个积分仍不能直接计算。

再考虑()2,sin 1xx tf x t xt t=-+，当00x x ≥>时，()012sin 1cos Axtdt xA x x =-≤⎰又当0t →时，21tt+单调趋于零，由狄利克雷判别法知，积分()0,xx f x t dt +∞⎰在00x x ≥>上致收敛（0x x ≤-也一样），因此()//20sin 1x t I xtdt t +∞=-+⎰。

当0x >时（或0x <），()x I 二次可微且满足微分方程()()//0sin x x xt I I dt t+∞=+⎰ ，而当0x >时，0sin 2xt dt t π+∞=⎰， 即当0x >时，()()//2x x I I π-=-， 解得()2x xx I Ae Be π-=++(其中A,B 为常数) 因()/2200cos 111x xt Idt dt t t +∞+∞=≤=++⎰⎰2π,及()/x x x I Ae Be -=-,于是要保证()/x I 有界，必须0A =，再由()00I =，可得2B π=-，故()()12xx I e π-=- （当0x >时），又()xI 为奇函数且连续，()()()102102{x xe x x e x I ππ--≥-+<=例3 求 ()220A x x A I edx ⎛⎫-++∞⎪⎝⎭=⎰ ()0A ≥解：因222()A x x x ee-+-≤，而2x e dx +∞-⎰是收敛的，由魏尔斯特拉斯判别法知，()A I 对0A ≥是一致收敛，故()A I 是连续，又由()2()221,Ax x A f x t e x -+=-及2()2201Ax x e dx x -++∞-⎰对00A A ≥>是一致收敛的。

因此0A >时，()A I 可微，且()()2()2/21,Ax x A A I f x t dx e dx x -++∞+∞==-⎰⎰，又()()22/201A x x A A I edx x ⎛⎫-++∞⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰2x e ed x x ⎛- +∞-⎝⎭⎛=- ⎝⎭（令t x x =-）2teedt +∞---∞=-=又在()/A I中令t =()()2/0t A A I e dt I ⎛- +∞⎝⎭==⎰，因此 ()A I -=三 引进含参变量原积分对一些特殊的积分，直接运用牛顿-莱布尼兹公式行不通，此时可以考虑借助含参变量原积分来解决问题。

例1 求01cos xx I e dx xβ+∞--=⎰ （0β>）解：考虑()01cos x x I e dx xβαα+∞--=⎰，显然()1 I I = 因为 ()001cos sin lim lim 01x x x x x xe x e x ββαααβ+-→→-==-，所以0x =不是瑕点，考虑函数()1cos 00,{xx ex xx f x βαα--≠== 与(),sin x f x e x βααα-=均在R α∈上连续，而01cos xx e dx xβα+∞--⎰在R α∈上收敛，()0,f x dx αα+∞⎰在R α∈上一致收敛（其中x e βα-为优函数），因此R α∈时，()I α可积分号下求导，且()/22sin x I e xdx βααααβ+∞-==+⎰，故()()22221ln 2I d c ααααβαβ==+++⎰(c 为积分常数)，又()00I =，故21c=ln 2β，()2221ln 2I ααββ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此 ()()211ln 12I β-=+ 例2 求 ()()2211I dx x ββ+∞=+⎰（0β>）解：考虑()201dx x αφαβ+∞=+⎰（1α≥），当1α≥时，22111x x αββ≤++且2011dx x β+∞+⎰收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，()21dx xαφαβ+∞=+⎰一致收敛，且()201dx x αφαβ+∞===+⎰（*）当1α≥时，又有222211()(1)x x αββ≤++，且221(1)dx x β+∞+⎰收敛，故221()dx x αβ+∞+⎰一致收敛，（*）式两边对α求导，得()31/22221()4dx x απφαβαβ+∞--=-=-+⎰，令1α=，得12221(1)4I dx x πββ+∞-==+⎰四 引进收敛因子有些积分是收敛的，但积分号下求导后发散，不满足积分号下可求导的条件，此时可以考虑引进收敛因子，因为收敛因子可以大大改善积分收敛性，从而可以利用含参变量反常积分的性质来解决问题。

例1 求狄利克雷积分0sin xdx xβ+∞⎰(R β∈) 解：由狄利克雷判别法知该积分收敛，但/sin cos x dx xdx x βββ+∞+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰是发散的，不满足积分号下可求导的条件，因此考虑引进收敛因子x e α-。

令()0sin xxg e dx xααβ+∞-=⎰,收敛因子大大改善了积分收敛性。

事实上 /0sin sin x xx e dx e xdx x αααββ+∞+∞--⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰ (1) 又0sin xxxex eeαααβ---≤≤ ()00αα≥>, 且00x e dx α+∞-⎰收敛，所以积分(1)在0α>上内闭一致收敛，故 ()/22sin x g e xdx ααββαβ+∞-=-=-+⎰（当0α>,0β>时）。

因此 ()g arctgc ααβ=-+ (c 为积分常数) （2），又0β>时,有()0sin 0xx xg e dx e dx xαααβββα+∞+∞--=≤=→⎰⎰(α→+∞)。