含参变量反常积分的几种计算方法

含参变量反常积分的几种计算方法

摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。

关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理

在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。

一 积分号下积分法

要对含参变量反常积分()(),y a

g f x y dx +∞=⎰

实现积分号下求积分，须验证以下条件：

(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰

在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c

f x y dx +∞

⎰

在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；

(3) (,)c a

dy f x y dx +∞

+∞⎰⎰

及(),a c

dx f x y dy +∞+∞

⎰⎰

至少有一个收敛，

则 ()(),,a

c

c

a

dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞

+∞

+∞

=⎰⎰

⎰⎰

例1 利用2

0u e

du

+∞

-⎰u=x

α令2

()0

(0)x e

dx ααα+∞

-∀>⎰，求2

e

d αα+∞

-⎰的值。

分析：2

x e dx +∞

-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积

分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。

解：由已知，得()g α=2

()0

x e dx αα+∞

-⎰是取常值的函数，记I=2

e d αα+∞

-⎰,

则 I 2=I 2

e d αα+∞

-⎰=2

Ie d αα+∞

-⎰

=22

()0

()x e dx e d αααα+∞+∞

--⎰⎰=2

2(1)

x d e dx α

αα+∞+∞

-+⎰⎰

=2

2(1)

x dx e d α

αα+∞+∞

-+⎰⎰=

201121dx x +∞+⎰=4

π

故二 积分号下微分法

要对含参变量反常积分()(),y a

g f x y dx +∞

=⎰

实现积分号下求导，须验证以下条件：

(1) ()(),,,y f x y f x y 在,x a y I ≥∈上连续（设I 为某个区间）； (2) (),a f x y dx +∞

⎰

在y I ∈上收敛；

(3)

(),y a

f x y dx +∞

⎰

对y I ∈一致收敛（或内闭一致收敛），

则 ()()()

()/

/

,,y y a

a

g f x y dx f x y dx +∞

+∞

=

=⎰

⎰

用此法求解含参变量反常积分，常常要通过建立微分方程来求积分值；应用这一方法的基本原则是(),y f x y 能比(,)f x y 较简单，更容易求出。

例1 求()2

2

x jtx

t e dx ϕ+∞

--∞=⎰ （j 为复数单位） 解：令()22

,

x jtx f x t -

=

，显然()22

,x jtx f x t -

=

在,x R t R ∈∈上连续,又

()22

,

x jtx t f x t -

=，而222

2

x x jtx x e

-

-≤，由于22

2x x e

dx +∞

-

-∞

=⎰

，由魏尔斯特拉斯判别法知，

(),

t f x t dx +∞

-∞

⎰

是一致收敛的，故 ()()2

/2,x jtx t t f x t dx dx ϕ+∞

+∞

--∞

-∞

==⎰

⎰

又

()()2/2

()0x jtx t t jt j jt x e

dx ϕϕ+∞

-

-∞

+=

-=⎰

,所以 ()()/0t t jt j ϕϕ+= ()0j ≠

通过变量分离求解微分方程得 ()2

1ln 2

t t c ϕ=-+，即()2

2t t ce ϕ-= （c 为积分常数）

而()22

01t dt ϕ+∞

--∞

==⎰

1c = ()22

t t e ϕ-

=

例2 求 ()()

2

sin 1x xt

I dt t t +∞=+⎰

(0)t ≥ 解：令()()2sin ,1xt f x t t t =

+，显然()()

2

sin ,1xt

f x t t t =+在,0x R t ∈≥上连续，且因()()22

sin ,11x xt

f x t t

t t =

≤++，故积分在任何有限区间上一致收敛。 为了计算()x I ，采用积分号下微分法，由于()2cos ,1x xt

f x t t =

+，且20cos 1xt dt t

+∞+⎰在x R ∈上一致收敛,