导数的概念(平均变化率)

f (x2 ) f (x1) y f (x1 x) f (x1)
x2 x1 y x
x
f ( x2 )
f ( x1 ) 0
y
x
x1
x2
x
建构数学理论
定义理解
(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
线的斜率（. 以直代曲思想）
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
问题1 哪一段时间气 温变化得更“大”？
问题2 哪一段时间气 温变化得更“快”？
o1
32 34 t (d)
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4)
以3月18日作为第一 天，温度随时间变 化的图象如左图.
C
34]上的平均变化
率为
f(x2)
f(x1) A f(1)
y=f(x)
o1
x1
x2 34 x
你能否归纳出 “函数f(x)
在区间[x1,x2]上的平均变化 率”的一般性定义吗？
f (34) f (x2 ) 34 x2
建构数学理论
注意：不能脱 离区间而言
一般地，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
（4）[1，1.001]. 2.001
变题:（5）[0.9，1]； 1.9
（6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1
3
x
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？
数学应用
例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均 变化率有什么特点？
Hx
数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容Baidu Nhomakorabea甲中体积V 的平均变化率.
（2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
１.负值代表了什么? ２.哪个１０秒内变化快?
平均变化率的绝对值越
大,则变化越快.
的平均变化率为
y=f(x)
f (34) f (1)
34 1
34 x
34-1
y f(34)
f(x1) f(1) A
o1
y=f(x)
x1
C
[ 问 题 3] 在 区 间 [1,x1] 上 的 平 均 变 化率为
34 x f ( x1 ) f (1) x1 1
y f(34)
[问题3] 在区间[x2，
甲
乙
题后反思
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)；
(2)计算平均变化率 y f (x1) f (x2 ) .
x
x1 x2
数学应用
例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区
间上的平均变化率：
y
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
（3）[1，1.1]； 2.1
高中选修１-１
高二数学备课组 任小勇
问题情境
某市2004年3月18日、4月18日、4
月20日的最高气温分别为3.5℃、18.6℃、
33.4℃,气温曲线如图所示:
T(oC) 33.4
C(34,33.4)
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o1
32 34 t (d)
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
B (32, 18.6)
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
问题1’ 图中哪一段图像更“陡峭”？
问题2’ 如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
yC-yB （2）还必须考察什么量？
（3）曲线上BC之间的一
xC-xB
段几乎成了直线，由此联
o1
32 34 t (d) 想到如何量化直线的倾斜
程度？
y f(34)
A
f(1) o1
[问题２]如果将上述气
温曲线看成是函数y
f(34) - f(1)
C
=f(x)的图象,
则函数y
= f(x)在区间[1，34]上
或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗 庚
[问题解决] 如图，请分别计算气温在区间[1，32] 和区间[32，34]上的平均变化率.
T(℃) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
o1
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
气温在区间[1，32] 上 的平均变化率约为0.5；
气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
变式探究
y
向高为H的水瓶中注水，注满
为止，如果注水量y与水深x的
函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状…………( B ) O
[问题1] 你能用 数学语言来解
释 BC 段 曲 线 的
陡峭程度吗？
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
（1）仅考察 yc yB 的大小，能
T(oC) C(34,33.4)
33.4 化 曲 为 直
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
否精确量化BC段陡峭的程度？
小结回顾
这节课我的收获是什么？
1.平均变化率的定义： y f (x1) f (x2 )
x
x1 x2
2.平均变化率的意义:
大量生活中的实例 建立数学模型 数学应用
3.求平均变化率的步骤： 4.思想方法：