人教版九年级下册数学学案：26.1.1反比例函数

合集下载

人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计

2.教师点评：对学生的总结进行点评，强调重点知识。
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计

人教版九年级数学下册：26.1.1反比例函数(教案)

难点突破方法：
-使用几何画板或动态软件展示反比例函数图像的变化，增强直观认识；
-设计具有层次性的问题串，引导学生逐步深入理解反比例函数的性质；
-组织小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同解决难点问题；
-结合实际情境，设计案例分析和问题解决任务，帮助学生将理论知识应用于实践。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y=k/x（k≠0）的函数，其中k为常数。它在生活中有着广泛的应用，如速度与时间的关系、面积与长宽的关系等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，一个矩形的面积为12平方单位，长为x单位，那么宽就是12/x单位。这个案例展示了反比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的反比例函数教学中，我尝试了多种教学策略，目的是让学生更好地理解和掌握这一概念。我发现，通过引入日常生活中的例子，学生们的兴趣被激发了，他们更愿意参与到课堂讨论中来。这也让我意识到，将数学知识与学生的生活实际相结合，能够有效提高他们的学习积极性。
在理论介绍环节，我注意到了学生们的接受程度。他们对于反比例函数的定义和表达形式掌握得相对较快，但在我讲解k值的正负与图像象限关系时，部分学生显得有些困惑。这告诉我，在今后的教学中，需要更加细致地讲解难点部分，通过更多的示例和直观的图像，帮助学生逐步消化这些较难理解的概念。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图像性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图像与坐标轴无交点的性质，我会通过图像展示和代数解释来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）

度人教版九年级数学下册26.1.1 反比例函数教案

活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
练习：教材第3页练习第1～3题.
补充练习：
1.当正比例函数y＝ xa＋1的函数值为4时，自变量x的值是__－ __.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
2.当m为何值时，函数y＝ x2－|m|是正比例函数？当m为何值时，此函数是正比例函数？
先生停止当堂检测，完成后，教员停止批阅、点评、解说．
1.经过对效果的讨论剖析，让先生学会用函数的观念剖析生活中变量之间的关系，初步树立正比例函数的模型.
2.使先生从上述不同的数学关系式中笼统出正比例函数的模型，让先生感受正比例函数的基本特征，开展先生用数学言语描画正比例函数的才干.
活动
三：
开放
训练
表达
运用
【运用举例】
例1y是x的正比例函数，并且当x＝2时，y＝6.
先生讨论交流后，教员指点总结：普通地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数.
2.正比例函数的解析式：
效果：回忆以上效果的答案，想一下正比例函数的解析式还可以有哪些方式？
正比例函数的三种方式：①y＝ (k为常数，k≠0)；②xy＝k(k为常数，k≠0)；③y＝kx－1(k为常数，k≠0).
错题题号____________________________________
反思教学进程和教员表现，进一步提升操作流程和自身素质.
教员引导先生停止解答，先生回想所学，教员做好补充和辅导．
温故知新，为学习新知奠定基础.
活动
一：
创设
情境
导入ห้องสมุดไป่ตู้
新课
【课堂引入】
以下效果中，变量间具有函数关系吗？假设有，它们的解析式有什么共同特点？

人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例

4.教师引导学生掌握反比例函数的表达式，并学会运用反比例函数解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教师给出几个有关反比例函数的实际问题，让学生分组讨论，寻找解决方法。
2.学生通过小组讨论，共同探索反比例函数的性质，提高学生的团队合作能力。
3.各小组汇报讨论成果，教师给予评价和指导，帮助学生巩固反比例函数的知识。
人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景基于人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数章节内容，旨在通过实际教学情境，引导学生理解和掌握反比例函数的定义、性质及其应用。在案例中，我担任特级教师，以班级为单位进行教学，学生年龄均为14-15岁，具备一定的数学基础。
根据教材内容，本节课的主要目标是让学生了解反比例函数的概念，能够运用反比例函数解决实际问题。在教学过程中，我充分运用人性化的教学语言，注重激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力，培养他们分析问题、解决问题的能力。
2.学生能够理解反比例函数在实际生活中的应用，认识到数学的重要性，培养学生的数学素养。
3.学生通过反比例函数的学习，能够感受到数学的美丽和逻辑性，培养学生的审美观念。
4.学生能够克服学习中的困难，勇于面对挑战，培养学生的自信心和坚韧性。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设情境，引发学生对反比例函数的思考。例如，通过展示图片，如商场打折、人口增长等，让学生感受到反比例函数在现实生活中的存在。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结反比例函数的定义、性质及其应用，使学生对反比例函数有一个全面的认识。
2.教师强调反比例函数在实际生活中的重要性，激发学生学习反比例函数的积极性。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。

人教版数学九年级下册：(反比例函数)反比例函数(教案)

第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数【知识与技能】1.理解反比例函数的意义.2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.【情感态度】经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.【教学重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【教学难点】反比例函数解析式的确定.一、情境导入，初步认识问题京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.二、思考探究，获取新知问题1某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？问题2已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.反比例函数：形如y =kx(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.试一试下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？(1)一个游泳池的容积为2000m 3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m 3/h)的变化而变化；(2)某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm 2 )的变化而变化.(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化.【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.三、典例精析，掌握新知例1 已知y 是x 的反比例函数，当x =2 时,y = 6.(1) 写出y 与x 之间的函数解析式；(2) 当x =4时，求y 的值.【分析】由于y 是x 的反比例函数，故可说其表达式为y =k x，只须把x =2，y=6代入，求出k 值，即可得y =12x，再把x =4代入可求出 y=3. 【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.例2 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的正比例函数，且x ≠0，那么y 与x 是怎样的函数关系？【分析】因为y 是z 的反比例函数，故可设y =1k z(K 1≠0)，又z 是x 的正比例函数，则可设 z = 2k x (2k ≠0) x ≠0，∴ y =12k k x . 11220,k 0,0,k k k ≠≠∴≠ 故y =12k k x是y 关于x 的反比例函数. 【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =k x，z=kx 时没有区分比例系数）予以强调，并对题中x ≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.四、运用新知，深化理解1.下列哪个等式中y 是x 的反比例函数? y = 4x, y x= 3, y=6x+1,xy=123. 2.已知y 与x 2成反比例，并且当x= 3时,y=4.(1)写出y 和x 之间的函数关系式,y 是x 的反比例函数吗？(2)求出当x =1.5时y 的值.【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.只有等式xy=123中,y 是x 的反比例函数.2.解：（1)由题知可设y =2,3k y x x==时y=4，∴ k= 4×9 = 36，即 y = 236x，y 不是 x 的反比例函数. (2)y=236x ，x=1.5 时，y=361.5 1.5⨯ =16. 五、师生互动，课堂小结1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象.此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写完整.。

人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数教案设计

课题名称：《反比例函数》教学目标：知识与技能：1.理解并掌握反比例函数的概念。

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数。

3.会根据已知条件，求出反比例函数的解析式。

过程与方法：通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数式刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化的观点。

情感、态度与价值观：经历反比例函数的形成过程、使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生观察、推理、分析的能力和合作交流的意识、体验数形结合的思想。

教学重点、难点设计：对于反比例函数的概念的形成过程是这节课的重点，也是难点，教学中要重点联系实际，让概念在实际的背景下形成，使学生体会到反比例函数能够反映实际事物的变化规律，同时通过与一次函数、正比例函数的类比更好地认识和理解反比例函数，教学中进行类比、变化与对应等数学思想的渗透。

教学准备与方法设计：通过多媒体教学的应用，让概念和规律方法的获得主要以学生自主探究为主，通过实际问题的分析讨论得到反比例函数的概念，通过与一次函数、正比例函数的类比获得反比例函数解析式的求法，通过练习、巩固学生的知识，检验规律的正确性。

教学内容与程序设计：一、问题引入1.小明家到学校约5千米，在他骑车上学的过程中，你能找出其中变化的量与不变的量吗？2.你能表示出上述过程中几个量之间的关系吗？二、自主探索1.利用所列关系式，填写下表：3.观察所列式子的特征，你能仿照关系式自编一道类似的题目吗？4.思考讨论用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随b（m）的变化而变化；（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；（4）实数m与n的积为-200，m 随n的变化而变化.三、交流展示1.概念归纳：一般地，形如 )0(≠=k k xk y 为常数，的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数,k 是比例系数。

26.1.1反比例函数教案

26.1.1反比例函数教案篇一：九年级下册数学26.1反比例函数教学设计26.1反比例函数板书设计：反比例函数定义：等价形式：篇二：26.1.1反比例函数教案第26章反比例函数26．1．1反比例函数【学习目标】1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念。

2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系式3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用学情分析：虽然学生在八（上）已学过一次函数及特例“正比例函数”的内容，对函数有了初步的认识。

从学生接触函数所蕴含的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。

因此，学习本节课的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。

【学习重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【学习难点】反比例函数的解析式的确定【学法指导】自主、合作、探究篇三：26.1反比例函数教案26.1反比例函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解反比例函数的定义；2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；【重点难点】1、用待定系数法确定反比例函数的表达式；2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；知识概览图反比例函数的定义反比例函数的图象与性质新课导引【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求x(m)之间的函数关系式.【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?教材精华知识点1反比例函数的定义重点;理解一般地,形如y?k(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量xx栏建一个面积为另一边长y(m)与的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.y是x的反比例函数?y?k(k≠0)?xy=k(k≠0)?变量y与x成反比例,比例系数为k.x第1页k(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,x 123分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y?,y?等都是反比例函数,但y?就不是关1xx?1x2拓展(1)在反比例函数y?于x的反比例函数.(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式难点:运用由于反比例函数y?k中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上x一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤:(1)设反比例函数关系式y?k(k≠0).x(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.(3)解方程,求出待定系数k的值.(4)将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.知识点3反比例函数图象的画法难点;运用反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值.(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.说明:在图象上注明函数的关系式.拓展(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.第2页(3)反比例函数y?k(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.x(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0. k的图象是由两支曲线组x(1)如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数y?成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

《26.1.1反比例函数》作业设计方案-初中数学人教版12九年级下册

《反比例函数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生需达到以下目标：1. 掌握反比例函数的基本概念、图像及性质；2. 能够根据给定条件判断一个函数是否为反比例函数；3. 学会用反比例函数解决简单的实际问题。

二、作业内容本课时作业内容主要包括以下几个方面：1. 反比例函数的基本概念：让学生通过阅读教材、观看视频等方式，了解反比例函数的概念、定义及图像特征。

2. 反比例函数的性质：引导学生通过实例分析，掌握反比例函数的增减性、值域、定义域等性质。

3. 判断反比例函数：设计一系列练习题，让学生根据反比例函数的定义和性质，判断给定的函数是否为反比例函数。

4. 反比例函数的应用：结合实际问题，设计一系列与反比例函数相关的应用题，让学生尝试用反比例函数解决实际问题。

三、作业要求1. 学生在完成作业时，需认真阅读教材、观看视频等资料，理解反比例函数的基本概念和性质；2. 在判断反比例函数的练习题中，学生需根据反比例函数的定义和性质，准确判断每个函数是否为反比例函数，并说明理由；3. 在应用题中，学生需尝试用反比例函数解决实际问题，并写出详细的解题步骤和答案；4. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保作业的准确性和完整性；5. 作业需按时提交，迟到或未交作业将按照班级规定进行处理。

四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况，对每位学生的作业进行评分；2. 评分将综合考虑学生对反比例函数基本概念和性质的理解、判断反比例函数的准确性以及应用反比例函数解决实际问题的能力；3. 教师将对优秀作业进行表扬和展示，激励学生更好地完成作业；4. 对于存在问题的作业，教师将给出详细的反馈和指导，帮助学生改正错误。

五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，给出详细的反馈和指导，帮助学生更好地掌握反比例函数的知识；2. 对于普遍存在的问题，教师将在课堂上进行讲解和示范，确保学生能够理解并掌握；3. 鼓励学生之间互相交流和讨论，分享解题经验和技巧，提高学习效果；4. 作业反馈将作为教师调整教学计划和教学策略的重要依据。

人教版九年级数学下册26.1.1：反比例函数教案设计设计

26．1．1反比例函数
教学过程
(1).写出这个反比例函数的表达式;
(2).根据函数表达式完成上表.
练习：二、
1、.y 是x 的反比例函数,当x=3时,y=-6.
(1)写出y 与x 的函数关系式.
(2)求当y=4时x 的值.
2、y 是x-2 的反比例函数,当x=3时,y=4.
(1)求y 与x 的函数关系式.
(2)当x=-2时,求y 的值.
四、课后练习
1、苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为
2、若函数28)3(m x m y -+=是反比例函数，则m 的取值是
3、矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为
4、已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是，当x ＝－3时，y ＝
5、已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x ＋1成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值是多少？
6、当m ＝时，关于x 的函数22)1(-+=m x
m y 是反比例函数？ 7、已知3)2(-+=m x
m y 是反比例函数，则m 是什么？五、学生作业
六、板书设计
如果两个变量x,、y 之间
的关系可以表示成 )0(≠=k k x
k y 为常数，的形式，那么y 是x 的反
比例函数。

例1 例2
课堂总结与反思：
课堂小结：
1、反比例函数的意义
2、反比例函数解析式的求法课后反思：。

人教版数学九年级下册 26.1.1《反比例函数(第一课时)》教学设计方案设计

反比例函数（第一课时）教学设计方案
问题3 你能尝试写出这种函数的一般形式吗？能给这类函数下定义吗？
形如____________( ) 的函数称为反比例函数（inverse proportional function），其中x是自变量，y是函数,自变量的取值范围____________
2、概念的剖析
观察反比例函数解析式与正比例函数比较并思考：
1. 两者从形式上有何异同？反比例函数自变量的次数是1吗？为什么？
2. 反比例函数中，两个变量的取值范围是什么？
3. 你能举出生活中类似的例子吗？
4. 下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
5. 反比例函数的解析式有几种不同的表达形式？
（设计意图：在列出函数解析式后，不急于解释、引导，让反比例函数现身，而是设计问题串，类比已学函数，抽象出（3）（4）（5）的比例的本质特征：等式的右边都是都是分式，两个变量的乘积为定值。

这样反比例函数的模型建立就会水到渠成，然后顺着学生的思维的自然发展，通过剖析、辨别、距离、练习等活动，全方位理解概念。

）
3、运用概念
例1 当a取什么值时，函数是反比例函数？
（设计意图：掌握反比例函数的一般形式及其条件，特别是常数k
通过这题的练习，进一步加深对反比例函数的概念的理解）
例2 课本第3页例1
分析：类比求一次函数解析式的过程，显然要运用待定系数法，先设出解析式，再根据已知条件求出待定探究系数。

三、拓展应用，升华新知
例3 已知,与x成反比例，且当=1时=9求与x的函数解析式。

人教版九年级数学下册26.1.1 反比例函数

所以 2m2 + 3m－3=－1 2m2 + m－1≠0
解得 m =－2.
归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义
列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
巩固练习
(1)当m =___1_.5_时，函数
4 y x2m2
是反比例函数.
(2)已知函数 y 3xm7 是反比例函数,则 m =___6____.
(3)若函数 y (m 2)xm25 是反比例函数,则m的
值为__2____.
探究新知
考点 2 利用待定系数法求反比例函数的解析式
已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设
人教版数学九年级下册
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
导入新知
当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？
学习目标
3. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式. 1. 理解并掌握反比例函数的概念.
2.在实际问题中自变量x的取值范围是什么？
要根据具体情况来确定.
例如，在前面得到的第二个解析式
y 1000 x
，x的
取值范围是 x＞0，且当 x 取每一个确定的值时，y 都
有唯一确定的值与其对应.
探究新知
3.形如 y kx 1 (k 0)的式子是反比例函数吗？

人教版九年级数学下：第26章反比例函数的意义导学案

九年级数学分层教学导学稿学案一、课题§26.1.1反比例函数的意义编写备课组二、本课学习目标与任务：1、理解反比例函数的概念；2、会运用待定系数法求反比例函数的解析式；三、知识链接：问题1：一小区要种植一个面积为100㎡的矩形草坪，草坪的长为y m,宽为x m ，y随x的变化而变化。

（1）填表：长y(m) 10 20 25 40 50宽x(m)（2）y与x的解析式是_________________,它是正比例函数吗？是一次函数吗？问题2：京沪线铁路全程为1463k m，某次列车的平均速度v（单位：k m/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化，用含t的式子表示v为_______________.问题3：已知北京市的总面积为，1.68×104k m2，人均占有的土地面积S（单位：k m2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化.请用含n的代数式表示S为_________________.问题4：以上三个函数有什么共同特点？若把自变量和函数的乘积用k 表示，用x 表示自变量，用y表示函数，则y与x的函数解析式为________________________(k ≠0).四、自学任务（分层）与方法指导：一、熟读课文，理解概念反比例函数解析式的一般形式为：__________________________________ 反比例函数的特征：自变量与函数的乘积为定值。

巩固练习：（1）下列函数中是反比例函数的是_______________________.4(1)yx=1(2)2yx=-(3)1y x=-(4)1xy=(5)2xy=（2）举出日常生活中两个变量为反比例函数的实例。

二、看懂例题，尝试练习1、（1）已知y与a2成反比例，且当x=3时，y=4.求y与x的函数关系式；（2）已知一反比例函数的图象经过点（-1,3），求此函数的解析式；（3）已知函数21yyy+=，y1与x成正比例，y2与x成反比例.当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝－2.求x＝－1时y的值.2、.完成课后“练习”（先自己独立思考，然后对学或小组合作探究）五、小组合作探究问题与拓展： 1、已知3)2(-+=m x m y 是反比例函数，则m ＝_______.2、设x ＝－2，2=y 是正比例函数y ＝kx 的一对对应值，同时也是反比例函数x ny =的一对对应值.⑴分别求出这两个函数的解析式；⑵已知x ＝a ，2－y =是正比例函数的一对对应值，试判断它们是否也是反比例函数一对对应值，请加以说明.六、自学与合作学习中产生的问题及记录当堂检测题一、基础演练1．下列哪些式子表示y 是关于x 的反比例函数？每一个反比例函数中相应的k 值是多少？（1）y ＝4x ；（2）x y 5-=；（3）y ＝6x ＋1；（4）3=x y（5）xy ＝123；（6）x y 32-=；（7）y ＝－x .2.用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系是P =I 2R ，下面说法正确的是（）A ．P 为定值，I 与R 成反比例B ．P 为定值，I 2与R 成反比例C ．P 为定值，I 与R 成正比例D ．P 为定值，I 2与R 成正比例3．已知函数7-=m x y 是正比例函数，则m ＝ ___ ；已知函数 73+=m x y 是反比例函数，则 m ＝__ _ .二、能力提升4. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例.当x ＝－1时；y ＝－5；当x ＝1时y ＝1.求y 与x 的函数关系式.三、思维拓展5、已知函数()2211mm x－y＝－，求：⑴当m为何值时，y是x的正比例函数？⑵当m为何值时，y是x的反比例函数？一、课题26.1.2.1反比例函数的图像和性质（1）编写备课组二、本课学习目标与任务：1、会用描点法画反比例函数的图象，理解双曲线的意义．2、掌握反比例函数图象的性质．三、知识链接：1．填空：⑴已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__________⑵作函数图像的一般步骤是____________________2．试一试，画出反比例函数xy6=和xy6-=的函数图象. x －6 －3 －2 －1 1 2 3 6 xy6=xy6-=四、自学任务（分层）与方法指导：一、熟读课文，理解性质看一看：请大家仔细观察，反比例函数xy6=和xy6-=的函数图象，他们有什么共同的特征？想一想：反比例函数的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何变化？归纳：反比例函数的图象和性质：形状：由两支曲线组成的．因此称它的图象为_____________；位置：当k____0时，两支双曲线分别位于第______象限内；当k____0时，两支双曲线分别位于第______象限内．增减性：当k____0时,在每一象限内，y随x的增大而___________；当k____0时，在每一象限内，y随x的增大而_________．图象的发展趋势：反比例函数的图象无限接近于____轴，但永远不能到达____轴．二、看懂例题，尝试练习1、关于反比例函数4yx=的图象，下列说法正确的是（）A．必经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．两个分支关于原点成中心对称2、函数()()124y x x y xx==>≥0，的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为()22，；②当2x>时，21y y>；③当1x=时，3BC=；④当x逐渐增大时，1y随着x的增大而增大，2y随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是．3、.完成课后“练习”（先自己独立思考，然后对学或小组合作探究）五、小组合作探究问题与拓展：两个反比例函数3yx＝和6yx＝在第一象限内的图像如图所示，点P1、P2、P3、…、P2011在反比例函数6yx＝的图像上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2011)纵坐标分别为1、3、5、…，共2011个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2011分别作y轴平行线，与3yx＝的图像交点依次是Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）、Q3（x3，y3）、…、Q2011（x2011，y2011），则y2011等于多少？六、自学与合作学习中产生的问题及记O1y x=xABC1x=4yx=y录当堂检测题一、基础演练1．函数x k y 1+=图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是_______________．2．若点A(m ，－2)在反比例函数4y x =的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________.3．已知反比例函数x y 1=，下列结论中不正确的是（）A.图象经过点（－1，－1）B.图象在第一、三象限C.当1>x 时，10<<yD.当0<x 时，y 随着x 的增大而增大 4、已知圆柱体体积不变，它的高h ＝12.5cm 时，底面积S ＝202cm (1)求S 与h 的函数关系式； (2)画出图象；(3)求当高h ＝5cm 时，底面积S 的值.二、能力提升5、已知一次函数(0)y kx b k =+≠和反比例函数2ky x =的图象交于点A (1，1)（1）求两个函数的解析式；（2）若点B 是x 轴上一点，且△AOB 是直角三角形，求B 点的坐标。

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》教学设计3

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》教学设计3一. 教材分析《人教版九年级数学下册：26.1.1》是九年级数学的重要内容，是学生学习函数知识的最后一部分，也是学生对函数知识的深化和拓展。

本节课主要介绍了反比例函数的定义、性质及其图象。

通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，会画反比例函数的图象，为后续学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了正比例函数和一次函数，对函数的概念和性质有一定的了解。

但反比例函数与正比例函数和一次函数有很大的不同，学生可能难以理解和接受。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过已学的正比例函数和一次函数的知识来理解和掌握反比例函数的知识。

三. 教学目标1.知识与技能：理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，会画反比例函数的图象。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索反比例函数的性质。

3.情感态度与价值观：培养学生的团队合作意识，激发学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：反比例函数的概念、性质和图象。

2.难点：反比例函数的性质的理解和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数，使学生能更好地理解和接受。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识。

3.启发式教学法：引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索反比例函数的性质。

六. 教学准备1.准备反比例函数的生活实例和图片，用于导入和呈现。

2.准备反比例函数的性质和图象的PPT，用于讲解和展示。

3.准备一些反比例函数的练习题，用于巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入反比例函数的概念，如“汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时，行驶的距离是多少？”引导学生思考，引出反比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现反比例函数的性质和图象，引导学生观察和分析，通过已学的正比例函数和一次函数的知识来理解和掌握反比例函数的知识。

人教版精选九年级数学下册26.1.1 反比例函数教案

第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数1．理解反比例函数的概念；(难点)2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)一、情境导入1．京广高铁全程为2298km ，某次列车的平均速度v (单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t (单位：h)有什么样的等量关系？2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T (单位：℃)与冷冻时间t (单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y ＝32x ；②3xy ＝1；③y ＝1－2x ；④y ＝x 2.反比例函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①y ＝32x 是反比例函数，正确；②3xy ＝1可化为y ＝13x，是反比例函数，正确；③y ＝1－2x 是反比例函数，正确；④y ＝x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y ＝k x(k 为常数，k ≠0)，y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)或xy ＝k (k 为常数，k ≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，求m 的值．解析：由反比例函数的定义可得 2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，然后求解即可．解：∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.方法总结：反比例函数也可以写成y ＝kx －1(k ≠0)的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式【类型一】确定反比例函数解析式已知变量y 与x 成反比例，且当x ＝2时，y ＝－6.求：(1)y 与x 之间的函数解析式；(2)当y ＝2时，x 的值．解析：(1)由题意中变量y 与x 成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x 的值即可．解：(1)∵变量y 与x 成反比例，∴设y ＝k x(k ≠0)，∵当x ＝2时，y ＝－6，∴k ＝2×(－6)＝－12，∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝－12x； (2)当y ＝2时，y ＝－12x＝2，解得x ＝－6. 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y ＝k x(k 为常数，k ≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】解决与正比例函数和反比例函数有关的问题已知y ＝y1＋y 2，y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：(1)y 关于x 的关系式；(2)当x ＝－12时，y 的值．解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y 1，y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．解：(1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋1(k 2≠0)，∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1.当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝12k 2，∴k 1＝1，k 2＝－2，∴y ＝x －1－2x ＋1； (2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式得y ＝－112. 方法总结：能根据题意设出y 1，y 2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．(1)底边为3cm 的三角形的面积y cm 2随底边上的高x cm 的变化而变化；(2)一艘轮船从相距s km 的甲地驶往乙地，轮船的速度v km/h 与航行时间t h 的关系；(3)在检修100m 长的管道时，每天能完成10m ，剩下的未检修的管道长y m 随检修天数x 的变化而变化．解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y ＝32x ，不是反比例函数； (2)两个变量之间的函数表达式为：v ＝s t，是反比例函数； (3)两个变量之间的函数表达式为：y ＝100－10x ，不是反比例函数．方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．反比例函数的定义：形如y ＝k x(k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的形式：(1)y ＝k x(k 为常数，k ≠0)； (2)xy ＝k (k 为常数，k ≠0)；(3)y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)． 3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．4．建立反比例函数模型．让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.。

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿一. 教材分析《反比例函数》是人教版九年级数学下册第26章第一节的内容，本节课主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。

这部分内容是在学生已经掌握了函数的概念、正比例函数的知识基础上进行学习的，为后续学习二次函数打下基础。

反比例函数是实际应用中经常遇到的一种函数形式，对于学生来说，理解和掌握反比例函数的知识，能够提高他们解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和图象已经有了一定的了解。

但是，反比例函数的概念和性质相对复杂，学生可能难以理解和接受。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法，帮助学生理解和掌握反比例函数的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，能够绘制反比例函数的图象。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生学会如何从实际问题中抽象出反比例函数模型。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义，反比例函数的性质，反比例函数图象的特点。

2.教学难点：反比例函数概念的理解，反比例函数性质的证明，反比例函数图象的绘制。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、反比例函数图象软件等，帮助学生直观地理解反比例函数的知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题，从而引出反比例函数的概念。

2.新课讲解：讲解反比例函数的定义，通过示例让学生理解反比例函数的概念。

然后，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，总结出反比例函数的性质。

3.实践操作：让学生利用反比例函数图象软件，绘制反比例函数的图象，观察图象的特点，进一步理解反比例函数的性质。

26.1.1 反比例函数课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学

4-1.[期末·吉林舒兰市]某工人打算用不锈钢钢条加工一个面积为8 m2的矩形框架，假设框架的长与宽分别为x m， y m． (1)直接写出y关于x的函数解析式；解：y＝8x.
感悟新知
知4－练
(2)已知这种不锈钢钢条每米6 元，若框架的长比宽多2 m，则加工这个框架共需花费多少元？解：∵框架的长比宽多2 m，∴x＝y＋2.∴y(y＋2)＝8. 解得y1＝2，y2＝－4(舍去)， ∴框架的长为2＋2＝4(m)．∴2×(2＋4)×6＝72(元)．答：加工这个框架共需花费72元．
综合应用创新
把x＝3代入y＝－2x，得y＝－2x. 所以y是x的反比例函数，函数解析式为y＝－2x. 补全表格如下：
x
－3 －2 －1 －12
1 2
1
2
3
y
2 3
1
2
4 －4 －2 －1 －23
综合应用创新
另解因为(－1)×2＝－2，3×(－23)＝－2，所以xy是定值.
所以y 是x的反比例函数. 设反比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)，把x＝－1，y＝2
课堂小结
反比例函数
定义表达形式
反比例函数
反比例关系与反比例函数
求反比例函数的解析式
综合应用创新
题型 1 利用表格信息求反比例函数解析式
例 5 已知y是x的函数，下表给出了x与y的一些对应值：
x －3
－1
3
y
1 2 4 －4 －2 －1 －23
猜想y是x的正比例函数还是反比例函数，求出这个
∵ y2与x成反比例，∴设y2＝kx2(k2≠0).∴ y＝y1＋y2＝k1x＋kx2.
把x＝2，y＝－4 和x＝－1，y＝5分别代入y＝k1x＋kx2中，