信息光学导论第四章
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
信息光学第四章部分相干理论
前两项基本上是常数，作为偏置项，第 三项是干涉项，包含有物光波的振幅和 相位信息。参考光波作为一种高频载波， 其振幅和相位都受到物光波的调制（调 幅和调相）。参考光波的作用正好完成 使物波波前的相位分布转换成干涉条纹 的强度分布的任务。
5.2.1 波前记录
作为全息记录的感光材料很多，最常用 的是由细微粒卤化银胶涂敷的超微粒干 板.假定全息干板的作用相当于一个线性 变换器，它把曝光期间内的入射光强线 性地变换为显影后负片的振幅透过率， 为此必须将曝光量变化范围控制在全息 干板t-E曲线的线性段内。
5.2.1 波前记录
图5.2.2是负片的t-E 曲线： 横坐标E表示曝光量， 纵坐标t表示振幅透 过率。
5.2.1 波前记录
全息图的振幅透过率记为：
假定参考光的强度在整个记 录表面是均匀的，则：
5.2.2 波前再现
用一束相干光波照射 全息图，假定它在全 息图平面上的复振幅 分布为C(x,y),则透过 全息图的光场为：
全息照相过程分两步：波前记录和波前再现。 波前记录是将物体衍射（被激光照射）的光波 与另一相干光波——参考光波相干涉，用照相 方法将干涉条纹记录在全息记录介质上，称为 全息图或全息照片。当用原记录时的参考光或 其他合适的光波照射全息图时，光通过全息图 时的衍射和衍射光之间的干涉形成与物体光波 相似的光波，即物体波前的再现，构成物体的 再现像。
光学全息
利用光的干涉原理，将物体发射的特定光波以 干涉条纹的形式记录下来，使物光波前的全部 信息都贮存在记录介质中，故所记录的干涉条 纹图样被称为“全息图”。 当用光波照射全息图时，由于衍射原理能重现 出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维 像，这个波前记录和重现的过程称为全息术或 全息照相。
信息光学(傅里叶光学)Chap4-1
z
y
z
在无穷远处观察到衍射屏的二维傅里叶变换. 能否在有限远处观察和利用? 可以用透镜实现. 几何光学中,透镜是折射成像 元件, 将物点变换为像点, 物、 像点均可在无穷远 物理光学中,透镜是实现位相 变换的元件, 其前后表面的光 场复振幅分布不同. 本章解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质
只要正确决定R1、R2的符号, 以上推导适合于任何透镜
透镜的焦距
1 1 f (n 1) R R 2 1
1
仅决定于透镜材料和几何参数.
此结果与几何光学一致. f >0: 凸(正)透镜; f <0: 凹(负)透镜
x2 y2 不考虑常数位相因子, 则透镜的位相变换因子为 exp jk 2f 此变换与入射波的复振幅无关, 它实现变换:
m为整数
令ar02 = u, 则复振幅透过率是u的周期函数, 周期为2p. 方波, 可以展开为复指数 1 1 sgn(cosu ) cn exp( jnu ) 形式的傅里叶级数: n (1)求出傅氏系数cn, 2 2 (2)讨论n为奇数和偶数的情形 (3)与上例的结果相比较.
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 讨论
此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换 三个透镜的直径为2l, 焦距分别为∞, -p/a和 p/a. 当单色平面 波垂直入射时, 有三部分出射光束 (1)直接透过,循原方向传播 (2)会聚到透镜后焦面处, 与透镜距离为p/a (3)从透镜前焦点p/a处发散的球面波 正、负透镜的焦距与波长有关, 即有很大的色差. 只有用单色光照明,才能得到清晰的像 三个衍射级不能完全分开
与(x,y)平面上球面波复振幅分布的位相因子相比较 f >0: Ul’(x,y)代表会聚到透镜后焦点的会聚球面波; f <0: Ul’(x,y)代表从透镜前焦点发出的发散球面波 这与几何光学的结果相同 若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函 P ( x, y ) 1 数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数), 0
信息光学_第四章
x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf
Fresnel U ( x, y) exp jkz exp[j k ( x 2 y 2 )] U x , y exp[j k ( x 2 y 2 )]exp[ j 2 ( xx yy )]dx dy 0 0 0 0 0 0 0 0 jz 2z 2z z 公式：
exp[ jk ( p q)]
常数相位因子，改变光波整体的位相分布，可略掉
k 1 1 调制项，影响观察面上位相的相对分布， exp[ j ( x 2 y 2 )( )] 把发散球面波变换成会聚球面波 2 p q
透镜成像的高斯公式：
1 1 1 p q f
所以，透镜的位相变换因子为：
k ( x 2 y 2 )] 2f
将公式
U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j
代入上式
x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf
exp jkf k 2 2 2 U f (x f , y f ) exp[j ( x f y f )] U1 x, y exp[ j ( xx f yy f )]dxdy jf 2f f
xf yf
Uf
U 2 ( x, y)
透镜位相变换因子
• 透镜后端面光场复振幅
k U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j ( x 2 y 2 )] 2f
• 透镜焦平面上光场复振幅 U f ( x f , y f )
透镜后端面光场
透镜后焦面光场， 属于Fresnel衍射。
令：
exp jkf k 2 2 U f (x f , y f ) exp[ j ( x f y f )] j f 2f U 2 x, y exp[ j
傅立叶光学(信息光学)_课件
0 x<0
step(x)
1
0
step(x-x0),间断点移到x0处
x
二、符号函数：描述某孔径一半宽有 的位相差
1 x>0 Sgn（x）= 0 x=0
-1 x<0
Sgn(x)=2step(x)-1
sgn(x)
1
x
0
1
三、矩形函数（门函数）：表示狭缝、矩孔的透过
傅立叶光学
第一章 绪论 第二章 线性系统与Fourier分析 第三章 光波的标量衍射理论 第四章 透镜的Fourier变换性质 第五章 光学成像系统的频率响应 第七章 光学全息 第八章 空间滤波与光学信息处理
第一章 绪论
一、“信息光学”的含义 信息光学＝数学工具（级数、积分）＋经典光学 （光波的传播、干涉、衍射、成像、光学信息的记 录与再现、光学信号的处理）
2、光学中的线性叠加原理uv uuv uuv 波的迭加原理：矢量：E E1( p) E2( p) L
n
相干光场：复振幅：U（p）=Ui ( p) i 1
n
非相干光场：光强：I ( p) Ii ( p) i 1
3、利用系统的特性来求输入/输出关系 “三步法则”： 第一步：将复杂输入分解为简单输入函数之和 第二步：分别求出简单函数的输出 第三步：将简单函数输出加起来
2.1 线性系统的基本概念 一、系统：同类事物按一定关系所组
成的整体
特征(性)：不管内部结构，只是全体与外 部的关系，是整体行为，综 合行为
二、物理系统：由一个或多个物理装
置所组成的系统
1、概念：考虑与外形的信息交换 2、内容：输入/输出关系 3、特点：系统的外特性 4、作用：对输入信号变换作用——运算作用
《信息科学导论》课程教学大纲
《信息科学导论》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：12301 课程英文名称：《Introduction of Information Science》课程所属单位：数理系电子信息科学与技术教研室课程面向专业：电子信息科学技术专业课程类型：必修课先修课程：（高中数理基础）学分：2学分总学时：40学时二、课程性质与目的信息科学导论是一门介绍信息科学与技术的基本内容的入门和导引性质的课程。
该课程面向电子信息科学与技术专业以及其他相近专业的低年级学生，从整体的角度介绍当代信息科学与技术的主要内容和发展前沿的概貌。
其目的是使学生在信息科学与技术方面能增加兴趣、扩展视野、立足前沿、展望未来，提高信息素养，为进入本专业的进一步学习奠定必要的基础三、课程教学内容与要求（一）第一章信息科学与技术概述1、教学内容与要求（1）理解信息的概念、性质与特点；（2）理解信息科学和信息技术的概念；（3）了解信息科学与技术发展的历史与现状；（4）了解信息科学与技术的发展趋势；（5）了解信息化的概念；（6）了解与信息化相关的基础学科。
2、教学重点理解信息的概念、性质和特点，了解信息科学与技术的发展现状与发展趋势，了解与信息化相关的基础学科。
3、教学难点信息的概念、性质与特点。
（二）第二章微电子技术1、教学内容与要求（1）了解微电子技术发展的历史；（2）理解微电子技术的物理基础；（3）了解集成电路；（4）了解微电子系统设计的基本知识；（5）了解微电子技术的发展趋势。
2、教学重点了解微电子技术的发展历史与发展趋势，理解微电子技术的物理基础，了解集成电路，了解微电子系统设计的基本知识。
3、教学难点微电子技术的物理基础，集成电路，微电子系统设计的基本知识。
（三）第三章光信息科学与技术1、教学内容与要求（1）了解光子学与电子学发展的并行性和互补性；（2）理解关于激光的基本知识；（3）理解光纤的原理与基本特点；（4）了解光纤通信系统与网络；（5）初步了解光放大技术；（6）了解光网络中关键的光子学功能部件；（7）了解光信息存储。
《信息光学》课件
信息光学的发展历程
19世纪末至20世纪初
光学显微镜和望远镜等光学仪器的发明和应用，为信息光学的发展 奠定了基础。
20世纪中叶
随着激光技术的出现和发展，信息光学开始进入快速发展阶段。
20世纪末至今
随着计算机技术和光电子技术的不断进步，信息光学在通信、数据 存储、生物医学等领域得到了广泛应用。
信息光学的基本原理
02
信息光学的基本技术
光学全息技术
光学全息技术是一种利用光的干涉和衍射原理来记录和再现 三维物体的技术。通过将物体发出的光波与参考光波干涉， 将干涉图样记录在全息介质上，然后使用合适的照明光波进 行再现，即可得到物体的三维图像。
全息技术可以用于制作全息图、全息显示、全息干涉计量和 全息光学元件等。在科学研究、工业检测、医疗诊断和军事 领域等方面有广泛应用。
光学信息处理技术
光学信息处理技术是指利用光的干涉、衍射和折射等光学现象来进行信息处理的 技术。这种技术具有高速、大容量、并行处理等优点，可以用于图像处理、信号 处理、模式识别和计算机科学等领域。
常见的光学信息处理技术包括傅里叶变换光学、光学图像处理、光学计算和光学 神经网络等。
光学计算技术
光学计算技术是指利用光学方法来实现计算的技术。这种 技术利用了光的并行性和快速性，可以实现高速、高精度 和大容量的计算。
运行，为人工智能领域的发展提供新的动力。
信息光学在未来的应用前景
下一代光通信网络
随着5G、6G等通信技术的发展，信息光学将在构建下一代光通信 网络中发挥关键作用，实现超高速、超大规模的数据传输。
智能感知与物联网
光学传感器和光通信技术将在智能感知和物联网领域发挥重要作用 ，实现更高效、更智能的物联网应用。
信息光学导论第四章
第四章 标量衍射理论如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q 的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题．4.1 标量衍射理论◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A ．J ．Fresnel ，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图参见上图，设波前上任一面元dS 对场点P 贡献的次级扰动为)(p dU ，则场点的总扰动)(p U 按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为其中上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。
◆基尔霍夫衍射积分式约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在1>>kr ，即λ>>r 条件下，导出了无源空间边值定解的表达式，与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基 尔霍夫的新贡献是：(1)明确了倾斜因子2/)cos (cos ),(00θθθθ+=f ，据此，那些2/πθ>的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献．(2)给出了比例系数，λλπ//2/i e i K -=-=．(3)指出波前面(∑)并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c ） 所示．形象地说，立足于场点P 而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。
信息光学03_04
H I ( u, v ) = FT {hI ( xi , yi )}
{
}
由于Ii、Ig、hI都是强度分布，是非负实函数，它们的频谱一 般都是复函数，但必有一个幅值很大的零频分量（直流分 量），即：
Gi (0, 0) ≥ Gi ( u, v )
G g (0, 0) ≥ G g ( u, v )
H I (0, 0) ≥ H I ( u, v )
Information Optics
G ( u, v ) G i ( u, v ) = i Gi (0, 0)
G g ( u, v ) =
G g ( u, v ) G g (0, 0)
H ( u, v ) =
H I ( u, v ) H I (0, 0)
G 因为： i ( u, v ) = G g ( u, v )i H I ( u, v )
hI ( xi , yi ) = h( xi , yi )
2
在频域中，可表示为： G I ( u, v ) = G g ( u, v )i H I ( u, v )
G 其中： i ( u, v ) = FT { I i ( x , y )}
G g ( u, v ) = FT I g ( xi , yi )
Gi (0, 0) = G g (0, 0)i H I (0, 0)
所以，归一化频谱满足：
G i ( u, v ) = G g ( u, v )i H ( u, v )
H ( u, v ) 非相干成像系统的光学传递函数（OTF）。
在频域中描述非相干成像系统的成像特性。
G i ,G g 和 H 一般都是复函数，都可以用模和幅角来表示：
Information Optics
《信息光学》课件
第二章：光学矩阵理论
光学矩阵是描述光学元件的传输特性的数学工具。学习光学矩阵的定义、表示方法、性质和计算方法，以及如 何通过光学矩阵推导光学元件的传输特性。
第三章：信息光学器件
光波导器件
光波导器件是利用光波导的特性来传输和处理信息的器件，包括光纤和光波导芯片。
光栅器件
光栅器件利用光栅结构的衍射特性来处理信息，例如光栅衍射和光栅激光器。
结束语
感谢大家的聆听与支持！在未来，信息光学将在通信、计算、存储等领域有 更广泛的应用，让我们Байду номын сангаас起探索信息光学的无限可能。
闪烁光记录器
闪烁光记录器是一种使用光固体材料记录和存储信息的高密度光存储设备。
第四章：信息光学应用
光学通信
光学通信是利用光信 号传输信息的通信方 式，具有高速、大容 量和低损耗的优势。
光存储
光存储技术利用光的 特性进行信息的高密 度存储，如光盘和固 态存储器。
光量子计算
光量子计算利用光的 量子特性进行高速并 行计算，被认为是未 来计算科学的重要方 向。
《信息光学》PPT课件
欢迎大家来到《信息光学》PPT课件！本课程将带领您探索信息光学的世界， 学习信息光学的概念、原理和应用，为您展示信息光学的魅力。
第一章：信息光学概述
信息光学是研究光与信息传输、处理和存储的学科，涉及广泛的应用领域。了解信息光学的定义、研究内容以 及与其他学科的关系，将打开信息光学的大门。
光晶体管
光晶体管是一种利用 光调控电流和电压的 器件，具有高速、低 功耗和可重构性。
第五章：信息光学前沿研究
1
研究热点
了解当前信息光学领域的研究热点，如全息影像、量子信息和高速光通信等。
信息光学绪论
通讯系统 信息 线性性 一维时间信号 V(t) I(t)
V1(t)
光学系统 二维空间分布信息 U(x,y) I(x,y)
U1(x,y) U2(x,y)
V2(t)
放大器
光学系统
非线性 性
非线性电子学元件 二极管， 二极管，真空管
非线性光学元件 照相底片
三、高等物理光学课程内容（ 高等物理光学课程内容（
物理系， 物理系，光信息科学与技术专业）
1. 数学基础 傅里叶变换 线性系统分析理论 2. 物理基础 光的干涉 衍射 3. 课程内容概述 以光的物理本性为基础，发展为研究光的变换特性。例如， 以光的物理本性为基础，发展为研究光的变换特性。例如，夫琅和费 衍射看成光学傅里叶变换，菲涅耳衍射看成光学分数傅里叶变换。 衍射看成光学傅里叶变换，菲涅耳衍射看成光学分数傅里叶变换。 用傅里叶分析和线性系统理论分析光波的传播、衍射、成像等现象， 用傅里叶分析和线性系统理论分析光波的传播、衍射、成像等现象， 用频谱语言分析光学信息， 用频谱语言分析光学信息，用光学传递函数给出光学系统设计和 评价理论。 评价理论。 用改变频谱的手段处理光学系统的光信息 —光信息处理 光信息处理 波前再现—全息照相 信息存储，信息显示， 特征识别—有用信 全息照相， （波前再现 全息照相，信息存储，信息显示， 特征识别 有用信 息的提取和增强， 图像的消模糊，光计算， 息的提取和增强， 图像的消模糊，光计算， ） 广义分数阶Fourier Fourier变换 二元光学 广义分数阶Fourier变换 小波变换 光学神经网络是 光学信息技术的最新发展 4. 要求 物理概念要清楚 认真完成作业并按时上交 提倡主动创新学习
固体（ (He种类 ：气体 (He-Ne, CO2, N2) 固体（红宝石 钕玻璃 YAG YVO3) 半导体 (纵向发射 面发射 列阵 千瓦级）光纤激光器 千瓦级） 准分子 （XeF 功率水平 激光应用 KrF） KrF） X激光 自由电子激光 强激光10 强激光1021w/cm2
10-信息光学4-2
#4-2 标量衍射理论
第四章
波前（面）上的每一点（面元）都可以看作一个次级扰动中心，他们能产生球面子波（新波源），后一时刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
光波的标量衍射理论
λ4π
惠更斯提出，媒质上波阵面上的各点，都可以看成是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波的包迹，就是该时刻新的波阵面。
惠更斯－菲涅尔原理能定性地描述衍射现象中光的传播问题。
光波的标量衍射理论小结
菲涅尔充实了惠更斯原理，他提出波前上每个面元都可视为子波的波源，在空间某点P的振动是所有这些子波在该点产生的相干振动的叠加，称为惠更斯－菲涅尔原理。
Chap4-3——信息光学课件PPT
exp j
k 2f
1
d0 f
(
x
2 f
y
2 f
)
fx
xf
f
1
exp
jk
(
x
2 f
y
2 f
)
2 f
fy
yf
f
exp
jk
(
x
2 f
y
2 f
2d
)
exp
jk
(
x
2 f
2f
y
2 f
)
fx
xf d
,
fy
yf d
fx
xf
f
,
fy
yf
f
照明光源
?
(5)?
的像面
§4-2 透镜的傅里叶变换性质
§4-2 透镜的傅里叶变换性质: 小结
Summary
照明光源 位置
轴上无穷远 点源
同上
同上
同上
同上 轴上有限远
点源
物平面 位置 透镜前,与透 镜距离为d0 特例: d0= f 特例d0= 0
物体紧靠透镜
透镜后, 后 焦面前d处
特例: d= f
透镜后
谱面 位置
二次位相 因子
频谱缩放 比例
后焦面 后焦面 后焦面 后焦面 后焦面
lL 2d0
0
M
l
d0
f
则衍射波完全能通过透镜, A,B点能准确反映t的频谱值.
A
O z
B
若 tan
tan M
lL 2d0
则衍射波完全不能通过透镜, A,B 处频谱值消失
若< <M, 则A,B点的复振幅不能准确反映相应的频谱值.
信息光学复习提纲
信息光学复习提纲 （自编）第一章 二维线性系统1．空间频率的定义是什么？如何理解空间频率的标量性和矢量性？ 2．空间频率分量的定义及表达式？3．平面波的表达式和球面波的表达式？对于单色光波。
时间量 空间量 22v T πωπ== 22K f ππλ== 时间角频率 空间角频率其中：v ----时间频率 其中：f ---空间频率T----时间周期 λ-----空间周期物理意义： ① 当090,,<γβα时0,,>z y x f f f ， 表示k 沿正方向传播； 当090,,>γβα时0,,<z y x f f f ， 表示k沿负方向传播。
② 标量性， 当α↗时，αcos ↘→x f ↘→x d ↗； 当α↘时，αcos ↗→x f ↗→x d ↘。
③标量性与矢量性的联系 x x f d 1= λαcos =x f条纹密x d ↘→x f ↗→α↘→θ↗条纹疏x d ↗→x f ↘→α↗→θ↘ 可见 ：条纹越密（x d 小），衍射角越大 条纹越疏（x d 大），衍射角越小2．空间频率概念光波的表示式为：(,,)0(,,,)(,,)j t j x y z x y z t x y z e e ωϕμμ-=⋅ 0(,,)jK r j t x y z e e ωμ-=⋅ (1.10.2)显然，光波是时间和空间的函数，具有时间周期性与空间周期性。
3．平面波的表达式 ① 单色平面波的公式 ()()()00,,,cos ,,j t jk r j tU x y z t t k r e e U x y z e ωωμωμ-⋅-=-⋅=⋅= 式中复振幅为：()0,,jk r U x y z e μ⋅=()[]γβαμcos cos cos ex p 0z y x jk ++=令 c z y x =++γβαcos cos cos 可见：等相面是一些平行平面 ②任一平面上的平面波表示式()()()101,,exp cos exp cos cos U x y z jkz jk x y μγαβ=+⎡⎤⎣⎦(()exp exp cos cos 0jkz jk x y μαβ⎡⎤=+⎣⎦ ()[]βαcos cos ex p 0y x jk U +=(1.10.36)令 c y x =+βαcos cos 可见，等位线是一些平行线③用空间频率表示的平面波公式 λαcos 1==x x T f ，1cos y y f T βλ==，1cos z z f T γλ== ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j z y x U λγλβλαπμcos cos cos 2exp ,,0 ()()[]z f y f x f j z y x U z y x ++=πμ2ex p ,,0 4、球面波的表达式 ⑴ 单色球面波的复振幅 发散波：(k 与γ一致) ()()0,,,,,jkr j t j t a U x y z t e e U x y z e r ωω--==式中： ()0,,jkr a U x y z e r = (1.10.5) 会聚波：(k 与γ 反向)()()0,,,,,jk r j t j t aU x y z t e e U x y z e r ωω-⋅--==式中： ()0,,jkr a U x y z e r-= (1.10.6)r ⑵ 球面波光场中任一平面上的复振幅分布 设球面波中心与坐标原点重合，则y x ,平面上的复振幅为 ()01,,jkr aU x y z e r=220121exp 12a x y jkz r z ⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ()⎪⎫ ⎛+⋅≈220exp exp y x jk jkz a4．相干照明下物函数复振幅的表示式及物理意义？5．非相干照明下物光强分布的表示式及物理意义？1、 相干照明设()y x f ,为一物函数的复振幅，其傅氏变换对为 ()()(),exp 2x y x y F f f f x y j f x f y dxdyπ∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰⎰ ()()(),,exp 2xyxyxyf x y F f f j f x f y d f dfπ∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰可见：物函数()y x f ,可以看作由无数振幅不同方向不同的平面波相干迭加而成。
信息光学(傅里叶光学)Chap5-4
P , dd
2
∴P*()= P(), P()2= P(), ∫∫P()2d d = 光瞳总面积
#
§ 5-4 衍射受限的非相干成像系统的频率响应 三 .OTF的计算.
? fx, f y
P , P d f , d f dd Px, y dxdy
i x i y
f ,f
x y
两个错开光瞳的重叠面积s f x ,f y 光瞳总面积s0
两个错开光瞳的相对位置, 与指定空频分量相对应.
光瞳为简单函数时,OTF可以直接计 算,复杂情况时要用面积仪或计算机.
§ 5-4 衍射受限的非相干成像系统的频率响 应三 .OTF的计算 例1.出瞳为边长l 的正方形
§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应 二．相干传递函数 例3.
Ug
3
h
Ui
*
0
=
-1
xi
每个狭缝产生会聚球面波,将孔径(单缝)的F.T.投射到像平面上. 产生的位移的衍射图样相干叠加. Gg Gi
f
1
Hc
-1/d 0 1/d
fx
f0
0
-f0
=
-1/d 0 1/d
fx
#
§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应 二．相干传递函数 例3.
相干传递函数:
Hc fx , f y
(d f ) 2 (d f ) 2 i x i y circ l/2
circ
2 2 fx fy f0
l f0 2d i
为沿各个方向的 截止频率(像面截止频率) #
《信息光学》第四章 透镜的位相调制和剖析
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
jk
n
1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1 f
n
1
1 R1
1 R2
(n为透镜材料的折射率)
tl
x,
y
exp
jkn0
相因子，
能够对入射波前施加位相调制的结果。
1、透镜的位相调制作用
1）若在非旁轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将 偏离理想球面波，即透镜产生波像差。
2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函 数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即
P
x,
y
1 0
透镜孔径内 其他
于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：
本章主要内容
1、透镜的位相调制作用 2、透镜的傅里叶变换性质 3、光学频谱分析系统
0、序 言
透镜是一种非常重要的光学元件，其主要功能包括：成像和傅里 叶变换。
1）透镜的成像功能
2）透镜的傅里叶变换功能
（夫琅和费衍射）
f
f f
Question: 透镜为什么具有这样的功能？
1、透镜的位相调制作用
1.1 透镜对入射波前的作用
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
则
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
L(x,y)
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)， 就可以根据该式得到其位相调制。
信息光学第四章
场的相干性应同时包含时间相干性和空间相干性的双重影响。
对于光谱线很窄的扩展光源，应主要考虑空间相干性； 对于有限频宽的尺寸很小的光源，则主要考虑时间相干性。
激光具有较好的时间和空间相关性：
基横模运转：空间相关性好； 单纵模运转：时间相关性好。
4.2 互相干函数
相干度：度量光场的相干性。
光源有一定线度； 光源发出多色光。
是空间坐标和时间函数。 4）对于非单色光，空间任一点的光扰动随时间无规则变化，
表现出的是统计性质。互相干函数是描述光场的基本参量。
5）光在不同空间点传播，光场的相干性也随之传播。
y x
O1 z O2
P1
P2
范西特─泽尼克定理：当光源线度以及观测区域线度都比两者 间距小得多时，观测区域上复空间相干度正比于光源强度分
有特别好的空间相干性。
光源的时间相干性与光波频谱 光源的时间相干性是指在同一空间点处．在任意相等的时
间区间 t 内测得该点的位相差随时间的变化情况。光源的
时间相干性取决于光源的频谱宽度。 实际的光源都是以不连续的许多有限长的波列形式 ( 称为 “波串”)发射光波的。而任何有限长的波列必然包含着不 同波长的光波，只有纯单色光才是无限长的波列。
2 2 2 2
2 2 2 2 t x t x t x t x ls 1 s 1 s l0 1 s 1 s 2ls ls 2l s l s 2l0 l0 2l0 l0
成分的第m级极大。换言之，观察屏上每一点都落有某一
光谱成分的极大值，又落有另一光谱成分的极小值，因 而各点条纹强度趋于一个平均位，即条纹消失。对应的
《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质
引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，
P
x,
y
1 0
透镜的复振幅透过率可以表示为：
透镜孔径内 其他
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
则后焦面上的光场分布为：
U f
xf , yf
A j f
exp j
k 2f
xf 2 yf 2
•
T
x
f
f
, yf f
01
R1
1
1
x2 y2
R12
仅考虑旁轴光 2
x,y02 NhomakorabeaR2
R22
x2 y2
02
R2
1
1
x2 y2 R22
x2 y2 1 R22
x2 y2
1
2R22
x, y
0
x2 y2 2
1 1
R1
R2
1、透镜的位相调制作用
1.3 透镜的复振幅透过率
以 波矢量在y0z平面内传播的平面波分量受透镜孔径限制的情况来说明对 于谱面光场的影响。
（1） 0 部分的空间频率将全部成像在焦平面上
0
lL 2d0
2、透镜的傅里叶变换性质
（2）0
部分的空间频率将部分成像在焦平面上
M
M
lL 2d0
2、透镜的傅里叶变换性质
（3） M 部分的空间频率都不能成像在焦平面上。
如果d>0，物体在透镜前方，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱产 生一个位相弯曲。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
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第四章 标量衍射理论如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q 的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题．4.1 标量衍射理论◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A ．J ．Fresnel ，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图参见上图，设波前上任一面元dS 对场点P 贡献的次级扰动为)(p dU ，则场点的总扰动)(p U 按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为其中上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。
◆基尔霍夫衍射积分式约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在1>>kr ，即λ>>r 条件下，导出了无源空间边值定解的表达式，与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基 尔霍夫的新贡献是：(1)明确了倾斜因子2/)cos (cos ),(00θθθθ+=f ，据此，那些2/πθ>的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献．(2)给出了比例系数，λλπ//2/i e i K -=-=．(3)指出波前面(∑)并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c ） 所示．形象地说，立足于场点P 而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。
◆亥姆霍兹方程 在自由空间中电磁场),(t r E ),(t r H具有波动性，满足波动方程若以标量场),(~t r U 代表六个分量中的任一个，则波动方程表现为而定态波函数的一般形式为这意味着，定态波场中每点均作谐振动且各点频率相同．而复振幅)(~r U 是稳定的，仅与位置有关，而与时间无关．代入以上波动方程，得到人们更喜欢写成以下形式这便是经常被提到的亥姆霍兹定态波方程．据此，可以进一步确认t i ikr e Ae t r U ω-=),(~（平面波解），r ee a t r U ti ikr /),(~1ω-=（球面波解）均满足亥姆霍兹方程。
◆基尔霍夫边界条件与傍轴衍射积分公式菲涅耳提出的次波相干叠加的衍射原理，显然不是为了给山自由传播的光场，而是为了求解光通过屏障以后的衍射场．为了将衍射积分面为闭合波前转换为有限的光孔面，基尔霍夫提出了关于边界条件的假设。
参见图，取闭合面基尔霍夫提出： (1)无穷远面(∑2)上的波前对场点的贡献为零，即0)(~2=p U ．(2)光屏面(∑1)是对光的反射和吸收，其上波前函数为零，它对场点无贡献，即0)(~1=p U ．(3)只有光孔面(∑)的波前对场点有贡献，且假设其波前函数)(~'0Q U 等于无屏障时自由传播的光场)(~0Q U ，即)(~)(~0'0Q U Q U =．据此，衍射积分面便只限于光孔面(∑)，衍射积分式简化为基尔霍夫边界条件的假设，其内容的主要方面是合理和正确的，但从严格的电磁波理论审视，它有不自治和不严格之处。
比如，光屏面上的光场为零，而一旦过边缘进入光孔就有了光场，这种场的突变，是不满足电磁场边值关系的；与此相关．屏障材料或是金属或是介质。
不可能不影响光孔面上的光场分布，认为此时的光场依然是无屏降时的自由光场，这就欠妥了；还有，无穷远处那里的波前函数虽然趋于零，但其积分面也是元穷大，积分结果对场点的贡献是否为零，结论并不显然．严格的光波衍射理论应当是高频电磁场的矢量波衍射理论．严格理论下的边界情况与基尔霍夫边界条件给出的场分布的显著差别，仅局限于光孔边缘邻近区域、波长最级的范围内。
由于光波长往往远小于光孔线度，故采用基尔程夫边界条件计算远处λ>>r 区域的衍射场，与实际情况的偏差个大，实验观测也证认了这一点。
更常见的情况是在倍轴条件下求解衍射场，参见下图．设光屏面(00,y x )的坐标原点为O ，其上次波源),(00y x Q ，场点),(y x P 。
所谓傍轴条件是指倾角rad 5.0,0<<θθ，于是， 倾斜因子球面次波函数得到傍轴条件衍射积分公式，这是今后我们定量汁算衍射场的常用公式．此式表明，不同的光孔形状(∑)，或不同的瞳函数即波前函数)(~0Q U ，将造成不同的衍射场，而积分核ikre总是这个形式．至此，我们从菲涅尔提出的次波相干叠加的衍射原理出发，建立了光的标量波衍射理 论，它适用于傍油条件下自然光的衍射。
按理说，若光源发射自然光，则其波前上次波源发射的次波也是白然光，这大量的偏振结构为自然光的次波，在傍轴条件下的相干叠加，可以用标量叠加来处理，其近似程度是很好的，由此不难理解标量波衍射理论的使用条件． 4.2 衍射系统及其分类 菲涅耳衍射与夫琅和费衍射凡是使波前上的复振幅分布发生改变的物结构，统称为衍射屏．衍射屏的品种是多种多样的，有透射屏，也有反射屏；有诸如单缝、短孔、圆孔等一类中间开孔型的，也有小球、细丝、跟点、颗粒等一类中间闭光型的；有光栅、波带片等一类周期结构，也有包含景物、数码、字符等信息的黑白底片这类复杂的非周期结构，还有如透镜等一类相位型的衍射屏．以衍射屏为界，整个衍射系统分成前后两部分，如图所示．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单．常用球面波或平面波，这两种波的等相面与等幅面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射光波比较复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等相面与等幅面一般不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成衍射图样．在无成像的衍射系统中，通常按光源、衍射屏、接收屏三者之间距离的远近而将衍射(系统)分为两大类，见图所示．一类是菲涅耳衍射，指的是光源一衍射屏、衍射屏一接收屏之间的距离均为有限远，或其中之一是有限远的场合，或者说，球面波照明时在有限远处接收的是菲涅耳衍射场．另一类是夫朗和费衍射指的是衍射屏与两者的距离均是无限远的场合，或者说，平面波照明时在无穷远接收的是夫琅禾费衍射场．概略地看，菲涅耳衍射是近场衍射，而夫琅和费衍射是远场衍射．不过，在成像衍射系统中，与照明用的点光源相共轭的像面上的衍射场也是夫琅和费衍射场，此时，衍射屏与点光源或接收屏之距离在现实空间看，都是很近的．从理论上看，夫琅和费衍射显然是菲涅耳衍射的一种特殊情形，而实际上却更为人们所重视，这是因为夫琅和费射场的理论计算较为容易、应用价值又很大，而实验上又不难实现．尤其是，现代变换光学中博里叶光学的兴起，赋予经典夫琅禾费衍射以新的现代光学的意义——傅里叶光学是以夫琅和费衍射为枝杈而生长出来的．4.3单缝夫琅和费衍射◆实验装置与现家实验装置如图所示，平行光照射单缝，在透镜后焦面上接受夫琅禾费衍射场．设单狭缝的宽度a x =∆0，长度b a b y <<=∆,0，实验表明，其衍射强度显著地沿x 袖扩展．若无单缝限制波前，则入射的平行宽光束将聚焦于透镜后焦点F ’．目前应用高亮度的激光束，经准直系统后，可直接照射单缝而获得清晰的衍射图样。
◆矢量图解法——衍射强度)(θI现在，让我们分析后焦面上的衍射强度分布)(θI ，这里θ是衍射角，用以标定场点P 的位置，参见图 (a)．我们知道，像空间后焦面上的一个点对应于物空间的一个方向，即从单缝出发衍射角为θ的一束平行次波线才能会聚于P 点，发生相干叠加而决定了衍射强度．为此，将单缝从其上边A 开始，划分为一系列细缝，直至其下边B 。
每个细缝作为次波源对场点贡献一个小扰动，用一个小矢量表示；这一系列小矢量，长度相等，但取向依次变动，形成一段圆弧；这段圆弧AB 起点A 与终点B 的两条切线之夹角δ是确定的，因为它代表了A 边与B 边贡献的两个小扰动之间的相位差AB δ；而AB δ又决定于光程差，由矢量图解 (b)的几何关系，求得相干叠加的合成振幅为令：最后得单缝夫琅不费衍射场的振幅分布勺强度分布为200)sin ()(sin )(ααθααθI I A A == 这里，200A I =，而0A 是圆弧AB 被拉直了的长度，也正是—系列振动小矢量取向一致时的合成振幅，它就是等光程方向的次波束相干叠加的衍射振幅，它在公式中作为一个参考值，用以度量非等光程方向的衍射振幅．◆衍射积分法——衍射场)(~θU依据标量衍射理论，傍轴衍射积分公式为结合单缝衍射情况，具体化上式参量为①次波点源)(0x Q ，积分面元0bdx ds =，平行光正入射A x U =)(~00， ②经透镜变换，振幅系数fr 11→ 这一点稍后给出证明。
③我们要重点处理的是相位因子ikre，参见图(c)，有这里，002λπ=k ，真空中波数；λπ2=k ，介质中波数；0L 是坐标原点O 出发沿θ方向到达场点P 的光程)(0op L ，作为参考光程，它在衍射积分过程中是不变的常量，以上推演过程的实质是，引入了一个参考光程0L ，而将光程的直接计算转化为相对光程差的计算．于是衍射积分表示为其中，积分最后求得单缝夫琅禾费衍射场为其中，ab 正是单狭缝的面积，2A 表示照明平行光的光强，f 是透镜后焦距．上述结果与矢量图解法所得结果比较，两者主体部分是—致的，不过衍射积分法给出了更为丰富精细的物理内容．◆衍射图样的主要特征由****式，绘制单缝夫琅禾费衍射振幅分相与强度分布曲线于下图。
单缝夫琅禾费衍射的特征 (1)最大值．当1sin )(sin ,0===x x x c x ，为最大值．这在单缝衍射中，表现为0=θ时，衍射强度0)0(I I =，为最大值，称其为零级衍射峰，其位置正是几何光学像点位置一—等光程方位．(2)零点位置． sinc 函数存在一系列零点．当0)(sin ,,,1,0,=±±±==x c k k x π．这在单缝衍射中．表现为当衍射强度0)(=θI ，出现暗点．上式称为单缝衍射零点条件。