信息光学导论第四章

第四章 标量衍射理论

如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q 的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题．

4.1 标量衍射理论

◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式

历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A ．J ．Fresnel ，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图

参见上图，设波前上任一面元dS 对场点P 贡献的次级扰动为)(p dU ，则场点的总扰动)(p U 按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为

其中

上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。 ◆基尔霍夫衍射积分式

约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在1>>kr ，即λ>>r 条件下，导出了无源空间边值定解的表达式，

与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基 尔霍夫的新贡献是：

(1)明确了倾斜因子2/)cos (cos ),(00θθθθ+=f ，据此，那些2/πθ>的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献．

(2)给出了比例系数，λλπ//2

/i e i K -=-=．

(3)指出波前面(

∑

)并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都

可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c ） 所示．形象地说，立足于场点P 而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。

◆亥姆霍兹方程 在自由空间中电磁场),(t r E ),(t r H

具有波动性，满足波动方程

若以标量场),(~

t r U 代表六个分量中的任一个，则波动方程表现为

而定态波函数的一般形式为

这意味着，定态波场中每点均作谐振动且各点频率相同．而复振幅)(~

r U 是稳定的，仅与位

置有关，而与时间无关．代入以上波动方程，得到

人们更喜欢写成以下形式

这便是经常被提到的亥姆霍兹定态波方程．

据此，可以进一步确认t i ikr e Ae t r U ω-=),(~（平面波解），r e

e a t r U t

i ikr /),(~

1ω-=（球面波解）均满足亥姆霍兹方程。

◆基尔霍夫边界条件与傍轴衍射积分公式

菲涅耳提出的次波相干叠加的衍射原理，显然不是为了给山自由传播的光场，而是为了求解光通过屏障以后的衍射场．

为了将衍射积分面为闭合波前转换为有限的光孔面，基尔霍夫提出了关于边界条件的假设。参见图，取闭合面

基尔霍夫提出： (1)无穷远面(

∑

2

)上的波前对场点的贡献为零，即0)(~

2=p U ．

(2)光屏面(∑1

)是对光的反射和吸收，其上波前函数为零，它对场点无贡献，即

0)(~

1=p U ．

(3)只有光孔面(

∑

)的波前对场点有贡献，且假设其波前函数)(~

'

0Q U 等于无屏障时

自由传播的光场)(~0Q U ，即)(~

)(~0'0Q U Q U =．

据此，衍射积分面便只限于光孔面(∑

)，衍射积分式简化为

基尔霍夫边界条件的假设，其内容的主要方面是合理和正确的，但从严格的电磁波理论审视，它有不自治和不严格之处。比如，光屏面上的光场为零，而一旦过边缘进入光孔就有了光场，这种场的突变，是不满足电磁场边值关系的；与此相关．屏障材料或是金属或是介质。不可能不影响光孔面上的光场分布，认为此时的光场依然是无屏降时的自由光场，这就欠妥了；还有，无穷远处那里的波前函数虽然趋于零，但其积分面也是元穷大，积分结果对场点的贡献是否为零，结论并不显然．

严格的光波衍射理论应当是高频电磁场的矢量波衍射理论．严格理论下的边界情况与基尔霍夫边界条件给出的场分布的显著差别，仅局限于光孔边缘邻近区域、波长最级的范围内。由于光波长往往远小于光孔线度，故采用基尔程夫边界条件计算远处λ>>r 区域的衍射场，与实际情况的偏差个大，实验观测也证认了这一点。

更常见的情况是在倍轴条件下求解衍射场，参见下图

．设光屏面(00,y x )的坐标原点为O ，其上次波源),(00y x Q ，场点),(y x P 。所谓傍轴条件是指倾角rad 5.0,0<<θθ，于是， 倾斜因子

球面次波函数

得到傍轴条件衍射积分公式，

这是今后我们定量汁算衍射场的常用公式．此式表明，不同的光孔形状(∑

)，或不同

的瞳函数即波前函数)(~

0Q U ，将造成不同的衍射场，而积分核ikr

e

总是这个形式．

至此，我们从菲涅尔提出的次波相干叠加的衍射原理出发，建立了光的标量波衍射理 论，它适用于傍油条件下自然光的衍射。按理说，若光源发射自然光，则其波前上次波源发射的次波也是白然光，这大量的偏振结构为自然光的次波，在傍轴条件下的相干叠加，可以用标量叠加来处理，其近似程度是很好的，由此不难理解标量波衍射理论的使用条件． 4.2 衍射系统及其分类 菲涅耳衍射与夫琅和费衍射