酉变换与正交变换

第四章正交变换1

N 1
j
2 ux N
u =0,1, ,N-1
逆变换为：
2 ux j 1 N 1 f( x ) F (u )e N N u 0
x =0,1, ,N-1
第四章正交变换
9
傅里叶变换（离散）
二维离散傅里叶变换对于二维傅里叶变换，其离散形式为：
ux vy F (u, v) f ( x, y) exp j 2 M N x 0 y 0
第四章正交变换
2
傅里叶变换
酉变换若A为复数矩阵，正交的条件为：
其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵。对于任意向量的运算称为酉变换：
第四章正交变换
3
傅里叶变换（连续）
傅里叶变换定义
狄里赫莱条件：有限个间断点；有限个极值点；绝对可积。一维傅里叶变换 F (u) f ( x)e j 2ux dx
2
如果某一节点为 xl (k ) ，那么，它的对偶节点为
N xl k l 2
l是表明第几次迭代的数字，k是序列的序号数，N是序列长度。
第四章正交变换 34
傅里叶变换（离散）
例：如果序列长度N=8，求 x2 (1)的对偶节点。利用上式可得：
N 8 xl k l x2 1 2 x2 (3) 2 2 x2 (1) x1 (1) W80 x1 (3)
M 1 N 1
1 逆变换为：( x, y) f MN 幅度谱、相位谱为：
M 1 N 1
(ux vy) F (u, v) exp j 2 N u 0 0
第四章正交变换
10
傅里叶变换（离散）

酉矩阵和正交矩阵的性质和应用

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）;2) ),(),(βαβαk k =（线性）;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔10000100001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔10000100001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦A A A A A A A A ''-⎫=⎪''-⎭20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121s i E A A i ,,1, =='⇔s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。

基本图像变换

3. 2-D可分离变换的计算
N 1 N 1
T (u,v) f (x, y)h1(x,u)h2 ( y,v) x0 y0
u,v 0,1,2, , N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
N 1
T (x,v) f (x, y)h2 ( y,v)
x,v 0,1,2, , N 1
BTB BAFAB
如果B=A-1,则：F BTB
如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：Fˆ BAFAB
利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余和操作次数。
在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩阵，相应的变换为正交变换。
3.1 傅立叶变换
3.2 离散余弦变换
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转换方法就被称为图像变换技术。
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或逆变换。
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1
T (u) f (x)h(x,u) x0
u 0,1,2, , N 1
T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变
换可以表示为：
C(u) a(u)exp[ ju /(2N)][g(x)] u 0,1,2, , N 1
其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：

酉空间及其重要的线性变换

酉空间及其重要的线性变换酉空间定义1设V是复数域C上的一个向量空间．若V中任意一对向量α，β，有一个确定的复数<α,β>与它们对应，叫做α与β的内积，并且对于∀α，β，γ∈V，k∈C，以下条件成立：1)〈α,β〉=〈αβ,〉，〈αβ,〉是〈β,α〉的共轭复数；2)〈α+β,γ〉=〈α,γ〉+〈β,γ〉；3)〈kα,β〉=k〈α,β〉；4)〈α,α〉是非负实数，并且当α≠θ时〈α,α〉＞0，则称V对于这个内积是一个酉空间．例1在C n里，对于任意两个向量α= (x1，…，x n)，β= (y1，…，y n)，规定，〈α,β〉=n n y x+yx+11则C n对于这个内积作成一个酉空间．设V是一个酉空间．由定义可以直接推出，〈α,β＋γ〉=〈α,β〉＋〈α,γ〉；(1)〈α,k β〉=k 〈α, β〉 ,k是k 的共轭复数；(2)〈α, θ 〉=〈θ , α〉=0． (3)由(1)和(2)，设∀αi ，βj ∈V ，a i ，b j ∈C ，i =1，…，m ；j =1，…，n ，则 j i m i n j j i n j j j mi i i b a b a βαβα，，∑∑∑∑=====1111． (4)因为对于∀α∈V ，〈α, α〉是一个非负实数，所以在酉空间V 中，可以像Euclid 空间那样，定义向量α的长度为|α| =αα,．这样，V 中任意非零向量的长度总是一个正实数，长度是1的向量称为单位向量．显然，∀k ∈C ，α∈V ，都有||||||ααk k =． (5) 在一个酉空间中，Cauchy-Schwarz 不等式仍然成立．设∀α，β∈V ，则2βα，≤ββαα，，， (6)当且仅当α与β线性相关时等号成立．在一个酉空间中，内积一般是一个复数，因此不能像Euclid空间那样，合理地定义两个非零向量的夹角，但是仍然可以定义两个向量正交的概念．酉空间中两个向量α与β说是正交的，若〈α,β〉= 0．在一个酉空间里，同样可以定义正交组和标准正交组的概念．酉空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组．若一个正交组的每一个向量都是单位向量，则称这个正交组是一个标准正交组．定理1在酉空间里仍然成立．在一个有限维酉空间V中，同样可以定义正交基和标准正交基的概念．Gram-Schmidt正交化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且对于V的任意一个基，可以通过正交化方法将它化为标准正交基．设W是酉空间V的一个有限维子空间，令W⊥={α∈V|〈α,β〉=0，∀β∈W}．则W⊥也是V的子空间，叫做W的正交补．与定理9.3.2相平行，我们有V=W⊕W⊥．(7)与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵．设U =(u ij )nn ∈M n (C )，记nn ij u U )(=(ij u 是u ij 的共轭复数)，U U H '=．定义2 一个n 阶复矩阵U 叫做一个酉矩阵，若n I U U UU H H ==．定理2 n 维酉空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵．2 酉变换与对称变换在酉空间中，与Euclid 空间的正交变换相平行的概念是酉变换．定义3 酉空间V 的一个线性变换σ叫做一个酉变换，若对于∀α，β∈V ，都有〈σ(α),σ(β)〉= 〈α, β〉．与定理9.4.2相平行，我们有定理3 设σ是n 维酉空间的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是酉变换；2)若α1，…，αn 是V 的一个标准正交基，则σ(α1)，…，σ(αn )也是V 的一个标准正交基；3)σ在V的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵．进而介绍酉空间的对称变换，引入定义4酉空间V的一个线性变换σ叫做一个对称变换，若∀α,β∈V，都有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β) 〉．定义5设A∈M n( C)．若A H=A，则称A是一个Hermite矩阵．显然，实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形．与定理9.5.1和9.5.2相平行，我们有定理4设σ是n维酉空间V的一个线性变换，则σ是对称变换，当且仅当σ在V 的任意标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵．对称变换和Hermite矩阵还有以下性质．定理5设σ是n维酉空间的一个对称变换，那么1)σ的特征值都是实数；2)σ的属于不同特征值的特征向量彼此正交；3)存在V 的一个标准正交基，使得σ在这个基下的矩阵是实对角矩阵．证我们只证1)，其余的证明留给同学们完成．设λ∈C 是σ的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量．则ααλλααασααασαλαααλ,,)(,),(,,=====．因为〈α, α〉≠0，所以必须λλ=，即λ是实数．定理6 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，则存在一个n 阶酉矩阵U ，使得U H AU =U－1AU 是一个实对角矩阵，即任意Hermite 矩阵都“酉相似”于一个实对角矩阵． 3 Hermite 型在§1中，我们已经阐述了n 维Euclid 空间的度量矩阵．类似地，我们来看酉空间V 中的内积．在V 中取一个基nαα,,1 ，构造矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A αααααααααααααααααα,,,,,,,,,212221212111 ， (8)这个矩阵是由酉空间V 中的内积以及基n αα,,1 唯一决定的，叫做V 的基n αα,,1 的度量矩阵．由于A 的(i ，j )元素是j i αα,，而A H 的(i ，j )元素是i j αα,=j i αα,，所以A H =A ．这表明，酉空间V 的内积在V 的任意一个基下的度量矩阵A 是Hermite 矩阵．设A =(a ij )nn ，∑∑==ii i i y x αβαα,，则 ∑∑∑∑∑∑===i j i j j i ij j i j i j jj i i i y x a y x y x ),(,,ααααβα， (9)特别地，当β=α时，有∑∑=i j ji ij x x a αα,．定义6 n 个复变量x 1，…，x n 的表达式∑∑=i j ji ij n x x a x x f ),,(1 ， (10)其中a ji =ij a ，叫做一个n 元Hermite 型；矩阵A =(a ij )nn 称为Hermite 型f (x 1，…，x n )的矩阵，它是一个Hermite 矩阵．设X '=(x 1，…，x n )，则Hermite 型(10)可写成 ∑∑=i j H ji ij AX X x x a ． (11)因此，酉空间的内积与Hermite 型有着密切的联系．由于Hermite 型(10)的矩阵是Hermite 矩阵，因此AX X X A X AX X AX X AX X H H H H ==''='=)(．这表明X H AX 总是实数．再注意到上述定理，知道n 阶Hermite 矩阵A 酉相似于一个实对角矩阵D =diag{d 1，…，d n }，即存在一个酉矩阵U ，使得U －1AU =D ．令X =UY ，其中Y '= (y 1，…，y n )，则X H AX =Y H U H AUY =Y H U－1AUY =Y H DY =n n n y y d y y d y y d +++ 222111．(12) 这证明了定理7 对于Hermite 型f (x 1，…，x n )=XH AX ，存在酉线性替换X ＝UY (即U 是酉矩阵)，使得f (x 1，…，x n )=nn n y y d y y d ++ 111，(13)其中d 1，…，d n 是A 的全部特征值，它们都是实数．定义7 若对于∀α∈C n ，且α≠0，都有αH Aα＞0，(14) 则称X H AX是一个正定Hermite型．一个正定Hermite型X H AX的矩阵A称为正定Hermite矩阵．正定Hermite矩阵与第五章§4所说的实正定矩阵有相平行的结果，即定理8设A是一个n阶Hermite矩阵，则下列陈述彼此等价：1)A是正定Hermite矩阵；2)对于任意n阶复可逆矩阵P，P H AP 是正定Hermite矩阵；3)A的特征值全大于零；4)存在n阶可逆复矩阵P，使P H AP=I n；5)A可以分解成Q H Q，其中Q是n阶可逆复矩阵；6)A的所有顺序主子式全大于零．证1)⇒2) 任取α∈C n，且α≠0，则Pα≠0．因为A是正定Hermite矩阵，所以αH (P H AP)α=(Pα)H A(Pα)＞0．因此P H AP是正定Hermite矩阵．2) ⇒3) 由假设，A 是Hermite 矩阵．于是存在酉矩阵U ，使U －1AU =diag(n λλ，， 1)＝D其中λi 是实数，i =1，…，n ．由假设，U －1AU是正定Hermite 矩阵，由此推出e i H De i >0，即λi ＞0，i =1，…，n ．3) ⇒4) 因为A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵U ，使得U －1AU =diag(n λλ，， 1)其中λi >0，i =1，…，n ．令Q =diag(n λλ,,1 )则 U －1AU =QQ ，从而Q －1U －1AUQ －1=I n ．令P =UQ －1，则P H =(UQ －1)H = Q －1U H = Q －1 U －1．于是P H AP =I n ．4) ⇒5) 由假设P H AP =I n ，于是A =(P H )－1P －1．令Q =P －1，则11111)()()()()(-----='='='==H H H P P P P P Q 所以A =Q H Q ．5) ⇒1) 设A =Q H Q ，其中Q 可逆．任取α∈C n 且α≠0，有ααααQ Q A H H H =．设)()(1n c c Q ，， ='α，则22111n n n c c c c c c A H ++=++= αα＞0．所以A 是正定的Hermite 矩阵．1)⇔ 6)。

图像的正交变换.

g (3)
x(2)

g(N
)
g(N 1)

g(1) x(N )
• 对于一个线性系统，对于输入信号矢量
与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交
的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，
则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉
矩阵。
若一组向量集合
a11
•
for(int fi=0;fi<fftWidth;fi++) {
•
fRData[fi]=0; fIData[fi]=0;
•
}
•
for(DWORD j=0;j<fftWidth;j++){
•
fRData[j]=ptrRData[i+j*fftWidth];
•
fIData[j]=ptrIData[i+j*fftWidth];
一般用“*”表示卷积，写为：y(t) g(t) * x(t)
卷积的离散形式为: y(i) g(i) * x(i) g( j)x(i j)
j
卷积的矩阵形式为: g(1) g(N ) g(2) x(1)
y(i)

g(i) *
x(i)

G

x

g (2)

g (1)
F(u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
N 1
f (x) F(u) exp j2ux / N u0
其中：x 0,1,2, N 1 0,1,2, N 1
F(u) F(uu) u 0,1,2,, N 1

第3章图像处理中的正交变换

3. 周期性傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：
F(u,v)=F(u+N,v)= F(u,v+N)=F(u+N,v+N) (3-24)
周期性表明：尽管F(u,v）对无穷多个u和v的值重复出现，但只要根据任意周期内的N个值就可以从F(u,v）得到f(x,y)。即只需一个周期内的变换就可以将 F(u,v）完全确定。对于f(x,y)在空间域里也同样成立。
1 M 1N 1 ux vy f ( x, y ) = ∑ F (u, v) exp j 2 M + N ∑ MN u=0 =0 x = 0,1,2,, M 1 y = 0,1,2,, N 1
(3—15)
在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是 M N 。因此，二维离散傅里叶变换多采用下面两式形式。
(3—17) 式中符号 F (u , v) 可称为空间频率。
a) 原始图像
b) 离散傅立叶频谱
图3-5 二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
在图3-5b中可以看到图像的低频能量（反映景物的概貌）都集中在中心部分，而高频能量（反映景物的细节）集中在四周，这样就便于以后对图像频谱进行各种处理（如滤波、降噪等）。
4. 共轭对称性
如果
F (u , v)
是
f ( x , y ) 的傅里叶变换， * (u,v) F
是 f ( x , y ) 傅里叶变换的共轭函数，那么
F (u, v) F * (u,v)
（3－25）
5. 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.可分离性式（3－16）和（3－17）可以分离成如下形式：

2-4 酉(正交)变换与正交投影

P 2 UU H）（UU H ) U (U H U )U H UU H P （
H P H UU H） UU H P （充分性。因为E=P+(E-P) 到R(P)的正交投影 P是酉空间Cn ，所以
x C n , x Px ( I P ) x
C n R( P ) R( I P )
重点：施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
正交投影；酉变换；算子范数；相容性
难点：正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
☆
在第一章中，我们看到线性空间上的线性变换是能够保持向量的加法与数乘两种运算的变换
☆ 那么到了酉（欧式）空间中，这种线性变换是否能保持向量的度量性质的不变呢？ ☆ 由于度量性质是由内积定义的，所以接下来研究保持内积不变的酉（正交）变换。
2 解答 (1) 因为L的标准正交基是 5
P 2 5 2 1 5 5 4 1 5 2 5 5 2 5 1 5
1 1
的正交投影。
1 5
T
(2)
4 5 PL：PL ( x ) Px 2 5
PL2 ( x ) PL ( x1 ) x1 PL ( x )
作为线性变换，经常称正交投影在自然基底下的矩阵为正交投影矩阵，记为P, 不发生混淆的情况下，也称为正交投影。正交投影记为 PL：PL ( x ) Px
定理3 设PL是酉空间Cn到L正交投影， u1，u2 , , ur
第二章内积空间与赋范线性空间
1 2
欧氏空间与酉空间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间酉(正交)变换与正交投影向量范数与矩阵范数向量范数与矩阵范数的相容性

酉(正交)变换

P = PL
2 L
Department of Mathematics
Department of Mathematics
化成正交向量组 β 1 , β 2 ,L , β m .
β 1 = α1 , β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) β 1
(β1 , β1 ) (β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
M
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二. 正交投影定义: 设酉（欧氏）定义设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M , 的线性变换， ∀x ∈ V , x = x1 + x 2 , T 为 V 的线性变换， x1 ∈ L, x2 ∈ M , 有：T ( x ) = x 1 正交投影,记为则称 T 为 V 到 L 的正交投影记为 PL 性质1 性质性质2 性质正交投影是线性变换是酉（欧氏）设 PL 是酉（欧氏）空间 V 到 L 的正交投影，投影，则：
5, n维欧氏空间V的子空间满足的子空间W满足维欧氏空间的子空间满足: i) (W ⊥ )⊥ = W
dimW + dimW ⊥ = dimV = n ii)
iii) W ⊕ W = V 必是W的余子空间的余子空间. ⅳ) W的正交补 W ⊥必是的余子空间的正交补
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2．维欧氏空间的每个子空间 V1 都有．维欧氏空间V的每个子空间 n 唯一正交补. 唯一正交补 3. 两两正交的子空间的和必是直和．两两正交的子空间的和必是直和．

酉矩阵和正交矩阵

网卡驱动网站/link/44/435505.shtml对称变换且σ的特征根均为±1.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由引理1可知:σ的特征根均为±1,再由定理1的必要性可知:σ为对称变换.充分性:因对称变换σ的特征根均为±1,所以由文[1]定理8.4.5知:存在V的一个标准正交基,使σ在此基下的矩阵为对称阵 A =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是A2= I,由文[1]定理7.3.3知:σ2= l,再由引理3知:σ为正交变换,故σ是一个可对角化的正交变换.例1 设V是一个n维欧氏空间,η是V中的一个单位向量,定义V的变换σ如下:σ(α) =α-2〈η,α〉η, (α∈V).试证:σ2= l且σ是一个可对角化的正交变换.证法1 易证:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,所以由定理3可知:σ是一个可对角化的正交变换.证法2 易证σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉,于是由定理4可知:σ是一个可对角化的正交变换.证法3 易证α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,于是由定理5可知:σ是一个可对角化的正交变换,再由定理2知:σ2= l. 证法4 易证α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,于是由引理3与定理5可知:σ2= l且σ是一个可对角化的正交变换.证法5 易证α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.于是由文[5]中定理1可知:σ为V的对称变换,又由σ的定义易知:σ的特征根均为±1,所以由定理6可知:σ为一个可对角化的正交变换,再由定理2可知:σ2= l. 相应地,关于正交矩阵可对角化的判定条件有:引理4 若n阶正交矩阵A的特征根均为实数±1,则存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).证明参见文[2]380~381页此处从略.定理7 设A为n阶正交矩阵,则A可对角化的充要条件是:A的特征根均为实数±1.证明必要性:因为A可对角化,所以由文[1]推论7.6.6知:A的特征根均为实数,又A为正交变矩阵,所以由引理1可知:A的实特征根只能为±1.充分性:由引理4知显然成立.定理8 设A为n阶实矩阵,则A是一个可对角化的正交矩阵的充要条件为:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).证明必要性:因为正交矩阵A可对角化,所以由定理7知:A的特征根均为实数±1,于是由引理4知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).充分性: 因有n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).所以A可对角化且 A = Tdiag(-1,…,-1,1,…,1)T-1,又由对角阵diag(-1,…,-1,1,…,1)为正交阵及正交阵之逆与正交阵之积均为正交阵可知:A为正交阵,故A是一个可对有化的正交阵.定理8是对文[2]中380页定理2的推论以及对文[3]中定理2(2)的完善与推广.39第18卷第1期袁辉坪:关于正交变换可对角化的充要条件σ(α),σ(β)〉-〈α,β〉=0,由β的任意性,取β=σ2(α)-α,则〈β,β〉=0,所以β=0,即σ2(α) =α,故σ2= l.(i),(iii) (ii):由条件, α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈σ(α),l(β)〉=〈σ(α),σ2(β)〉=〈(α),σ(β)〉.(ii),(iii) (i):由条件, α,β∈均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,σ2(β)〉=〈α,l(β)〉=〈α,β〉.引理3是文[1]中336页习题1的推广.定理1 设σ为n维欧氏空间V的一个正交变换,则σ可以对角化的充要条件是:σ为对称变换.证明必要性:因正交换σ可对角化,则由引理1,存在V的一个标准正交基{γ1,…,γn},使σ关于此基的矩阵为n阶对角阵A =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是A’= A,由文献[1]定理8.4.5知:σ为对称变换.充分性:因σ为正交变换,所以由引理1知:σ的特征根均为±1,又σ为对称变换,故由文[1]定理8.4.5知:σ关于V的某标准正交基的矩阵为对角形矩阵diag(-1,…,-1,1,…,1),即σ可对角化.定理2 设σ为n维欧氏空间V的一个正交变换,则σ可对角化的充要条件是:σ2= l.证明:必要性:因正交变换σ可对角化,所以由引理1知,必有V的一个标准正交基使σ关于此基的矩阵为对角阵A =diag(-1,…,-1,1,…,1)于是A2= I,由文[1]定理7.3.3知:σ2= l.充分性:因σ为正交变换且σ2= l,所以由引理3知:σ为对称变换,故σ可对角化.定理3 n维欧氏空间V的变换σ是一个可对角化的正交变换的充要条件是:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由定理2的必要性知:σ2= l,又由定理1的必要性知:σ为对称变换,即α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.充分性:由条件及引理3知: α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉,于是由引理2可知:σ为正交变换,故由定理2的充分性知:σ是一个可对角化的正交变换.定理3是文[3]中定理1的推广.定理1,定理2分别削弱了文[3]中定理1的条件.定理4 设σ为n维欧氏空间V的变换;则σ是一个可对角化的正交变换的充要条件是:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由定理3知:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,于是由引理3知: α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉.充分性:由条件及引理3可知: α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,再由定理3可知:σ是一个可对角化的正交变换.定理5 设σ为n维欧氏空间V的变换,则σ是一个可对角化的正交变换的充要条件是: α,β∈V均有〈σ(α)、σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由正交变换的定义及定理3可知: α,β∈V均有〈σ(x),σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉. 充分性:由条件及引理3可知:σ2= l,再由定理3可知:σ是一个可对角化的正交变换.定理6 设σ为n维欧氏空间V的变换,则σ是可对角化的正交变换的充要条件是:σ38四川师范学院学报(自然科学版) 1997年正交变换是欧氏空间中一类重要的线性变换,也是高等代数的重要研究对象之一.它在解析几何与高等几何中经常应用.因而探究正交变换何时可以对角化,便是一项很有意义的工作.张远达教授、张慧敏、张宪君等先生对此都曾作过一些研究,笔者在此基础上作了进一步的探索,又获得了一些新的结果.本文术语及符号同文献[1].引理1[3] 正交变换的特征根等于±1.引理2[4] 设σ为欧氏空间V的一个变换,若α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉= c〈α,β〉(c为实数),则σ为V的线性变换.特别,当c =1时,σ为V的正交变换.引理3 设σ为欧氏空间V的一个变换,若α满足下列3个条件中的任意两个,那么它必然满足第3个:(i) α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉;(ii) α,β∈均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉;(iii)σ2= l(l为V中的单位变换,下同).证明(i),(ii) (iii):因为α,β∈V均有〈σ2(α)-α,β〉=〈σ2(α),β〉-〈α,β〉=收文日期1996-04-20.定理9 设A为n阶正交矩阵,则A可对角化的充要条件是:A为实对称矩阵.证明必要性:因为n阶正交矩阵A可对角化,所以由定理8知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),所以由T’AT = (T’AT)’= T’A’T有A’= A,即A为实对称矩阵.充分性:显然成立.定理10 设A为n阶正交矩阵,则A可对角化的充要条件为:A2= I. 证明必要性:因n阶正交矩阵A可对角化,所以由定理8知:存在n 阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是T-1A2T =(T-1AT)(T-1AT)= I,故A2= I.充分性:因A为正交阵,所以A-1= A’,又A2= I,因而A = A-1= A’,即A为实对称阵,故A可对角化.定理11 设A为n阶实矩阵,则A是一个可对角化的正交矩阵的充要条件为:A’= A且A2= I.证明必要性:因为n阶正交矩阵A可对角化,所以由定理9的必要性知:A’= A,又由定理10的必要性可知:A2= I.充分性:因为A为实对称矩阵,所以A可以对角化,又由A’= A且A2= I知:A-1=A = A’,即A为正交矩阵,故A是可对角化的正交矩阵.定理9~11是对文[3]中定理2(1)的修正与推广.定理12 设A为n阶实矩阵,则A是一个可对角化的正交矩阵的充要条件为:A’= A且A的特征根均为实数±1.证明必要性:因为n阶正交矩阵A可对角化,由定理8知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是T’AT = (T’AT)’= T’A’T且A~diag(-1,…,-1,1,…,1),因而A’= A且A的特征根均为±1.充分性:因为n阶实对称矩阵A的特征根均为实数±1,所以由文[1]定理8.4.6知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是T-1A-1T =(T-1AT)-1= T-1AT = (T’AT) = (T’AT) = T’A’T = T-1A’T,从而A-1= A’,即为A的正交矩阵,故A是一个可对角化的正交矩阵.关于可对角化的正交矩阵的特征向量有定理13 设n阶正交矩阵A的特征根均为1或-1,其重数分别为t1,t2,则I-A(或-I- A)中任意t2(或t1)个线性无关的列向量便是A的属于特征根-1(或1)的极大无关的特征向量组.证明因为n阶正交矩阵A的特征根均为1或-1,其重数分别为t1,t2,所以t1+t2= n,且由定理7知:A可对角化,于是由文[1]推论7.6.6有:n-秩(I-A) = t1,n-秩(-I-A)= t2且由定理10有:A2= I,因而秩(I-A)+秩(-I-A)n且(I-A)(-I-A)=0,所以n阶矩阵-I- A的列向量均为n元齐次线性方程组(I- A)X =0的解向量,故-I-A中t1= n-秩(I-A) =秩(-I-A)个线性无关的列向量便是正交矩阵A的属于特征根1的极大无关的特征向量组.同理可证:I-A中t2个线性无关的列向量便是A的属于特征根-1的极大无关的特征向量组.定理1的证明1) (必要性)设2阶正交矩阵A=a11 a12a21 a22, 由AA′=E2=E′2=A′A得a112+a122=a112+a212=a212+a222=a122+a222= 1 (1)由(1)得a112=a222,a122=a212, (2)-1 aij 1,i,j=1, 2令a11=a,由(1)和(2)得a12=±1-a2,a22=±a,由引理1知 A =a11a22-a12a21= 1或-1,1°当 A =1时,a22=a,a12=-a21= 1-a2或a22=a,a12=-a21=- 1-a2,A为型(i)或(ii).2°当 A =-1时,a22=-a,a12=a21=1-a2或a22=-a,a12=a21=- 1-a2,A为型(iii)或(iv).(充分性)无论A为型(i), (ii), (iii),(iv)中何型,均有AA′=E2,因此A为正交矩阵.2) (必要性)A是正交矩阵,由引理1知 A=1或-1,由引理2得AA*=±En=±AA′,因此A*=±A′,所以Aij=aij(或Aij=-aij).(充分性) 1°当Aij=aij时,A*=A′,由引理2AA′=AA*= A En,∑nj=1aijakj=A i=k0 i≠k,i,k=1, 2,…,n,于是 a =∑nj=1aij2,i=1, 2,…,n,由A非零知至少有一aij ≠0,因此 A >0,由AA′= A En两边取行列式并注意到 A′ = A 得 A 2= A n,从而 A n-2=1,由n>2和 A >0得 A =1,于是有AA′=En,A为正交矩阵.2°当Aij=-aij时,A*=-A′,与1°同理可得A =-1,于是有AA′=-AA*=- A En=En,A为正交矩阵.定理1证毕.定理2的证明(必要性)A是n阶正交矩阵,由AA′=En得A′=A-1,由引理3知对任意n阶矩阵B,Tr (ABA′) =Tr(B).(充分性)取Bij=Eij,Eij为位于第i行第j列位置上的元素为1,其余元素为零的n阶矩阵,那么Tr(Bij) =1 i=j0 i≠j,i,j=1, 2,…,n. 记n×1矩阵1┇=e1,1┇=e2,…,┇1=en,那么Bij=Eij=eie′j,i,j=1, 2,…,n.记A的n个列为α1,α2,…,αn,则A按列分块为A= (α1,α2,…,αn),且αi=Aei,i=1,2,…,n,此时ABijA′=Aeie′jA′= (Aei) (Aej)′=αiα′j,Tr(ABijA′) =Tr(αiα′j)由引理4知Tr(αiα′j) =Tr(α′jαi),由α′jαi是1阶矩阵得Tr(α′jαi) =α′jαi.α′jαi=Tr(ABijA′) =Tr(Bij) =1 i=j0 i≠j,i,j=1, 2,…,n.A′A=α′1α′2┇α′n(α1,α2,…,αn)=1 0 00 1 0……………0 0 (1)=En因此A-1=A′,AA′=En,A为正交矩阵.定理2证毕.注:如在定理1的(1)中采用三角式,记a=sinθ,则1-a2= cosθ ,由sinθ=sin (π-θ)和-cosθ=cos (π-θ)可得:推论2阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A=sinαcosα-cosαsinα或A= 32数学通报1997年第8期。

正交变换

正交变换设M是对称矩阵， P是正交矩阵， N=P^tMP 称为 M的正交变换。

（正交矩阵的定义为：P.P^t = I）正交变换既是相似变换，也是相合变换。

正交变换不改变M的特征值。

正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。

则有：它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.采用OpenCV进行人脸识别一、实现原理本程序的实现方法请参看《face recognition using an embedded HMM》。

二、开发工具1、OpenCV视觉开发库2、MFC三、程序运行1、主界面主界面包括识别区域和结果区域。

如下：2、参数设置（Set Params）u状态数的设置，默认为5个超态，从上到下分别代表前额（3），眼睛（6），鼻子（6），嘴巴（6），下巴（3）u观察向量2D-DCT：包括观察向量大小（OBS），DCT大小和Delta大小u最大迭代次数，默认为80u混合高斯次数，默认为33、人员管理（Per Manage）人员管理界面如下：u添加人员信息：输入人员信息具有Name与NO属性，NO不可重复。

u删除人员信息：在人员列表中选择要删除的人员，然后进行删除，人员信息删除后，包括人员的图片也进行删除，该人员也不在识别范围内。

u添加人员图片：一个人可以多张图片，点击要添加的人员，可以通过此按钮添加图片。

添加前最好在.. \HMM\××文件夹里（××表示该人员名称）。

u删除人员图片：点击要删除的图片，按“Del Image”按钮进行删除，图片删除后只是该图片不在训练的区域。

酉矩阵——精选推荐

⾣矩阵正交矩阵、正规矩阵和⾣矩阵在数学中，正规矩阵是与⾃⼰的共轭转置交换的复系数⽅块矩阵，也就是说，满⾜其中是的共轭转置。

如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。

矩阵的正规性是检验矩阵是否可对⾓化的⼀个简便⽅法：任意正规矩阵都可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵，反过来所有可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵的矩阵都是正规矩阵。

在复系数矩阵中，所有的⾣矩阵、埃尔⽶特矩阵和斜埃尔⽶特矩阵都是正规的。

同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

两个正规矩阵的乘积也不⼀定是正规矩阵⾣矩阵n阶复⽅阵U的n个列向量是U空间的⼀个标准正交基，则U是⾣矩阵(Unitary Matrix)。

⼀个简单的充分必要判别准则是：⽅阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是⾣矩阵。

即⾣矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。

⾣⽅阵在量⼦⼒学中有着重要的应⽤。

⾣等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。

若⼀ n ⾏ n 列的复矩阵U满⾜其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为⾣矩阵或译⼳正矩阵。

即，矩阵U为⾣矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。

若⾣矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。

与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，⼳正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶⽅阵，则下列条件等价：1.是⾣矩阵2.是⾣矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的⼀组正交基4.的⾏向量构成内积空间C n上的⼀组正交基⾣矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平⾯的单位圆上，因此⾣矩阵⾏列式的值也为1。

⾣矩阵是正规矩阵，由谱定理知，⼳正⾣矩阵U可被分解为其中V是⾣矩阵，Σ是主对⾓线上元素绝对值为1的对⾓阵。

对任意n，所有n阶⾣矩阵的集合关于矩阵乘法构成⼀个群。

性质U可逆U 1 = U*|det(U)| = 1U*是⾣矩阵正交变换最初来⾃于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部运动的动能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,由⼒常数的数学表达式可以知道fij = fji因⽽矩阵为⼀个正交变换通过⾣变换可以把矩阵变形成为对⾓矩阵的形式：。

正交变换论文

其中b≠0是实数，U是正交矩阵，
则有
关于该基的矩阵是U
那么
是正交变换
设，
于是
根据定理3有
σ是次正交变换
命题②得证。
结论
本文通过对正交变换相关概念的介绍，逐步总结出正交变换的几个等价条件。并对这些等价条件进行了理论推导证明。文末还对正交变换进行了理论推广证明。这就是本文创新之处。
参考文献：
[1]邱乾恒关于正交变换的几个问题庆阳师专学报1994年第2期
证明：充分性：
因是确定的实数，是正交变换
则，有
故σ是次正交变换。
必要性：
因σ是次正交变换，则有，a是一确定的正实数，不难看出满足
所以是正交变换
设，可以得出
其中a是正实数，是正交变换。
得证。
定理4设，则有
①如果σ是次正交变换，则σ关于任意标准正交基的矩阵是，这里b≠0是实数，U
是正交矩阵。
故由(1)←→(2)的证明，σ是V的一个正交变换。
得证。
注记：欧式空间的保长度变换不一定是正交变换。例如，在欧式空间R2中，定义
则σ是R2的一个保长度变换。但因
之故，，从而σ不是R2的正交变换。
V的保夹角变换也不一定是正交变换，例如
是V的一个保夹角变换。但σ是不保长度变换，所以不是正交变换。
(1)←→(4)的证明
所以
故σ不是线性变换，因而不是正交变换。
（2）欧式空间V上的一个变换σ满足什么条件才能是正交变换？
对于这个问题已经有若干结论，列举如下：
定理1：欧式空间V上一个变换σ是正交变换的充分必要条件是对任意，都有成立。
定理2：欧式空间V上一个变换σ是正交变换的充分必要条件是对任意成立。

酉矩阵和正交矩阵的性质和应用

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）;2) ),(),(βαβαk k =（线性）;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔10000100001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔10000100001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦A A A A A A A A ''-⎫=⎪''-⎭20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121s i E A A i ,,1, =='⇔s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。

矩阵的酉变换和正交矩阵

矩阵的酉变换和正交矩阵矩阵是数学中的一个重要概念，它可以描述对象之间的关系，包含大量的信息。

而矩阵的变换则是矩阵的另一种重要表现形式。

在矩阵变换中，酉变换和正交矩阵是两个相对重要的概念。

一、什么是酉变换和正交矩阵？1. 酉变换酉变换是指在复向量空间中的变换，保持向量的内积不变，并且满足力方程U*U^H=I，其中U^H为U的共轭转置，I为单位矩阵。

酉变换可以理解为复数的旋转和反射。

2. 正交矩阵正交矩阵是指在实向量空间中的变换，保持向量的内积不变，并且满足力方程A^TA=AA^T=I，其中A^T为A的转置，I为单位矩阵。

正交矩阵可以理解为向量的旋转和反射。

二、酉变换和正交矩阵的性质1. 酉变换的性质（1）酉变换保持向量的长度和夹角不变。

（2）酉变换的逆也是一个酉变换。

（3）酉变换是一个线性变换。

（4）酉变换的特征值的模长都为1。

2. 正交矩阵的性质（1）正交矩阵的行和列都是单位向量。

（2）正交矩阵的逆等于它的转置。

（3）正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。

（4）正交矩阵的行列式的值为1或-1。

三、酉变换和正交矩阵的应用1. 酉变换的应用（1）在量子力学中，酉变换是描述粒子状态演化的一种重要方法。

（2）在数字信号处理中，酉变换可以用于将时域信号转换为频域信号。

（3）在图形图像处理中，酉变换可以用于图像的压缩和减噪。

2. 正交矩阵的应用（1）在计算机图形学中，正交矩阵可以用于描述物体的旋转、平移和缩放。

（2）在最小二乘法中，正交矩阵可以用于描述线性回归的问题。

（3）在通信中，正交矩阵可以用于多输入多输出天线系统的优化。

四、酉变换和正交矩阵的联系和差异酉变换和正交矩阵都是保持向量内积不变的变换。

它们在数学上很相似，但是其定义域和值域不同，酉变换是复向量空间到复向量空间的变换，而正交矩阵是实向量空间到实向量空间的变换。

此外，酉变换的特征值的模长都为1，而正交矩阵的特征值只有1和-1。

五、总结酉变换和正交矩阵作为数学中的两种变换，都具有重要的应用价值。

第四章正交变换1

酉矩阵和正交矩阵的性质和应用

基本图像变换

酉空间及其重要的线性变换

图像的正交变换.

第3章 图像处理中的正交变换

2-4 酉(正交)变换与正交投影

酉(正交)变换

酉矩阵和正交矩阵

正交变换

酉矩阵——精选推荐

正交变换论文

酉矩阵和正交矩阵的性质和应用

矩阵的酉变换和正交矩阵

第3章图像处理中的正交变换