有限元--动力学
有限元分析-动力学分析PPT课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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ห้องสมุดไป่ตู้
求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
动力学有限元
6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为：
C K M Q
代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
六、-动力学问题的有限元法
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动 特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应 分析；响应谱分析等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离 散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构 最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发 散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而 不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思 想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量 矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果 相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提 高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
有限元分析-动力学分析
1.为何傅里叶变换要换成正弦函数余弦函数这样的三角级数？ 2. 谐振运动的特征是什么？谐振运动有阻尼存在吗？
梁结构瞬态动力学分析实例
A steel beam of length and geometric properties shown in Problem Specifications is supporting a concentrated mass, m. The beam is subjected to a dynamic load F(t) with a rise time tr and a maximum value F1. If the weight of the beam is considered to be negligible, determine the time of maximum displacement response tmax and the response ymax. Also determine the maximum bending stress σbend in the beam.
谱分析
谱分析是一种将模态分析结果与已知的谱分析联系起来的 计算位移和应力的分析技术。它主要用于时间历程分析，以 便确定结构在任意时间变化载荷下的动力学响应，简单而言 就是载荷的谱不再是简谐运动。
简支梁的两端作垂直运动，也就是地震时的作用，确定其 响应频率。
梁对地基地震时的谱分析
A simply supported beam of length , mass per unit length m, and section properties shown in Problem Specifications, is subjected to a vertical motion of both supports. The motion is defined in terms of a seismic displacement response spectrum. Determine the nodal displacements, reactions forces, and the element solutions.
动力学问题有限元分析
图11一阶模态结果
图12二阶模态结果
图13三阶模态结果
图14四阶模态结果
图15五阶模态结果
图16六阶模态结果
6.
（1）单击树形图中的【HarmonicResponse】，进入谐响应分析环境。
（2）找到工具栏中的【Loads】，依次选择【Loads】>【Force】选项，之后在菜单栏中选择【Edge】选项，即 选项，在右侧图形区中选择距离
（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“模态分析”【Model】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。相关界面如图1所示。
图1分析系统选择
（3）拖动左侧工具箱中“分析系统”【Analysis Systems】中的“谐响应”【HarmonicResponse】系统进到模态分析系统的【Solution】单元格中，为之后热应力分析做准备。完成后的相关界面如图2所示。
（3）依次选择工具栏中的【Deformation】>【Total】，以查看梁的整体变形。
（4）单击【Solve】以得到最终结果。结果如图20—图21所示。
图19“频率—变形”响应设置
图20总变形云图
图21“频率—变形”响应
（4）单击树形图中【HarmonicResponse】分支下的【AnalysisSetting】，在明细栏窗口中将【RangeMaximum】栏后改为50Hz，【SolutionIntervals】栏后改为50；之后展开【DampingControls】，更改其下的【ConstantDampingRatio】为0.02.如图18所示。
有限元第六章 动力问题的有限元法
第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。
本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。
动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。
结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。
有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。
因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。
上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。
在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。
有限元-第9讲-动力学问题有限单元法
a1 ae a2
... an
ui(t) ai vi(t)
wi(t)
(i 1,2,...n,)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t)C a(t)K(ta )Q (t)
（1.8）
其中
••
•
a(t)和a(t)
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。9
•
at
1 2t
att att
中心差分法的递推公式
（3.1） （3.2）
1 t2 M 2 1 tC a t t Q t K 2 t2 M a t 1 t2 M 2 1 tC a t t（3.3）
上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又 称为逐步积分法。
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。
11
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
一、协调质量矩阵和集中质量矩阵
单元质量矩阵
Me NTNdV称为协调质量矩阵。 Ve
集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩 阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。
16
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示： （1）协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4（2.7）
有限元仿真分析动力学-explicit总结
动力学-abaqus/explict总结动力学分为: 线性动力学和非线性动力学。
Standard适合模拟与模型的振动频率相比响应周期较长的问题；explicit：适合于模拟高速动力学问题。
线性动力学在abaqus/standard中求解，是基于模态的分析方法。
应用有：模态动力学：在时域内计算结构的线性动力学响应；可以使用直接积分稳态动力学: 计算由谐波激励引起的动态响应，可以使用直接积分。
响应谱分析：计算运动过程中的峰值响应；随即响应分析：计算随即连续激励的响应，如地震波。
非线性动力学：需要对运动方程进行直接积分；abaqus/standard中使用newmark积分方法，是隐式非线性直接积分法（无条件稳定，可以使用任意的时间增量，并且解仍然是有界的）。
Abaqus/explicit使用二阶精度的中心差分法（该方法是条件稳定的，只有在时间增量小于一定的临界值时才能给出有界的解）。
下面对explicit使用过程中的一些细节作简要的总结。
1．Abaqus/explicit：提供两种方案定义接触：1.1 General contact: 通用接触。
一般在模型中存在多个部件或复杂的拓扑结构情况下使用，该功能强大，不需像在abaqus/standard一样定义相互作用的接触对，在abaqus/explicit里会自动搜索相互作用的接触。
ExamplesThe following input specifies that the contact domain is based on self-contact of an all-inclusive, automatically generated surface but that contact (including self-contact in any overlap regions) should be ignored between the all-inclusive, automatically generated surface and surface_2:*CONTACT*CONTACT INCLUSIONS, ALL EXTERIOR 或ALL ELEMENT BASED*CONTACT PROPERTY ASSIGNMENT,,prop_1 (以全局的方式重新制定属性)*alum_surf,steel_surf,prop_2 （局部修改）*alum_surf,alum_surf,prop_3 （局部修改）*CONTACT EXCLUSIONS (不包括surface_2), surface_2Either of the following methods can be used to exclude self-contact for surface_1 fromthe contact domain:*CONTACT EXCLUSIONSsurface_1,or*CONTACT EXCLUSIONSsurface_1, surface_11.2．接触问题中调整初始节点位置Abaqus/explicit不允许接触表面的初始过盈。
有限元动力学问题有限单元法
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
有限元课件ch9 结构动力学
K
(n)
K 1 0 0
n i
0 0 K n
令
y 1 Y
Y Y Y
2 i 1
可 以 得 到 ： i
Y M y
(i) T
(1 )
Y Y Y Y { }
(2) 2
y 称为几何坐标， 称为正则坐标 M Y K Y P (t )
Y M K P ( t ) ， P ( t ) 广义荷载列阵
(i) T ( j) 2
j
(i) T
( j)
又已知：
M M ， K K
T
T
Y M Y 0 Y K Y 0
(i) T ( j) (i) T ( j)
振型关于质量正交 振型也关于刚度正交
Y M Y M
(i) T (i)
M
i
， i (0)
Y M y ( 0 )
(i) T
M
i
i ( t ) i ( 0 ) cos i t
i (0)
sin
i
t
1 M i
i
t
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pi (τ ) sin
i
( t τ ) dτ
i
1、主要问题：确定自振频率和相应振型；
m2
Y1 2
2、自振频率和自由度个数相等，由特征方程求出； 3、每个频率都对应自己的主振型； 4、主振型是结构的固有性质。
m1
第2振型
基于有限元方法的振动系统动力学分析
基于有限元方法的振动系统动力学分析振动是物体在外部作用下发生周期性的自由运动，广泛存在于自然界和人工工程中。
对于工程领域来说，振动是一种常见而且重要的现象，需要进行充分研究和掌握。
因为工业领域中的精密机械设备、航空航天器、桥梁、建筑等都要受到振动的影响，因此了解和掌握振动分析成为了一项必要的工作。
在振动分析中，有限元方法是一种重要的数值计算技术，能够用来计算系统在特定工况下的自由振动、强迫振动和动态特性等。
有限元方法的基本思想是将物体整体离散成若干元，然后针对每个元的受力状态对其进行计算。
因为在物理学和工程领域中，大部分振动问题都可以抽象成弹性振动问题，因此有限元方法也用得较为广泛。
下面我们将从振动系统模型建立，有限元方法的原理和实现以及动力学分析等方面进行阐述，以期为工程领域的借鉴提供一定的帮助。
一、振动系统模型建立首先，我们需要理解振动系统的原理和发展规律，然后再将其抽象成一种数学模型。
在工程领域常见的振动系统有机械弹簧阻尼振动系统、电路RLC振动系统等，这里我们以机械弹簧阻尼振动系统为例。
1.1 建立振动系统模型机械弹簧阻尼振动系统的简化模型由三个主要元素组成：质点、弹簧和阻尼器。
其中，质点质量为m，其自由度为x，弹簧的刚度为k，弹簧自由度为u，阻尼器的阻尼系数为c。
将质点与弹簧、阻尼器建立作用关系如下：1. 质点的受力情况：F = m*x''(t) (1)其中，x''(t)表示自由度x对时间t的二阶微分。
2. 弹簧的变形条件：u = x1 - x2 (2)其中，x1、x2为弹簧两端对应的自由度，利用胡克定律可以得到：F = k*u (3)3. 阻尼器的作用：F = -c*x'(t) (4)其中，x'(t)表示自由度x对时间t的一阶微分。
此时，质点、弹簧、阻尼器三者之间的作用力平衡，即有F = m*x''(t) = -k*x(t) - c*x'(t) (5)使用微分方程的方法可以得到质点加速度x''(t)关于时间t的方程，即：m*x''(t) + c*x'(t) + k*x(t) = f(t) (6)其中，f(t)为外界作用力。
有限元第五章 有限元动力学基本原理
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
停止迭代 此时为低阶特性
2
1
（ i 1）
(i 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 1 1.5 1.5 K 1 1.5 11 / 6
& & & M C K P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
& & M C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
e T N N dV V
于是，令e T V来自m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
结构动力学问题的有限元法
二、单元分析
单元分析旳任务仍是建立单元特征矩阵，形成单元特征方程。 动态分析中，单元特征矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特征矩阵。
在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元 内也产生相应旳虚位移 d 和虚应变 。单元内产生旳虚应变能为:
式中，ω为简谐振动圆频率；{Φ}为节点振幅列向量。
将解代入振动方程中，同步消去因子ejωt，可得
K 2 M 0
上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题能够求出n个特
征值
12
,
12
,,
2 n
和相相应旳n个特征向量
1,2 ,n 。其中特
征值ωi(i=1,2,…..,n)就是构造旳i阶固有频率，特征向量{Φi} i(i=1,2,…..,n)就是构造
三、总体矩阵集成 总体矩阵集成旳任务是将各单元特征矩阵装配成整个构造旳特征矩阵，
从而建立整体平衡方程，即
M q Cq K q Rt
式中，{q}为所以节点位移分量构成旳n阶列阵，n为构造总自由度数；
R
t
n
Ri
t
（i为节点数），称为节点载荷列阵；[K]、[M]、[C]
分别为构i造1 旳刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
旳i阶模态振型。
振型{Φi}是构造按频率ωi振动时各自由度方向振幅间旳相对百分比关系， 它反应了构造振动旳形式，并不是振幅旳绝对大小。
固有特征分析实际上就是求解广义特征值问题。求解旳数值措施主要有 1、变换法 基本思想是经过一系列矩阵变换，将矩阵[M][K]化为对角阵，
k11
K d
k 22
5 动态分析有限元法
动力学有限元问题的龙格库塔法 知乎
动力学有限元问题的龙格库塔法知乎动力学有限元问题的龙格库塔法1. 介绍动力学有限元问题是一类涉及结构物或系统在时间变化下的运动和响应的问题。
为了解决这类问题，我们可以使用数值方法，其中最常用的之一是龙格库塔法（Runge-Kutta method）。
本文将探讨龙格库塔法在解决动力学有限元问题中的应用，并对其进行深入思考和全面分析。
2. 龙格库塔法的基本原理和应用龙格库塔法是一种数值求解常微分方程的方法，通过迭代逼近来计算方程的数值解。
它的优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，并且对于非线性问题也有较好的适用性。
在动力学有限元问题中，我们通常需要求解结构物或系统在时间上的响应，而龙格库塔法可以提供相对精确的数值计算结果。
3. 动力学有限元问题在动力学有限元问题中，我们需要考虑结构物或系统在外部作用下的运动和响应。
这通常涉及到求解质点、刚体或弹性体的运动方程。
通过建立合适的模型和边界条件，我们可以得到动力学方程。
通过数值方法求解这些方程，我们可以得到系统在一段时间内的响应。
4. 龙格库塔法的步骤和计算过程龙格库塔法的基本步骤包括选择适当的时间步长和计算时间步数，以及计算中间步骤的函数值。
具体来说，龙格库塔法将时间区间划分为若干个小时间步，并通过迭代逼近的方式计算每个时间步的系统响应。
这个过程可以通过多种不同的方法进行，其中最常用的是四阶龙格库塔法。
5. 龙格库塔法的优点和缺点龙格库塔法作为数值求解常微分方程的方法，具有一定的优点和缺点。
其优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，对于非线性问题也有较好的适用性。
而缺点在于需要选择合适的时间步长和计算步数，以及计算量较大。
在处理某些特殊问题时，龙格库塔法可能会出现数值不稳定或数值误差较大的情况。
6. 对龙格库塔法的个人观点和理解在我个人看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值求解方法。
它可以帮助我们更好地理解和分析动力学有限元问题，提供精确的数值计算结果。
通过选择适当的参数和方法，我们可以获得准确的结果，并在实际工程和科学研究中得到有效的应用。
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结构动力学有限元法
一、结构动力学方程
[]{}{}
p u K =静力平衡方程
{}[][])}({}{}{t R u C u M p +−−=•••动力平衡方程
[][][]{})}
({}{}{t R u K u C u M =++•••式中，[M ]—结构的总质量矩阵；[C ]—为阻尼矩阵；
[K ]—结构的总刚度矩阵；[u ]—结构的位移向量；{R （t ）}—强迫力列阵。
[][][]dV
N N M T ∫=ρ一致质量矩阵
满阵，考虑质量分布。
集中质量矩阵
对角阵，按重心不变原则，不考虑质量分布
[
][][]dV
N N C T ∫=γ单元阻尼矩阵
比例阻尼[][][]K M C βα+=
五、模态分析目的
1、求系统的固有频率和振型
2、模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容。
第一阶模态第二阶模态
一个节点无节点
无节点一个节点两个节点
第一阶模态
第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置y
x 0无节点一个节点两个节点三个节点
自由梁的模态形状
第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态
六、ANSYS模态分析注意问题
•模态分析中的四个主要步骤：•建模
•选择分析类型和分析选项
•施加边界条件并求解
•评价结果
模态分析是线性分析，所有非线性选项忽略。
1、建模
1）几何建模和单元选择一般同静力学步骤2）材料设置：必须输入密度；注意单元
2、施加边界条件
1）模态分析唯一的边界条件是零约束位移2）不输入约束，这将输出刚体模态。
3）自由模态和约束模态的意义。
3、求解设置
1）指定分析类型：模态分析
2）指定求解方法
3）提取模态和扩展模态的数目
4、后处理说明
1）模态分析的自由度解没有意义，它只表明了振型，即各个节点相对于其它节点是如何运动的；（单元应力也没有实际意义）
2）模态分析不要采用对称性（循环对称除外）
上机报告3
•1、自选（除平面问题、板壳问题外）即：轴对称、空间、杆、梁、模态部分。
2、上机报告要求：同上机报告1和2
3、附上
1）你对有限元的理解
2）对有限元教学的建议
绪论
课程小结
•１、有限元的基本思想
•２、有限元分析的基本步骤
•3、线性弹簧的有限元法的求解过程
弹性力学基本知识•1、应力、应变、位移，平面情况和空间
情况的向量形式。
•2、理解平面应力问题和平面应变问题的概念。
•3、理解平衡方程、几何方程。
平面问题有限元法
•1、CST形函数的性质和计算
•2、位移函数
1)位移函数选择原则？
2)位移函数的协调性和完备性以及各种平面单元协调性的
证明。
（CST、Q4、LST、Q8）
3)理解刚体位移
平面问题有限元法3、CST单元刚度矩阵
1)单元刚度矩阵的物理意义
2)理解单元刚度矩阵的性质
３)单元刚度矩阵的计算
４)单元刚度矩阵的推导思路
平面问题有限元法
４、CST的缺点。
比较CST、LST精度
５、半带宽的计算
６、以单元子块组装的总体刚度矩阵。
７、会求整体刚度矩阵的某个子块
８、载荷移置的计算，会引入边界条件，写出节点位移向量和节点载荷向量。
平面问题有限元法
９、对称性的应用和处理（平面和板壳）
10、理解有限元的位移元解具有下限性质
11、有限元解的性质。
平面问题有限元法
12、ANSYS
1) ANSYS的建模思想。
自由网格划分（包
括智能）
2) ANSYS主要平面单元，以及怎样设置K3。
实常数、自由度、分析什么问题？
轴对称和空间问题
1、何为轴对称问题？采用什么坐标系统分析
2、轴对称问题的物理量。
3、三角形轴对称单元与常应变三角形单元的区别？
4、轴对称问题的单元刚度矩阵怎样处理。
5、空间四面体单元的自由度、空间四面体单元是常
应变单元吗？
6、ANSYS轴对称单元和空间单元。
7、ANSYS求解轴对称问题的注意事项。
杆梁问题
•1、求解桁架系统
•2、梁单元的载荷移置
•3、ANSYS杆单元和梁单元。
自由度、实常数、桁架问题的建摸思想。
•４、梁单元与梁理论精确解的比较。
薄板弯曲
•1、薄板弯曲问题的判断，与平面应力的区别。
•2、薄板矩形单元完备性和协调性。
•３、ANSYS壳单元。
自由度、实常数。
对称性应用。
结构动力学
•1、结构动力学方程和自由振动方程形式•2、一致质量矩阵和集中质量矩阵
•3、模态分析的目的，ANSYS求解模态分析的注意事项
•4、理解自由模态和约束模态。